2024年河南省安阳市安阳县中考数学一模试卷

这是一份2024年河南省安阳市安阳县中考数学一模试卷，共26页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）实数﹣24的倒数是（ ）
A．B．24C．D．﹣24
2．（3分）下列几何体的三视图都相同的是（ ）
A．B．C．D．
3．（3分）2024年1月3日，我国自主研制的AG60E电动飞机首飞成功．AG60E的最大平飞速度为218km/h，航程1100000米，1100000用科学记数法可以表示为（ ）
A．1.1×107B．0.11×107C．1.1×106D．11×105
4．（3分）如图，先在纸上画两条直线a，b，使a∥b，再将一块直角三角板平放在纸上，使其直角顶点落在直线b上，若∠2＝50°，则∠1的度数是（ ）
A．30°B．40°C．50°D．60°
5．（3分）分式化简后的结果为（ ）
A．﹣1B．1C．D．0
6．（3分）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与y轴交于点A（0，2），其对称轴是直线x＝，则不等式ax2+bx+c≤2的解集是（ ）
A．x≤0B．x≤﹣1或x≥2C．0≤x≤1D．x≤0或x≥1
7．（3分）在一个不透明的盒子中装有1个白球和2个黄球，每个球除颜色外，其他都相同．从中随机摸出1个球，记下颜色后不放回，再从中随机摸出1个球记下颜色，则两次摸到的球的颜色不同的概率是（ ）
A．B．C．D．
8．（3分）已知关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣3m+1＝0有两个相等的实数根，则此方程的根是（ ）
A．x1＝x2＝5B．x1＝x2＝2C．x1＝x2＝1D．x1＝x2＝﹣3
9．（3分）如图，把Rt△ABC放置在平面直角坐标系中，∠C＝90°，已知点A是x轴上的定点，点B的坐标为（0，2）．将Rt△ABC绕点A逆时针旋转60°，旋转后点C恰好与点O重合，则旋转前点C的坐标是（ ）
A．B．C．D．
10．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8．点E在边AD上，且ED＝6，M，N分别是边AB，BC上的动点，P是线段CE上的动点，连接PM，PN，使PM＝PN．当PM+PN的值最小时，线段PC的长为（ ）
A．2B．C．4D．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）如果有意义，那么x的取值范围是 ．
12．（3分）不等式组的解集为 ．
13．（3分）某市举办了“演说中国”青少年演讲比赛，其中综合荣誉分占30%，现场演讲分占70%，小明参加并在这两项中分别取得90分和80分的成绩，则小明的最终成绩为 分．
14．（3分）如图，把矩形OABC放在平面直角坐标系中，O（0，0），A（4，0），C（0，3），点P在边OC上，且不与点O，C重合；点Q在边OA上，且不与点O，A重合，AQ＝2OP，连接QP，QB，PB．当点Q的坐标为 时，PQ⊥BQ．
15．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝40°，AB＝4，斜边AB是半圆O的直径，点D是半圆上的一个动点，连接CD与AB交于点E，若△BCE是等腰三角形，则∠BOD的度数为 ．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分）
16．（10分）（1）计算：；
（2）化简：（3x+2y）（3x﹣2y）﹣2y（2﹣2y）．
17．（9分）为引导学生广泛阅读文学名著，某校在七、八年级开展了以“走进名著，诵读经典”为主题的知识竞赛活动．学生竞赛成绩分为A，B，C，D四个等级，分别是A：0≤x＜70，B：70≤x＜80，C：80≤x＜90，D：90≤x≤100．现从七、八年级参加竞赛的学生中各随机选出20名学生的成绩整理如下：
