2025高考数学一轮复习-7.1-基本立体图形及几何体的表面积与体积-专项训练【含答案】

2025高考数学一轮复习-7.1-基本立体图形及几何体的表面积与体积-专项训练【A级　基础巩固】1.一个菱形的边长为4 cm，一内角为60°，用斜二测画法画出的这个菱形的直观图的面积为(　　)A.2eq \r(3) cm2 B.2eq \r(6) cm2 C.4eq \r(6) cm2 D.8eq \r(3) cm22.下面关于空间几何体的叙述正确的是(　　)A.直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥B.用平面截圆柱得到的截面只能是圆和矩形C.直平行六面体是长方体D.存在每个面都是直角三角形的四面体3.刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容.由曲率刻画空间弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于2π与多面体在该点的面角之和的差(多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制)，多面体面上非顶点的曲率均为零，多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和.则如图所示正八面体(八个面均为正三角形)的总曲率为(　　)A.2π B.4π C.6π D.8π4.用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截得的圆台上底面半径为1，下底面半径为2，且该圆台的侧面积为3eq \r(5)π，则原圆锥的母线长为(　　)A.2 B.eq \r(5) C.4 D.2eq \r(5)5.在古希腊数学家欧几里得的著作《几何原本》中，把轴截面为等腰直角三角形的圆锥称为直角圆锥.在直角圆锥SO中，点S与底面圆O都在同一个球面上，若球的表面积为4π，则圆锥的侧面积为(　　)A.4eq \r(2)π B.4π C.eq \r(2)π D.π6.如图，AB，CD分别是圆柱上、下底面圆的直径，且AB⊥CD.O1，O2分别为上、下底面圆的圆心，若圆柱的轴截面为正方形，且三棱锥A－BCD的体积为4eq \r(3)，则该圆柱的侧面积为(　　)A.9π B.10π C.12π D.14π7.在三棱锥P－ABC中，△ABC是边长为2的等边三角形，PA＝PB＝2，PC＝eq \r(6)，则该棱锥的体积为(　　)A.1 B.eq \r(3) C.2 D.38.已知圆锥PO的底面半径为eq \r(3)，O为底面圆心，PA，PB为圆锥的母线，∠AOB＝eq \f(2π,3)，若△PAB的面积等于eq \f(9\r(3),4)，则该圆锥的体积为(　　)A.π B.eq \r(6)π C.3π D.3eq \r(6)π9.如图是水平放置的正方形ABCO，在直角坐标系xOy中，点B的坐标为(2，2)，则由斜二测画法画出的正方形的直观图中，顶点B′到x′轴的距离为________.10.如图，有一个圆锥形粮堆，其轴截面是边长为8 m的等边三角形ABC，粮堆母线AC的中点P处有一老鼠正在偷吃粮食，此时小猫正在B处，它要沿圆锥侧面到达P处捕捉老鼠，则小猫所经过的最短路程是________ m.11.陀螺是中国民间最早的娱乐工具之一，也称陀罗.图1是一种木陀螺，可近似地看作是一个圆锥和一个圆柱的组合体，其直观图如图2所示，其中B，C分别是上、下底面圆的圆心，且AC＝3AB＝3BD，则该陀螺下半部分的圆柱的侧面积与上半部分的圆锥的侧面积的比值是________.12.某同学的通用技术作品如图所示，该作品由两个相同的正四棱柱组成.已知正四棱柱的底面边长为3 cm，则这两个正四棱柱的公共部分构成的多面体的面数为________，体积为________cm3.【B级　能力提升】13.如图，圆内接四边形ABCD中，DA⊥AB，∠D＝45°，AB＝2，BC＝2eq \r(2)，AD＝6，现将该四边形沿AB旋转一周，则旋转形成的几何体的表面积为(　　)A.(16eq \r(2)＋16)π B.(28eq \r(2)＋4)πC.(36eq \r(2)＋36)π D.(36eq \r(2)＋40)π14.(多选)如图，四边形ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，PA∥BE，PA＝BC＝2BE＝2AB＝2，记三棱锥P－CDE，E－PBC，E－PAC的体积分别为V1，V2，V3，则下列说法正确的是(　　)A.该几何体的体积为eq \f(4,3)B.V3＝2V2C.3V1＝2V2D.V1＋V2＝V315.