2024-2025学年海南省海口市海南中学高二（上）期中数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年海南省海口市海南中学高二（上）期中数学试卷（含答案），共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知直线l的一个方向向量为p=(sinπ6,csπ6)，则直线l的倾斜角为( )
A. π6B. π3C. 2π3D. 4π3
2.M，N分别为直线3x−4y−12=0与6x−8y+5=0上任意一点，则|MN|最小值为( )
A. 2910B. 295C. 175D. 1710
3.已知A(−1,0)、B(3,6)，则以AB为直径的圆的一般方程为( )
A. x2+y2−2x−6y+3=0B. x2+y2−2x−6y−3=0
C. x2+y2+2x−6y+3=0D. x2+y2+2x−6y−3=0
4.圆C1：(x−2)2+(y−4)2=9与圆C2：x2+y2−10x+9=0的公切条数为( )
A. 2条B. 1条C. 3条D. 4条
5.已知双曲线x2−y2=2的左，右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线的右半支上，点Q(0,2)，则|PQ|+|PF1|的最小值为( )
A. 2 2B. 4C. 6D. 4 2
6.若直线l：y=kx+3−k与曲线C：y= 1−x2恰有两个交点，则实数k的取值范围是( )
A. (43,+∞)B. (43,32]C. (0,43)D. (43,32)
7.若圆C1：(x+1)2+(y−2)2=r2(r>0)上恰有2个点到直线l：4x−3y−10=0的距离为1，则实数r的取值范围为( )
A. (3,5)B. (4,6)C. [225,325]D. [225,6]
8.油纸伞是中国传统工艺品，至今已有1000多年的历史，为宣传和推广这一传统工艺，北京市文化宫于春分时节开展油纸伞文化艺术节.活动中将油纸伞撑开后摆放在户外展览场地上，如图所示，该伞的伞沿是一个半径为 2的圆，圆心到伞柄底端距离为 2，阳光照射油纸伞在地面形成了一个椭圆形影子(春分时，北京的阳光与地面夹角为60°)，若伞柄底端正好位于该椭圆的焦点位置，则该椭圆的离心率为( )
A. 2− 3B. 2−1C. 3−1D. 22
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知抛物线C1：y2=mx与双曲线C2：x2−y23=1有相同的焦点，点P(2,y0)在抛物线C1上，则下列结论正确的有( )
A. 双曲线C2的离心率为2B. 双曲线C2的渐近线为y=± 33x
C. m=8D. 点P到抛物线C1的焦点的距离为4
10.已知直线l：kx−y+k=0，圆C：x2+y2−6x+5=0，P(x0,y0)为圆C上任意一点，则下列说法正确的是( )
A. x02+y02的最大值为5B. y0x0的最大值为2 55
C. 直线l与圆C相切时，k=± 33D. 圆心C到直线l的距离最大为4
11.已知椭圆C：x24+y2b2=1(2>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，上顶点为B，动点P在椭圆C上，则下列描述正确的有( )
A. 若△PF1F2的周长为6，则b= 3
B. 若当∠F1PF2=π3时，△PF1F2的内切圆半径为 33，则b= 3
C. 若存在P点，使得PF1⊥PF2，则b∈[ 2,2)
D. 若|PB|的最大值为2b，则b∈[ 2,2)
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.动点P到两定点A(−4,0)、B(4,0)距离之和为10，则点P的轨迹方程为______．
13.设F为抛物线C：y2=8x的焦点，过F且倾斜角为60°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为______．