七年级学生的竞赛成绩为：82，70，86，86，99，86，86，88，84，79，81，91，95，98，93，84，58，81，90，83；
八年级中等级为C的学生成绩为：89，87，85，85，84，84，83．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）根据表格写出a＝ ，b＝ ，m＝ ；
（2）根据以上数据，你认为在此次知识竞赛活动中，哪个年级的成绩更好？请说明理由（一条即可）；
（3）若七、八年级各有1000名学生参赛，请估计两个年级参赛学生中成绩为一般（小于80分）的学生人数．
18．（9分）如图，在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝90°，作线段AB的垂直平分线，交BC于点D，交AB于点E．
（1）依题意补全图形；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
（2）求证：CD＝BD．
19．（9分）如图，为了测量国旗台上旗杆DE的高度，小华在点A处利用测角仪测得旗杆底部D的仰角为27°，然后他沿着正对旗杆DE的方向前进0.5m到达点B处，此时利用测角仪测得旗杆顶部E的仰角为60°，已知点A，B，C在同一水平直线上，测角仪AF的高为1m，DE⊥AB于点C，旗杆底部D到地面的距离DC为3m，求旗杆DE的高度．（结果精确到0.1m．≈1.73，cs27°≈0.89，tan27°≈0.51，sin27°≈0.45）
20．（9分）某电子产品店两次购进甲和乙两种品牌耳机的数量和总费用如下表：
（1）甲、乙两种品牌耳机的进价各是多少元？
（2）商家第三次进货计划购进两种品牌耳机共200个，其中甲品牌耳机数量不少于30个，在采购总价不超过35000元的情况下，最多能购进多少个甲品牌耳机？
21．（9分）如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的边OA在x轴上，点B的坐标为，点C在反比例函数的图象上，以点O为圆心，OC长为半径画．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）阴影部分的面积为 ．（用含π的式子表示）
22．（10分）某校举办“集体跳长绳”体育活动，若在跳长绳的过程中，绳甩到最高处时的形状是抛物线型，示意图如图所示，以ED的中点O为原点建立平面直角坐标系（甲位于x轴的点E处，乙位于x轴的点D处），正在甩绳的甲、乙两名同学握绳的手分别设为A点，B点，且AB的水平距离为4m，绳子甩到最高点C处时，他们握绳的手到地面的距离AE与BD均为1.2m，最高点到地面的垂直距离为2m．
（1）求出该抛物线的解析式；
（2）如果身高为1.8m的小亮，站在ED之间，且与点E的距离为tm，当绳子甩到最高处时，可以通过他的头顶，请结合函数图象求出t的取值范围；
（3）经测定，多人跳长绳且同方向站立时，脚跟之间的距离不小于0.4m才能安全跳绳，小亮与其他4位同学一起跳绳，如果这4位同学与小亮身高相同，通过计算当绳子甩到最高处时，他们是否可以安全跳绳？
23．（10分）综合与实践课上，老师带领同学们以“矩形和平行四边形的折叠”为主题开展数学活动．
（1）操作判断：
如图1，在矩形ABCD中，点E为边AB的中点，沿DE折叠，使点A落在点F处，把纸片展平，延长DF与BC交于点G．请写出线段FG与线段BG的数量关系，并说明理由；
（2）迁移思考：
如图1，若AB＝4，按照（1）中的操作进行折叠和作图，当CG＝2时，求AD的值；
（3）拓展探索：
如图2，四边形ABCD为平行四边形，其中∠A与∠C是对角，点E为边AB的中点，沿DE折叠，使点A落在点F处，把纸片展平，延长DF与射线BC交于点G．若AD＝2，CG＝0.5，请直接写出线段DG的值．
2024年河南省安阳市安阳县中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的．
