2023年广东省广州市增城区香江中学中考数学一模试卷 (含答案)

这是一份2023年广东省广州市增城区香江中学中考数学一模试卷 (含答案)，共22页。

2022-2023学年增城区香江中学数学一模试卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）在﹣5，﹣9，﹣2，﹣12各数中，最大的数是（　　）
A．﹣12 B．﹣9 C．﹣2 D．﹣5
2．（3分）下面四个几何体中，从正面看是三角形的是（　　）
A． B．
C． D．
3．（3分）激昂奋进新时代，推进中国式现代化，2023年全国两会公布了2022年国内生产总值，近五年国内生产总值呈逐年上升趋势，分别为91，99，101，114，121（单位：万亿），这五个数据的中位数是（　　）
A．91 B．99 C．101 D．121
4．（3分）下列计算正确的是（　　）
A．（a﹣b）（﹣a﹣b）＝a2﹣b2 B．2a3+3a3＝5a6
C．6x3y2÷3x＝2x2y2 D．（﹣2x2）3＝﹣6x6
5．（3分）如图，在⊙O中，直径CD垂直于弦AB，若∠C＝24°，则∠BOD的度数是（　　）

A．48° B．30° C．60° D．24°
6．（3分）对于一次函数y＝﹣2x+4，下列说法错误的是（　　）
A．y随x的增大而减小
B．图象与y轴交点为（0，4）
C．图象经过第一、二、四象限
D．图象经过点（1，3）
7．（3分）如图，AB表示一条跳台滑雪赛道，在点A处测得起点B的仰角为35°，底端点C与顶端点B的距离为50米，则赛道AB的长度为（　　）米．

A．50sin35° B．50cos35° C． D．
8．（3分）关于x的一元二次方程x2+2x+m＝0没有实数根，则抛物线y＝x2+2x+m的顶点在（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
9．（3分）关于x的不等式x﹣b＞0恰有两个负整数解，则b的取值范围是（　　）
A．﹣3＜b＜﹣2 B．﹣3＜b≤﹣2 C．﹣3≤b≤﹣2 D．﹣3≤b＜﹣2
10．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于点（﹣2，0），（x，0），且1＜x1＜2，与y轴的正半轴的交点在（0，2）的下方，下列结论正确的是（　　）
①4a﹣2b+c＝0
②a＜b＜0
③2a+c＞0
④2a﹣b+1＞0．
A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）计算：2﹣＝　 　．
12．（3分）若分式值相等，则x的值为 　 　．
13．（3分）物理学中，在压力F不变的情况下，某物体承受的压强P与它的受力面积S成反比例函数关系，则表中压强P1与P2的大小关系为：P1　 　P2．（填“＞”，“＝”或“＜”）
S/m2
1
2
3
P/Pa
P1
300
P2
14．（3分）已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+3k＝0有两个相等的实数根，则k的值是　 　．
15．（3分）如图，△ABC中，DE∥BC，且AD：DB＝2：3，则S△ADE：S△梯形DBCE＝　 　．

16．（3分）如图，已知梯形ABCD，AD∥BC，AD＝DC＝4，BC＝8，点N在BC上，CN＝2，E是AB中点，在AC上找一点M使EM+MN的值最小，此时其最小值等于　 　．

三．解答题（共9小题，满分72分）
17．（4分）解方程组：．
18．（4分）如图，矩形ABCD中，AE平分∠BAC，CF平分∠ACD．求证：△ABE≌△CDF．

19．（6分）已知M＝．
（1）化简M；
（2）当x满足不等式组的解，且为整数解时，求M的值．
20．（6分）初三年级“黄金分割项目活动”展示，为了解全体初三年级同学的活动成绩，抽取了部分参加活动的同学的成绩进行统计后，分为“优秀”，“良好”，“一般”，“较差”四个等级，并根据成绩绘制成如图两幅不完整的统计图，请结合统计图中的信息，回答下列问题：

