2023-2024学年河南省南阳三中七年级（下）第一次月考数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年河南省南阳三中七年级（下）第一次月考数学试卷（含解析），共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）已知下列方程：①＝5x+1；②x2﹣4x＝3；③0.3x＝1；④x+2y＝0．其中一元一次方程的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
2．（3分）下列运用等式的性质变形正确的是（ ）
A．若x＝y，则x+5＝y﹣5B．若a2＝b2，则a＝b
C．若，则a＝bD．若ax＝ay，则x＝y
3．（3分）若是关于x，y的二元一次方程x﹣ay＝4的一组解，则a的值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
4．（3分）把方程的分母化成整数，结果应为（ ）
A．B．
C．D．
5．（3分）在下列数学表达式：①﹣2＜0，②2y﹣5＞1，③m＝1，④x2﹣x，⑤x≠﹣2，⑥x+1＜2x﹣1中，是不等式的有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
6．（3分）如果方程组的解为，那么“□”和“△”所表示的数分别是（ ）
A．14，4B．11，1C．9，﹣1D．6，﹣4
7．（3分）利用加减消元法解方程组，下列做法正确的是（ ）
A．要消去x，可以将①×5+②×2
B．要消去y，可以将①×5﹣②×3
C．要消去x，可以将①×5﹣②×2
D．要消去y，可以将①×2﹣②×3
8．（3分）已知x，y满足方程组，则无论m取何值，x，y恒有的关系式是（ ）
A．x+y＝﹣3B．x+y＝3C．x+y＝﹣9D．x+y＝9
9．（3分）老师利用两块大小一样的长方体木块测量一张桌子的高度，首先按照图①方式放置，再交换两木块儿的位置，按照图②方式放置，测量的数据如图，则桌子的高度是（ ）
A．77cmB．78cmC．79cmD．80cm
10．（3分）某校为了培养学生阅读的习惯，准备把一批课外书分给学生阅读，一共有x名学生，y本课外书，若每名学生发3本，则少3本课外书；若每名学生发2本，则多9本课外书．有下列4个方程：①3x﹣3＝2x+9；②3x+3＝2x﹣9；③；④．其中符合题意的是（ ）
A．②③B．①③C．②④D．①④
二、填空题（共5小题）
11．（3分）“m的2倍与8的和不大于2与m的差”用不等式表示为 ．
12．（3分）如果是方程2x﹣3y＝2020的一组解，那么代数式2024﹣2m+3n＝ ．
13．（3分）《一千零一夜》中有这样一段文字：有一群鸽子，其中一部分在树上欢歌，另一部分在地上觅食，树上一只鸽子对地上觅食的鸽子说：“若从你们中飞来一只，则树下的鸽子就是整个鸽群的；若从树上飞下去一只，则树上，树下的鸽子数一样多．”你知道树上有 只鸽子，树下有 只鸽子．
14．（3分）某市居民每月用水收费标准如下：
李阿姨家11月份用水5立方米，交水费11元．若李阿姨12月份交水费35.8元，则李阿姨12月份用水量是 ．
15．（3分）把1﹣9这9个数填入3×3的方格中，使其任意一行，任意一列及任意一条对角线上的数之和都相等，这样便构成了一个“九宫格”，它源于我国古代的“洛书”（图1），洛书是世界上最早的“幻方”，图2是仅可以看到部分数值的“九宫格”，则关于x的一元一次方程ax+b＝0的解为 ．
三、解答题（共8小题）
16．（20分）解下列方程：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
17．（7分）下面是小明同学解方程的过程，请认真阅读并完成相应任务．
任务一：填空：（1）以上求解步骤中，第一步进行的是 ，这一步的依据是（填写具体内容） ；
（2）以上求解步骤中，第 步开始出现错误，具体的错误是 ；
（3）请直接写出该方程正确的解为 ．
任务二：（4）请你根据平时的学习经验，在解方程时还需注意的事项提一条合理化建议．
18．（6分）阅读理解下面内容，并解决问题：
