广东省广州市增城区香江中学2022-2023学年八年级下学期期中数学试卷（含答案）

这是一份广东省广州市增城区香江中学2022-2023学年八年级下学期期中数学试卷（含答案），共20页。
1．（3 分）下列二次根式是最简二次根式的是（）
A．B．C． D． 2．（3 分）如果二次根式有意义，那么 x 的取值范围是（）
A．x≠2B．x≥0C．x≥2D．x＞2 3．（3 分）以下列各组数为边长，能组成直角三角形的是（）
A．4，5，3B． ，2， C．2，2，2D．1，2，2 4．（3 分）下列各式计算正确的是（）
A． B．
C． D．
5．（3 分）如图，在菱形 ABCD 中，E，F 分别是 AB，AC 的中点，若 EF＝2，则菱形 ABCD
的周长为（）
A．16B．8C． D．4
6．（3 分）已知实数 a 在数轴上的位置如图所示，则化简|a|+的结果为（）
A．1B．﹣1C．1﹣2aD．2a﹣1 7．（3 分）顺次连接菱形各边中点所得的四边形一定是（）
邻边不等的平行四边形B．平行四边形
C．矩形D．正方形
8．（3 分）如图，把一张长方形纸片沿对角线 BD 折叠，∠CBD＝25°，则∠ABF 的度数是
（）
A．25°B．30°C．40°D．50°
9．（3 分）将正方形 ABCD 与正方形 BEFG 按如图方式放置，点 F、B、C 在同一直线上，已知 BG＝，BC＝3，连接 DF，M 是 DF 的中点，连接 AM，则 AM 的长是（ ）
A． B．C． D．
10．（3 分）如图所示，在菱形 ABCD 中，∠A＝60°，AB＝2，E，F 两点分别从 A，B 两点同时出发，以相同的速度分别向终点 B，C 移动，连接 EF，在移动的过程中，EF 的最小值为（ ）
B．C． D． 二．填空题（共 6 小题，满分 18 分，每小题 3 分）
11．（3 分）计算：＝ ．
12．（3 分）在 y＝（k﹣2）x+k2﹣4 中，若 y 是 x 的正比例函数，则 k 值为 ．
13．（3 分）已知直角三角形斜边上的中线长为 6，斜边上的高线长为 4，则该三角形的面积为．
14．（3 分）如图，有一块四边形花圃 ABCD，AB＝3m，AD＝4m，BC＝13m，DC＝12m，
∠A＝90°，若在这块花圃上种植花草，已知每种植 1m2 需 50 元，则共需 元．
15．（3 分）如图，在矩形 ABCD 中，AE⊥BD 于 E，∠DAE＝3∠EAB，则∠EAC 的度数为．
16．（3 分）如图，正方形 ABCO 和正方形 DEFO 的顶点 A、E、O 在同一直线 l 上，且 EF
＝2 ，AB＝6，给出下列结论：①∠COD＝45°，②AE＝8，③△COF 的面积 S△COF
＝6，④CF＝BD＝2 ，其中正确的是．
三．解答题（共 9 小题，满分 72 分）
17．（4 分）计算：．
18．（4 分）如图，平行四边形 ABCD 中，点 E、F 分别在 AB、DC 上，AE＝CF，求证：四边形 DEBF 是平行四边形．
19．（6 分）某港口 P 位于东西方向的海岸线上，“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行 16 海里，“海天”号每小时航行 12 海里，
它们离开港口一个半小时后相距 30 海里，如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道
“海天”号沿哪个方向航行吗？
20．（6 分）如图，O 为矩形 ABCD 对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD．
试判断四边形 OCED 的形状，并说明理由；
若 AB＝4，BC＝6，求四边形 OCED 的周长和面积．
21．（8 分）如图，在▱ABCD 中，AB＜AD．
（1）用尺规完成以下基本作图：在 AD 上截取 AE，使 AE＝AB；作∠BCD 的平分线交
AD 于点 F．（保留作图痕迹，不写作法）
（ 2 ） 在 （ 1 ） 所 作 的 图 形 中 ， 连 接 BE 交 CF 于 点 G ， 证 明 ： AF ＝
DE.