（1）扇形统计图中“优秀”所对应扇形的圆心角为 　 　度，并将条形统计图补充完整．
（2）如果学校初三年级共有340名学生，则参加“黄金分割项目活动”比赛成绩良好的学生有 　 　人．
（3）此次活动中有四名同学获得满分，分别是甲，乙，丙，丁，现从这四名同学中挑选两名同学参加校外举行的“黄金分割项目活动”展示，请用列表法或画树状图法，求出选中的两名同学恰好是甲、丁的概率．
21．（8分）“桃之夭夭，灼灼其华”，每年2﹣3月份，我区某湿地公园内的桃花陆续绽放，引来众多市民前往踏青观赏，纷纷拍照留念，记录生活美好时光．小王抓住这一商机，计划从市场购进A、B两种型号的手机自拍杆进行销售．据调查，购进1件A型号和1件B型号自拍杆共需45元，其中1件B型号自拍杆价格是1件A型号自拍杆价格的2倍．
（1）求1件A型号和1件B型号自拍杆的进价各是多少元？
（2）若小王计划购进A、B两种型号自拍杆共100件，并将这两款手机自拍杆分别以20元50元的价钱进行售卖．为了保证全部售卖完后的总利润不低于1100元，求最多购进A型号自拍杆多少件？
22．（10分）如图，一次函数y＝ax+图象与x轴，y轴分别相交于A、B两点，与反比例函数y＝）的图象相交于点E、F，已知点A（﹣3，0），点F（3，t）．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）结合该图象直接写出满足不等式的解集．

23．（10分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，直径AB＝10，BC＝8，AE平分∠CAB交BC于点E．
（1）尺规作图：在AE的延长线上取一点F，使得BF＝BE，连接BF；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）所作的图中：
①证明：BF是⊙O的切线；
②求的值．

24．（12分）如图1，在⊙O中，AB为直径，点C在圆上，tan∠A＝，AB＝，D是AB上一动点（与点A、B不重合），DE平分∠CDB交边BC于点E，EF⊥CD，垂足为点F．

（1）当点D与圆心O重合时，如图2所示，则DE＝　 　；
（2）若CD2＝CE•CB，试探究△BDE与DEF有何面积关系，并证明；
（3）当△CEF与△ABC相似时，求cos∠BDE的值．
25．（12分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣3（a＞0）与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P为直线BC下方抛物线上的一动点，PM⊥BC于点M，PN∥y轴交BC于点N．求线段PM的最大值和此时点P的坐标；
（3）点E为x轴上一动点，点Q为抛物线上一动点，是否存在以CQ为斜边的等腰直角三角形CEQ？若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由．


2022-2023学年增城区香江中学数学一模试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1． 解：|﹣12|＝12，|﹣9|＝9，|﹣2|＝2，|﹣5|＝5，
因为2＜5＜9＜12，
所以﹣2＞﹣5＞﹣9＞﹣12，
所以最大的数是﹣2．
故选：C．
2． 解：A．该圆柱的主视图为长方形，不符合题意；
B．该圆锥的主视图为三角形，符合题意；
C．球的主视图是圆，不符合题意；
D．正方体的主视图是正方形，不符合题意．
故选：B．
3． 解：将这组数据从小到大排列为91，99，101，114，121，
∴这组数据的中位数为101，
故选：C．
4． 解：（a﹣b）（﹣a﹣b）＝b2﹣a2，故选项A错误；
2a3+3a3＝5a3，故选项B错误；
6x3y2÷3x＝2x2y2，故选项C正确；
（﹣2x2）3＝﹣8x6，故选项D错误；
故选：C．
5． 解：如图，连接AO，
∵∠C＝24°，
∴∠AOD＝48°，
∵直径CD⊥弦AB，
∴＝，
∴∠AOD＝∠BOD＝48°，
故选：A．