《九章算术》是我国东汉年间编订的一部数学经典著作，在它的“方程”一章里，一次方程组是由算筹布置而成的．《九章算术》中的算筹图是竖排的，为看图方便，把它改为横排，如图1，2，图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数x，y的系数与对应的常数项，把图1所示的算筹图用方程组形式表述出来，就是．类似地，写出图2所示的算筹图的表述形式并求解．
19．（7分）小鑫、小童两人同时解方程组时，小鑫看错了方程②中的a，解得，小童看错了①中的b，解得．
（1）求正确的a，b的值；
（2）求原方程组的正确解．
20．（8分）两个两位数的和是68，在较大的两位数的右边接着写较小的两位数，得到一个四位数；在较大的两位数的左边写上较小的两位数，也得到一个四位数，已知前一个四位数比后一个四位数大2178，求这两个两位数．
21．（9分）在《二元一次方程组》这一章的复习课上，刘老师给出了下面的题目：
在某市“精准扶贫”工作中，甲、乙两个工程队先后接力为扶贫村庄修建一条4000米长的公路，甲队每天修建200米，乙队每天修建250米，一共用18天完成．
（1）李东同学根据题意，列出了一个尚不完整的方程组，请写出李东所列方程组中未知数x，y表示的意义：x表示 ，y表示 ；并写出该方程组中△处的数应是 ，□处的数应是 ；
（2）陈彬同学的思路是想设甲工程队一共修建了x米公路，乙工程队一共修建了y米公路．下面请你按照陈彬的设想列出方程组，并求出乙队修建了多少天？
22．（9分）随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售，据了解2辆A型汽车、3辆B型汽车的进价共计80万元；3辆A型汽车、2辆B型汽车的进价共计95万元
（1）求A、B两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？
（2）若该公司计划正好用200万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），请你帮助该公司设计购买方案；
（3）若该汽车销售公司销售1辆A型汽车可获利8000元，销售1辆B型汽车可获利5000元，在（2）中的购买方案中，假如这些新能源汽车全部售出，哪种方案获利最大？最大利润是多少元？
23．（9分）用边长为12cm的正方形硬纸板做三棱柱盒子，每个盒子的侧面为长方形，底面为等边三角形．
（1）每个盒子需 个长方形， 个等边三角形；
（2）硬纸板以如图两种方法裁剪（裁剪后边角料不再利用）A方法：剪6个侧面；B方法：剪4侧面5个底面．
现有19张硬纸板，裁剪时x张用A方法，其余用B方法．
①用x的代数式分别表示裁剪出的侧面和底面的个数；
②若裁剪出的侧面和底面恰好全部用完，问能做多少个盒子？
2023-2024学年河南省南阳三中七年级（下）第一次月考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题）
1．【分析】根据一元一次方程的定义进行判断即可．
【解答】解：①＝5x+1是一元一次方程；
②x2﹣4x＝3不是一元一次方程；
③0.3x＝1是一元一次方程；
④x+2y＝0不是一元一次方程．
故选：B．
【点评】本题考查的是一元一次方程的定义，只含有一个未知数（元），且未知数的次数是1，这样的方程叫一元一次方程．
2．【分析】根据等式的基本性质进而判断即可．
【解答】解：A：若x＝y，则x+5＝y+5，故A不正确，不合题意；
B：若a2＝b2，则a＝±b，故B不正确，不合题意；
C：若，则a＝b，故C正确，符合题意；
D：若ax＝ay，则a≠0时x＝y，故D不正确，不合题意；
故选：C．
【点评】本题考查等式的基本性质，正确把握相关性质是解题的关键．
3．【分析】将方程的解代入方程得到关于a的方程，解方程即可得到a的值．
【解答】解：将代入x﹣ay＝4得1+a＝4，
∴a＝3，
故选：C．
【点评】本题考查了二元一次方程的解，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解．
