2024年山东省泰安市东平县中考二模数学试卷(解析版)

这是一份2024年山东省泰安市东平县中考二模数学试卷(解析版)，共23页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．每小题给出的四个答案中，只有一项是正确的．）
1. 下列等式正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】A、，故A错误．
B、，故B错误．
C、，故C错误．
D、，故D正确．
故选：D．
2. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】A、，原式计算正确，符合题意；
B、，原式计算错误，不符合题意；
C、，原式计算错误，不符合题意；
D、，原式计算错误，不符合题意；
故选：A．
3. 据中科院国家天文台，基于我国郭守敬望远镜和美国APOGEE巡天的观测数据，我国天文学家精确测量了距离银河系中心1.6万光年至8.1万光年范围内的恒星运动速度，并估算出银河系的“体重”约为8050亿个太阳质量，其中数据“8050亿”用科学记数法可表示为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】8050亿；
故选C．
4. 在下列四项竞技运动的图案中，是中心对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】A中不是中心对称图形，故不符合要求；
B中是中心对称图形，故符合要求；
C中不是中心对称图形，故不符合要求；
D中不是中心对称图形，故不符合要求；
故选：B．
5. 把含的直角三角尺和一把直尺摆放成如图所示的图形，能使与互余的图形有（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】D
【解析】如图：
，
，
，
，
；
如图：延长交于点，
，
，
是的一个外角，
，
；
如图：
，
，
，
，
；
如图：过点作，
，
，
，
，
，
，
；
所以，能使与互余的图形有4个，
故选：D．
6. 在元旦节目汇演比赛中，7位评委给某节目打分，得到互不相等的7个分值，同时去掉一个最高分和一个最低分，则以下四种统计量中一定不会发生改变的是（ ）
A. 平均数B. 中位数C. 方差D. 标准差
【答案】B
【解析】根据题意，从7个原始评分中去掉个最高分和个最低分，得到5个有效评分．
5个有效评分与7个原始评分相比，不变的是中位数．
故选：B．
7. 如图，已知的两条弦相交于点，那么的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】已知的两条弦，相交于点，,
,∵，，故选：.
8. 如图是抛物线（a，b，c是常数且）的图象，则双曲线和直线的大致图象可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】根据抛物线的图象可得，当时，，即，
∴双曲线的图象位于一、三象限；
∵抛物线的开口向上，
∴，
∵抛物线的对称轴位于y轴左侧，
∴，∴；
∵抛物线与y轴交于原点下方，∴，∴，
∴直线经过第一、二、四象限，
综上，选项A符合题意，
故选：A．
9. 如图，将扇形沿方向平移，使点平移到的中点处，得到扇形．若，，则阴影部分的面积为（ ）
A. 6B.
C. D.
【答案】B
【解析】如图，设与交于点，连接，

点是的中点，，
∴，
∵，
∴，
由平移的性质，得，即，
∵，
∴，
∴ ，，
由平移的性质，得，
∴，
故选：B．
10. 我国明代《算法统宗》一书中有如下的类似问题：“一支竿子一条索，索比竿子长两托，对折索子来量竿，却比竿子短一托（一托按照5尺计算）．”大意是：现有一根竿和一条绳索，如果用绳索去量竿，绳索比竿长10尺；如果将绳索对折后再去量竿，就比竿短5尺．如果此题中设竿长x尺，绳索长y尺，根据题意可列方程组为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】设竿长x尺，绳索长y尺，由题意可得：，故选：B．
11. 如图，在中，，．按照如下步骤作图：
①分别以点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点；
②作直线，交点；
③以为圆心，长为半径作弧，交的延长线于点；
④连接．
下列说法错误的是( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】，，
，
由题意得：，是的垂直平分线，
，
，
，
，
，
，
，故A正确；
，
，
，
，故B正确；
，，
，
，
，故C正确；
设，则，
解得：(负值舍去)
又∵
∴，故D选项错误，
故选：D．
12. 如图，矩形，，，点是边上的动点，点F是射线BC上的动点，且，连接，．若，则m的最小值为（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】如图，延长到G，使，连接、，

