中考数学二轮复习题型归纳与变式演练专题13 二次函数与几何综合（2份，原卷版+解析版）

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热点题型归纳 \l "_Tc206" PAGEREF _Tc206 \h 1
\l "_Tc6883" 题型01 二次函数与相似三角形综合 PAGEREF _Tc6883 \h 1
\l "_Tc1222" 题型02 特殊几何图形存在性问题 PAGEREF _Tc1222 \h 5
\l "_Tc17368" 题型03 最值问题 PAGEREF _Tc17368 \h 55
中考练场 \l "_Tc24449" PAGEREF _Tc24449 \h 64
题型01 二次函数与相似综合
【解题策略】
【典例分析】
例.（2023·湖北随州·中考真题）如图1，平面直角坐标系中，抛物线过点，和，连接，点为抛物线上一动点，过点作轴交直线于点，交轴于点．

(1)直接写出抛物线和直线的解析式；
(2)如图2，连接，当为等腰三角形时，求的值；
(3)当点在运动过程中，在轴上是否存在点，使得以，，为顶点的三角形与以，，为顶点的三角形相似（其中点与点相对应），若存在，直接写出点和点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)抛物线：；直线：
(2)或或
(3)，或，或，
【分析】（1）由题得抛物线的解析式为，将点代入求，进而得抛物线的解析式；设直线的解析式为，将点，的坐标代入求，，进而得直线的解析式．
（2）由题得，分别求出，，，对等腰中相等的边进行分类讨论，进而列方程求解；
（3）对点在点左侧或右侧进行分类讨论，设法表示出各线段的长度，利用相似三角形的相似比求解，进而可得，的坐标．
【详解】（1）解：抛物线过点，，
抛物线的表达式为，
将点代入上式，得，
．
抛物线的表达式为，即．
设直线的表达式为，
将点，代入上式，得，解得．
直线的表达式为．
（2）解：点在直线上，且，
点的坐标为．
，，．
当为等腰三角形时，
①若，则，
即，
解得．
②若，则，
即，
解得或（舍去）．
③若，则，
即，
解得（舍去）或．
综上，或或．
（3）解：点与点相对应，
或．
①若点在点左侧，
则，，．
当，即时，
直线的表达式为，
，解得或（舍去）．
，即．
，即，
解得．
，．
当，即时，
，，
，即，
解得（舍去）或（舍去）．
②若点在点右侧，
则，．
当，即时，
直线的表达式为，
，解得或（舍去），
，
，即，解得．
，．
当，即时，
，．
，即，解得或（舍去）．
，．
综上，，或，或，．
【点睛】本题是二次函数的综合应用，考查了待定系数法求函数解析式，等腰三角形的性质与判定，平面直角坐标系中两点距离的算法，相似三角形的性质与判定等，熟练掌握相关知识是解题的关键．
【变式演练】
1．（2023·广西梧州·一模）如图，抛物线与轴相交于点、点，与轴交于点．
(1)求这条抛物线的解析式；
(2)如图1，若点为抛物线在第三象限图象上的点，且，求点的坐标；
(3)如图2，点是抛物线上一动点，连接交线段于点当与相似时，求点D的坐标．
【答案】(1)
(2)；
(3)或．
【分析】
（1）利用待定系数法确定函数解析式；
（2）如图，过点作于点，利用锐角三角函数的定义求得答案；
（3）如图2，过点作轴于点，构造直角，设，则．并由题意知点位于第四象限．由于是公共角，所以当与相似时，有二种情况：
①．则．由锐角三角函数定义列出比例式，从而求得点的坐标．
②．则．由锐角三角函数定义列出比例式，从而求得点的坐标．
【详解】（1）
设抛物线解析式为：，将点，，分别代入得：
，解得，
故抛物线解析式为：；
（2）
如图1，过点作于点，
，
，
点，点，
，
设，
，解得或3（舍去），
点的坐标为，；
（3）
如图2，过点作轴于点，
设，则．并由题意知点位于第四象限．
，．
是公共角，
当与相似时，有二种情况：
①时，，
．
，解得，（舍去），
，；
②时，，
过点作于点．
，，
，．
，．
．
在直角中，，．
．
．
，，
．
，解得，（舍去）
，．
综上所述，当与相似时，点的坐标是，或，．
【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了用待定系数法求函数解析式、锐角三角函数、相似三角形的判定与性质、利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度是解题的关键．
2．（2023·山东泰安·二模）抛物线过，，三点．
(1)求抛物线的表达式；
(2)如图①，抛物线上一点在线段的上方，交于点，，求点的坐标；
(3)如图②，为抛物线顶点，过作直线，点在轴上运动，是否存在这样的点、，使得以、、为顶点的三角形与相似，若存在，请直接写出点的坐标．若不存在，请说明理由．
【答案】(1)抛物线的表达式为
(2)
(3)存在，点的坐标为或或或
【分析】（1）利用待定系数法解答即可；
（2）过点作，交轴于点，交过点且平行于轴的直线于点，设，利用待定系数法求得直线的解析式，用含的代数式表示出，，再利用已知条件得到关于的方程，解方程即可得出结论；
（3）利用点的坐标和等腰直角三角形的判定定理得到：为等腰直角三角形，则为等腰直角三角形，利用分类讨论的方法分5种情形讨论解答：利用等腰直角三角形的性质和全等三角形的判定与性质求得线段的长度，则结论可求．
【详解】（1）解： 抛物线过，，三点，
，
解得：，
抛物线的表达式为；
（2），，
轴，
过点作，交轴于点，交过点且平行于轴的直线于点，如图，
设，
设直线的解析式为，
．
，
直线的解析式为，
，
．
，，
，，
，
，
，
（不合题意，舍去）或．
．
；
（3）存在这样的点、，使得以、、为顶点的三角形与相似，点的坐标为或或或．理由：
，
，
过点作于点，则，，，
，
为等腰直角三角形．
以、、为顶点的三角形与相似，
为等腰直角三角形．
①当，时，如图，
设直线交轴于点，
，，
．
在和中，
，
，
，
；
②当，时，如图，
过点作，交的延长线于点，过点作，交的延长线于点，
则四边形为矩形，四边形为矩形，四边形为矩形，
，，．
，，
．
在和中，
，
，
，．
，
，
，
；
③当，时，如图，
，，
．
在和中，
，
，
，
；
④当，时，如图，
过点作于点，
，，
．
在和中，
，
，
，，
，
，，
，；
⑤当，时，如图，
过点作，交的延长线于点，显然，，，
此种情形不存在．
综上，存在这样的点、，使得以、、为顶点的三角形与相似，点的坐标为或或或．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质，待定系数法，抛物线上点的坐标的特征，一次函数的图象与性质，一次函数图象上点的坐标的特征，等腰直角三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键．
3．（2023·广东汕尾·二模）如图，抛物线与x轴交于A、B两点（B在A的左边），与y轴交于点，顶点为．
(1)求该抛物线所对应的函数关系式；
(2)如图，若点P是第二象限内抛物线上的一动点，过点P作轴于点M，交于点E，连接，是否存在点P，使得与相似？若存在，请求出满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)(2)存在，P点坐标为
【分析】本题考查二次函数的综合应用，相似三角形的判定和性质．
（1）设出顶点式，待定系数法求解析式即可；
（2）求出的坐标，进而求出的解析式，设，则，易得是等腰直角三角形，根据相似，得到也是等腰直角三角形，分和，两种情况，进行讨论求解即可．
利用数形结合和分类讨论的思想，进行求解，是解题的关键．
【详解】（1）解：设，
将点代入，得，
∴，
∴；
（2）存在点P，使得与相似，理由如下：
令，则，
∴或，
∴，
设的解析式为，∴，∴，∴，
设，则，
∵，∴，∴，
∵轴，∴，
∵，∴是等腰直角三角形，
∵与相似，
∴也是等腰直角三角形，
①当时，，∴，∴或，
∵，∴；
②当时，，
∴，∴或，
∵，∴此种情况不存在；
综上所述：P点坐标为．
题型02 特殊几何图形存在性问题
【解题策略】
【典例分析】
例1．（2023·山东淄博·中考真题）如图，一条抛物线经过的三个顶点，其中为坐标原点，点，点在第一象限内，对称轴是直线，且的面积为18