6． 解：y＝﹣2x+4中，k＝﹣2＜0，b＝4＞0，
A．k＜0，y随x的增大而减小，故该选项正确，不符合题意；
B．当x＝0时，y＝4，则图象与y轴交点为（0，4），故该选项正确，不符合题意；
C．∵k＜0，b＞0，则图象经过第一、二、四象限，故该选项正确，不符合题意；
D．当x＝1时，y＝﹣2+4＝2，则图象经过点（1，2），故该选项不正确，符合题意；
故选：D．
7． 解：由题意可得，
∠A＝35°，BC＝50米，
∵∠C＝90°，
∴sinA＝，
∴AB＝＝（米），
故选：C．
8． 解：∵抛物线y＝x2+2x+m的对称轴是：x＝﹣＝﹣1，
∴y＝x2+2x+m的顶点在y轴的左侧，
又∵关于x的一元二次方程x2+2x+m＝0没有实数根，
∴开口向上的抛物线y＝x2+2x+m与x轴没有交点，
∴抛物线y＝x2+2x+m的顶点一定在第二象限．
故选：B．
9． 解：不等式x﹣b＞0，
解得：x＞b，
∵不等式的负整数解只有两个负整数解，
∴﹣3≤b＜﹣2
故选：D．
10． 解：①∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点（﹣2，0），
∴0＝4a﹣2b+c，①正确；
②∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于点（﹣2，0），（x，0），且1＜x1＜2，
∴抛物线的对称轴﹣＜x＝﹣＜0．
∵抛物线图象与x轴的两交点分别在原点两侧，与y轴的交点在y轴正半轴，
∴抛物线开口向下，即a＜0，
∵﹣＜﹣＜0，
∴a＜b＜0，即②正确；
③令ax2+bx+c＝0，
则方程的两个解为：1＜x1＜2，x2＝﹣2，
∴＝x1•x2，即﹣4＜＜﹣2，
又∵a＜0，
∴﹣2a＜c＜﹣4a，
∴2a+c＞0，即③正确；
④∵抛物线图象与y轴的正半轴的交点在（0，2）的下方
∴c＜2，
∵当x＝﹣2时，y＝0，即：4a﹣2b+c＝0，
∴4a﹣2b+2＞0，
∴2a﹣b+1＞0，即D正确．
故选：D．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11． 解：原式＝（2﹣1）＝．
故答案是：．
12． 解：由题知：，
去分母得：x﹣4＝4x+2，
解得：x＝﹣2．
检验：当x＝﹣2时，（2x+1）（x﹣4）≠0，
∴x＝﹣2是原分式方程的解．
故答案为：﹣2．
13． 解：∵压强P与它的受力面积S成反比例函数关系，设，
依题意F＝2×300＝600，
∴反比例函数解析式为：，600＞0，
∴P随S的增大而减小，
∵1＜3，
∴P1＞P2，
故答案为：＞．
14． 解：∵关于x的一元二次方程x2﹣2x+3k＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝0，即Δ＝（﹣2）2﹣12k＝0，解得k＝1．
故答案为：1．
15． 解：∵DE∥BC，且AD：DB＝2：3，
∴△ADE∽△ABC，，
∴，
故答案为4：21．

16． 解：∵AD＝DC，AD∥BC，
∴∠DCA＝∠DAC＝∠ACB，
∴AC平分∠BCD，
作N点关于AC的对称点N′，CN′＝2，如图，
则N′为CD中点，所以EN′∥AD，
连EN′交AC于M点，
∴EM+NM＝EN′，
∴EN′＝（AD+BC）＝（4+8）＝6．
故答案为6．

三．解答题（共9小题，满分72分）
17． 解：，
①+②得：5x＝8，
解得x＝1.6，
把x＝1.6代入①得：4.8﹣y＝3，
解得y＝1.8，
∴方程组的解为．
18． 证明：矩形ABCD中，AB＝CD，AB∥CD，∠B＝∠D＝90°，
∴∠BAC＝∠DCA，
∵AE平分∠BAC，
∴∠EAC＝∠BAC，
∵CF平分∠ACD，
∴∠ACF＝∠ACD，
∴∠BAE＝∠DCF，
在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（ASA）．
19． 解：（1）M＝
＝﹣+
＝﹣+
＝
＝；
（2），
解不等式①得：x≥1，
解不等式②得：x＜3，
∴原不等式组的解集：1≤x＜3，
∵x取整数，x＝1或2，
∵（x+1）（x﹣1）≠0，
∴x≠±1，
∴当x＝2时，M＝＝2，
∴M的值为2．
20． 解：（1）抽取的学生人数为：18÷15%＝120（人），
∴扇形统计图中“优秀”所对应扇形的圆心角为：360°×＝72°，
∴“良好”等级的人数为120×40%＝48（人），
故答案为：72，
把条形统计图补充完整如下：