在矩形，，
∴，
又∵，∴，∴
∴，即，
∵，
∴，
∴当G、E、C三点共线时，m取最小值为GC，
，
∴m的最小值为．
故选C．
第Ⅱ卷（非选择题 共102分）
二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分，只要求填写最后结果）
13. 已知关于x方程有至少一个实数解，则a的取值范围是_______．
【答案】
【解析】当时，原方程为：，则方程为一元一次方程，有一个实数解；
当时，方程是一元二次方程，则当时，方程有实数解，
解得：，
综上，关于x的方程有至少一个实数解，则a的取值范围是．
14. 如图，在中，，，，O为边上的一点，以为半径的半圆O交于点D、交AC于点E，过点D作半圆O的切线交边于点F，且，则的半径为__________．

【答案】
【解析】∵，，，
∴，
∴，
连接，则：，

∴，
∵是切线，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
设的半径为，则：，
由勾股定理，得：，
∴，解得：.
15. 在平面直角坐标系中，抛物线的图象如图所示，对任意的，称W为a到b时y的值的“极差”（即时y的最大值与最小值的差），L为a到b时x的值的“极宽”（即b与a的差值），则当时，W的取值范围是___________．

【答案】
【解析】根据题意可得：，
抛物线的对称轴是直线，顶点坐标为．
，即与的差值为7，
．
，即，
．
．
当时，随增大而增大，当时，随的增大而减小，
当时，有最大值，最大值为．
当时，有最小值，最小值为，
．
对称轴是直线．
当时，随的增大而增大．
当时，有最小值，最小值为4．
当时，有最大值，最大值为．
综上所述：．
16. 图①是某款电动平衡车，图②是其简化示意图，该款平衡车的座位AB和底盘CD均平行于地面，座位AB可沿射线EF方向调节，当座位AB的位置最低时，支架，，支架EF与座位AB的夹角，与支架GE的夹角，底盘CD到地面的距离为，则此时座位AB到地面的高度为___．（结果精确到1cm，参考数据：，，）
【答案】60
【解析】过点E作，垂足为H，延长交的延长线于点M，
∵，
∴，
在中，，，
∴，，
∵，
∴，
在中，，∴，
∵底盘到地面的距离为，
∴此时座位到地面的高度．
17. 南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中揭示了（为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律，后人也将下表称为“杨恽三角”．则：中，第三项系数为_____．






【答案】
【解析】由题意可得，的第三项系数为，
的第三项系数为，
的第三项系数为，
的第三项系数为，
，
的第三项系数为，
故答案为：．
18. 已知等腰中，，，点D是边的中点，沿翻折，使点A落在同一平面的点E处，若，则______．
【答案】
【解析】如图，记的交点为F，设，，
则，，，
由翻折的性质可知，，，，
∵，
∴，，
∵，，
∴，
∴，即，
解得，，
∴，
由勾股定理得，，即，整理得，；
，即，整理得，；
得，，
∴，
∴，，
由勾股定理得，，即，
解得，或（舍去），
∴．
三、解答题（本大题共7个小题，共78分，写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤．）
19. （1）计算;
（2），其中．
解：（1）
；
（2）
，
当时，原式．
20. 非物质文化遗产是中华民族古老生命记忆和活态的文化基因．某学校为了让学生深入了解非物质文化遗产，决定邀请舞狮，农民画，剪纸，传统武术，凉帽（竹编技艺）的相关传承人进校园宣讲，现随机抽取若干名七年级学生进行投票，选择自己喜欢的项目（假设每名学生只能选择一项），并将投票结果绘制成如下两幅不完整的统计图：

根据以上信息，解决下列问题：
（1）参与此次抽样调查的学生共__________人，补全统计图（要求在条形图上方注明人数）；
（2）若七年级学生共有人，根据调查结果，试估计七年级喜欢“传统武术”项目的学生人数；
（3）若该学校决定邀请两个项目的非遗传承人进校园宣讲，请用画树状图或列表的方法，求选中农民画和剪纸这两个项目的概率．
解：（1）调查学生总数为（人），
补全统计图如下：