(1)求该抛物线对应的函数表达式；
(2)求点的坐标；
(3)设为线段的中点，为直线上的一个动点，连接，，将沿翻折，点的对应点为．问是否存在点，使得以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在，点的坐标为或或或
【分析】（1）根据对称轴为直线，将点代入，进而待定系数法求解析式即可求解；
（2）设，过点作轴交于点，过点作交于点，继而表示出的面积，根据的面积为，解方程，即可求解．
（3）先得出直线的解析式为，设，当为平行四边形的对角线时，可得，当为平行四边形的对角线时，，进而建立方程，得出点的坐标，即可求解．
【详解】（1）解：∵对称轴为直线，
∴①，
将点代入得，
∴②，
联立①②得，，
∴解析式为；
（2）设，如图所示，过点作轴交于点，过点作交于点，

∴，，
则，
∴
解得：或（舍去），
（3）存在点，使得以，，，为顶点的四边形是平行四边形，理由如下：
∵，
∴，
设直线的解析式为，
∴，解得：，
∴直线的解析式为，
设，
如图所示，当BP为平行四边形的对角线时，，

，
∵，
∴，
由对称性可知，，
∴，
∴
解得：
∴点的坐标为或
如图3，当为平行四边形的对角线时，，，

由对称性可知，，∴，
∴，解得：或，
∴点的坐标为或
综上所述，点的坐标为或或或．
【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，平行四边形的性质，轴对称的性质是解题的关键．
例2．（2023·西藏·中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C．

(1)求抛物线的解析式；
(2)如图甲，在y轴上找一点D，使为等腰三角形，请直接写出点D的坐标；
(3)如图乙，点P为抛物线对称轴上一点，是否存在P、Q两点使以点A，C，P，Q为顶点的四边形是菱形？若存在，求出P、Q两点的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)；
(2)或或或；
(3)存在，，或，或，或或
【分析】（1）将，代入，求出,即可得出答案；
（2）分别以点为顶点、以点为顶点、当以点为顶点，计算即可；
（3）抛物线的对称轴为直线，设，，求出，，，分三种情况：以为对角线或以为对角线或以为对角线．
【详解】（1）解：（1）∵，两点在抛物线上，
∴
解得，，
∴抛物线的解析式为：；
（2）令，
∴，
由为等腰三角形，如图甲，

当以点为顶点时，，点与原点重合，
∴；
当以点为顶点时，，是等腰中线，
∴，
∴；
当以点为顶点时，
∴点D的纵坐标为或，
∴综上所述，点D的坐标为或或或．
（3）存在，理由如下：
抛物线的对称轴为：直线，
设，，
∵，
则，
，
，
∵以为顶点的四边形是菱形，
∴分三种情况：以为对角线或以为对角线或以为对角线，
当以为对角线时，则，如图1，

∴，
解得：，
∴或
∵四边形是菱形，
∴与互相垂直平分，即与的中点重合，
当时，
∴，
解得：，
∴
当时，
∴，
解得：，
∴
以为对角线时，则，如图2，

∴，
解得：，
∴，
∵四边形是菱形，
∴与互相垂直平分，即与中点重合，
∴，
解得：，
∴；
当以为对角线时，则，如图3，

∴，
解得：，
∴，
∵四边形是菱形，
∴与互相垂直平分，即与的中点重合，
∴，
解得：
∴，
综上所述，符合条件的点P、Q的坐标为： ，或，或，或或
【点睛】本题是二次函数综合题，考查了解析式的求法、等腰三角形的判定、菱形的性质、坐标与图形的性质、分类讨论等知识，熟练掌握菱形的性质和坐标与图形的性质是解题的关键．
例3．（2023·内蒙古·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴的交点分别为和（点在点的左侧），与轴交于点，点是直线上方抛物线上一动点．