1．（3分）实数﹣24的倒数是（ ）
A．B．24C．D．﹣24
【分析】根据乘积是1的两个数互为倒数计算即可．
【解答】解：实数﹣24的倒数是，
故选：A．
【点评】本题考查了倒数，熟练掌握倒数的定义是解题的关键．
2．（3分）下列几何体的三视图都相同的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】先得到相应的几何体，找到从上面看所得到的图形即可．
【解答】解：求体的三视图都是相同的圆形，
故选：D．
【点评】本题考查了三视图的知识，利用空间想象能力即可解题．
3．（3分）2024年1月3日，我国自主研制的AG60E电动飞机首飞成功．AG60E的最大平飞速度为218km/h，航程1100000米，1100000用科学记数法可以表示为（ ）
A．1.1×107B．0.11×107C．1.1×106D．11×105
【分析】将一个数表示成a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，这种记数方法叫做科学记数法，据此即可求得答案．
【解答】解：1100000＝1.1×106，
故选：C．
【点评】本题考查科学记数法表示较大的数，熟练掌握其定义是解题的关键．
4．（3分）如图，先在纸上画两条直线a，b，使a∥b，再将一块直角三角板平放在纸上，使其直角顶点落在直线b上，若∠2＝50°，则∠1的度数是（ ）
A．30°B．40°C．50°D．60°
【分析】由平角定义求出∠3＝180°﹣90°﹣50°＝40°，由平行线的性质推出∠1＝∠3＝40°．
【解答】解：∵∠2＝50°，
∴∠3＝180°﹣90°﹣50°＝40°，
∵a∥b，
∴∠1＝∠3＝40°．
故选：B．
【点评】本题考查平行线的性质，关键是由平行线的性质得到∠1＝∠3．
5．（3分）分式化简后的结果为（ ）
A．﹣1B．1C．D．0
【分析】利用分式的加减法则计算即可．
【解答】解：原式＝+
＝
＝1，
故选：B．
【点评】本题考查分式的加减，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
6．（3分）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与y轴交于点A（0，2），其对称轴是直线x＝，则不等式ax2+bx+c≤2的解集是（ ）
A．x≤0B．x≤﹣1或x≥2C．0≤x≤1D．x≤0或x≥1
【分析】由题意得，点A关于对称轴对称的点的坐标为（1，2），则二次函数y＝ax2+bx+c的图象与直线y＝2的交点坐标为（0，2），（1，2），结合图象可得答案．
【解答】解：∵点A（0，2），抛物线的对称轴是直线x＝，
∴点A关于对称轴对称的点的坐标为（1，2），
∴二次函数y＝ax2+bx+c的图象与直线y＝2的交点坐标为（0，2），（1，2），
∴不等式ax2+bx+c≤2的解集是x≤0或x≥1．
故选：D．
【点评】本题考查二次函数与不等式（组），掌握二次函数的图象与性质是解答本题的关键．
7．（3分）在一个不透明的盒子中装有1个白球和2个黄球，每个球除颜色外，其他都相同．从中随机摸出1个球，记下颜色后不放回，再从中随机摸出1个球记下颜色，则两次摸到的球的颜色不同的概率是（ ）
A．B．C．D．
【分析】列表可图得出所有等可能的结果数以及两次摸到的球的颜色不同的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【解答】解：列表如下：
共有6种等可能的结果，其中两次摸到的球的颜色不同的结果有4种，
∴两次摸到的球的颜色不同的概率为．
故选：D．
【点评】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
8．（3分）已知关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣3m+1＝0有两个相等的实数根，则此方程的根是（ ）