4．【分析】根据分式的基本性质进行计算，即可解答．
【解答】解：，
﹣＝16，
故选：D．
【点评】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键．
5．【分析】根据不等式的定义，不等号有＜，＞，≤，≥，≠，选出即可．
【解答】解：不等式是指不等号来连接不等关系的式子，如＜，＞，≠，所以不等式有：①②⑤⑥，等式有：③．
故选：C．
【点评】本题主要考查对不等式的意义的理解和掌握，能根据不等式的意义进行判断是解此题的关键．
6．【分析】把方程组的解代入②即可求出y，再代入①求出“□”即可．
【解答】解：设“□”为a，“△”为b，
则方程组为的解是，
代入②得：5﹣2b＝3，
解得：b＝1，
方程组的解是，代入①得：10+1＝a，
解得：a＝11，
即“□”为11，“△”为1，
故选：B．
【点评】本题考查了解二元一次方程组和二元一次方程组的解，能理解二元一次方程组的解的含义是解此题的关键．
7．【分析】利用消元法一一判断即可．
【解答】解：要消去x，可以将①×5﹣②×2，
可得15y+4y＝30﹣18，
可得y＝．
故选：C．
【点评】本题考查解二元一次方程组，解题的关键是掌握消元法解方程组，属于中考常考题型．
8．【分析】求x与y的关系，使关于x，y的方程组与m的取值无关，就是利用消元的思想，消去m即可，
【解答】解：将y﹣3＝m代入x+m＝6得，
x+y﹣3＝6，
即x+y＝9，
故选：D．
【点评】本题考查二元一次方程组的解，消元是关键，代入是实现消元的基本方法．
9．【分析】设桌子的高度是x cm，结合图形列出方程组，解方程组得到答案．
【解答】解：设桌子的高度是x cm，长方体木块的长是a cm，宽是b cm，
由题意得，
解得：x＝78，
∴桌子的高度是78cm，
故选：B．
【点评】本题考查的是二元一次方程组的应用，正确找出等量关系、列出方程组是解题的关键．
10．【分析】分别根据书的总量相等和学生的人数相等列出方程即可．
【解答】解：根据书的数量相等可列方程为3x﹣3＝2x+9，根据学生的人数相等可列方程为，
所以符合题意的是①④．
故选：D．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，抓住关键描述语，找到等量关系是解题的关键．
二、填空题（共5小题）
11．【分析】m的2倍与8的和，2与m的和分别表示为：2m+8，2﹣m，“不大于”用数学符号表示为“≤”，由此可得不等式2m+8≤2﹣m．
【解答】解：由题意可列不等式为：2m+8≤2﹣m．
故答案为：2m+8≤2﹣m．
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，用不等式表示不等关系时，要抓住题目中的关键词，如“大于（小于）、不超过（不低于）、是正数（负数）”“至少”、“最多”等等，正确选择不等号．
12．【分析】先根据方程解的定义求出2m﹣3n的值，再整体代入求值．
【解答】解：∵是方程2x﹣3y＝2020的一组解，
∴2m﹣3n＝2020．
∴代数式2024﹣2m+3n＝2024﹣（2m﹣3n）＝2024﹣2020＝4．
故答案为：4．
【点评】本题考查了代数式的求值，掌握方程解的意义和整体代入的思想方法是解决本题的关键．
13．【分析】本题的等量关系为：树下鸽子的数量﹣1＝鸽群数量；树上鸽子﹣1＝树下鸽子+1．
【解答】解：设树上有x只鸽子，树下有y只鸽子．
则，
解得．
故答案为：7；5．
【点评】解题关键是弄清题意，找到关键描述语：树下的鸽子就是整个鸽群的和树上、树下的鸽子数一样多．从中找到合适的等量关系来求解．
14．【分析】根据“李阿姨家11月份用水5立方米，交水费11元”求得a的值；然后由“李阿姨12月份交水费35.8元”知a＞10，根据阶梯收费标准列出方程并解答．
【解答】解：由题意知：a＝＝2.2（元）．
所以a+0.1＝2.3（元）．
设李阿姨12月份用水量是x立方米，则：
10×2.2+2.3（x﹣10）＝35.8．
解得x＝16．
故答案为：16立方米．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，根据数量关系列出一元一次方程是解题的关键．