（2）340×40%＝136（人），
∴参加“黄金分割项目活动”比赛成绩良好的学生有136人；
故答案为：136；
（3）画树状图如下：

共有12种等可能的结果，其中选中的两名同学恰好是甲、丁的结果有2种，
∴选中的两名同学恰好是甲、丁的概率＝＝．
21． 解：（1）设A型号自拍杆的进价是x元，B型号自拍杆的进价是2x元，
根据题意得，x+2x＝45，
解得x＝15，
答：A型号自拍杆的进价是15元，B型号自拍杆的进价是30元；
（2）设购进A型号自拍杆m件，则购进B型号自拍杆（100﹣m）件，
根据题意得，（20﹣15）m+（50﹣30）（100﹣m）≥1100，
解得m≤60，
答：最多购进A型号自拍杆60件．
22． （1）解：将A（﹣3，0）代入一次函数，可得，解得，即，
将F（3，t）代入可得：，即F（3，3），k＝3×3＝9，即；
（2）联立一次函数和反比例函数可得：，
即x2+3x﹣18＝0，
解得x1＝﹣6，x2＝3，即，
根据函数图象可得：不等式的解集为﹣6＜x＜0或x＞3．
23． （1）如图1，以B为圆心，以BE的长为半径画弧，交AE的延长线于点F，
则点F即为所求．
（2）①证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠C＝90°，
∴∠CAE+∠AEC＝90°，
∵BF＝BE，
∴∠BEF＝∠BFE，
∵∠AEC＝∠BEF，
∴∠AEC＝∠BFE，
∴∠CAE+∠BFE＝90°，
∵AE平分∠CAB，
∴∠CAE＝∠BAF，
∴∠BAF+∠BFE＝90°，
∴∠ABF＝90°，
又∵OB是半径，
∴BF是⊙O的切线．
②解：如图2，过点E作EG⊥AB，垂足为G，
∵∠C＝90°，AE平分∠CAB，
∴EG＝CE，
∴BE＝BC﹣CE＝BC﹣EG＝8﹣EG，
∵∠C＝90°，
∴AC＝＝＝6．
∵∠EGB＝∠C＝90°，∠EBG＝∠ABC，
∴△BEG∽△BAC，
∴，
∴，
解得EG＝3，
∴BE＝BC﹣EG＝8﹣3＝5，
∴BF＝BE＝5，
∵∠AEG＝∠ABF＝90°，
∴△AEG∽△AFB，
∴，
∴．


24． 解：（1）∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵tan∠A＝，
∴，
设BC＝8x，AC＝15x，
∴AB＝＝17x，
∴17x＝，
∴x＝，
∴CB＝4，
∵DC＝DB，DE平分∠CDB，
∴DE⊥BC，CE＝BE，
∴BE＝CE＝BC＝2，
∵DE⊥BC，AC⊥BC，
∴DE∥AC，
∴∠A＝∠BDE，
∴tan∠BDE＝，
∴，
∴DE＝．
故答案为：；
（2）S△BDE＝2S△DEF．
证明：∵CD2＝CE•CB，
∴，
又∵∠DCB＝∠ECD，
∴△DCE∽△BCD，
∴∠CDE＝∠CBD，
∵DE平分∠CDB，
∴∠CDE＝∠BDE，
∴∠EDB＝∠CBD，
∴DE＝BE，
过点E作EG⊥DB于G，

