广东省深圳市深圳外国语学校2021-2022学年高一上学期期末数学试题

深圳外国语学校2020-2021学年度高一第一学期学段（二）考试

数学试卷

本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分120分，考试用时120分钟．

注意事项：

1．答题卡前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、考号、座位号等相关信息填写在答题卡指定区域内．

2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；不能答在试卷上．

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．

4．考生必须保持答题卡的整洁．

第一部分  选择题（共40分）

一、单选题（本大题共8小题，每个小题只有一个正确选项，每题3分，共24分）

1. 集合的真子集的个数是（　　）

A. 16 B. 8 C. 7 D. 4

【答案】C

【解析】

【分析】

先用列举法写出集合，再写出其真子集即可.

【详解】解：∵，

的真子集为：共7个．

故选：C．

2. （    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据诱导公式及特殊角的三角函数值求得结果.

【详解】，

故选：A.

【点睛】本题主要考查诱导公式，意在考查学生的数学运算的学科素养，属基础题.

3. 下列函数是偶函数且在区间上为减函数的是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】

根据解析式判断各个选项中函数的奇偶性和单调性可得答案.

【详解】不是偶函数；

不是偶函数；

是偶函数，且函数在上是减函数，所以该项正确；

是二次函数，是偶函数，且在上是增函数，

故选：C.

4. 函数的单调递增区间为（    ）

A. （－∞，1） B. （2，+∞） C. （－∞，） D. （，+∞）

【答案】A

【解析】

【分析】

根据复合函数的单调性求解即可.

【详解】因为为减函数,且定义域为.所以,即或

故求的单调递减区间即可.又对称轴为,在上单调递减.又,故的单调递增区间为.

故选：A

【点睛】本题主要考查了复合函数的单调区间,需要注意对数函数的定义域,属于基础题型.

5. 设，，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】

利用对数函数、指数函数的单调性与“0，1”比较即可.

【详解】，

，

，

．

故选:.

【点睛】本题考查对数函数、指数函数的单调性等基础知识，属于基础题．

6. 若，则

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【详解】，.选C.

7. “”是“关于的不等式对恒成立”的（    ）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】

【分析】先根据“关于的不等式对恒成立”得，再根据集合关系判断即可得答案.

【详解】设：“关于的不等式对恒成立”，

则由知一元二次函数的图象开口向上，且轴无交点.

所以对于一元二次方程必有，

解得，

由于，

所以“”是“关于的不等式对恒成立”的必要不充分条件.

故选：B.

【点睛】结论点睛：本题考查充分不必要条件的判断，一般可根据如下规则判断：

（1）若是的必要不充分条件，则对应集合是对应集合的真子集；

（2）若是的充分不必要条件， 则对应集合是对应集合的真子集；

（3）若是的充分必要条件，则对应集合与对应集合相等；

（4）若是的既不充分又不必要条件， 对的集合与对应集合互不包含．

8. 设函数，则满足的x的取值范围是

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】分析：首先根据题中所给的函数解析式，将函数图像画出来，从图中可以发现若有成立，一定会有，从而求得结果.

详解：将函数的图像画出来，观察图像可知会有，解得，所以满足的x的取值范围是，故选D.

点睛：该题考查的是有关通过函数值的大小来推断自变量的大小关系，从而求得相关的参数的值的问题，在求解的过程中，需要利用函数解析式画出函数图像，从而得到要出现函数值的大小，绝对不是常函数，从而确定出自变量的所处的位置，结合函数值的大小，确定出自变量的大小，从而得到其等价的不等式组，从而求得结果.

【详解】

二、多选题（本大题共4小题，每小题4分，共16分，每个小题有多个选项，全部选对得4分，部分选对得2分，错选得0分）

9. 已知集合，集合，下列关系正确的是（    ）．

A.  B.  C.  D.

【答案】ACD

【解析】

【分析】根据集合的定义判断，注意集合中代表元形式．

【详解】由已知集合，集合是由抛物线上的点组成的集合，

A正确，B错，C正确，D正确，

故选：ACD．

【点睛】本题考查集合的概念，确定集合中的元素是解题关键．

10. 下列结论正确的是（    ）．

A. 若，则的最大值为

B. 若，，则

C. 若，，且，则的最大值为9

D. 若，则的最大值为2

【答案】ABD

【解析】

【分析】

利用基本不等式，逐项判断，即可得出结果.

【详解】A选项，由可得，当且仅当，即时，等号成立；即最大值为；A正确；

B选项，由，，可得，即，故B正确；

C选项，若，，且，

则，

当且仅当，即时，等号成立；即的最小值为9，故C错；

D选项，因为，所以，当且仅当，即时，等号成立，故D正确.