15．【分析】由题意根据任意一行，任意一列及任意一条对角线上的数之和都相等列出方程a+b+6＝4+5+6以及a+5＝6+7，求出a和b，即可得出答案．
【解答】解：根据题意得：
，
解得：，
所以8x+1＝0，
∴x＝﹣
故答案为：﹣．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，理解“九宫格”满足的条件，进而得到等量关系列出方程是解题的关键．
三、解答题（共8小题）
16．【分析】（1）方程去分母，移项合并，把x系数化为1，即可求出解；
（2）方程去分母，去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解；
（3）方程组利用加减消元法求出解即可；
（4）先将系数化为整数，然后利用加减消元法求解即可．
【解答】解：（1），
去分母得：4x﹣6＝3x+18，
移项得：x＝24；
（2），
去分母得：4（2x+5）﹣3（3x﹣2）＝24，
去括号得：8x+20﹣9x+6＝24，
移项得：x＝2；
（3），
①×3﹣②×2得：37n＝44.4，
解得n＝1.2，
把n＝1.2代入①得：2m+10.8＝4.8，
解得m＝﹣3，
则原方程组的解为；
（4），
①×2﹣②得：81y＝45，
解得，
将代入①得：9x＝﹣18，
解得x＝﹣2，
则原方程组的解为．
【点评】此题考查了解一元一次方程和解二元一次方程组，利用了消元的思想，解答本题的关键要明确消元的方法：代入消元法与加减消元法．
17．【分析】（1）根据一元一次方程的解法步骤可进行求解；
（2）根据题中所给步骤可进行求解；
（3）按照一元一次方程的解法进行求解即可；
（4）根据平时的学习经验来提建议，言之成理即可．
【解答】解：（1）以上求解步骤中，第一步进行的是去分母，这一步的依据是等式两边同乘（除）以一个不为0的数或式时，等式仍成立．
故答案为：去分母；等式两边同乘（除）以一个不为0的数或式时，等式仍成立；
（2）以上求解步骤中，第三步开始出现错误，具体的错误是移项要变号，
故答案为：三；移项要变号；
（3）去分母得：3（x﹣3）﹣2（2x+1）＝6，
去括号得：3x﹣9﹣4x﹣2＝6，
移项得：3x﹣4x＝6+2+9，
合并同类项得：﹣x＝17，
系数化为1得：x＝﹣17．
故答案为：x＝﹣17；
（4）根据平时的学习经验，在解方程时还需注意的事项有去分母时不要漏乘不含分母的项（答案不唯一）．
【点评】本题主要考查了一元一次方程的解法，掌握一元一次方程的解法是解题的关键．
18．【分析】根据图1，结合已知的方程组理解算筹表示的实际数字，发现：前两项是x、y的系数，后一项是方程右边的常数项，十位数用横线表示，个位数用竖线表示，满五用横线表示．按此规律，即可看出第二个方程组．
【解答】解：根据已知，得第一个方程是2x+y＝11；第二个方程是4x+3y＝27，
则方程组为．
解得．
【点评】本题主要考查了二元一次方程组的应用和数学常识，主要培养学生的观察能力，关键是能够根据已知的方程根据对应位置的数字理解算筹表示的实际数字．
19．【分析】（1）把小鑫的结果代入第一个方程，小童的结果代入第二个方程，求出正确a与b的值即可；
（2）把a与b的值代入方程组，求出正确解即可．
【解答】解：（1）根据题意，可得，
整理得：，
解得：；
（2）将a，b代入原方程组，得，
由②可得y＝2x﹣17③，
将③代入①，可得x﹣3（2x﹣17）＝1，
解得：x＝10，
把x＝10代入③，解得：y＝3．
故原方程组的正确解是．
【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
20．【分析】首先设较大的两位数为x，较小的两位数为y，根据题意可得等量关系：①两个两位数的和为68，②100x+y比100y+x大2178，根据等量关系列出方程组，再解方程组即可．
【解答】解：设较大的两位数为x，较小的两位数为y，
根据题意，得
，
化简得：，
即，
解得．
答：这两个数是45和23．