14.法国数学家加斯帕尔⋅蒙日发现：过圆E：x2+y2=a2−b2(a>b>0)上任意一点作双曲线C：x2a2−y2b2=1的两条切线，这两条切线互相垂直，我们通常把这个圆E称作双曲线C的蒙日圆.过双曲线W：x23−y2=1的蒙日圆上一点P作W的两条切线，与该蒙日圆分别交于A，B两点，若∠PAB=30°，则△PAB的周长为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
光线自点P(−3,4)射到点(2,0)后被x轴反射．
(1)求反射光线所在的直线的方程；
(2)求过点(4,2)且与入射光线垂直的直线方程.(请用直线的一般方程表达解题结果)
16.(本小题15分)
市体育馆的屋盖网壳由两个大小不同的双层椭球壳相贯而成，其屋盖网壳长轴总尺寸约97米，短轴总尺寸约77米，短轴长与长轴长的平方比接近黄金比0.618.我们把短轴长与长轴长的平方比为 5−12的椭圆称为黄金椭圆.现有一黄金椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)其中A，F分别为其左顶点和右焦点，B为上顶点．
(1)求黄金椭圆C的离心率；
(2)某同学在研究黄金椭圆的性质时猜测△ABF可能为直角三角形，试判断该同学的猜测是否正确，并说明理由．
17.(本小题15分)
已知圆C1：x2+y2+6x−10y+25=0与圆C2：x2+y2−8y+7=0交于A，B两点，圆C经过A，B两点，且圆心在直线4x−3y−3=0上．
(1)求|AB|；
(2)求圆C的方程．
18.(本小题17分)
已知双曲线C：x24−y2=1，M(m,2)，斜率为k的直线l过点M．
(1)若m=0，且直线l与双曲线C只有一个公共点，求k的值；
(2)双曲线C上有一点P，∠F1PF2的夹角为120°，求三角形PF1F2的面积．
19.(本小题17分)
直线族是指具有某种共同性质的直线的全体，例如x=ty+1表示过点(1,0)的直线，直线的包络曲线定义为：直线族中的每一条直线都是该曲线上某点处的切线，且该曲线上的每一点处的切线都是该直线族中的某条直线．
(1)若圆C1：x2+y2=1是直线族mx+ny=1(m,n∈R)的包络曲线，求m，n满足的关系式；
(2)若点P(x0,y0)不在直线族Ω：(2a−4)x+4y+(a−2)2=0(a∈R)的任意一条直线上，求y0的取值范围和直线族Ω的包络曲线E；
(3)在(2)的条件下，过曲线E上A，B两点作曲线E的切线l1，l2，其交点为P.已知点C(0,1)，若A，B，C三点不共线，探究∠PCA=∠PCB是否成立？请说明理由．
参考答案
1.B
2.A
3.B
4.A
5.D
6.B
7.A
8.A
9.ACD
10.BCD
11.ABD
12.x225+y29=1
13.16 33
14.3 2+ 6
15.解：(1)设入射点为Q，由P(−3,4)、Q(2,0)，可得kPQ=0−42+3=−45，
所以反射光线所在的直线的斜率k=−kPQ=45，
可得反射光线所在的直线为y=45(x−2)，即4x−5y−8=0．
(2)与入射光线垂直的直线，其斜率k1=−1kPQ=54，
结合点(4,2)在垂线上，
可知所求垂线的方程为y−2=54(x−4)，即5x−4y−12=0．
16.解：(1)由题意，设椭圆C的焦距为2c，则b2a2= 5−12，
又b2=a2−c2，得a2−c2a2= 5−12，即1−e2= 5−12，e2=3− 52=( 5−12)2，所以e= 5−12．
(2)正确．理由如下；
设椭圆中心为O，由kAB⋅kBF=ba⋅−bc=−b2ac=−b2a a2−b2=−1 a4−a2b2b4=−1 (a2b2)2−a2b2=−1 (2 5−1)2−2 5−1=−1
所以kAB⋅kBF=−1，即∠ABF=π2，
所以△ABF是直角三角形．
17.解：(1)因为圆C1：x2+y2+6x−10y+25=0与C2：x2+y2−8y+7=0交于A，B两点，