22．（10 分）城关幼儿园为加强安全管理，决定将园内的滑滑梯的倾斜角由 45°降为 30°，已知原滑滑梯的高 AC 长为 2 米，点 D，B，C 在同一水平地面上．求：
改善后滑滑梯加长多少米？
若滑滑梯的正前方有 3 米长的空地就能保证安全，原滑滑梯前有 4.5 米的空地，像这样的改造是否行？请说明理由．
23．（10 分）如图，矩形 ABCD 中，AB＝4，AD＝3，将矩形沿直线 AC 折叠，使点 B 落在点 E 处，AE 交 CD 于点 F，连接 DE．
求出 DF 的长；
在 AB 上找一点 P，连接 FP 使 FP⊥AC，连接 PC，试判定四边形 APCF 的形状， 并说明理由；
在（2）条件下，直接写出 PF 的长．
24．（12 分）如图，边长为 2 的正方形 ABCD 被两条与边平行的线段 EF、GH 分割为四个小矩形，EF 与 GH 交于点 P．
若 AG＝AE，则 AFAH；
若∠FAH＝45°，求：AG、BF、FH 之间数量关系；
若 Rt△GBF 的周长为 3，BG+BF＝2，求矩形 EPHD 的面积．
25．（12 分）已知菱形 ABCD 的边长为 2，∠ABC＝60°，对角线 AC、BD 相交于点 O．点 M 从点 B 向点 C 运动（到点 C 时停止），点 N 为 CD 上一点，且∠MAN＝60°，连接 AM 交 BD 于点 P．
写出菱形 ABCD 的面积；
如图 1，过点 D 作 DG⊥AN 于点 G，若 DG＝1.7，求点 C 到 AM 的距离？
如图 2，点 E 是 AN 上一点，且 AE＝AP，连接 BE、OE．试判断：在运动过程中； BE+OE 是否存在最小值？若存在，请求出：若不存在，请说明理由．
参考答案与试题解析
一．选择题（共 10 小题，满分 30 分，每小题 3 分）
【解答】解：A、 ，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
B、 是最简二次根式，故本选项符合题意；
C、，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
D、，不是最简二次根式，故本选项不符合题意． 故选：B．
【解答】解：由题意可知：x﹣2≥0，
∴x≥2， 故选：C．
3．【解答】解：A．∵32+42＝52，
∴以 4，5，3 为边能构成直角三角形，故本选项符合题意；
B．∵（ ）2+22≠（ ）2，
∴以 ，2， 为边不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；
C．∵22+22≠22，
∴以 2，2，2 为边不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；
D．∵12+22≠22，
∴以 1，2，2 为边不能构成直角三角形，故本选项不符合题意； 故选：A．
【解答】解：A、 ，故该选项计算正确，符合题意；
B、 ，故该选项计算错误，不符合题意；
C、 ，故该选项计算错误，不符合题意；
D、 ，故该选项计算错误，不符合题意， 故选：A．
【解答】解：∵E、F 分别是 AB、AC 的中点，
∴EF 是△ABC 的中位线，
∴BC＝2EF＝2×2＝4，
∵四边形 ABCD 是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝AD＝4，
∴菱形 ABCD 的周长＝4×4＝16． 故选：A．
【解答】解：由数轴可得，
0＜a＜1，
则 a﹣1＜0，a＞0，
∴原式＝|a|+|a﹣1|＝a﹣a+1＝1． 故选：A．
【解答】解：如图：菱形 ABCD 中，E、F、G、H 分别是 AB、BC、CD、AD 的中点，
∴EH∥FG∥BD，EH＝FG＝ BD；EF∥HG∥AC，EF＝HG＝ AC， 故四边形 EFGH 是平行四边形，
又∵AC⊥BD，
∴EH⊥EF，∠HEF＝90°
∴四边形 EFGH 是矩形． 故选：C．
【解答】解：由折叠可得：∠CBD＝∠EBD＝25°，则∠EBC＝∠CBD+∠EBD＝50°．
∵四边形 ABCD 是长方形，
∴∠ABC＝90°，
∴∠ABF＝90°﹣∠EBC＝40°． 故选：C．
【解答】解：延长 AM 交 BC 于 H 点，
∵四边形 ABCD 和四边形 BEFG 都是正方形，BG＝，BC＝3，
∴BF＝ BG＝2，AB＝AD＝CD＝BC＝3，
∵点 F，B，C 在同一直线上，
∴AD∥CF，
∴∠DAM＝∠FHM，∠ADM＝∠HFM，
∵M 是 DF 中点，
∴DM＝FM，
在△ADM 和△HFM 中，
，
∴△ADM≌△HFM（AAS），
∴AD＝FH＝3，AM＝HM＝ AH，
∴BH＝FH﹣BF＝1，
在 Rt△ABH 中，AH＝＝ ＝ ，
∴AM＝ AH＝ ， 故选：A．
【解答】解：连接 DB，作 DH⊥AB 于 H，如图，
∵四边形 ABCD 为菱形，
∴AD＝AB＝BC＝CD， 而∠A＝60°，
∴△ABD 和△BCD 都是等边三角形，
∴∠ADB＝∠DBC＝60°，AD＝BD， 在 Rt△ADH 中，AH＝1，AD＝2，
∴DH＝ ，
在△ADE 和△BDF 中
，
∴△ADE≌△BDF，
∴∠2＝∠1，DE＝DF
∴∠1+∠BDE＝∠2+∠BDE＝∠ADB＝60°，
∴△DEF 为等边三角形，
∴EF＝DE，
而当 E 点运动到 H 点时，DE 的值最小，其最小值为，
∴EF 的最小值为． 故选：D．
二．填空题（共 6 小题，满分 18 分，每小题 3 分）
11．【解答】解：＝|﹣6|＝6．故答案为：6．
【解答】解：依题意得，k﹣2≠0 且k2﹣4＝0，解 k﹣2≠0 得 k≠2，
解 k2﹣4＝0 得 k＝±2，
∴k＝﹣2．
故答案为：k＝﹣2．
【解答】解：∵直角三角形斜边的中线为 6，
∵直角三角形中，斜边的中线等于斜边的一半，
∴该直角三角形的斜边长为 6×2＝12，
∵直角三角形斜边上的高线为 4，
∴直角三角形面积为： ． 故答案为：24．
【解答】解：连接 BD，
在 Rt△BAD 中，AB＝3m，AD＝4m，
BD＝＝5（m），
在△BDC 中，根据勾股定理得 BD2+DC2＝BC2，
∴∠BDC＝90°
∴△BDC 的面积为×BD×CD＝30 平方米，
△ABD 的面积为×AB×AD＝6 平方米，
∴四边形面积＝36 平方米，
∴种植花草共需花费 36×50 元＝1800 元． 故答案为：1800．
【解答】解：∵四边形 ABCD 是矩形，AC、BD 是矩形的对角线且相交于 O，
∴OA＝OB，
∴∠BAC＝∠ABD，
∵∠DAE＝3∠BAE，∠DAE+∠BAE＝90°，
∴∠BAE＝22.5°，∠DAE＝67.5°．
∵在矩形 ABCD，∠DAE+∠ADB＝90°，∠ADB+∠ABD＝90°，
