九年级数学第三次月考卷（湖南长沙专用，主要测试范围：人教版第二十六章至第二十七章）2024+2025学年初中上学期第三次月考

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注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．测试范围及分值占比：第二十六章约35%，第二十七章约25%，第二十一至第二十五章约40%。
5．难度系数：0.75。
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分）
1．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】A、绕某一点旋转后，能够与原图形重合，是中心对称图形，沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能够互相重合，不是轴对称图形，故不符合题意；
B、绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，不是中心对称图形，沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，是轴对称图形，故不符合题意；
C、绕某一点旋转后，能够与原图形重合，是中心对称图形，沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，是轴对称图形，故符合题意；
D、绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，不是中心对称图形，沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，是轴对称图形，故不符合题意；
故选C．
2．在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】点关于原点对称的点的坐标是．
故选D．
3．如图，和是以点为位似中心的位似图形，若，则与的周长比是（ ）

A．2：3B．4：9C．2：5D．3：2
【答案】C
【解析】和是以点为位似中心的位似图形，
，
，
两个三角形的相似比为，
与的周长比是，
故选C．
4．如图，是的直径，点为上一点，连接，，，，，则的度数是（ ）

A．B．C．D．
【答案】C
【解析】∵且，
∴，
∵是直径，
∴，
∴，
故选B．
5．下列说法正确的是（ ）
A．甲､乙两人10次测试成绩的方差分别是，则乙的成绩更稳定
B．某奖券的中奖率为，买100张奖券，一定会中奖1次
C．要了解神舟飞船零件质量情况，适合采用抽样调查
D．是不等式的解，这是一个必然事件
【答案】D
【解析】A. 甲､乙两人10次测试成绩的方差分别是，则甲的成绩更稳定，故该选项不正确，不符合题意；
B. 某奖券的中奖率为，买100张奖券，可能会中奖1次，故该选项不正确，不符合题意；
C. 要了解神舟飞船零件质量情况，适合采用全面调查
D.解：，
，
解得：，
∴是不等式的解，这是一个必然事件，故该选项正确，符合题意；
故选D．
6．已知是的外接圆，那么点O一定是的（ ）
A．三个顶角的角平分线交点B．三边高的交点
C．三边中线交点D．三边的垂直平分线的交点
【答案】D
【解析】已知是的外接圆，那么点O一定是的三边的垂直平分线的交点，
故选D．
7．如图，在中，，．若以点C为圆心，长为半径的圆恰好经过的中点D，则的半径为（ ）