(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，过点作轴平行线交于点，过点作轴平行线交轴于点，求的最大值及点的坐标；
(3)如图2，设点为抛物线对称轴上一动点，当点，点运动时，在坐标轴上确定点，使四边形为矩形，求出所有符合条件的点的坐标．
【答案】(1)
(2)的最大值为，点的坐标为
(3)符合条件的点坐标为：或
【分析】（1）利用待定系数法即可求解；
（2）先求得直线的解析式，设，则，，得到，利用二次函数的性质求解即可；
（3）先求得抛物线的顶点，对称轴为，分当点在轴上和点在轴负半轴上时，两种情况讨论，当点在轴负半轴上时，证明，求得，再证明，求得点的坐标为，由点在抛物线上，列式计算求解即可．
【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点，与轴交于点
解得
抛物线的解析式为：；
（2）解：当时，，
解得，，
∴，
设直线的解析式为：，
把，代入得：，
解得
∴直线的解析式为，

设，
∵轴，
∴点的纵坐标为，
又∵点在直线上，
∴，，
∴，
∴，
∵轴，
∴，
∴，
∵，，
∴当时，有最大值，最大值为，
当时，，
∴点的坐标为；
答：的最大值为，点的坐标为；
（3）解：，
则抛物线的顶点，对称轴为，
情况一：当点在轴上时，为抛物线的顶点，

∵四边形为矩形，
∴与纵坐标相同，
∴；
情况二：当点在轴负半轴上时，四边形为矩形，
过作轴的垂线，垂足为，过作轴的垂线，垂足为，

设，则，
∴，，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵抛物线对称轴为，点在对称轴上，，
∴，，
∴，即，
∵，，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴点的坐标为，
∵点在抛物线上，
∴，
解得，（舍去），
∴，
综上所述：符合条件的点坐标为：或．
【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，相似三角形的判定和性质，矩形的性质等知识，解题的关键是方程思想的应用．
例4．（2023·辽宁·中考真题）如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，点在抛物线上．

(1)求抛物线的解析式；
(2)点在第一象限内，过点作轴，交于点，作轴，交抛物线于点，点在点的左侧，以线段为邻边作矩形，当矩形的周长为11时，求线段的长；
(3)点在直线上，点在平面内，当四边形是正方形时，请直接写出点的坐标．
【答案】(1)抛物线的解析式为；
(2)；
(3)点的坐标为或或或
【分析】（1）利用待定系数法即可求解；
（2）先求得直线的解析式为，设，则，利用对称性质求得，推出，，利用矩形周长公式列一元二次方程计算即可求解；
（3）先求得直线的解析式为，分别过点M、E作y的垂线，垂足分别为P、Q，证明，推出，，设，则，由点M在直线上，列式计算，可求得m的值，利用平移的性质可得点N的坐标；设点，则点，当绕着点O逆时针旋转得到时，当点M绕点O逆时针得到点E时，根据旋转的性质，可得点N的坐标．
【详解】（1）解：∵抛物线经过点和，
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：∵点和，
设直线的解析式为，则，
解得，
∴直线的解析式为，
设，且，则，
∴，
∵抛物线的对称轴为直线，
∴，
∴，
依题意得，
解得（舍去）或，
∴；
（3）解：令，则，
解得或，
∴，
同理，直线的解析式为，
∵四边形是正方形，
∴，，分别过点M、E作y的垂线，垂足分别为P、Q，如图，