∴∠ABD＝∠DAE＝67.5°，即∠BAC＝∠ABD＝67.5°，
∴∠EAC＝∠BAC﹣∠BAE＝67.5°﹣22.5°＝45°， 故答案为：45°．
【解答】解：∵正方形 ABCO 和正方形 DEFO 的顶点 A，E，O 在同一直线 l 上，且 EF
＝2 ，AB＝6，
∴△OEF 是等腰直角三角形，∠DOE＝45°，∠COE＝∠AOC＝90°，OA＝AB＝6，
∴OE＝ EF＝4，∠COD＝∠COE﹣∠DOE＝45°，①正确，
∴AE＝OA+OE＝6+4＝10，②错误；
作 FG⊥CO 交 CO 延长线于 G，连接 DF 交 OE 于 M，作 DH⊥AB 于 H，如图所示：
则 OG＝FG＝OM＝OE＝2，AH＝DM＝DF＝OE＝2，DH＝AM＝OA+OM＝6+2＝8，
∴S△COF＝ ×6×2＝6，③正确；
∵CG＝OC+OG＝6+2＝8，
∴CF＝ ，
∵BH＝AB﹣AH＝4，
∴BD＝ ，
∴CF≠BD，④错误； 故答案为：①③．
三．解答题（共 9 小题，满分 72 分）
【解答】解：原式＝ ，
＝
×
＝
＝（2﹣ ）×
＝5 ．
【解答】证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∵AE＝CF，
∴AB﹣AE＝CD﹣CF， 即 BE＝DF，且 DF∥BE
∴四边形 DEBF 是平行四边形．
【解答】解：由题意可得：RP＝18 海里，PQ＝24 海里，QR＝30 海里，
∵182+242＝302，
∴△RPQ 是直角三角形，
∴∠RPQ＝90°，
∵“远航”号沿东北方向航行，
∴∠RPS＝45°，
∴“海天”号沿北偏西 45°方向航行；
【解答】解：（1）四边形 OCED 是菱形．证明：∵DE∥AC，CE∥BD，
∴四边形 OCED 是平行四边形， 在矩形 ABCD 中，OC＝OD，
∴四边形 OCED 是菱形．
（2）∵四边形 ABCD 是矩形，
∴AC＝ ＝ ＝2 ，
∴CO＝OD＝ ，
∴四边形 OCED 的周长＝4；
连接 OE．由菱形 OCED 得：CD⊥OE，
∴OE∥BC， 又∵CE∥BD
∴四边形 BCEO 是平行四边形，
∴OE＝BC＝6，
∴S 四边形OCED＝•CD＝ ×6×4＝12．
【解答】解：（1）如图所示，点 E、F 即为所求；
（2）∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AD∥BC，AB＝CD，
∴∠DFC＝∠BCF，
∵CF 平分∠BCD，
∴∠BCF＝∠DCF，
∴∠DFC＝∠DCF，
∴DF＝DC， 又∵AE＝AB，
∴AE＝DF，即 AF+EF＝DE+EF，
∴AF＝DE．
22．【解答】解：（1）∵AC⊥CD，∠D＝30°，AC＝2（米）．在直角三角形 ADC 中，AD＝2×AC＝2×2＝4（米）．
在直角三角形 ABC 中，（米），
∴（米）．
答：改善后滑滑梯加长 米．
（ 2 ） 在 直 角 三 角 形 ADC 中 ， ∠ D ＝ 30 ° ， AC ＝ 2 ． AD ＝ 2AC ＝
4（米）．
在直角三角形 ABC 中，∠ABC＝45°，AC＝2 米，
∴BC＝2（米），
∴（米）．
那 么 预 计 滑 板 改 善 后 前 面 留 的 空 地 的 长 度 应 该 是
． 因此，此方案是可行的．
【解答】解：（1）∵四边形 ABCD 是矩形，
∴AB＝CD＝4，AB∥CD，