底面边长为4的正四棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为2，高为3的正四棱锥，所得棱台的体积为________.16.如图，一个正三棱锥P－ABC的底面边长为1，高为2，则此三棱锥的体积为________.若一个正三棱柱A1B1C1－A0B0C0的顶点A1，B1，C1分别在该三棱锥的三条棱上，A0，B0，C0在该三棱锥的底面ABC上，则此三棱柱侧面积的最大值为________.参考答案与解析【A级　基础巩固】1.答案　B解析　直观图的面积为eq \f(\r(2),4)×eq \f(\r(3),2)×42＝2eq \r(6)(cm2).2.答案　D解析　A中，不一定，当以斜边所在直线为旋转轴时，其余两边旋转一周形成的面所围成的几何体不是圆锥，如图所示，它是由两个同底圆锥组成的几何体，A不正确；B中，当平面与圆柱的母线平行或垂直时，截得的截面才为矩形或圆，否则为椭圆或椭圆的一部分，B不正确；C中，直平行六面体是平行六面体的侧棱与底面垂直，所以底面可以是平行四边形，它不是长方体，C不正确；D中，如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中的四面体C1－ABC，四个面都是直角三角形，D正确.3.答案　B解析　因为正八面体每一个顶点都是4个正三角形的交点，所以正八面体每个顶点处的曲率为2π－eq \f(π,3)×4＝eq \f(2π,3)，又正八面体有6个顶点，所以正八面体的总曲率为eq \f(2π,3)×6＝4π，故选B.4.答案　D解析　设圆台的母线长为l，因为该圆台的侧面积为3eq \r(5)π，所以由圆台侧面积公式可得πl(1＋2)＝3πl＝3eq \r(5)π，解得l＝eq \r(5).设原圆锥的母线长为l′，由三角形相似可得eq \f(l′－l,l′)＝eq \f(1,2)，解得l′＝2eq \r(5)，所以原圆锥的母线长为2eq \r(5).故选D.5.答案　C解析　由题意，设直角圆锥SO的底面圆的半径为r，则直角圆锥SO的高为r，又在直角圆锥SO中，点S与底面圆O都在同一个球面上，设球的半径为R，则r＝R，又因为球的表面积为4π，则4πR2＝4π，解得R＝1，即r＝1，所以圆锥的母线长为eq \r(12＋12)＝eq \r(2)，所以圆锥的侧面积为eq \f(1,2)×2π×1×eq \r(2)＝eq \r(2)π.故选C.6.答案　C解析　设圆柱的母线长为2a，且圆柱的轴截面为正方形，则圆柱的底面圆的半径为a，连接O1C，O1D，O1O2，如图，由题意可知VA－BCD＝2VA－O1CD＝2×eq \f(1,3)×AO1×S△O1CD＝2×eq \f(1,3)×AO1×eq \f(1,2)×O1O2×CD＝2×eq \f(1,3)×a×eq \f(1,2)×2a×2a＝eq \f(4,3)a3＝4eq \r(3)，解得a＝eq \r(3)，所以该圆柱的侧面积S＝2π×a×2a＝2π×eq \r(3)×2eq \r(3)＝12π.故选C.7.答案　A解析　如图，取AB的中点D，连接PD，CD，因为△ABC是边长为2的等边三角形，PA＝PB＝2，所以PD⊥AB，CD⊥AB，所以PD＝CD＝eq \r(3)，又PC＝eq \r(6)，所以PD2＋CD2＝PC2，所以PD⊥CD，又AB∩CD＝D，AB，CD⊂平面ABC，所以PD⊥平面ABC，所以VP－ABC＝eq \f(1,3)·S△ABC·PD＝eq \f(1,3)×eq \f(1,2)×2×eq \r(3)×eq \r(3)＝1，故选A.8.答案　B解析　在△AOB中，AO＝BO＝eq \r(3)，∠AOB＝eq \f(2π,3)，由余弦定理得AB＝eq \r(3＋3－2×\r(3)×\r(3)×（－\f(1,2)）)＝3.设等腰三角形PAB底边AB上的高为h，则S△PAB＝eq \f(1,2)×3h＝eq \f(9\r(3),4)，解得h＝eq \f(3\r(3),2)，由勾股定理得母线PA＝eq \r(（\f(3,2)）2＋（\f(3\r(3),2)）2)＝3，则该圆锥的高PO＝eq \r(PA2－OA2)＝eq \r(6)，所以该圆锥的体积为eq \f(1,3)×3π×eq \r(6)＝eq \r(6)π.9.答案　eq \f(\r(2),2)解析　利用斜二测画法作正方形ABCO的直观图如图，在坐标系x′O′y′中，B′C′＝1，∠x′C′B′＝45°.过点B′作x′轴的垂线，垂足为点D′.在Rt△B′D′C′中，B′D′＝B′C′sin 45°＝1×eq \f(\r(2),2)＝eq \f(\r(2),2).10.答案　4eq \r(5)解析　如图所示，根据题意可得△ABC是边长为8 m的正三角形，所以BC＝8 m，所以圆锥底面周长为π×8＝8π(m).设圆锥侧面展开后的扇形圆心角为θ，点B在展开图中对应的点为B′，连接AB′，B′P.