故选：ABD.

【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足三个条件：

（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；

（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；

（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.

11. 如图是某市夏季某一天的温度变化曲线，若该曲线近似地满足函数，则下列说法正确的是（    ）

A. 该函数的周期是16 B. 该函数图象的一条对称轴是直线

C. 该函数的解析式是 D. 这一天的函数关系式也适用于第二天

【答案】ABC

【解析】

【分析】由题意以及函数的图象可求，的值，可求周期的值，即可判断A，利用三角函数周期公式可求，由图象经过点，结合范围，可求的值，得解函数解析式即可判断BC，由题意判断D选项即可得解．

【详解】解：由题意以及函数的图象可知，，，解得，．

，

，所以A正确；

，，

．

图象经过点，

，

，

，

，

，所以BC正确；

这一天的函数关系式只适用于当天，第二天这个关系式不一定适用，故D错误．

故选：ABC

12. 已知函数f(x)＝，关于x方程f(x)＋x－a＝0有且只有一个实根，则实数a的取值是（    ）

A. -1 B. 0 C. 2 D. 3

【答案】CD

【解析】

【分析】

先将问题等价于函数y＝f(x)与y＝－x＋a的图象有且只有一个交点，作出图象，进行数形结合即得结果.

【详解】方程f(x)＋x－a＝0有且只有一个实根，等价于函数y＝f(x)与y＝－x＋a的图象有且只有一个交点，结合函数图象可知，当时有两个交点，当a>1时有且只有一个交点.

故选：CD.

【点睛】方法点睛：已知方程的根的情况，求参数值(取值范围)常用的方法：

（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；

（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；

（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.

第二部分  非选择题（80分）

三、填空題（本大题共4小题，每题4分，共16分）

13. 函数的值域为__________________．

【答案】

【解析】

【详解】试题分析：函数定义域为R，，函数是增函数，所以值域为

考点：函数单调性与值域

14. 将函数的图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的倍，再向右平移单位，所得到的函数解析式是_________.

【答案】

【解析】

【分析】

利用三角函数图象的平移和伸缩变换即可得正确答案.

【详解】函数的图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的倍，

得到，

再向右平移个单位，得到，

故最终所得到的函数解析式为：.

故答案为：.

15. 奇函数是定义在上的减函数，若，则实数的取值范围是_______

【答案】

【解析】

【分析】

利用函数的奇偶性、单调性去掉不等式中的符号“”，可转化为具体不等式，注意函数定义域．

【详解】解：由得，

又为奇函数，得，

，

又是定义在，上的减函数，

解得：．

即

故答案为：

【点睛】本题考查函数的奇偶性、单调性的综合应用，考查转化思想，解决本题的关键是利用性质去掉符号“”．

16. 已知函数f（x）＝|sinx|﹣cosx，给出以下四个命题：

①f（x）的图象关于y轴对称；     

②f（x）在[﹣π，0]上是减函数；

③f（x）是周期函数；            

④f（x）在[﹣π，π]上恰有三个零点．

其中真命题序号是_____．（请写出所有真命题的序号）

【答案】①③

【解析】

【分析】

求函数的奇偶性即可判断①；结合取值范围，可去绝对值号，结合辅助角公式求出函数的解析式，从而可求单调性即可判断②；由f（x+2π）＝f（x）可判断③；求[﹣π，0]上的解析式，从而可求出该区间上的零点，结合函数的奇偶性即可判断[﹣π，π]上零点个数 .

【详解】解：对于①，函数f（x）＝sinx﹣cosx的定义域为R，且满足f（﹣x）＝f（x），

所以f（x）是定义域在R上的偶函数，其图象关于y轴对称，①为真命题；

对于②，当x∈[﹣π，0]时，sinx≤0，，

对于，，所以在[﹣π，0]上先减后增，那么f（x）在[﹣π，0]上先增后减，②为假命题；

对于③，因为f（x+2π）＝|sin（x+2π）|﹣cos（x+2π）＝|sinx|﹣cosx＝f（x），函数f（x）是周期为2π的周期函数，③为真命题；

对于④，当x∈[﹣π，0]时，sinx≤0，，且，f（x）在[﹣π，0]上恰有一个零点是，又由①知道f（x）是定义在R上的偶函数，所以在（0，π]上有一个零点是，则④为假命题．

故答案为: ①③.

【点睛】关键点睛：在判断命题②④时，关键是结合自变量的取值范围去掉绝对值号，结合辅助角公式求出函数的解析式，再结合正弦函数的性质进行判断.

四、解答题（本大题共64分）

17. 计算：（1）.

（2）（是自然对数的底数）.

【答案】（1）；（2）4.