，，
∴，
∴，，
设，
∴，，
则，
∵点M在直线上，
∴，
解得或，
当时，，，
即点M与点C重合，点E与点B重合时，四边形是正方形，此时；
当时，，，
点O向左平移个单位，再向下平移1个单位，得到点M，
则点E向左平移个单位，再向下平移1个单位，得到点N，
∴，即；
设点，则点，
当绕着点O逆时针旋转得到时，如图，
∵点E在的图象上，
∴，∴点，
∵点E在的图象上，
∴，解得：或0，
∴，，
当点M绕点O逆时针得到点E时，点，，
∵点E在的图象上，
∴，解得：，
∴点，，，，
∴点N的坐标为或；
综上，点的坐标为或或或．
【点睛】本题考查的是待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求一次函数解析式，一次函数图象上点的坐标特征，两点之间的距离公式和正方形的性质，是一道综合性较强的题，解题的关键是求出二次函数和一次函数解析式以及分情况讨论．
【变式演练】
1．（2023·辽宁阜新·二模）如图，抛物线（、是常数）的顶点为，与轴交于、两点，其中，，点从点出发，在线段上以单位长度/秒的速度向点运动，运动时间为秒，过作交于点．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)当为何值时，的面积最大？并求出面积的最大值；
(3)点出发的同一时刻，点从点出发，在线段上以单位长度/秒的速度向点运动，其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动，在运动过程中，是否存在某一时刻，使为等腰三角形，若存在，直接写出点坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)；
(2)当时，面积的最大，最大值为；
(3)存在，点P坐标为：．
【分析】（1）将、两点坐标代入抛物线解析式即可求解；
（2）依题得，根据待定系数法求出直线、直线、直线解析式，联立直线与直线解析式求得点坐标，再根据平行线的性质：平行线间的距离相等得到，配方后结合二次函数的性质即可求得最大值；
（3）根据锐角三角函数和勾股定理的知识分别表示出、、，再分情况进行求值，即可求出的值，最后再求点的坐标．
【详解】（1）解：将，代入，
，
解得，
抛物线的解析式为．
（2）解：如图，
，
，
设直线的解析式为，
，
解得，
直线的解析式为，
，，
直线的解析式为，
同理可得直线的解析式为，
当时，，
，
，
即直线与直线间距离相等，
,
，
当时，面积的最大值为
（3）解：存在，使为等腰三角形，理由如下：
如图，由可知，，，，
过点作轴交于点，过点作轴交于点，
，，
，，，
，，，，
，
，
，
，
，，
，
,
，
由题意可得：，则，
①当时，则或，不符合题意，舍去；
②当时，则，符合题意；
③当时，则，不符合题意，舍去．
综上所述当时为等腰三角形．
点坐标为： ．
【点睛】本题考查的知识点是待定系数法求解析式、一次函数与二次函数综合、平行线性质、锐角三角函数、二次函数的图像及性质、勾股定理、等腰三角形性质，解题关键是利用锐角三角函数和勾股定理表示、、．
2．（2023·辽宁阜新·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别交于点A，C，抛物线过点A和点C，与x轴交于点B．
(1)求这个二次函数的表达式；
(2)抛物线对称轴与直线交于点D，若P是直线上方抛物线上的一个动点（点P不与点A，C重合），求面积的最大值；
(3)点M是抛物线对称轴上的一动点，x轴上方的抛物线上是否存在点N，使得是以为直角边的等腰直角三角形；若存在，请直接写出点N坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)面积的最大值是
(3)点N坐标为或或或．
【分析】
（1）先求得点A，C的坐标，再用待定系数法可得；
（2）过作轴交于，求出的对称轴直线，，设，则，利用三角形面积公式可得关于的二次函数，利用二次函数的性质求解即可；
（3）设，分，和，，两种情况列方程可解得答案．
【详解】（1）
解：对于直线，令，则；令，则；∴，，把，代入得：
，
解得，
；
（2）
解：过作轴交于，如图：
在中，对称轴为直线，
当时，，
，
设，则，
，
∴
，
，
当时，取最大值为5；
∴面积的最大值为5；
（3）解：∵，对称轴为直线，
设，
当，，过点N作轴的平行线交对称轴于点，过点A作轴的平行线交于点，如图，
∴，
∴，
∴，，
∴，
整理得，
解得，
∴点N坐标为或；
当，，过点N作轴的垂线交轴于点，对称轴直线交轴于点，如图，
同理，则，即，
整理得，
解得，
∴点N坐标为或；
综上，点N坐标为或或或．
【点睛】
本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法，三角形面积，等腰直角三角形性质及应用等，解题的关键是用含字母的式子表示相关点坐标和相关线段的长度．
3．（2023·山东济宁·二模）如图，已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线经过A，C两点，且与x轴的另一个交点为B，对称轴为直线
(1)求抛物线的表达式；
(2)D是第二象限内抛物线上的动点，设点D的横坐标为m，求四边形面积S的最大值及此时D点的坐标；
(3)若点P在抛物线对称轴上，是否存在点P，Q，使以点A，C，P，Q为顶点的四边形是以为对角线的菱形？若存在，请求出P，Q两点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)S最大为12.5，
(3)存在，，
【分析】
（1）首先求出点，点，然后利用待定系数法即可求出抛物线的表达式；
（2）先求出点，再作轴于E，连接，依题意设点D的坐标为，则，则，，，分别求出，，，然后根据列出S与m的函数关系式，根据S有最大值求出m，进而可得点D的坐标；
（3）设点，直线与x轴交于点F，过点P作轴，与交于点K，先由勾股定理求出，，再根据可求出t，进而可得点P的坐标，然后根据点K为的中点求出k的坐标，进而根据K为的中点可求出点Q的坐标．
【详解】（1）
解：对于，当时，，当时，，
点A的坐标为，点C的坐标为，
对称轴是直线：，
有：，解得：，
抛物线的表达式为：；
（2）
解：对于，当时，，解得：，，
点B的坐标为，
又点，点，
，，
作轴于E，
点D在第二象限内的抛物线上，且横坐标为m
点D的坐标为，则，
，，
，
轴，则四边形为直角梯形，
，
又，，
，
即，
又，
，
当时，S为最大，
此时
点D的坐标为
（3）
解：存在点P和点Q，使以点A，C，P，Q为顶点的四边形是以为对角线的菱形，理由如下：
点P在抛物线的对称轴上，
可设点P的坐标为：，
以A，C，P，Q为顶点的四边形是以为对角线的菱形，
，与互相垂直平分，
设直线与x轴交于点F，过点P作轴，与交于点K，
点，，
，，，，
，，
在中，由勾股定理得：，
在中，由勾股定理得：
，解得：，
点P的坐标为，
设点K的坐标为，
点K为的中点，
，，
设点Q的坐标为，
点K为的中点，，，解得：，，点Q的坐标为
【点睛】此题主要考查了求二次函数的解析式，二次函数的最值，对称轴，菱形的性质，勾股定理等，解答此题的关键是熟练掌握待定系数法求二次函数的解析式，以及求二次函数最值、对称轴的方法，理解菱形的四条边都相等，对角线互相平分．
4．（2023·内蒙古呼伦贝尔·一模）如图，抛物线与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴交于点N，过A点的直线与y轴交于点C，与抛物线的另一个交点为，已知P点为抛物线上一动点（不与A、D重合）．
(1)求抛物线的解析式；
(2)当点P在直线l上方的抛物线上时，过P点作轴交直线l于点E，作轴交直线l于点F，求的最大值；
(3)设M为直线l上的动点，以为一边且顶点为N，C，M，P的四边形是平行四边形，求所有符合条件的M点坐标．
【答案】(1)
(2)18
(3)，
【分析】本题主要考查了二次函数的综合题，熟练掌握二次函数的图形和性质，平行四边形的性质，并利用数形结合思想解答是解题的关键．
（1）先求出点，再利用待定系数法，即可求解；
（2）设点，可得，,从而得到，，进而得到，即可求解；
（3）根据以为平行四边形的一边，可得，，设点，则，可得，即可求解．
【详解】（1）解：∵直线过点A，
∴，
又∵，
将点A，D的坐标代入抛物线表达式可得：，
解得．
∴抛物线的解析式为：．
（2）解：如图，
设点，
∵轴，轴，
则，，
∵点P在直线l上方的抛物线上，
∴，
∴，
，
∴．
∵，
∴当时，取得最大值，最大值为18．
（3）由（1）可求，
∵是所求平行四边形的一边，
∴，设点，则，
由题意知：，即．
化简得：或，
解得：（舍去），，，．
则符合条件的M点有三个：，．
5．（2023·广西梧州·二模）如图，抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点C，点D和点C关于抛物线的对称轴对称，直线与y轴交于点E．