∴DG＝BG，
∵DE平分∠CDB，EF⊥CD，
∴EF＝EG，
∵DE＝DE，
∴Rt△DEF≌Rt△DEG（HL），
∴DF＝DG，
∴BD＝2DG＝2DF，
∵S△DEF＝DF•EF，S△BDE＝BD•EG，
∴S△BDE＝2S△DEF．
（3）∵EF⊥CD，
∴∠CFE＝90°＝∠ACB，
∵△CEF与△ABC相似，
∴△CEF∽△ABC或△CEF∽△BAC，
①当△CEF∽△ABC时，
则∠ECF＝∠BAC，
∵∠ACB＝90°，
∴∠BAC+∠ABC＝90°，
∴∠ECF+∠ABC＝90°，
∴∠CDB＝90°，
∵DE平分∠CDB，
∴∠BDE＝∠CDB＝×90°＝45°，
∴cos∠BDE＝cos45°＝；
②当△CEF∽△BAC时，
则∠ECF＝∠ABC，
∴DC＝DB，
∵DE平分∠CDB，
∴DE⊥BC，
∵∠ACB＝90°，
∴AC⊥BC，
∴DE∥BC，
∴∠BDE＝∠A，
∵tanA＝，
∴cosA＝，
∴cos∠BDE＝．
综上所述，cos∠BDE的值为或．
25． 解：（1）将A（﹣1，0），B（3，0）代入函数y＝ax2+bx﹣3（a＞0）中，
得，
解得，
∴解析式为y＝x2﹣2x﹣3，
故抛物线解析式为y＝x2﹣2x﹣3；
（2）当x＝0时，y＝3，
∴C（0，﹣3），
∵B（3，0），
∴∠OCB＝∠OBC＝45°，
∵PN∥y轴，
∴∠MNP＝45°，
∵PM⊥BC，
∴PM＝PN，则当PN最大时，PM也最大，
设BC的解析式为y＝mx+n，
∴，
解得，
∴BC解析式为y＝x﹣3，
设P（x，x2﹣2x﹣3），N（x，x﹣3），
∴PN＝x﹣3﹣（x2﹣2x﹣3）＝﹣（x﹣）2+，
当x＝时，PN最大，则PM＝PN＝×＝，
∴P（，），
故PM最大值为，P点坐标为（，﹣）；
（3）存在，点E的坐标为（﹣5，0），（，0），（0，0），（，0）．
∵CEQ是以CQ为斜边的等腰直角三角形，
∴设Q（x，x2﹣2x﹣3），
①如图，过点E作x轴的垂线l，再分别过点C和点Q作垂线l的垂线，分别交于点M和点N，

∵∠CEQ＝90°，
∴∠QEM+∠CEN＝90°，
∵∠QEM+∠MQE＝90°，
∴∠EQM＝∠CEN，
∵∠CNE＝∠QME＝90°，EC＝EQ，
∴△EMQ≌△CNE（AAS），
∴CN＝EM＝x2﹣2x﹣3，MQ＝EN＝3，
∴|xQ|+MQ＝CN，﹣x+3＝x2﹣2x﹣3，
解得x＝﹣2，x＝3（舍去），
∴OE＝CM＝2+3＝5，E（﹣5，0），
②如图，过点E作x轴的垂线l，再分别过点C和点Q作垂线l的垂线，分别交于点M和点N，

同理：△EMC≌△QNE（AAS），
CM＝EN＝x2﹣2x﹣3，NQ＝EM＝3，
∴﹣x+x2﹣2x﹣3＝3，
解得x＝，x＝（舍去），
∴OE＝CM＝，E（，0），
③如图，点E和点O重合，点Q和点B重合，此时E（0，0），

④如图，过点E作x轴的垂线l，再分别过点C和点Q作垂线l的垂线，分别交于点M和点N，

同理：△EMC≌△QNE（AAS），
CM＝EN＝x2﹣2x﹣3，NQ＝EM＝3，
∴x+3＝x2﹣2x﹣3，
解得x＝，x＝（舍去），
∴OE＝CM＝，E（，0），
综上所述，点E的坐标为（﹣5，0），（，0），（0，0），（，0）．