【解析】

【分析】

（1）根据指数幂的运算法则逐一进行化简；

（2）根据对数幂的运算法则进行化简；

【详解】解：（1）原式；

（2）原式.

【点睛】指数幂运算的一般原则

（1）有括号的先算括号里的，无括号的先做指数运算；

（2）先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数；

（3）底数是负数，先确定符号；底数是小数，先化成分数；底数是带分数的，先化成假分数；

（4）若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答.

18. 已知集合，

（1）当时，求，；

（2）若，求实数的取值范围．

【答案】（1）或；；（2） .

【解析】

【分析】（1）时求出集合，，再根据集合的运算性质计算和；

（2）根据，讨论和时的取值范围，从而得出实数的取值范围．

【详解】解：（1）当时，，

或，

或；

又，

；

（2），

当，即时，，满足题意；

当时，应满足，此时得；

综上，实数的取值范围是．

【点睛】本题考查了集合的基本运算以及不等式解法问题，注意等价变形的应用，属于中档题．

19. 如图，在平面直角坐标系中，角的终边与单位圆交于点.

（1）若点的横坐标为，求的值.

（2）若将绕点逆时针旋转，得到角(即)，若，求的值.

【答案】（1）（2）

【解析】

【分析】（1）由三角函数的定义知，，，又，代入即可得到答案；

（2）利用公式计算即可.

【详解】（1）在单位圆上，且点的横坐标为，则，，

.

 （2）由题知，则则.

【点睛】本题考查二倍角公式以及两角差的正切公式的应用，涉及到三角函数的定义，是一道容易题.

20. 某工厂利用辐射对食品进行灭菌消毒，先准备在该厂附近建一职工宿舍，并对宿舍进行防辐射处理，防辐射材料的选用与宿舍到工厂距离有关．若建造宿舍的所有费用p（万元）和宿舍与工厂的距离x（km）的关系式为（0≤x≤15），若距离为10km时，测算宿舍建造费用为20万元．为了交通方便，工厂与宿舍之间还要修一条道路，已知购置修路设备需10万元，铺设路面每千米成本为4万元．设为建造宿舍与修路费用之和．

（1）求的表达式；

（2）宿舍应建在离工厂多远处，可使总费用最小，并求最小值．

【答案】（1）；（2）宿舍应建在离工厂km处，可使总费用最小，最小值为65万元．

【解析】

【分析】

（1）根据距离为时，测算宿舍建造费用为20万元，可求的值，由此，可得的表达式；

（2），利用基本不等式，即可求出函数最小值．

【详解】解：（1）由题意可知，距离为10km时，测算宿舍建造费用为20万元，则，解得k=900，所以，则；

（2）因为，当且仅当，即时取等号，此时总费用最小．

答：宿舍应建在离工厂km处，可使总费用最小，最小值为65万元．

【点睛】利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：

（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；

（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；

（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方

21. 已知函数，.

（1）求的最小正周期及单调递减区间；

（2）若在区间上的最大值为3，求m的最小值.

【答案】（1）；单调递减区间是；（2）.

【解析】

【分析】

（1）直接利用三角函数关系式的恒等变换和正弦型函数的性质的应用求出结果．

（2）由（1）知，由的取值范围，求出的取值范围，再根据正弦函数的性质计算可得；

【详解】解：（1）由己知，有

，

所以的最小正周期：.

由，

得的单调递减区间是.

（2）由（1）知，因为，

所以.

要使在区间上的最大值为3.

即在区间的最大值为1.

所以.即

所以m的最小值为.

【点睛】本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题．

22. 设函数是定义R上的奇函数．

（1）求k的值；

（2）若不等式有解，求实数a的取值范围；

（3）设，求在上的最小值，并指出取得最小值时的x的值．

【答案】（1）1；（2）；（3）最小值为，此时.

【解析】

【分析】

（1）根据题意可得，即可求得k值，经检验，符合题意；

（2）有解，等价为，利用二次函数图象与性质，即可求得答案；

（3）由题意，令，可得t的范围，整理可得，，利用二次函数的性质，即可求得答案.

【详解】（1）因为是定义域为R上的奇函数，

所以，所以，解得，

所以，

当时，，

所以为奇函数，故；

（2）有解，所以有解，

所以只需，

因为（时，等号成立），

所以；

（3）因为，所以，

可令，可得函数t在递增，即，

则，可得函数，，

由为开口向上，对称轴为的抛物线，

所以时，取得最小值，

此时，解得，

所以在上的最小值为，此时．

【点睛】解题的关键熟练掌握二次函数的图象与性质，并灵活应用，处理存在性问题时，若，只需，若，只需，处理恒成立问题时，若，只需，若，只需，考查分析理解，计算化简的能力属中档题.