【点评】此题主要考查了二元一次方程组的应用，关键是弄清题目意思，表示出“较小的两位数写在较大的两位数的右边，得到一个四位数为100y+x”，把较小的两位数写在较大的两位数的左边，得到另一个四位数为100x+y．
21．【分析】（1）由两队共用18天完成修建任务，可得出△处的数，利用工作总量＝工作效率×工作时间，结合甲、乙两队的工作效率及公路的总长，可得出x，y的含义及□处的数；
（2）利用公路的总长及工作时间＝工作总量÷工作效率，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之可得出x，y的值，再利用乙队的工作时间＝乙队的工作总量÷乙队的工作效率，即可求出乙队的工作时间．
【解答】解：（1）∵甲、乙两个工程队先后接力18天完成公路的修建任务，
∴x+y＝18，
∴△处的数应是18；
∵甲队每天修建200米，乙队每天修建250米，公路全长4000米，
∴200x+250y＝4000，
∴x表示甲队修建的时间，y表示乙队修建的时间，□处的数应是4000．
故答案为：甲队修建的时间，乙队修建的时间，18，4000；
（2）根据题意得：，
解得：，
∴＝＝8（天）．
答：乙队修建了8天．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
22．【分析】（1）设A型汽车每辆的进价为x万元，B型汽车每辆的进价为y万元，根据“2辆A型汽车、3辆B型汽车的进价共计80万元；3辆A型汽车、2辆B型汽车的进价共计95万元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购进A型汽车m辆，购进B型汽车n辆，根据总价＝单价×数量，即可得出关于m，n的二元一次方程，结合m，n均为正整数，即可得出结论；
（3）利用总价＝单价×数量，即可求出三种购车方案获得的利润，比较后即可得出结论．
【解答】解：（1）设A型汽车每辆的进价为x万元，B型汽车每辆的进价为y万元，
依题意，得：，
解得：．
答：A型汽车每辆的进价为25万元，B型汽车每辆的进价为10万元．
（2）设购进A型汽车m辆，购进B型汽车n辆，
依题意，得：25m+10n＝200，
解得：m＝8﹣n．
∵m，n均为正整数，
∴，，，
∴共3种购买方案，方案一：购进A型车6辆，B型车5辆；方案二：购进A型车4辆，B型车10辆；方案三：购进A型车2辆，B型车15辆．
（3）方案一获得利润：8000×6+5000×5＝73000（元）；
方案二获得利润：8000×4+5000×10＝82000（元）；
方案三获得利润：8000×2+5000×15＝91000（元）．
∵73000＜82000＜91000，
∴购进A型车2辆，B型车15辆获利最大，最大利润是91000元．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程；（3）利用总价＝单价×数量求出三种购车方案获得的利润．
23．【分析】（1）由图可知每个三棱柱盒子需3个长方形，2个等边三角形；
（2）①由x张用A方法，就有（19﹣x）张用B方法，就可以分别表示出侧面个数和底面个数；
②由侧面个数和底面个数比为3：2建立方程求出x的值，求出侧面的总数就可以求出结论．
【解答】解：（1）由图可知每个三棱柱盒子需3个长方形，2个等边三角形；
（2）①∵裁剪时x张用A方法，
∴裁剪时（19﹣x）张用B方法．
∴侧面的个数为：6x+4（19﹣x）＝（2x+76）个，
底面的个数为：5（19﹣x）＝（95﹣5x）个；
②由题意，得2（2x+76）＝3（95﹣5x），
解得：x＝7，
∴盒子的个数为：＝30．
答：裁剪出的侧面和底面恰好全部用完，能做30个盒子．
故答案为3，2．
【点评】本题考查了列一元一次方程解实际问题的运用，一元一次方程的解法的运用，列代数式的运用，解答时根据裁剪出的侧面和底面个数相等建立方程是关键．
用水量（立方米）
单价（元）
x≤10
a
剩余部分
a+0.1
解方程：
解：______，得3（x﹣3）﹣2（2x+1）＝6．第一步
去括号：得3x﹣9﹣4x﹣2＝6．第二步
移项，得3x﹣4x＝6﹣2﹣9，第三步
合并同类项，得﹣x＝﹣5．第四步
方程两边同除以﹣1，得x＝5．第五步