(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，直线上方的抛物线上有一点F，过点F作垂直于点G，作平行于x轴交直线于点H，求周长的最大值及F点坐标；
(3)点M是抛物线顶点，点P是y轴上一点，点Q是坐标平面内一点，以A，M，P，Q为顶点的四边形是矩形，请直接写出P点坐标．
【答案】(1)
(2)的周长最大值为 ，；
(3)或或或．
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）先求出抛物线对称轴为直线，进而求出点D坐标，可得直线解析式为：，则，证明，进而得到，则是等腰直角三角形，推出；设点F坐标，则点H坐标，则，则的周长，由二次函数的性质可得当时，的周长有最大值，最大值为 ，此时点F的坐标为；
（3）先求出顶点M的坐标为，则；设，则，，由矩形的性质可得是直角三角形，故可分当时， 当时， 当时，三种情况利用勾股定理建立方程求解即可．
【详解】（1）解：把代入中得：
解得，
∴抛物线解析式为；
（2）解：∵抛物线解析式为，
∴抛物线对称轴为直线，
∵D、C关于对称轴对称，点C坐标，
∴点D坐标，
设直线解析式为，
∴，
∴
∴直线解析式为：，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
设点F坐标，则点H坐标，
∴，
∴的周长
，
∵，
∴当时，的周长有最大值，最大值为 ，此时点F的坐标为；
（3）解：∵抛物线解析式为，
∴顶点M的坐标为，
∴；
设，
∴，，
∵以A，M，P，Q为顶点的四边形是矩形，
∴是直角三角形，
当时，则，
∴，
解得，
∴点P的坐标为；
当时，则，
∴，
解得，
∴点P的坐标为；
当时，则，
∴，解得或，
∴点P的坐标为或；
综上所述，点P的坐标为或或或．
【点睛】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，矩形的性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质与判定等等，解题的关键在于根据矩形的性质得到是直角三角形，进而利用勾股定理建立方程求解即可．
题型03 最值问题
【解题策略】
【典例分析】
例1．（2023·湖北黄石·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点．

(1)求此抛物线的解析式；
(2)已知抛物线上有一点，其中，若，求的值；
(3)若点D，E分别是线段，上的动点，且，求的最小值．
【答案】(1)；(2)；(3)．
【分析】（1）由待定系数法即可求解；
（2）在中，，则，得到直线的表达式为：，进而求解；
（3）作，证明且相似比为，故当、、共线时，为最小，进而求解．
【详解】（1）解：设抛物线的表达式为：，
即，则，
故抛物线的表达式为：①；
（2）解：在中，，
，
则，
故设直线的表达式为：②，
联立①②得：，
解得：（不合题意的值已舍去）；
（3）解：作，

设，
，
且相似比为，
则，
故当、、共线时，为最小，
在中，设边上的高为，
则，
即，
解得：，
则，
则，
过点作轴于点，
则，
即点的纵坐标为：，
同理可得，点的横坐标为：，
即点，
由点、的坐标得，，
即的最小值为．
【点睛】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．
【变式演练】
1．（2023·辽宁大连·一模）已知抛物线过点，，三点，

(1)求抛物线的解析式及顶点的坐标；
(2)点为抛物线上一点，连结，交线段于点，若，求点的坐标．
(3)若点为线段上的一动点，问：是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，
(2)
(3)存在，最小值为
【分析】（1）用待定系数法求出解析式，再将解析式化成顶点式即可；
（2）分别过点，作轴的垂线，垂足分别为，，可得，所以，设，则，则，，所以，，则，解得的值即可得出结论；
（3）过点作与轴夹角为的直线，过点作，垂足为，交轴于点，则，此时值最小，即求，根据，得出，根据，，求出，，由，则可求，在中，，则．
【详解】（1）抛物线经过，，三点，
，
解得，
抛物线的解析式为，
，且点是抛物线的顶点，
；
（2）如图，分别过点，作轴的垂线，垂足分别为，，

，
，
，
，，
设直线的解析式为：
∴，解得
直线的解析式为：，
设，则，
，，
，，
：，
解得，负值舍去，
；
（3）存在，理由：如图，过点作与轴夹角为的直线，过点作，垂足为，交轴于点，

则，此时值最小，即求，
∵，
，
，
，，
，，
，
，
在中，，
，
最小值为．
【点睛】本题是二次函数综合运用，涉及到待定系数法求解析式，一次函数，相似三角形的性质和判定，解直角三角形，转化思想等知识，掌握相关知识是解题的关键．
2．（2023·青海西宁·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，直线l与x轴交于点，与y轴交于点，抛物线经过点A，B，且对称轴是直线．