∴∠ACD＝∠CAB，
∵△AEC 由△ABC 翻折得到，
∴∠CAE＝∠CAB，
∴∠ACD＝∠CAE，
∴AF＝CF，
设 DF＝x，则 AF＝CF＝4﹣x， 在 Rt△ADF 中，AD2+DF2＝AF2， 即 32+x2＝（4﹣x）2，
解得： ，
即 ．
四边形 APCF 为菱形， 设 AC、FP 相交于点 O，
∵FP⊥AC，
∴∠AOF＝∠AOP， 又∵∠CAE＝∠CAB，
∴∠APF＝∠AFP，
∴AF＝AP，
∴FC＝AP， 又∵AB∥CD，
∴四边形 APCF 是平行四边形， 又∵FP⊥AC，
∴四边形 APCF 为菱形；
在矩形 ABCD 中，AB＝4，AD＝3，
∴AC＝5，
∵ ，
∵
∴ ．
【解答】解：（1）连接 AH、AF．
∵ABCD 是正方形，
∴AD＝AB，∠D＝∠B＝90°．
∵ADHG 与 ABFE 都是矩形，
∴DH＝AG，AE＝BF， 又∵AG＝AE，
∴DH＝BF．
在 Rt△ADH 与 Rt△ABF 中，
∴Rt△ADH≌Rt△ABF（SAS），
∴AF＝AH．
证明：将△ADH 绕点 A 顺时针旋转 90°到△ABM 的位置．
在△AMF 与△AHF 中，
∵AM＝AH，AF＝AF，
∠MAF＝∠MAH﹣∠FAH＝90°﹣45°＝45°＝∠FAH，
∴△AMF≌△AHF．
∴MF＝HF．
∵MF＝MB+BF＝HD+BF＝AG+AE，
∴AG+AE＝FH，
∵AE＝BF，
∴AG+BF＝FH．
如图：
设 BF＝x，GB＝y，则 FC＝2﹣x，AG＝2﹣y，（0＜x＜2，0＜y＜2），在 Rt△GBF 中，GF2＝BF2+BG2＝x2+y2，
∵Rt△GBF 的周长为 3，
∴ ，
即，
即 x2+y2＝9﹣6（x+y）+（x+y）2， 整理得 6x+6y﹣2xy＝9，
∵BG+BF＝2，即 x+y＝2，
∴ ，
∴矩形 EPHD 的面积 S＝PH•EP＝FC•AG＝（2﹣x）（2﹣y）＝＝，
∴矩形 EPHD 的面积是．
【解答】解：（1）如图 1，
∵四边形 ABCD 是菱形，
∴AC⊥BD， ，
Rt△ABO 中， ，AB＝2，
∴， ，
∴AC＝2AO＝2， ，
∴ ，
故答案为： ．
如图 1，
∵四边形 ABCD 是菱形，∠ABC＝60°，
∴AB＝AC＝AD， ，
∵∠MAN＝60°，
∴∠MAN＝∠DAC，
∴∠MAN﹣∠CAN＝∠DAC﹣∠CAN，即∠CAF＝∠DAN， 又∵∠AFC＝∠AGD＝90°，
∴△AFC≌△AGD（AAS），
∴CF＝DG＝1.7
即点 C 到 AM 的距离为 1.7．
如图 2，取 CD 中点 H，连接 BH，EH，CE，
∵四边形 ABCD 是菱形，
∴AB＝BC， ，
又∵∠ABC＝60°，
∴∠BAC＝60°，
∴∠BAC＝∠MAN，
∴∠BAC﹣∠MAC＝∠MAN﹣∠MAC，
∴∠BAP＝∠CAN，
又∵AB＝AC，AP＝AE，
∴△BAP≌CAE（SAS），
∴∠ACE＝∠ABO＝30°，
∴∠HCE＝∠ACD﹣∠ACE＝60°﹣30°＝30°，
∴∠OCE＝∠HCE，
在 Rt△OCD 中， ，CH＝DH，
∴，
∴△OCE≌△HCE（SAS），
∴OE＝HE，
∴BE+OE＝BE+HE≥BH，
即 BE+OE 最小值为 BH 的长，
∴
，
，
∴
，
在 Rt△BIH 中，
，
Rt△IDH 中，∠IDH＝30°，，
∴BE+OE 最小值为．