A．x1＝x2＝5B．x1＝x2＝2C．x1＝x2＝1D．x1＝x2＝﹣3
【分析】先利用根的判别式求出m的值，再对方程进行求解即可．
【解答】解：因为关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣3m+1＝0有两个相等的实数根，
所以（﹣2）2﹣4（﹣3m+1）＝0，
解得m＝0，
所以此方程为x2﹣2x+1＝0，
解得x1＝x2＝1．
故选：C．
【点评】本题考查根的判别式，熟知一元二次方程根的判别式是解题的关键．
9．（3分）如图，把Rt△ABC放置在平面直角坐标系中，∠C＝90°，已知点A是x轴上的定点，点B的坐标为（0，2）．将Rt△ABC绕点A逆时针旋转60°，旋转后点C恰好与点O重合，则旋转前点C的坐标是（ ）
A．B．C．D．
【分析】令△ABC旋转后的对应三角形为△AOB′，结合旋转的角度可得出点B′的坐标，进而求出OA的长，再过点C作OA的垂线利用勾股定理即可解决问题．
【解答】解：令△ABC旋转后的对应三角形为△AOB′，连接OC，如图所示，
则AB＝AB′，AC＝AO，∠CAO＝∠BAB′＝60°，
所以△ACO和△ABB′都是等边三角形．
因为AO⊥BB′，
所以B′O＝BO＝2，
所以BB′＝4，
所以AB＝BB′＝4．
在Rt△AOB中，
OA＝，
所以CO＝OA＝．
过点C作OA的垂线，垂足为M，
则OM＝．
在Rt△COM中，
CM＝．
所以点C的坐标为（）．
故选：C．
【点评】本题考查坐标与图形变化﹣旋转，熟知图形旋转的性质并巧用勾股定理是解题的关键．
10．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8．点E在边AD上，且ED＝6，M，N分别是边AB，BC上的动点，P是线段CE上的动点，连接PM，PN，使PM＝PN．当PM+PN的值最小时，线段PC的长为（ ）
A．2B．C．4D．
【分析】过点P作PG⊥CD于点G，交AB于点F，作PH⊥BC于点H，则四边形BCGF是矩形，所以FG＝BC＝8，∠PFB＝90°，证得CE平分∠BCD，得PH＝PG，由PM≥PF，PN≥PH，得PM+PN≥8，可知当PM与PF重合且PN与PH重合时，PM+PN取得最小值8，此时四边形BHPF是正方形，则BH＝PF＝PH＝PG＝CH＝FG＝×8＝4，根据勾股定理即可求出PC．
【解答】解：过点P作PG⊥CD于点G，交AB于点F，作PH⊥BC于点H，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝∠BCG＝∠FGC＝90°，CD＝AB＝6，AD＝BC＝8，
∴四边形BCGF是矩形，
∴FG＝BC＝8，∠PFB＝∠B＝∠PHB＝90°，
∴四边形BHPF是矩形，PF⊥AB，
∵ED＝6，
∴ED＝CD，
∴∠DCE＝∠DEC＝45°，
∴∠BCE＝90﹣45°＝45°＝∠DCE，
∴CE平分∠BCD，
∴PH＝PG，四边形CHPG是正方形，
∴PH＝CH，
∵PM≥PF，PN≥PH，
∴PM+PN≥PF+PH，
∴PM+PN≥PF+PG，
∵PF+PG＝FG＝8，
∴PM+PN≥8，
∴当PM与PF重合且PN与PH重合时，PM+PN取得最小值8，
∵BM＝BN，
∴当PM与PF重合且PN与PH重合时，则BF＝BH，此时四边形BHPF是正方形，
∴BH＝PF＝PH＝PG＝CH＝FG＝×8＝4，
∴PC＝＝4．
故选：D．
【点评】此题重点考查矩形的判定与性质、正方形的判定与性质、角平分线的性质、垂线段最短等知识，正确地作出辅助线是解题的关键．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）如果有意义，那么x的取值范围是 x≤1 ．
【分析】根据二次根式的被开方数是非负数列出不等式，解不等式得到答案．
【解答】解：由题意得：﹣x+1≥0，
解得：x≤1，
故答案为：x≤1．