(1)求直线l的解析式；
(2)求抛物线的解析式；
(3)点P是直线l下方抛物线上的一动点，过点P作轴，垂足为C，交直线l于点D，过点P作，垂足为M．求的最大值及此时P点的坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)的最大值是，此时的P点坐标是
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）根据题意可设抛物线的解析式为，再利用待定系数法求解即可；
（3）由题意易证为等腰直角三角形，即得出．设点P的坐标为，则，从而可求出．再结合二次函数的性质可知：当时，有最大值是，此时最大，进而即可求解．
【详解】（1）解：设直线l的解析式为，
把A，B两点的坐标代入解析式，得，
解得：，
∴直线l的解析式为；
（2）解：设抛物线的解析式为，
∵抛物线的对称轴为直线，
∴．
把A，B两点坐标代入解析式，得，
解得：，
∴抛物线的解析式为；
（3）解：∵ ，
∴．
∵在中，
∴．
∵轴，，
∴．
在中，，，
∴，
∴．
在中，，，
∴，
∴．
设点P的坐标为，则，
∴．
∵，
∴当时，有最大值是，此时最大，
∴，
当时，， ∴，
∴的最大值是，此时的P点坐标是．
【点睛】本题为二次函数综合题，考查利用待定系数法求函数解析式，二次函数的图象和性质等知识．掌握利用待定系数法求函数解析式和利用数形结合的思想是解题关键．
1．（2023·青海·中考真题）如图，二次函数的图象与轴相交于点和点，交轴于点．

(1)求此二次函数的解析式；
(2)设二次函数图象的顶点为，对称轴与轴交于点，求四边形的面积（请在图1中探索）；
(3)二次函数图象的对称轴上是否存在点，使得是以为底边的等腰三角形？若存在，请求出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由（请在图中探索）．
【答案】(1)；
(2)；
(3)，
【分析】（1）将，两点坐标代入抛物线的解析式，进一步求解得出结果；
（2）连接，将二次函数的解析式配方求得顶点的坐标，邻求得的坐标，从而求得，，的长，再根据求得结果；
（3）设，，表示出和，根据列出方程求得的值，进而求得结果．
【详解】（1）解：由题意得，
，
∴，
∴；
（2）解：如图，连接，

∵，
∴，
∴，，
由得，，
∴，
∴；
（3）解：设，，
∵，∴，
由得，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了二次函数及其图象的性质，等腰三角形的判定，勾股定理等知识，解决问题的关键是熟练掌握有关基础知识．
2．（2023·湖南娄底·中考真题）如图，抛物线过点、点，交y轴于点C．

(1)求b，c的值．
(2)点是抛物线上的动点
①当取何值时，的面积最大？并求出面积的最大值；
②过点P作轴，交于点E，再过点P作轴，交抛物线于点F，连接，问：是否存在点P，使为等腰直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，
(2)①当时，的面积由最大值，最大值为；
②当点的坐标为或时，为等腰直角三角形
【分析】（1）将将、代入抛物线即可求解；
（2）①由（1）可知：，得，可求得的解析式为，过点P作轴，交于点E，交轴于点，易得，根据的面积，可得的面积，即可求解；
②由题意可知抛物线的对称轴为，则，分两种情况：当点在对称轴左侧时，即时，当点在对称轴右侧时，即时，分别进行讨论求解即可．
【详解】（1）解：将、代入抛物线中，
可得：，解得：，
即：，；
（2）①由（1）可知：，
当时，，即，
设的解析式为：，
将，代入中，
可得，解得：，
∴的解析式为：，
过点P作轴，交于点E，交轴于点，

∵，则，
∴点E的横坐标也为，则纵坐标为，
∴，
的面积
，
∵，
∴当时，的面积有最大值，最大值为；
②存在，当点的坐标为或时，为等腰直角三角形．
理由如下：由①可知，
由题意可知抛物线的对称轴为直线，
∵轴，
∴，，则，
当点在对称轴左侧时，即时，

，当时，为等腰直角三角形，
即：，整理得：，
解得：（，不符合题意，舍去）
此时，即点；
当点在对称轴右侧时，即时，

，当时，为等腰直角三角形，
即：，整理得：，
解得：（，不符合题意，舍去）
此时：，即点；
综上所述，当点的坐标为或时，为等腰直角三角形．
【点睛】本题二次函数综合题，考查了利用待定系数法求函数解析式，二次函数的性质及图象上的点的特点，等腰直角三角形的性质，解本题的关键是表示出点的坐标，进行分类讨论．
3．（2023·宁夏·中考真题）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．已知点的坐标是，抛物线的对称轴是直线．

(1)直接写出点的坐标；
(2)在对称轴上找一点，使的值最小．求点的坐标和的最小值；
(3)第一象限内的抛物线上有一动点，过点作轴，垂足为，连接交于点．依题意补全图形，当的值最大时，求点的坐标．
【答案】(1)
(2)点，的最小值为
(3)
【分析】（1）根据抛物线的对称性，进行求解即可；
（2）根据抛物线的对称性，得到，得到当三点共线时，的值最小，为的长，求出直线的解析式，解析式与对称轴的交点即为点的坐标，两点间的距离公式求出的长，即为的最小值；
（3）根据题意，补全图形，设，得到，，将的最大值转化为二次函数求最值，即可得解．
【详解】（1）解：∵点关于对称轴的对称点为点，对称轴为直线，
∴点为；
（2）当时，，
∴，
连接，

∵，
∴，
∵点关于对称轴的对称点为点，
∴，
∴当三点共线时，的值最小，为的长，
设直线的解析式为：，
则：，解得：，
∴，
∵点在抛物线的对称轴上，
∴；
∴点，的最小值为；
（3）过点作轴，垂足为，连接交于点，如图所示，

∵，
设抛物线的解析式为：，
∵，
∴，
∴，
∴，
设，则：，
由（2）知：直线：，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴当时，有最大值，此时．
【点睛】本题考查二次函数的综合应用．正确的求出函数解析式，利用抛物线的对称性以及数形结合的思想进行求解，是解题的关键．
4．（2023·湖南张家界·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象与x轴交于点和点两点，与y轴交于点．点D为线段上的一动点．