所以两圆方程作差得直线AB的方程为3x−y+9=0，
又圆C2：x2+(y−4)2=9，
所以点C2到直线AB的距离d=|−4+9| 9+1= 102，
所以|AB|=2 9−( 102)2= 26；
(2)C1：(x+3)2+(y−5)2=9，圆C2：x2+(y−4)2=9，
则C1(−3,5)，C2(0,4)，
则kC1C2=−13，
则直线C1C2的方程为y=−13x+4，
即x+3y−12=0，
由x+3y−12=04x−3y−3=0，
解得x=3，y=3，
所以C(3,3)，
所以点C到直线AB的距离d1=|3×3−3+9| 9+1=3 102，
设圆C的半径为r，
所以r= d12+(|AB|2)2= 29，
所以圆C的方程为(x−3)2+(y−3)2=29．
18.解：(1)当m=0时，M(0,2)，
则直线l的方程为y=kx+2，
当k≠±12时，联立方程组x24−y2=1y=kx+2，
得(1−4k2)x2−16kx−20=0，
由直线和双曲线相切的条件，可得Δ=(−16k)2−4⋅(1−4k2)⋅(−20)=0，
解得k=± 52；
双曲线C：x24−y2=1的渐近线为y=±12x，
所以当k=±12时，直线与渐近线平行，此时直线与双曲线只有一个公共点．
综上所述，当直线与双曲线只有一个公共点时k=±12或k=± 52；
(2)由双曲线C：x24−y2=1，
则F1(− 5,0)，F2( 5,0)，|F1F2|=2 5，
又点P在双曲线上，即|PF1|−|PF2|=4，即(|PF1|−|PF2|)2=|PF1|2+|PF2|2−2|PF1|⋅|PF2|=16，
在△PF1F2中，由余弦定理cs∠F1PF2=|PF1|2+|PF2|2−|F1F2|22|PF1|⋅|PF2|，
即−12=16+2|PF1|⋅|PF2|−202|PF1|⋅|PF2|，
解得|PF1|⋅|PF2|=43，
所以△PF1F2的面积S△PF1F2=12|PF1|⋅|PF2|⋅sin∠F1PF2=12⋅43⋅ 32= 33．
19.解：(1)由定义可知，mx+ny=1与x2+y2=1相切，
则圆的圆心C1(0,0)到直线mx+ny=1的距离等于1，
则d=1 m2+n2=1，即m2+n2=1；
(2)点P(x0,y0)不在直线族Ω：(2a−4)x+4y+(a−2)2=0(a∈R)的任意一条直线上，
所以无论a取何值时，(2a−4)x0+4y0+(a−2)2=0无解，
将(2a−4)x0+4y0+(a−2)2=0整理成关于a的一元二次方程：a2+(2x0−4)a+(4+4y0−4x0)=0，
若该方程无解，则Δ=(2x0−4)2−4(4+4y0−4x0)x024，
猜测直线族Ω的包络曲线E为y=x24，理由如下：
在y=x24上任取一点Q(x1,x124),y=x24在该点处的切线斜率为k=x12，
于是可以得到y=x24在Q(x1,x124)点处的切线方程为y=x12x−x124，即−2x1x+4y+x12=0，
令直线族Ω：(2a−4)x+4y+(a−2)2=0中2a−4=−2x1，则直线为−2x1x+4y+x12=0，
所以该曲线上的每一点处的切线都是该直线族中的某条直线，
而对任意a∈R，(2a−4)x+4y+(a−2)2=0都是抛物线在点(2−a,(2−a)24)处的切线，
所以直线族Ω的包络曲线E为y=x24；
(3)如图，过A，B分别作准线的垂线AA′，BB′，连接A′P，B′P，

因为kPA=y′|x=xA=12xA，又A′(xA,−1)，C(0,1)，
所以kCA′=−2xA，显然kPA⋅kCA′=−1，
所以AP⊥A′C，又由抛物线定义得AA′=AC，
故PA为线段A′C的中垂线，得到PA′=PC，
即∠PA′A=∠PCA，同理可知∠PB′B=∠PCB,PB′=PC，
所以PA′=PC=PB′，即∠PA′B′=∠PB′A′，
则∠PA′A=∠PA′B′+90°=∠PB′A′+90°=∠PB′B，
所以∠PCA=∠PCB成立．