【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，熟记二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．
12．（3分）不等式组的解集为 x＜﹣1 ．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
【解答】解：由3﹣x＞0得：x＜3，
由2x＜﹣x﹣3得：x＜﹣1，
则不等式组的解集为x＜﹣1，
故答案为：x＜﹣1．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
13．（3分）某市举办了“演说中国”青少年演讲比赛，其中综合荣誉分占30%，现场演讲分占70%，小明参加并在这两项中分别取得90分和80分的成绩，则小明的最终成绩为 83 分．
【分析】根据加权平均数的公式计算，即可求解．
【解答】解：小明的最终比赛成绩为：90×30%+80×70%＝27+56＝83（分），
故答案为：83．
【点评】本题考查了加权平均数，根据加权平均数的公式列出算式是本题的关键．
14．（3分）如图，把矩形OABC放在平面直角坐标系中，O（0，0），A（4，0），C（0，3），点P在边OC上，且不与点O，C重合；点Q在边OA上，且不与点O，A重合，AQ＝2OP，连接QP，QB，PB．当点Q的坐标为 （，0） 时，PQ⊥BQ．
【分析】通过证明△POQ∽△QAB，可得，可求OQ的长，即可求解．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，O（0，0），A（4，0），C（0，3），
∴OA＝4，AB＝OC＝3，∠COA＝∠BAO＝90°，
若PQ⊥BQ，
∴∠PQB＝90°＝∠COA＝∠BAO，
∴∠OPQ+∠OQP＝90°＝∠OQP+∠BQA，
∴∠OPQ＝∠AQB，
∴△POQ∽△QAB，
∴，
∵AQ＝2OP，
∴，
∴OQ＝，
∴点Q（，0），
∴当点Q（，0）时，PQ⊥BQ，
故答案为：（，0）．
【点评】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，证明三角形相似是解题的关键．
15．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝40°，AB＝4，斜边AB是半圆O的直径，点D是半圆上的一个动点，连接CD与AB交于点E，若△BCE是等腰三角形，则∠BOD的度数为 80°或140° ．
【分析】分两种情形：①BE＝BC，②EB＝EC，分别求出∠BOD即可．
【解答】解：如图1中，当BE＝BC时，
∵BE＝BC，∠EBC＝40°，
∴∠BCE＝∠BEC＝×（180°﹣40°）＝70°，
∵弧BD＝弧BD，
∴∠BOD＝2∠BCE＝140°；
如图2中，当EB＝EC时，点E与O重合，
∵BE＝BC，
∴∠EBC＝∠BCD＝40°，
∴∠BOD＝2∠BCD＝80°；
故答案为：80°或140°．
【点评】本题考查圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分）
16．（10分）（1）计算：；
（2）化简：（3x+2y）（3x﹣2y）﹣2y（2﹣2y）．
【分析】（1）先化简，然后计算加减法即可；
（2）根据平方差公式和单项式乘多项式将题目中的式子展开，然后合并同类项即可．
【解答】解：（1）
＝3﹣4+1
＝0；
（2）（3x+2y）（3x﹣2y）﹣2y（2﹣2y）
＝9x2﹣4y2﹣4y+4y2
＝9x2﹣4y．
【点评】本题考查二次根式的混合运算、整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键，注意平方差公式和完全平方公式的应用．
17．（9分）为引导学生广泛阅读文学名著，某校在七、八年级开展了以“走进名著，诵读经典”为主题的知识竞赛活动．学生竞赛成绩分为A，B，C，D四个等级，分别是A：0≤x＜70，B：70≤x＜80，C：80≤x＜90，D：90≤x≤100．现从七、八年级参加竞赛的学生中各随机选出20名学生的成绩整理如下：
