山东省淄博市桓台县红莲湖学校（鲁教五四）2024--2025学年七年级上学期月考数学试卷（10月）（解析版）-A4

这是一份山东省淄博市桓台县红莲湖学校（鲁教五四）2024--2025学年七年级上学期月考数学试卷（10月）（解析版）-A4，共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 下列图形中，不是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了轴对称图形的定义，根据轴对称图形的定义解答即可，熟知平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形，就叫做轴对称图形是解题的关键．
【详解】解：A、图形是轴对称图形，不符合题意；
B、图形不是轴对称图形，符合题意；
C、图形是轴对称图形，不符合题意；
D、图形是轴对称图形，不符合题意，
故选：B．
2. 下列条件中，不能判定是等腰三角形的是（ ）
A. ，，B.
C. ，D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了等腰三角形的判定．由等腰三角形的定义与等角对等边的判定定理，即可求得答案．
【详解】解：A、∵，，，
∴，
∴是等腰三角形；故选项A不符合题意；
B、∵
∴，
∴不是等腰三角形，故选项B符合题意；
C、∵，，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰三角形，故选项C不符合题意；
D、∵，
∵，
∴，
∴是等腰三角形，故选项D不符合题意．
故选：B．
3. 如图，将三角形纸片折叠，使点B，C重合，折痕DE与AB，分别交于点D、点E，连接，下列是的中线的是（ ）
A. 线段B. 线段C. 线段CED. 线段DE
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了折叠的性质，三角形中线的定义，解题的关键是掌握三角形顶点与对边中点的连线是三角形的中线．根据折叠的性质可得出，得出点E为中点，即可得出结论．
【详解】解：∵将三角形纸片折叠，使点B，C重合，
∴，
∴线段是的中线，
故选：A．
4. 如图所示，为的角平分线，且，则的大小是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理等知识点，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
先根据邻补角的定义可得，再根据三角形内角和定理可得，再由角平分线的定义可得、；然后证明可得，最后根据三角形内角和定理即可解答．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴
∵为的角平分线，
∴，即
在和，
,
∴，
∴，
∴．
故选A．
5. 如图，在等腰中，，点D是线段上一点，过点D作交于点E，且，，则（ ）
A B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查等腰三角形的性质，平行线的性质，三角形内角和定理及外角性质，根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理求出，，根据平行线的性质得出，继而得到，再根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理求出即可．掌握等腰三角形的性质及平行线的性质是解题的关键．
【详解】解：∵在等腰中，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
故选：C．
6. 如图，在中，，M，N，K分别是上的点，且，若，则（ ）
A. 90B. 92C. 96D. 98
【答案】B
【解析】
【分析】此题考查了等边对等角，三角形内角和定理、一元一次方程的应用等知识.
根据等腰三角形的性质得到，设,则，根据等边对等角和三角形内角和定理得到，，由列方程求出，代入即可得到答案．
【详解】解：，
∴，
设,
∴，
∵，
∴，
∵
∴
解得
∴
故选：B．
7. 三条公路将A，B，C三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是（ ）
A. 三条高线交点B. 三条中线的交点
C. 三条角平分线的交点D. 三边垂直平分线的交点
【答案】C
【解析】
【分析】根据角平分线上的点到角的两边的距离相等解答即可．本题主要考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，熟记性质是解题的关键．
【详解】解：在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，
根据角平分线的性质，集贸市场应建在、、的角平分线的交点处．
故选：C．
8. 如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，S△ABC＝18，DE＝3，AB＝7，则AC长是（ ）
A. 5B. 6C. 4D. 7
【答案】A
【解析】
【分析】先求出△ABD的面积，再得出△ADC的面积，最后根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得AC边上的高，从而得解．
【详解】∵DE=3，AB=7，
∴△ABD的面积为×3×7＝，
∵S△ABC=18，
∴△ADC的面积=18-=，
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，
∴AC边上的高=DE=3，
∴AC=×2÷3=5，
故选A．
【点睛】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，熟记性质是解题的关键．
9. 如图，中，，，点D 是的角平分线的交点，则点D到的距离为（ ）

A. 1B. 2C. 3D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了角平分线的性质，先利用角平分线的性质得出，再根据等面积法计算即可.
【详解】解：如图所示，过点D作作、、分别垂直于，、，垂足分别为E、F、G，连接

