2023~2024学年山东省临沂市沂南县八年级(上)期中数学试卷(解析版)

这是一份2023~2024学年山东省临沂市沂南县八年级(上)期中数学试卷(解析版)，共17页。试卷主要包含了解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 以下列各组长度的线段为边（单位：），能构成三角形的是（ ）
A. 7，5，12B. 4，6，5C. 8，4，4D. 6，8，15
【答案】B
【解析】，故A不符合题意；
，故B符合题意；
，故C不符合题意；
，故D不符合题意；
故选：B．
2. 体育是一个锻炼身体，增强体质，培养道德和意志品质的教育过程，是培养全面发展的人的一个重要方面，下列体育图标是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】A．不是轴对称图形，故A错误；
B．不轴对称图形，故B错误；
C．是轴对称图形，故C正确；
D．不是轴对称图形，故D错误．
故选：C．
3. 如图是李老师去某地旅游拍摄的“山谷中的铁架桥”，铁架桥框架做成了三角形的形状，该设计是利用三角形的（ ）
A 垂线段最短B. 两点之间线段最短
C. 两点确定一条直线D. 三角形的稳定性
【答案】D
【解析】铁架桥框架做成了三角形的形状，是为了更稳固，利用了三角形的稳定性．
故选D．
4. 如图，的边上的高是（ ）
A. 线段B. 线段C. 线段D. 线段
【答案】A
【解析】中边上的高，需过边所对的顶点A向作垂线，线段即是中边上的高；
故选：A．
5. 如图是两个全等三角形，图中的字母表示三角形的边长，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由三角形内角和定理得，，
两个三角形全等，
，
故选：D．
6. 如图，菊花1角硬币为外圆内正九边形的边缘异形币，则该正九边形一个内角的大小为（ ）

A. 135°B. 140°C. 145°D. 150°
【答案】B
【解析】正九边形的内角和为，且每个内角都相等，
该正九边形的一个内角的大小为．
故选：B．
7. 下列说法正确的是（ ）
A. 多边形的边数越多，外角和越大B. 三角形的一个外角等于两个内角的和
C. 直角三角形只有一条高D. 三角形的三条角平分线的交点在三角形内
【答案】D
【解析】A、多边形的外角和是，与边数无关，故本选项说法错误；
B、三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，故本选项说法错误；
C、直角三角形有三条高，故本选项说法错误；
D、三角形的三条角平分线的交点在三角形内，故本选项说法正确；
故选：D.
8. 如图，已知，，如果添加一个条件使，则添加的条件不可以是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】∵，
∴，即，
当时，由可证，故A不符合要求；
当时，由可证，故B不符合要求；
当时，由可证，故C不符合要求；
当，无法使，故D符合要求．
故选：D．
9. 小明同学只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．如图：一把直尺压住射线，另一把直尺压住射线并且与第一把直尺交于点，小明说：“射线就是的角平分线．”他这样做的依据是（ ）
A. 在角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上
B. 角平分线上的点到这个角两边的距离相等
C. 三角形的三条高交于一点
D. 三角形三边的垂直平分线交于一点
【答案】A
【解析】如图所示：过两把直尺的交点P作PF⊥BO与点F，由题意得PE⊥AO，
∵两把完全相同的长方形直尺，
∴PE=PF，
∴OP平分∠AOB（角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上），
故选A．
10. 如图，在中，，，点D为的中点，于点E，，则为（ ）
A. 2B. 4C. 6D. 8
【答案】C
【解析】如图：连接，
，， 为的中点，
，平分，，
，
于，
，
，
在中，，，
，
在 中，，，
，
则．
故选：C．
11. 如图，在的正方形网格中有两个格点A、B，连接，在网格中再找一个格点C，使得是等腰三角形，满足条件的格点C的个数是（ ）
A. 5B. 6C. 8D. 9
【答案】C
【解析】如图：分情况讨论：
①为等腰直角底边时，符合条件的C点有0个；
②为等腰直角的腰时，符合条件的C点有8个；
故共有8个点．
故选：C．
12. 如图，为的角平分线，，过作于，交的延长线于，则下列结论：①；②；③；④其中正确结论的序号有（ ）
A. ①②③④B. ②③④C. ①②③D. ①②④
【答案】A
【解析】平分，，，
，
在和中，
，
，故①正确；
，
在和中，
，
，
，
，故②正确；
，
，
设交于O，
，
，故③正确；
，
，
，
，
，
，故④正确；
综上所述，正确的结论有①②③④共4个．
故选：．
二、填空题（每小题3分，共12分）请将正确的答案填在横线上．
13. 已知P（1，－2），则点P关于轴的对称点的坐标是_______．
【答案】（1，2）
【解析】关于轴对称的点的坐标特征是横坐标相同，纵坐标互为相反数，
从而点P（1，－2）关于轴对称的点的坐标是（1，2）
故答案为：（1，2）
14. 如图，，，点在的延长线上，若，则___________°．
【答案】
【解析】由三角形的外角性质得，．
故答案为：．
15. 某段河流的两岸是平行的，数学兴趣小组在老师带领下不用涉水过河就测得河的宽度，他们是这样做的：
①在河流的一条岸边B点，选对岸正对的一棵树A；
②沿河岸直走20米有一树C，继续前行20米到达D处；
③从D处沿河岸垂直的方向行走，当到达A树正好被C树遮挡住的E处停止行走；
④测得DE的长为5米；
则河的宽度为 _____米．
【答案】5
【解析】由题意知，
在和中，
，
，
∴，
即河的宽度是5米，
故答案为：5．
16. 如图，在中，是的平分线．若分别是和上的动点，则的最小值是__________．