七年级学生的竞赛成绩为：82，70，86，86，99，86，86，88，84，79，81，91，95，98，93，84，58，81，90，83；
八年级中等级为C的学生成绩为：89，87，85，85，84，84，83．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）根据表格写出a＝ 86 ，b＝ 86 ，m＝ 40 ；
（2）根据以上数据，你认为在此次知识竞赛活动中，哪个年级的成绩更好？请说明理由（一条即可）；
（3）若七、八年级各有1000名学生参赛，请估计两个年级参赛学生中成绩为一般（小于80分）的学生人数．
【分析】（1）分别根据中位数和众数的定义可得a和b的值，用“1”别减去其它三个等级所占百分比即可得出m的值；
（2）依据表格数据做出判断即可；
（3）用样本估计总体，即用总人数乘样本中成绩为一般（小于80分）的学生人数所占百分比即可．
【解答】解：（1）由题意可知，把八年级20名学生的成绩从小到大排列，排在中间的两个数分别为85，87，故中位数a＝（85+87）÷2＝86；
七年级0名学生的成绩中86出现次数最多，故众数b＝86；
m%＝1﹣10%﹣15%﹣7÷20＝40%，故m＝40．
故答案为：86，86，40；
（2）八年级的成绩更好，因为两个年级的平均数和中位数都相同，而八年级的成绩的众数大于七年级．（答案合理即可）
（3）（名）．
答：估计两个年级参赛学生中成绩为一般（小于80分）的学生共有400名．
【点评】本题考查了中位数、众数、平均数，方差，理解中位数、众数的定义，掌握中位数、众数的计算方法是正确解答的关键．
18．（9分）如图，在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝90°，作线段AB的垂直平分线，交BC于点D，交AB于点E．
（1）依题意补全图形；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
（2）求证：CD＝BD．
【分析】（1）根据线段垂直平分线的作图方法按要求作图即可．
（2）由线段垂直平分线的性质可得AD＝BD，则∠DAB＝∠B＝30°，进而可得∠DAC＝30°，从而可得．
【解答】（1）解：如图所示．
（2）证明：连接AD，
由（1）知，DE是线段AB的垂直平分线，
∴AD＝BD，
∴∠DAB＝∠B＝30°．
∵∠C＝90°，
∴∠BAC＝60°，
∴∠DAC＝30°．
在Rt△ACD中，∠DAC＝30°，
∴．
【点评】本题考查作图—复杂作图、线段垂直平分线的性质、含30度角的直角三角形，掌握含30度角的直角三角形、线段垂直平分线的性质是解答本题的关键．
19．（9分）如图，为了测量国旗台上旗杆DE的高度，小华在点A处利用测角仪测得旗杆底部D的仰角为27°，然后他沿着正对旗杆DE的方向前进0.5m到达点B处，此时利用测角仪测得旗杆顶部E的仰角为60°，已知点A，B，C在同一水平直线上，测角仪AF的高为1m，DE⊥AB于点C，旗杆底部D到地面的距离DC为3m，求旗杆DE的高度．（结果精确到0.1m．≈1.73，cs27°≈0.89，tan27°≈0.51，sin27°≈0.45）
【分析】延长FN交EC于点M，设DE＝xm，根据正切的定义用x表示出MN，再根据正切的定义求出MF，根据题意列方程，解方程得到答案．
【解答】解：如图，延长FN交EC于点M，
由题意得，AF＝BN＝CM＝1m，DC＝3m，AB＝FN＝0.5m，
则DM＝DC﹣CM＝2m，
设DE＝xm，则EM＝（x+2）m，
在Rt△EMN中，∠FNM＝60°，
∵tan∠FNM＝，
∴MN＝＝＝，
在Rt△FDM中，FM＝＝≈3.92（m），
由FN＝FM﹣MN，得3.92﹣＝0.5，
解得：x≈3.9，
答：旗杆DE的高度约为3.9m．