A．B．8C．6D．5
【答案】D
【解析】连接，
∵，，为的中点，
∴，
∴的半径为：5；
故选D．
8．二次函数的图象如图，则函数与函数的图象可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】∵抛物线开口向下，
，
∵抛物线对称轴在y轴左侧，
∴a.b同号，
，
∵抛物线与y轴交在正半轴，
，
，
则函数的图象分布在第二、四象限，
函数的图象经过第一、二、四象限．
故选B．
9．《四元玉鉴》是我国古代的一部数学著作，其中记载了一个“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”大意是：现请人代买一批椽，这批椽的总售价为6210文钱．如果每株椽的运费是3文钱，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱．试问：用6210文能买多少株椽？设用6210文能买x株椽，则符合题意的方程是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】设用6210文能买x株椽，
由题意得：，
故选C．
10．小宇设计了一个随机碰撞模拟器：在模拟器中有，，三种型号的小球，它们随机运动，当两个小球相遇时会发生碰撞（不考虑多个小球相撞的情况）．若相同型号的两个小球发生碰撞，会变成一个型小球；若不同型号的两个小球发生碰撞，则会变成另外一种型号的小球，例如，一个型小球和一个型小球发生碰撞，会变成一个型小球．现在模拟器中有型小球12个，型小球9个，型小球10个，如果经过各种两两碰撞后，最后只剩一个小球．以下说法：
①最后剩下的小球可能是型小球；
②最后剩下的小球一定是型小球；
③最后剩下的小球一定不是型小球．
其中正确的说法是：（ ）
A．①B．②③C．③D．①③
【答案】D
【分析】假设剩下的是A、B、C型小球，分别讨论，列举结果，进行排除即得．
【解析】（1）最后剩下的小球可能是型小球．理由如下：12个A型小球两两碰撞，形成6个C型小球；9个B型小球中8个两两碰撞，形成4个C型小球；所有的20个C型小球两两碰撞剩下一个C型小球；这个C型小球和剩下的B型小球碰撞形成A型小球，故①正确；
（2）最后剩下的小球可能是型小球．理由如下：12个A型小球中的9个与9个B型小球两两碰撞，形成9个C型小球；剩下的3个A型小球中的2个碰撞形成1个C型小球，所有的20个C型小球两两碰撞，最后剩下一个C型小球；这个C型小球与剩下的1个A型小球碰撞形成B型小球，故②错误；
（3）最后剩下的小球一定不是型小球．理由如下：A、B、C三种小球每一次碰撞有以下6种可能的情况：A与A碰撞，会产生一个C型小球，减少两个A型小球（C多一个，A、B共减少两个）；
B与B碰撞，会产生一个C型小球，减少两个B型小球（C多一个，A、B共减少两个）；
C与C碰撞，会产生一个C型小球，减少一个C型小球（C减少一个，A、B总数不变）；
A与B碰撞，会产生一个C型小球，减少一个A型小球和一个B型小球（C多一个，A、B共减少两个）；
A与C碰撞，会产生一个B型小球，减少一个A型小球和一个C型小球（C少一个，A、B总数不变）；
B与C碰撞，会产生一个A型小球，减少一个B型小球和一个C型小球（C少一个，A、B总数不变）；
如上可得出规律：1.从C型小球的角度看：每碰撞一次，C型小球的数量增多一个或少一个，题目中共有31个小球，经过30次碰撞剩下一个小球，整个过程变化了偶数次，C的变化即为偶数次，因为最初C型小球有10个，则剩余的C型小球必定是偶数个，不可能为1个，所以最后剩下的不可能是C型．
2.从A、B型小球的角度看：每次碰撞后，A、B型小球总数或者不变、或者减少两个、题目中A、B型小球之和为21个，无论碰撞多少次，A、B型小球都没了是不可能的．故③正确．
故选D．
二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分）
11．要使代数式有意义，则x的取值范围是 ．
【答案】且
【解析】∵代数式有意义，
∴，
解得：且
故答案为：且
12．圆锥的侧面积为，母线长为5．则这个圆锥的底面半径为 ．
【答案】4
【解析】设底面半径为，
则底面周长，
圆锥的侧面积，
∴．
故答案为：4．
13．如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上的一点，若BC=6，AB=10，OD⊥BC于点D，则OD的长为 ．
【答案】4
【解析】∵OD⊥BC，
∴BD=CD=BC=3，
∵OB=AB=5，
∴在Rt△OBD中，OD==4．
故答案为4．
14．掷一枚正方形骰子，掷的结果比3大的概率是 ；
【答案】/
【解析】由题意可得，
∵掷一枚正方形骰子由6种可能，结果比3大的情况有：4，5，6，
∴结果比3大的概率是：，
故答案为：；
15．如图，边长为2的正方形内接于⊙M，则⊙M的半径是__________．
【解析】如图，连接MA、MD，则MA=MD，
∵四边形ABCD是边长为2的正方形，∴AB=2，
∵正方形ABCD内接于⊙M，
∴，
∴，∴MA=，
∴⊙M的半径是，故答案为：．
16．以点为圆心，为半径画圆，与坐标轴恰好有三个公共点，则的值为 ．
【答案】或
【解析】作轴，连结，如图，
∵点的坐标为，
∴，，
∴，
∵以点为圆心，为半径的圆与坐标轴恰好有三个公共点，
∴过点或者与轴相切，
∴或．
故答案为或．
三、解答题（本题共9小题，共72分，其中第17、18、19题各6分，第20、21题各8分，22、23题各9分，24、25题各10分）
17．计算：．
【解析】原式．
18．先化简，再求值：（﹣1）÷，其中x＝﹣4．
【解析】原式＝
＝
＝
当x＝﹣4时，
原式＝＝﹣1．
19．如图，直线与双曲线相交于，B两点，与x轴相交于点．
(1)分别求一次函数与反比例函数的解析式；
(2)连接，求的面积；
(3)直接写出当时，关于x的不等式的解集．
【解析】（1）解：将，代入，得：
，
解得：，
∴一次函数的解析式为，
将代入，得，
∴反比例的解析式为；
（2）解：对于，
当时，
∴点D的坐标为，
由，解得或，
∴点B的坐标为，
∴的面积；
（3）解：观察图象，当时，关于x的不等式的解集是或．
20．为了保护学生视力，防止学生沉迷网络和游戏，促进学生身心健康发展，教育部办公厅印发了《教育部办公厅关于加强中小学生手机管理工作的通知》．为贯彻《通知》精神，长沙某校团委组织了“如何合理健康使用手机”为主题的知识竞赛，根据参赛同学的得分情况绘制了如图所示的两幅不完整的统计图．（其中A表示“一等奖”，B表示“二等奖”，C表示“三等奖”，D表示“优秀奖”）
请你根据统计图中所提供的信息解答下列问题：
(1)获奖总人数为 人，＝ ，A所对的圆心角度数是 ；
(2)请将条形统计图补充完整；
(3)学校将从获得一等奖的4名同学（其中有一名男生，三名女生）中随机抽取两名参加全市的比赛，请用列表或画树状图的方法，求抽取同学中恰有一名男生和一名女生的概率．
【解析】（1）解：（1）获奖的总人数为：(人)，
组所占的百分比为：，即，
所对的圆心角度数是；
（2）解：组，即“三等奖”人数为：(人)，
补全条形统计图，如图所示