与的角平分线交于点D，
，
∴
∴，
，
∴，
∴点D到的距离为1，
故选：A．
10. 如图，在四边形ABCD中，∠C=40°，∠B=∠D=90°，E，F分别是BC，DC上的点，当ΔAEF的周长最小时，∠EAF的度数为（ ）
A. 100°B. 90°C. 70°D. 80°
【答案】A
【解析】
【分析】要使的周长最小，即利用点的对称，使三角形的三边在同一直线上，作出点A关于BC和CD的对称点分别为点G和点H，即可得出，，根据的内角和为，可得出；再根据四边形的内角和为可知，，即，建立方程组，可得到的度数，即可得出答案．
【详解】解：作点A关于直线BC和直线CD的对称点G和H，连接GH，交BC、CD于点E、F，连接AE、AF，则此时△AEF的周长最小，
∵四边形的内角和为，
∴，
即①，
由作图可知：，，
∵的内角和为，
∴②，
方程①和②联立方程组，
解得．
故选：A．
【点睛】本题考查轴对称变换、最短路线问题，涉及到平面内最短路线问题求法以及三角形的内角和定理、四边形的内角和及垂直平分线的性质等知识，根据已知得出E、F的位置是解题关键．
二、填空题（共5小题）
11. 如图，点在的边上，用尺规作出了，连接，作图痕迹中，根据的是_______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的判定方法，根据尺规作图可得出，，，进而可利用证明出．
【详解】解：根据题意得：，，，
∴的依据是“”．
故答案为：．
12. 如图，直线是中边的垂直平分线，点是直线上一动点，若，，，则周长的最小值是______．

【答案】
【解析】
【分析】本题考查垂直平分线的性质及牧人饮马最短距离问题，根据题意得到周长的最小值是直接求解即可得到答案．
【详解】解：∵直线是中边的垂直平分线，点是直线上一动点，
∴，
∴，
∴最小为，
∴，
故答案为：13．
13. 如图，已知∠AOB=30°，P是∠AOB平分线上一点，CP∥OB，交OA于点C，PD⊥OB，垂足为点D，且PC=4，则PD等于_____．

【答案】2
【解析】
【分析】作PE⊥OA于E，根据三角形的外角的性质得到∠ACP=30°，根据直角三角形的性质得到PE=PC=2，根据角平分线的性质解答即可.
【详解】作PE⊥OA于E，

∵CP∥OB，
∴∠OPC=∠POD，
∵P是∠AOB平分线上一点，
∴∠POA=∠POD=15°，
∴∠ACP=∠OPC+∠POA=30°，
∴PE=PC=2，
∵P是∠AOB平分线上一点，PD⊥OB，PE⊥OA，
∴PD=PE=2，
故答案为：2．
【点睛】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
14. 如图，在中，，D为边上一点．若将、分成了两个等腰三角形，则的度数为______．
【答案】或或
【解析】
【分析】本题主要考查了等边对等角，三角形内角和定理，先证明必定是钝角，则是等腰三角形，那么只存在这种情况，再分当时，当时，当时，三种情况讨论求解即可．
【详解】解：∵是等腰三角形，
∴的三个内角的度数分别为，，或，，，
∴必定钝角，
∴是等腰三角形，那么只存在这种情况，
当时，
∴，
∵，
∴；
当时，
∴，
∵，
∴；
当时，
∴，
∴
∵，
∴；
综上所述，的度数为或或
故答案为：或或
15. 已知，是的平分线上一点，若在射线上存在点使是等腰三角形，则的度数是______．
【答案】或或
【解析】
【分析】本题考查等腰三角形的性质、三角形内角和定理，先求出，根据等腰得出三种情况，，，，根据等腰三角形性质和三角形内角和定理求解即可．
【详解】解：如图，
∵，平分，
∴，
①当E在时，，
∵，
∴；
②当E在点时，，
则；
③当E在时，，
则．
故的度数为或或．
故答案为：或或．
三、解答题（共8小题）
16. 某段河流的两岸是平行的，某数学兴趣小组在老师的带领下不用涉水过河就能测得河的宽度，他们是这样做的：
①在河流的岸边点B处，选对岸正对的一棵树A；
②沿河岸直行处有一棵树C，继续前行到达点D处；
③从点D处沿河岸垂直的方向行走，当到达A树正好被C树遮挡住的点E处时，停止行走；
④测得DE的长为
（1）请你判断他们做法的正确性并说明理由；
（2）河的宽度是多少米？
【答案】（1）他们的做法是正确的，理由见解析
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了全等三角形的应用，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键．
（1）利用“角边角”证明，再根据全等三角形对应边相等即可解得；
（2）根据全等三角形对应角相等可得即可解答．
【小问1详解】
解：由题意可知，，
在和中，
，
∴，
∴，即他们的做法是正确的．
【小问2详解】
解：由（1）可知，．
∴河宽度是．
17. 如图，在平面直角坐标系中，三角形的三顶点都在格点上，位置如图，请完成下面问题：
（1）画出三角形关于直线（竖直线）的对称图形（注意标出对应点字母）；
（2）求三角形的面积；
（3）在直线（水平线）上找一点，使最小，在图中画出点（保留作图痕迹）．
【答案】（1）见解析 （2）
（3）见解析
【解析】
【分析】本题考查作图轴对称变换、轴对称最短路线问题．
（1）根据轴对称的性质作图，即可得出答案；
（2）利用割补法求三角形的面积即可；
（3）取点关于轴的对称点，连接，交轴于点，则点即为所求．
【小问1详解】
解：如图，即为所求．
【小问2详解】
解：的面积为；
【小问3详解】
解：如图，取点关于轴的对称点，连接，交轴于点，连接，
此时，为最小值，
则点即为所求．
18. 如图， 在中， 点在的延长线上，且 过点 作 与BD的垂线DE交于点．
（1）求证：
（2）若 求CD的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，
（1）根据等角的余角相等，证明，再根据即可证明；
（2）根据全等三角形的性质即可得出，即可求解．
【小问1详解】
证明：，
，
，
，
，
在和中，
，
；
【小问2详解】
解：，
理由：由（）证得，，
，，
，
．
，
．
19. 在中，，边上的中线把的周长分成和两部分，求边和的长．（提示：设）
【答案】，
【解析】
【分析】本题主要考查了三角形的中线，二元一次方程组的应用，三角形的三边关系应用，解题的关键是根据题意设出未知数，列出方程，注意进行分类讨论，并注意用三角形的三边关系进行验证．
【详解】解：如图：
∵是边上的中线，
∴．
设，，则，
分两种情况分别进行讨论：
（1），，
则，，
解得，，
即，．
∵，
∴．
∵，
∴，，满足三角形的三边关系．
（2），，
则，，
解得，，
即，．
∵，
∴．
∵，
∴，，不满足三角形的三边关系．
综上所述，，．
20. 如图，已知中，，，点D为边上一点，请用尺规过点作一条直线，使．（保留作图痕迹，不写作法）
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题考查作图复杂作图，三角形的面积等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．作出的角平分线即可解决问题．
【详解】解：作角平分线交于，直线即为所求．
21. 如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，E为边BC上的点，且AD⊥BE，D为线段BE的中点，过点E作EF⊥AE，过点A作AF∥BC，且AF、EF相交于点F．
（1）求证：∠EAD＝∠BAD；
（2）求证：AC＝EF．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【解析】
【分析】(1)由线段垂直平分线的性质可得AB=AE，再由三线合一可得结论；
（2）由“ASA”可证△ABC≌△EAF，可得AC=EF．
【详解】证明：（1）∵AB=AE，D为线段BE的中点，AD⊥BC，
∴AD是BE的垂直平分线，
∴∠EAD＝∠BAD（三线合一）；
（2）∵AF∥BC
∴∠FAE=∠AEB
∵AB=AE
∴∠B=∠AEB
∴∠B=∠FAE，且∠AEF=∠BAC=90°，AB=AE
∴△ABC≌△EAF（ASA）
∴AC=EF
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，熟练运用全等三角形的判定是题关键．
22. 如图，，，．
（1）求证：；
（2）求证：；
（3）求证：平分．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）见解析
【解析】
【分析】此题考查等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定与性质，解题关键在于做辅助线．
（1）延长交于点F，则，可得，由，可得，根据证得两三角形全等即可完成解答；
（2）根据全等三角形的性质可得，结合等腰三角形三线合一即可证明；
（3）根据等腰三角形三线合一即可完成解答．
【小问1详解】
延长交于点F，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴．
【小问2详解】
由（1）知，
∴，
∵，
∴．
【小问3详解】
∵，
∴平分．
23. 如图（1），AB＝7cm，AC⊥AB，BD⊥AB垂足分别为A、B，AC＝5cm．点P在线段AB上以2cm/s的速度由点A向点B运动，同时点Q在射线BD上运动．它们运动的时间为t（s）（当点P运动结束时，点Q运动随之结束）．

