2022-2023学年广东省深圳市深圳外国语学校高一上学期期末数学试题（解析版）

2022-2023学年广东省深圳市深圳外国语学校高一上学期期末数学试题

一、单选题

1．设集合，，，（    ）

A．{1} B．{5，6} C．{2，4} D．{1，2，4，5}

【答案】B

【分析】根据题意，根据补集和交集的定义，直接计算可得.

【详解】由已知得，，，所以，.

故选：B

2．若a，，c∈R，a>b，则下列不等式恒成立的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】举特例即可判断选项A，B，D，利用不等式的性质判断C即可作答.

【详解】当a=1，b=-2时，满足a>b，但，排除选项A；

当时，，排除选项B；

因为>0，a>b，由不等式性质得，所以选项C正确；

当c=0时，a|c|>b|c|不成立，排除选项D.

故选：C

3．函数的图像可能是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】根据函数奇偶性的定义，求得函数为奇函数，图象关于原点对称，再结合，即可求解.

【详解】由题意，函数的定义域为，

且，所以函数为奇函数，图象关于原点对称，排除选项B；

又当时，，

所以，故排除CD.

故选：A

4．若幂函数的图像经过点(18，)，则函数的最小值为（    ）

A． B． C．6 D．

【答案】C

【分析】根据题意求出幂函数的解析式，再由换元法即可求出函数的最值.

【详解】设函数，由题意可知：，故

于是，

令，则：，且，

故

易知函数在上单调递增，

因此当即时，函数取得最小值6.

故选：C.

5．如图是杭州2022年第19届亚运会会徽，名为“潮涌”，形象象征着新时代中国特色社会主义大潮的涌动和发展.如图是会徽的几何图形，设弧AD的长度是l1，弧BC的长度是l2，几何图形ABCD面积为S1，扇形BOC面积为S2，若，（    ）

A．9 B．8 C．16 D．15

【答案】D

【分析】根据题意，由可得，再由扇形的面积公式即可得到结果.

【详解】设，由，得，即，

所以

故选:D

6．对实数a与b，定义新运算:，设函数，若函数的图象与x轴恰有两个公共点，则实数c的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】先化简函数的解析式，再作出函数的图象，转化为直线与函数的图象有两个交点，数形结合分析即得解.

【详解】令，解得，

所以，

当时，，；

当时，，；

作出函数的图象，如图，

若的图象与轴恰有两个公共点，

即直线与函数的图象有两个交点，数形结合可得.

故选：A

7．设，则（    ）

A．- B．- C．- D．

【答案】D

【分析】根据二倍角公式可将化简成，代入计算即可求得结果.

【详解】由可得

；

所以.

故选：D

8．若且，则的最小值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据题意，将原式变形，然后结合不等式的性质即可得到结果.

【详解】因为且，

所以，

即

当且仅当时，等号成立，

所以，

则

故选:D

二、多选题

9．下面命题正确的是（    ）

A．“”是“”的必要不充分条件

B．“”是“一元二次方程有一正一负根”的充要条件

C．设，则“”是“且”的充分不必要条件

D．命题“”的否定为“”

【答案】AB

【分析】由充分和必要条件的定义判断A；由根与系数的关系结合充分和必要条件的定义判断B；由不等式的性质结合充分和必要条件的定义判断C；由否定的定义判断D.

【详解】对于A：当时，不能得到；当时，一定可以得出，即“”是“”的必要不充分条件，故A正确；

对于B：若，则，所以一元二次方程有两个根，且一正一负根，若一元二次方程有一正一负根，则，则，故B正确；

对于C：若“”，则不一定有“且”，比如，满足，但不满足且；而若“且”，则一定有“”，

所以“”是“且”的必要不充分条件，故C不正确；

对于D：由否定的定义可知，命题“”的否定为“”，故D不正确；

故选：AB

10．关于函数的零点，下列说法正确的是：（　　）

（参考数据：，，，，，）

A．函数的零点个数为1

B．函数的零点个数为2

C．用二分法求函数的一个零点的近似解可取为（精确到）

D．用二分法求函数的一个零点的近似解可取为（精确到）

【答案】AC

【分析】函数在上单调递增，确定函数仅有1个零点，根据二分法即可求出零点所在区间.

【详解】解：易知函数在上单调递增，

因为，，

所以函数在上有1个零点，

取区间中点，则，

所以函数在上有零点，

取区间中点，则，

所以函数在区间上有零点，

取区间中点，则，

所以函数在区间上有零点，

又精确到的近似值都是，

所以函数的一个零点的近似解为，

故选：AC.

三、单选题

11．若x，y满，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由基本不等式的性质进行逐一判断即可.

【详解】因为，当且仅当时取等号，

所以，

因为，

而，所以，

于是有，故选项AB都不正确；

由，

故选：C

四、多选题

12．已知函数，，则（    ）

A．函数为偶函数

B．函数为奇函数

C．函数在区间上的最大值与最小值之和为0

D．设，则的解集为(1，+∞)

【答案】BC

【分析】由定义判断AB；由奇函数的性质判断C；根据的单调性以及奇偶性解不等式，从而判断D.