【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
20．（9分）某电子产品店两次购进甲和乙两种品牌耳机的数量和总费用如下表：
（1）甲、乙两种品牌耳机的进价各是多少元？
（2）商家第三次进货计划购进两种品牌耳机共200个，其中甲品牌耳机数量不少于30个，在采购总价不超过35000元的情况下，最多能购进多少个甲品牌耳机？
【分析】（1）设甲品牌耳机的进价是x元，乙品牌耳机的进价是y元，利用总价＝单价×数量，结合第一、二次够级两种品牌耳机的数量及所需总费用，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设第三次购进m个甲品牌耳机，则购进（200﹣m）个乙品牌耳机，根据“第三次购进甲品牌耳机数量不少于30个，且总价不超过35000元”，可列出关于m的一元一次不等式组，解之可得出m的取值范围，再取其中的最大值即可得出结论．
【解答】解：（1）设甲品牌耳机的进价是x元，乙品牌耳机的进价是y元，
根据题意得：，
即，
解得：．
答：甲品牌耳机的进价是220元，乙品牌耳机的进价是160元；
（2）设第三次购进m个甲品牌耳机，则购进（200﹣m）个乙品牌耳机，
根据题意得：，
解得：30≤m≤50，
∴m的最大值为50．
答：最多能购进50个甲品牌耳机．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．
21．（9分）如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的边OA在x轴上，点B的坐标为，点C在反比例函数的图象上，以点O为圆心，OC长为半径画．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）阴影部分的面积为 ．（用含π的式子表示）
【分析】（1）在Rt△ABD中，由勾股定理得：AD2+BD2＝AB2，得到AB＝OA＝OC＝CB＝4，AD＝2，证明Rt△COE≌Rt△BAD（HL）．得到，即可求解；
（2）由阴影部分的面积＝S菱形OABC﹣S扇形OCA＝AO×CE﹣×π×AO2，即可求解．
【解答】解：（1）如图，过点B，C分别作BD，CE垂直于x轴于点D，E．
∵点B的坐标为，
∴OD＝6，．
∵四边形OABC是菱形，
∴AB＝OA＝OC＝CB，CB∥OA．
设AB＝OA＝x，则AD＝6﹣x，
在Rt△ABD中，由勾股定理得：AD2+BD2＝AB2，
即．
解得x＝4．
∴AB＝OA＝OC＝CB＝4，AD＝2．
在Rt△COE与Rt△BAD中，
，
∴Rt△COE≌Rt△BAD（HL）．
∴OE＝AD＝2．
∵，
∴．
∴．
设反比例函数的表达式为，
将C点代入，得，
∴；
（2）由点C的坐标得，tan∠COE＝，
则∠COE＝60°，
则阴影部分的面积＝S菱形OABC﹣S扇形OCA＝AO×CE﹣×π×AO2＝4×2﹣×π×16＝，
故答案为：．
【点评】本题考查的是反比例函数综合运用，涉及到三角形全等、面积的计算、勾股定理的运用等，综合性强，难度适中．
22．（10分）某校举办“集体跳长绳”体育活动，若在跳长绳的过程中，绳甩到最高处时的形状是抛物线型，示意图如图所示，以ED的中点O为原点建立平面直角坐标系（甲位于x轴的点E处，乙位于x轴的点D处），正在甩绳的甲、乙两名同学握绳的手分别设为A点，B点，且AB的水平距离为4m，绳子甩到最高点C处时，他们握绳的手到地面的距离AE与BD均为1.2m，最高点到地面的垂直距离为2m．
（1）求出该抛物线的解析式；
（2）如果身高为1.8m的小亮，站在ED之间，且与点E的距离为tm，当绳子甩到最高处时，可以通过他的头顶，请结合函数图象求出t的取值范围；
（3）经测定，多人跳长绳且同方向站立时，脚跟之间的距离不小于0.4m才能安全跳绳，小亮与其他4位同学一起跳绳，如果这4位同学与小亮身高相同，通过计算当绳子甩到最高处时，他们是否可以安全跳绳？