（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当t＝1时，△ACP与△BPQ是否全等，并判断此时线段PC和线段PQ的位置关系，请分别说明理由；
（2）如图（2），若“AC⊥AB，BD⊥AB”改为“∠CAB＝∠DBA”，点Q的运动速度为xcm/s，其它条件不变，当点P、Q运动到何处时有△ACP与△BPQ全等，求出相应的x的值．
【答案】（1）△ACP≌△BPQ，PC⊥PQ，理由见解析；（2）2或
【解析】
【分析】（1）利用AP＝BQ＝2，BP＝AC，可根据“SAS”证明△ACP≌△BPQ；则∠C＝∠BPQ，然后证明∠APC＋∠BPQ＝90°，从而得到PC⊥PQ；
（2）讨论：①若△ACP≌△BPQ，则AC＝BP，AP＝BQ，即5＝7﹣2t，2t＝xt；②若△ACP≌△BQP，则AC＝BQ，AP＝BP，即5＝xt，2t＝7﹣2t，然后分别求出x即可．
【详解】解：（1）△ACP≌△BPQ，PC⊥PQ．
理由如下：∵AC⊥AB，BD⊥AB，
∴∠A＝∠B＝90°，
∵AP＝BQ＝2，
∴BP＝5，
∴BP＝AC，
∴△ACP≌△BPQ（SAS）；
∴∠C＝∠BPQ，
∵∠C＋∠APC＝90°，
∴∠APC＋∠BPQ＝90°，
∴∠CPQ＝90°，
∴PC⊥PQ；
（2）①若△ACP≌△BPQ，
则AC＝BP，AP＝BQ，可得：5＝7﹣2t，2t＝xt
解得：x＝2，t＝1；
②若△ACP≌△BQP，
则AC＝BQ，AP＝BP，可得：5＝xt，2t＝7﹣2t
解得：x＝，t＝．
综上所述，当△ACP与△BPQ全等时x的值为2或．