故答案为：；
（2）（人），
答：七年级喜欢“传统武术”项目的学生人数有人；
（3）列表如下：
共有种可能出现的结果，其中恰好选中，这两个项目的有种，
所以恰好选中，这两个项目的概率为．
21. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与y轴交于点A，与反比例函数交于点B．
（1）求点A和点B的坐标；
（2）点C是x轴正半轴上一点，连接交反比例函数于点D，连接，若，求的面积；
（3）在（2）的条件下，将线段绕点D顺时针旋转得到线段，求点E的坐标．
解：（1）在中，当时，，，
联立方程组，
解得：，（舍去），
；
（2）如图，过点B作轴于点G，过点D作轴于点H，设交y轴于点K，
，，，
，，
当时，，解得：，，，
，，，，
，
设直线BC的解析式为，则，解得：，
直线BC的解析式为，
当时，，，，
；
（3）过点D作轴，作于H，于G，连接，如图，
由旋转得：，，，
，，
，，
∵，∴点E的坐标为，．
22. 某粮食生产基地计划投入一笔资金购买甲、乙两种农机具，已知1件甲种农机具比1件乙种农机具多2万元，用30万元购买甲种农机具的数量和用20万元购买乙种农机具的数量相同．
（1）求购买1件甲种农机具和1件乙种农机具各需多少万元？
（2）若该粮食生产基地计划购买甲、乙两种农机具共20件，且购买的总费用不超过92万元，乙的数量不超过甲数量的4倍，则如何购买费用最低？最低费用是多少万元？
解：（1）设购买1件乙种农机具需x万元，则购买1件甲种农机具需万元，
根据题意得，
解得，
经检验，是原方程的解，
∴，
答：购买1件甲种农机具需6万元，1件乙种农机具需4万元．
（2）设该粮食生产基地计划购买甲种农机具m件，则计划购买乙种农机具件，
根据题意得，，解得，
所以共有三种方案，
当时，购买甲4件，乙16件，费用（万元）；
当时，购买甲5件，乙15件，费用（万元）；
当时，购买甲6件，乙14件，费用（万元）；
∴购买甲4件，乙16件总费用费用最低，最低费用：（万元）
答：购买甲4件，乙16件最优惠，费用为88万元．
23. 已知矩形中，是的中点，于点．
（1）如图1，若，求的值；
（2）如图2，连接交于点，若，求的值．
解：（1）是的中点，，
四边形是矩形，
，，，
，，
，，
；
（2）延长交的延长线于，连接，如图2所示：
四边形是矩形，
，，，
，
，
，
是的中点，
，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形，
，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
24. 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴相交于点，点在轴上，且，过点作轴的垂线交抛物线于点，当时，．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图2，作直线交轴于点，若，求的值；
（3）如图3，点是线段上的点，且，过点作轴的垂线交于点，交抛物线于点，是否存在合适的值，使四边形是平行四边形？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．
解：（1）∵，，轴，
∴，
把，代入，得
，
解得：，
∴．
（2）∵点C在抛物线上，∴，
设直线解析式为，
把，代入，得，
解得：，
∴直线解析式为，
∵，，
∴
∴
把代入，得，
解得：．
∵，
∴.
（3）∵，，
∴，
对于抛物线，当时，，
∴，
由（2）知：直线解析式为，
当时，
∴
∴
∵
∴，，
∴，
∵轴，轴，
∴当时，四边形是平行四边形，
∴
解得：，
∵
∴
∴存在，当时，四边形是平行四边形．
25. 如图，为的直径，是圆上一点，是的中点，于点，延长至点，连接，，
（1）求证：是的切线；
（2）若点是上的一点，连接、，，．
①求的值；
②若为的角平分线，求的长．
解：（1）连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵为的直径，
∴，
∴，
∴是的切线；
（2）①解：连接，
∵是的中点，
∴，
∴，
∵为的直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
设的半径为，则，
解得，
经检验，是方程的解，
，
，
，
，
；
②如图，过点作交于点，
，
是的角平分线，
，
，
，
，
，
，
．