(1)求二次函数的表达式；
(2)如图1，求周长的最小值；
(3)如图2，过动点D作交抛物线第一象限部分于点P，连接，记与的面积和为S，当S取得最大值时，求点P的坐标，并求出此时S的最大值．
【答案】(1)
(2)
(3)，
【分析】（1）根据题意设抛物线的表达式为，将代入求解即可；
（2）作点O关于直线的对称点E，连接，根据点坐特点及正方形的判定得出四边形为正方形，，连接AE，交于点D，由对称性，此时有最小值为AE的长，再由勾股定理求解即可；
（3）由待定系数法确定直线的表达式为，直线的表达式为，设，然后结合图形及面积之间的关系求解即可．
【详解】（1）解：由题意可知，设抛物线的表达式为，
将代入上式得：，
所以抛物线的表达式为；
（2）作点O关于直线的对称点E，连接，
∵，，，
∴，
∵O、E关于直线对称，
∴四边形为正方形，
∴，
连接，交于点D，由对称性，
此时有最小值为的长，
∵的周长为，
，的最小值为10，
∴的周长的最小值为；
（3）由已知点，，，
设直线的表达式为，
将，代入中，，解得，
∴直线的表达式为，
同理可得：直线的表达式为，
∵，
∴设直线表达式为，
由（1）设，代入直线的表达式
得：，
∴直线的表达式为：，
由，得，
∴，
∵P，D都在第一象限，
∴
，
∴当时，此时P点为.
．
【点睛】题目主要考查二次函数的综合应用，包括待定系数法确定函数解析式，周长最短问题及面积问题，理解题意，熟练掌握运用二次函数的综合性质是解题关键．
5．（2023·山东聊城·中考真题）如图①，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C，连接AC，BC.点P是x轴上任意一点．
(1)求抛物线的表达式；
(2)点Q在抛物线上，若以点A，C，P，Q为顶点，AC为一边的四边形为平行四边形时，求点Q的坐标；
(3)如图②，当点从点A出发沿x轴向点B运动时（点P与点A，B不重合），自点P分别作，交AC于点E，作，垂足为点D．当m为何值时，面积最大，并求出最大值．
【答案】(1)
(2)点Q坐标，或或；
(3)时，有最大值，最大值为．
【分析】（1）将，代入，待定系数法确定函数解析式；
（2）由二次函数，求得点，设点，点，分类讨论：当为边，为对角线时，当为边，为对角线时，运用平行四边形对角线互相平分性质，构建方程求解；
（3）如图，过点D作，过点E作，垂足为G，F，
可证，；运用待定系数法求直线解析式，直线 解析式；设点，，则，，，，运用解直角三角形，中，，，中，，可得，，；中，，可得，，，，于是，从而确定时，最大值为．
【详解】（1）将，代入，得
，解得
∴抛物线解析式为：
（2）二次函数，当时，
∴点
设点，点，
当为边，为对角线时，
∵四边形为平行四边形，
∴，互相平分
∴解得，（舍去）或
点Q坐标；
当为边，为对角线时，
同理得，
解得，或，
∴
∴点Q坐标或
综上，点Q坐标，或或；
（3）如图，过点D作，过点E作，垂足为G，F，
∵，
∴
∴
∵
∴，同理可得
设直线的解析式为：
则，解得
∴直线：
同理由点，，可求得直线 ：
设点，，
则，，，
中，，
∴，
中，
∴，解得，
∴
∵
∴；
中，
∴，解得，
∴
∵
∴
∴，
即．
∵∴时，，有最大值，最大值为．
【点睛】本题考查待定系数法确定函数解析式，平行四边形的性质，一元二次方程求解，解直角三角形，结合动点运动情况，分类讨论是解题的关键．
6．（2023·湖南·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点，且与直线交于两点（点在点的右侧），点为直线上的一动点，设点的横坐标为．

(1)求抛物线的解析式．
(2)过点作轴的垂线，与拋物线交于点．若，求面积的最大值．
(3)抛物线与轴交于点，点为平面直角坐标系上一点，若以为顶点的四边形是菱形，请求出所有满足条件的点的坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)点为或或或或
【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解；
（2）根据题意，联立抛物线与直线，求得点的横坐标，表示出的长，根据二次函数的性质求得的最大值，根据即可求解；
（3）根据题意，分别求得，①当为对角线时，，②当为边时，分，，根据勾股定理即可求解．
【详解】（1）解：∵抛物线经过点和点，
∴，
解得：，
∴抛物线解析式为：；
（2）解：∵抛物线与直线交于两点，（点在点的右侧）
联立，
解得：或，
∴，
∴，
∵点为直线上的一动点，设点的横坐标为．
则，，
∴，当时，取得最大值为，
∵，
∴当取得最大值时，最大，
∴，
∴面积的最大值；
（3）∵抛物线与轴交于点，
∴，当时，，即，
∵，
∴,
，，
①当为对角线时，，

∴，
解得：，
∴，
∵的中点重合，
∴，
解得：，
∴，
②当为边时，
当四边形为菱形，

∴，解得：或，
∴或，
∴或，
由的中点重合，
∴或，
解得：或，
∴或，
当时；如图所示，即四边形是菱形，

点的坐标即为四边形为菱形时，的坐标，
∴点为或，
综上所述，点为或或或或．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，面积问题，菱形的性质与判定，勾股定理，熟练掌握二次函数的性质，细心的计算是解题的关键．
7．（2023·四川内江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点．与y轴交于点．