【分析】（1）由题意可设抛物线的解析式为y＝ax2+2，把点B（2，1.2）代入y＝ax2+2中，求出a的值即可求出抛物线的解析式；
（2）将y＝1.8代入y＝﹣0.2x2+2，求出x的值即可求出t的取值范围；
（3）由（2）可知当y＝1.8时，x1＝﹣1，x2＝1，所以可求出可以站立跳绳的距离为4﹣2＝2米，因为1.6＜2，所以他们可以安全起跳．
【解答】解：（1）由题意可设抛物线的解析式为y＝ax2+2，
将点B（2，1.2）代入y＝ax2+2中，
解得a＝﹣0.2
∴y＝﹣0.2x2+2；
（2）将y＝1.8代入y＝﹣0.2x2+2，
解得x1＝﹣1，x2＝1，
∵EO＝2，
∴2﹣1＝1，2+1＝3．
∴1≤t≤3；
（3）他们可以安全跳绳．理由如下：
当y＝1.8时，则1.8＝﹣0.2x2+2，
解得：x1＝﹣1，x2＝1，
∴可以站立跳绳的距离为1﹣（﹣1）＝2（m）．
∵（1+4﹣1）×0.4＝1.6（m），且1.6＜2，
∴他们可以安全跳绳．
【点评】本题考查了求二次函数的表达式，和二次函数的实际应用，利用待定系数法求出二次函数的表达式是解答本题的关键．
23．（10分）综合与实践课上，老师带领同学们以“矩形和平行四边形的折叠”为主题开展数学活动．
（1）操作判断：
如图1，在矩形ABCD中，点E为边AB的中点，沿DE折叠，使点A落在点F处，把纸片展平，延长DF与BC交于点G．请写出线段FG与线段BG的数量关系，并说明理由；
（2）迁移思考：
如图1，若AB＝4，按照（1）中的操作进行折叠和作图，当CG＝2时，求AD的值；
（3）拓展探索：
如图2，四边形ABCD为平行四边形，其中∠A与∠C是对角，点E为边AB的中点，沿DE折叠，使点A落在点F处，把纸片展平，延长DF与射线BC交于点G．若AD＝2，CG＝0.5，请直接写出线段DG的值．
【分析】（1）由“HL”可证Rt△EFG≌Rt△EBG，可得FG＝BG；
（2）由勾股定理可求解；
（3）分两种情况讨论，由折叠的性质可得AD＝DF＝2，∠A＝∠DFE，EF＝AE，由等腰三角形的性质可求FG的长，即可求解．
【解答】解：（1）FG＝BG，
理由如下：如图，连接EG，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠B＝90°．
∵点E是AB的中点，
∴AB＝BE．
由折叠可知AE＝EF，
∴EF＝EB．
在Rt△EFG和Rt△EBG中，
∴Rt△EFG≌Rt△EBG（HL），
∴FG＝BG；
（2）∵四边形ABCD是矩形，AB＝4，
∴CD＝AB＝4．
∴．
令AD＝x，则DF＝AD＝x，
由（1）知FG＝BG＝x﹣2，
∴．
解得，
即AD的长为．
（3）当点F在DC的下方时，如图2，连接BF，
∵折叠，
∴AD＝DF＝2，∠A＝∠DFE，EF＝AE，
∵∠A+∠ABC＝180°，∠DFE+∠EFG＝180°，
∴∠EFG＝∠ABC，
∵点E为边AB的中点，
∴AE＝BE，
∴EF＝BE，
∴∠EFB＝∠EBF，
∴∠GFB＝∠GBF，
∴GF＝BG＝BC﹣CG＝2﹣0.5＝1.5，
∴DG＝3.5；
当点F在DC的上方时，如图3，连接BF，
同理可求：FG＝BG＝BC+CG＝2+0.5＝2.5，
∴DG＝4.5，
综上所述：DG的长为3.5或4.5．
【点评】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
学生
平均数
中位数
众数
方差
七年级
85
86
b
86
八年级
85
a
91
80.76
第一次
第二次
甲品牌耳机（个）
20
30
乙品牌耳机（个）
40
50
总费用（元）
10800
14600
白
黄
黄
白
（白，黄）
（白，黄）
黄
（黄，白）
（黄，黄）
黄
（黄，白）
（黄，黄）
学生
平均数
中位数
众数
方差
七年级
85
86
b
86
八年级
85
a
91
80.76
第一次
第二次
甲品牌耳机（个）
20
30
乙品牌耳机（个）
40
50
总费用（元）
10800
14600