【详解】对于A：，定义域为，，

则为奇函数，故A不正确；

对于B：，由可知，，定义域为，

，则为奇函数，故B正确；

对于C：，，都为奇函数，则为奇函数，

在区间上的最大值与最小值互为相反数，

必有在区间上的最大值与最小值之和为0，故C正确；

对于D：，则在上为减函数，

，则在上为减函数，

则在上为减函数，

若即，则必有，解得，

即的解集为，故D不正确；

故选：BC

五、填空题

13．已知，且，则___________.

【答案】##

【分析】利用同角三角函数的基本关系可求得的值，再结合诱导公式可求得所求代数式的值.

【详解】∵，∴，

∵，∴．

所以,

∴.

故答案为：

14．若函数 (，且)在R上单调递减，则a的取值范围__________.

【答案】

【分析】分段函数单调递减，则要函数在每一段上单调递减，且分段处，左边函数的函数值大于等于右边函数的函数值，得到不等式组，求出答案.

【详解】由题意得：，且当时，，

故，且，

解得：，故的取值范围是.

故答案为：

15．记函数的最小正周期为T，若，为f(x)图像的对称中心.则的最小值为___________.

【答案】

【分析】首先表示出，根据求出，再根据为函数的零点，即可求出的取值，从而得解；

【详解】解： 因为，（，）

所以最小正周期，因为，

又，所以，即，

又为的零点，所以，解得，

因为，所以当时.

故答案为：

16．已知函数，函数有四个不同的零点， ，，且，，则实数a的取值范围是__________.

【答案】

【分析】根据含有绝对值函数的图象的性质、对数函数的性质，列不等式且，解不等式即得的取值范围.

【详解】函数如图所示，

由于的图象关于对称，

由，

所以可得，

又，所以，

因此，故，

且，

解得.

故答案为：.

六、解答题

17．（1）设a为正实数，已知求的值；

（2）.

【答案】（1）-12   （2）

【分析】（1）根据分数指数幂运算性质，利用因式分解和平方关系即可求得结果；（2）利用对数运算法则和换底公式化简计算即可求值.

【详解】（1）将两边同时平方可得，即，

利用立方差公式分解可得，

分别代入数值计算可得.

（2）原式

18．解决下列问题：

(1)已知，求值.

(2)已知，，求的值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由诱导公式，，后利用可得答案；

（2）将平方后，可得，结合，可判断符号，平方后可得答案.

【详解】（1）由诱导公式，，

又，则.

（2）因，

则，

即一正一负，又，则，

即.又，

则.

19．已知函数.

(1)若，求x的取值范围；

(2)若是以2为周期的偶函数，且当时，有，求函数的反函数.

【答案】(1)

(2)，.

【分析】（1）由对数的运算以及单调性解不等式；

（2）由周期性以及偶函数的性质得出当时，，再由对数和指数函数的关系得出反函数.

【详解】（1），由得，

由，

得，因为，所以，解得，

由，得，

的取值范围为；

（2）当时，，

因此，

，，

则的反函数为，.

20．某公司带来了高端智能家属产品参展，供购商治谈采购，并决定大量投放中国市场已知该产品年固定研发成本50万元，每生产一台需另投入60元.设该公司一年内生产该产品x万台且全部售完，每万合的销售收入为G(x)万元，.

(1)求年利润s(万元)关于年产量x(万台)的函数解析式；(利润=销售收入-成本)

(2)当年产量为多少万台时，该公司获得的利润最大？并求出最大利润.

【答案】(1)；

(2)当年产量为29万台时，该公司获得的最大利润万元.

【分析】(1)根据题意，每万台的销售收入是一个分段函数，分和两种情况讨论，根据生产产品的数量求出对应的解析式即可求解；

(2)分段讨论函数的最值，最后比较大小得出结果.

【详解】（1）当时，；

当时，，

所以函数解析式为.

（2）当时，因为，

又因为函数在上单调递增，

所以当时，取最大值，；

当时，

(当且仅当，即时等号成立)

因为，所以时，的最大值为万元.

所以当年产量为29万台时，该公司获得的最大利润万元.

21．已知函数.

(1)当，求函数的最小正周期和对称中心；

(2)若函数在区间上单调递增，求的取值范围；

(3)若函数在区间内有且只有两个零点，求的取值范围.

【答案】(1)，

(2)

(3)

【分析】（1）利用辅助角公式对函数进行化简，然后利用正弦函数的性质求解即可；

（2）根据是函数的单调递增区间的子集，建立不等式组求解即可；

（3）函数有零点即，，，若函数在区间内有且只有两个零点，则只有和时在内，即可求得答案.

【详解】（1）由题意，

所以当时，，

所以的最小正周期，

令，解得，

所以的对称中心为.

（2）若在区间上单调递增，

则由，得的单调递增区间为，，

因为，所以，解得.

（3）令，即，，

若函数在区间内有且只有两个零点，

则只有和时在内，

所以且，解得.

22．已知函数.

(1)若，求x的值；

(2)对于恒成立，求实数m的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据绝对值计算规则写出不同区间的解析式，再根据解析式列出等式，根据指数和对数函数计算规则计算即可；

（2）将不等式展开，根据指数和对数计算规则计算即可.

【详解】（1）当时，；当时，

若，则，解得

因为，所以，解得

（2）当，

即，展开可得，

因为，所以，化简可得

可得，所以实数m的取值范围为.