【答案】
【解析】如图，过点作交于，交于点，过点作交于点，
，
是的平分线，，，
，这时有最小值，即的长度，
，
，
，
即的最小值是，
故答案为：．
三、解答题（本大题共7小题，共72分）
17. （1）已知一个正n边形的一个内角是135°，求n的值．
（2）如图，在中，为边上的高，为的角平分线，点D为边上的一点，连接．若，求的度数．

解：（1）∵正n边形的一个内角是，
∴正n边形的一个外角是，
∵多边形的外角和是，
∴
（2）∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∵，
∴．
18. 如图，已知线段．求作：的垂线，使它经过点A．
下面是小军设计的“过线段端点作这条线段的垂线”的尺规作图过程．
作法：①以点A为圆心，长为半径作弧，交线段的延长线于点C；
②分别以点B和点C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于直线BC上方的点D；
③作直线．所以直线就是所求作的垂线．
根据小军设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）证明这种作法的正确性（即求证）．
解：（1）如图，直线即为所求；
（2）证明：连接．
∵，
∴．
19. 八（1）班数学兴趣活动小组的同学们利用课余时间制作了圆柱形容器内径测量仪，如图，制作和使用方法：将两根等长的木棒中心固定在一起，两根木棒可以绕固定点O自由旋转．测量圆柱形容器内径时，把测量仪的一端放入容器内，再将木棒的两端张开，只要测出露在外面的一端两个木棒之间的距离，就知道了容器的内径的大小。请你用学过的数学知识解释测量仪的工作原理（写出已知、求证，并证明）
已知：如图，线段相交于点O，______________，连接．
求证：____________．
证明：

解：已知：，O分别为的中点（或，，）．
求证：
证明：∵O分别为的中点，
∴，（线段中点定义）
∵（已知）
∴，（等量代换）
在和中
∵
∴
∴（全等三角形的对应边相等）
20. 如图，在直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为
（1）请在图中画出关于y轴对称的，并写出点的坐标；
（2）求的面积；
（3）在y轴上画出点P，使的值最小，保留作图痕迹．
解：（1）如图所示，即为所求；
；
（2）；
（3）如图，点P为所作．
21. 如图，一条船上午8时从海岛A出发，以15海里/时的速度向正北方向航行，上午10时到达海岛B处，分别从A，B处望灯塔C，测得．
（1）求海岛B到灯塔C的距离；
（2）若这条船到达海岛B处后，继续向正北方向航行，问还要经过多长时间，小船与灯塔C的距离最短？
解：（1）由题意得：（海里）．
∵，
∴．
∴．
∴（海里）．
∴从海岛B到灯塔C的距离为30海里．
（2）如图，过点C作于点P．

∴根据垂线段最短，线段的长为小船与灯塔C的最短距离，．
又∵，
∴．
在中，，
∴（海里）．
∴航行的时间为（时）．
∴这条船到达海岛B处后，继续向正北方向航行，要经过1小时，小船与灯塔C的距离最短．
22. 如图，在四边形中，，点E为上一点，连接与交于点F，且．
（1）判断的形状，并说明理由；
（2）若，求CF的长．
解：（1）等边三角形，理由是：
∵，
∴是等边三角形．
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是等边三角形；
（2）连接交于点O，
∵，
∴是的垂直平分线，
即，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
∴．
23. 综合实践
在学习全等三角形知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成的，在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形．兴趣小组成员经过研讨给出定义：如果两个等腰三角形的顶角相等，且顶角的顶点互相重合，则称此图形为“手拉手全等模型”．因为顶点相连的四条边，可以形象地看作两双手，所以通常称为“手拉手模型”．如图1，与都是等腰三角形，其中，则．
（1）【初步把握】如图2，与都是等腰三角形，，，且，则有_______________．
（2）【深入研究】如图3，已知，以为边分别向外作等边和等边，并连接BE，，求证：．
（3）【拓展延伸】如图4，在两个等腰直角三角形和中，，，，连接，，交于点P，请判断和的关系，并说明理由．
证明：（1）
在和中，
（2）由等边和等边知
，，
由（1）的推理，同理可知：
在和中，
（3）且,理由如下
证明：如下图所示，AB交CE于点O
由以上推理，同理可知：
在和中，
，
即
∴