根据底面圆的周长等于展开后扇形的弧长，可得8θ＝8π，故θ＝π，则∠B′AC＝eq \f(π,2)，所以B′P＝eq \r(64＋16)＝4eq \r(5)(m)，所以小猫所经过的最短路程是4eq \r(5) m.11.答案　2eq \r(2)解析　设AB＝BD＝m，则AD＝eq \r(2)m，因为AC＝3AB＝3m，所以BC＝2m，则圆柱的侧面积S1＝2π·BD·BC＝4πm2，圆锥的侧面积S2＝π·BD·AD＝eq \r(2)πm2，故eq \f(S1,S2)＝eq \f(4πm2,\r(2)πm2)＝2eq \r(2).12.答案　8　18eq \r(2)解析　易知两个正四棱柱的公共部分为两个正四棱锥拼接而成，且两个正四棱锥的底面重合，所以公共部分构成的多面体的面数为8，因为正四棱柱的底面边长为3，则公共部分的两个正四棱锥的底面边长为3eq \r(2)，高为eq \f(3\r(2),2)，所以体积V＝2×eq \f(1,3)×(3eq \r(2))2×eq \f(3\r(2),2)＝18eq \r(2)(cm3).【B级　能力提升】13.答案　C解析　连接BD，在圆内接四边形ABCD中，∠DAB＝90°，所以BD是四边形ABCD外接圆的直径，所以∠DCB＝90°，则∠ABC＝135°.延长AB，过点C作CE垂直AB的延长线于点E，过点C作CF⊥AD，垂足为F，则∠CBE＝45°，所以△BCE是等腰直角三角形，所以BE＝CE＝2.作出四边形ABCD关于直线AB对称的图形，如图所示.由于CE∥AF，AE∥CF，∠DAB＝90°，所以四边形AECF是矩形，AF＝CE＝2，DF＝CF＝AE＝4，所以在等腰直角三角形CDF中，CD＝4eq \r(2).将该四边形沿AB旋转一周，则旋转形成的几何体是一个圆台挖掉一个圆锥，其表面积为π×62＋π×(2＋6)×4eq \r(2)＋π×2×2eq \r(2)＝(36eq \r(2)＋36)π.故选C.14.(多选)答案　BD解析　 因为PA⊥平面ABCD，BE∥PA，所以BE⊥平面ABCD，又BC⊂平面ABCD，所以BC⊥BE.因为四边形ABCD为矩形，所以BC⊥AB，又AB∩BE＝B，AB，BE⊂平面ABEP，所以BC⊥平面ABEP，同理可证得CD⊥平面PAD，故该几何体的体积V＝VC－ABEP＋VP－ACD＝eq \f(1,3)×eq \f(1,2)×(1＋2)×1×2＋eq \f(1,3)×eq \f(1,2)×1×2×2＝eq \f(5,3)，故A错误；如图，取PA的中点为F，连接EF，FC，FD，因为BE∥PA，PA＝2BE，所以AF∥BE且AF＝BE，所以四边形ABEF为平行四边形，所以EF∥AB，又AB∥CD，所以EF∥CD，因为EF⊄平面PCD，CD⊂平面PCD，所以EF∥平面PCD，所以点E，F到平面PCD的距离相等，所以V1＝VP－CDE＝VE－PCD＝VF－PCD＝VC－PDF＝eq \f(1,3)×1×eq \f(1,2)×1×2＝eq \f(1,3)，V2＝VE－PBC＝VC－PBE＝eq \f(1,3)×eq \f(1,2)×1×1×2＝eq \f(1,3).因为BE∥PA，BE⊄平面PAC，PA⊂平面PAC，所以BE∥平面PAC，所以点B，E到平面PAC的距离相等，所以V3＝VE－PAC＝VB－PAC＝VP－ABC＝eq \f(1,3)×eq \f(1,2)×2×1×2＝eq \f(2,3)，所以V3＝2V2，3V1≠2V2，V1＋V2＝V3，故B，D正确，C错误.故选BD.15.答案　28解析　如图所示，正四棱锥P－ABCD的底面边长为4，用平行于底面的平面截去一个底面边长为2，高为3的正四棱锥P－A′B′C′D′后，得到正四棱台A′B′C′D′－ABCD，且A′B′＝2，AB＝4.记O′，O分别为正四棱台A′B′C′D′－ABCD上、下底面的中心，H′，H分别为A′B′，AB的中点，则P，O′，O三点共线，P，H′，H三点共线.连接PO，PH，O′H′，OH，则PO′＝3，O′H′＝1，OH＝2.易知△PO′H′∽△POH，所以eq \f(PO′,PO)＝eq \f(O′H′,OH)，即eq \f(3,PO)＝eq \f(1,2)，解得PO＝6，所以OO′＝PO－PO′＝3，所以该正四棱台的体积V＝eq \f(1,3)×3×(22＋2×4＋42)＝28.16.答案　eq \f(\r(3),6)　eq \f(3,2)解析　由三角形面积公式可得S△ABC＝eq \f(1,2)×1×1×sin 60°＝eq \f(\r(3),4).设三棱锥P－ABC的高为h，VP－ABC＝eq \f(1,3)S△ABC·h＝eq \f(1,3)×eq \f(\r(3),4)×2＝eq \f(\r(3),6).由题意得，三棱锥P－A1B1C1为正三棱锥，设其高为h1，则A1A0＝2－h1.设A1B1＝x(0