(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)若点P是直线下方抛物线上的一动点，过点P作x轴的平行线交于点K，过点P作y轴的平行线交x轴于点D，求与的最大值及此时点P的坐标；
(3)在抛物线的对称轴上是否存在一点M，使得是以为一条直角边的直角三角形：若存在，请求出点M的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)存在，的最大值为，
(3)或
【分析】（1）将、、代入抛物线解析式求解即可；
（2）可求直线的解析式为，设（），可求，从而可求，即可求解；
（3）过作交抛物线的对称轴于，过作交抛物线的对称轴于，连接，设， 可求，，由，可求，进而求出直线的解析式，即可求解．
【详解】（1）解：由题意得
，
解得：，
抛物线的解析式为．
（2）解：设直线的解析式为，则有
，
解得：，
直线的解析式为；
设（），
，
解得：，
，
，
，
，
，
，
当时，的最大值为，
，
．
故的最大值为，．
（3）解：存在，
如图，过作交抛物线的对称轴于，过作交抛物线的对称轴于，连接，

∵抛物线的对称轴为直线，
设，
，
，
，
，
，
解得：，
；
设直线的解析式为，则有
，
解得，
直线解析式为，
，且经过，
直线解析式为，
当时，，
；
综上所述：存在，的坐标为或．
【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数中动点最值问题，直角三角形的判定，勾股定理等，掌握解法及找出动点坐标满足的函数解析式是解题的关键．
8．（2023·浙江金华·中考真题）如图，直线与轴，轴分别交于点，抛物线的顶点在直线上，与轴的交点为，其中点的坐标为．直线与直线相交于点．

(1)如图2，若抛物线经过原点．
①求该抛物线的函数表达式；②求的值．
(2)连接与能否相等？若能，求符合条件的点的横坐标；若不能，试说明理由．
【答案】(1)①；②
(2)能，或或或．
【分析】（1）①先求顶点的坐标，然后待定系数法求解析式即可求解；
②过点作于点．设直线为，把代入，得，解得，直线为．同理，直线为．联立两直线解析式得出，根据，由平行线分线段成比例即可求解；
（2）设点的坐标为，则点的坐标为．①如图2-1，当时，存在．记，则．过点作轴于点，则．在中，，进而得出点的横坐标为6．②如图2-2，当时，存在．记．过点作轴于点，则．在中，，得出点的横坐标为．③如图，当时，存在．记．过点作轴于点，则．在中，，得出点的横坐标为．④如图2-4，当时，存在．记．过点作轴于点，则．在中，，得出点的横坐标为．
【详解】（1）解：①∵，
∴顶点的横坐标为1．
∴当时，，
∴点的坐标是．
设抛物线的函数表达式为，把代入，
得，
解得．
∴该抛物线的函数表达式为，
即．
②如图1，过点作于点．

设直线为，把代入，得，
解得，
∴直线为．
同理，直线为．
由
解得
∴．
∴．
∵，
∴．
（2）设点的坐标为，则点的坐标为．
①如图，当时，存在．
记，则．
∵为的外角，
∴．
∵．
∴．
∴．
∴．
过点作轴于点，则．
在中，，
∴，解得．
∴点的横坐标为6．

②如图2-2，当时，存在．
记．
∵为的外角，
∴．
∴
∴．
∴．
过点作轴于点，则．
在中，，
∴，解得．
∴点的横坐标为．

③如图2-3，当时，存在．记．

∵，
∴．
∴．
∴．
∴．
过点作轴于点，则．
在中，，
∴，解得．
∴点的横坐标为．
④如图2-4，当时，存在．记．
∵，
∴．

∴．∴．
过点作轴于点，则．
在中，，∴，解得．
∴点的横坐标为．
综上，点的横坐标为．
【点睛】本题考查了二次函数综合运用，解直角三角形，平行线分线段成比例，熟练掌握以上知识，分类讨论是解题的关键．
9．（2023·四川自贡·中考真题）如图，抛物线与x轴交于，两点，与轴交于点．

(1)求抛物线解析式及，两点坐标；
(2)以，，，为顶点的四边形是平行四边形，求点坐标；
(3)该抛物线对称轴上是否存在点，使得，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)抛物线解析式为，，
(2)或或
(3)
【分析】（1）将点代入抛物线解析式，待定系数法求解析式，进而分别令，即可求得两点的坐标；
（2）分三种情况讨论，当，为对角线时，根据中点坐标即可求解；
（3）根据题意，作出图形，作交于点，为的中点，连接，则在上，根据等弧所对的圆周角相等，得出在上，进而勾股定理，根据建立方程，求得点的坐标，进而得出的解析式，即可求解．
【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于，
∴
解得：，
∴抛物线解析式为，
当时，，
∴，
当时，
解得：，
∴
（2）∵，，，
设，
∵以，，，为顶点的四边形是平行四边形
当为对角线时，
解得：，
∴；
当为对角线时，
解得：
∴
当为对角线时，
解得：
∴
综上所述，以，，，为顶点的四边形是平行四边形，或或
（3）解：如图所示，作交于点，为的中点，连接，

∵
∴是等腰直角三角形，
∴在上，
∵，，
∴，，
∵，
∴在上，
设，则
解得：（舍去）
∴点
设直线的解析式为
∴
解得：.
∴直线的解析式
∵，，
∴抛物线对称轴为直线，
当时，，
∴．
【点睛】本题考查了二次函数的综合运用，待定系数法求解析式，平行四边形的性质，圆周角角定理，勾股定理，求一次函数解析式，熟练掌握以上知识是解题的关键．
二次函数图象上点的坐标特征，菱形的性质，解直角三角形，三角形相似的判定和性质，反比例函数系数k的几何意义，解题关键是熟练掌握反比例函数的性质与菱形的性质．
考查了三角形、四边形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握三角形相似的判定方法，画出相应的图形，注意分类讨论．
考查直线与坐标轴的交点，求反比例函数解析式，反比例函数的图象与性质，反比例函数综合几何问题，三角形的面积公式，位似的性质等知识，综合性大，利用联立方程组求交点和掌握位似的性质是解题的关键．