（3）解：用树状图表示所有等可能出现的结果如下：
共有12种等可能的结果，抽取同学中恰有一名男生和一名女生的结果数为6，
所以抽取同学中恰有一名男生和一名女生的概率为．
21．如图，在中，的垂直平分线交于点、交于点，在的延长线上截取，连接．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)若，求的长及五边形的面积．
【解析】（1）证明：垂直平分
，
∵
四边形是菱形．
（2）解：∵，
∴，
垂直平分
，
，
∵四边形是菱形
∴,
∴，
五边形的面积=.
22．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，将△ABC绕着点B逆时针旋转得到△FBE，点C，A的对应点分别为E，F，点E落在BA上，连接AF．
（1）若∠BAC=40°．则∠BAF的度数为__________；
（2）若AC=8，BC=6，求AF的长．
【解析】（1）在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC=40°，
∴∠ABC=50°，
∵将△ABC绕着点B逆时针旋转得到△FBE，
∴∠EBF=∠ABC=50°，AB=BF，
∴∠BAF=∠BFA=，
故答案为：65°；
（2）∵∠C=90°，AC=8，BC=6，∴AB=10，
∵将△ABC绕着点B逆时针旋转得到△FBE，
∴BE=BC=6，EF=AC=8，
∴AE=AB-BE=10-6=4，
∴AF=．
23．如图，△ABC中，AB=AC，O为BC上一点，以O为圆心，以OC为半径的⊙O与AB相切于点D，交AC于点E，过E作⊙O的切线，交AB于点F．
（1）若∠B=α，用含α的代数式表示∠AEF；
（2）若BO=3，BD=1，EF=6，，求AF的长．
【解析】（1）如图1所示，连接OE，
∵EF是切线，∴∠OEF=90°，
∵AB=AC，OE=OC，∴∠OEC=∠OCE=∠B=α，
∴∠AEF=180°-∠OEF-∠OEC=90°-α；
（2）∵⊙O与AB相切于点D，∴∠ODB=90°，
在Rt△BOD中，由勾股定理得，
∵EF是切线，∴∠OEF=90°，∴∠1+∠2=90°，
由（1）得∠1=∠B=∠C，
又∵∠B+∠3=90°，∴∠3=∠2，
如图2所示，过点F作FG⊥AC于G，则∠EGF=∠ODB=90°，

∴△BOD∽△FEG，∴即，
∴,，∴，
在Rt△AGF中，由勾股定理得．
24．《正气歌》是南宋诗人文天祥写的一首五言古诗，“天地有正气，杂然赋流形．”诗的开头即点出浩然正气存乎天地之间，全诗感情深沉、气壮山河．我们不妨约定：在平面直角坐标系内，如果点的坐标满足，则称点为“正气点”．
(1)若点是反比例函数（为常数，）的图象上的“正气点”求这个反比例函数的解析式；
(2)若函数（为常数）图象上存在两个不同的“正气点”，且这两点都在第一象限，求的取值范围；
(3)若二次函数（，是常数，）的图象上有且只有一个“正气点”，当常数满足时，求一次函数与轴，轴所围成的三角形面积的取值范围．
【解析】（1）解：∵点是反比例函数（为常数，）的图象上的“正气点”
∴，则，
当时，，代入， 得，
当时，，代入， 得
∴或
（2）解：∵函数（为常数）图象上存在两个不同的“正气点”，设这两个点的横坐标分别为
∴，即有2个实数根，
∴，
解得：，
∵这两点都在第一象限，
∴即
解得：
∴
（3）解： 设二次函数的图象上的“正气点”为
∵二次函数（，是常数，）的图象上有且只有一个“正气点”，
∴有两个相等的实数根，
即，
∴
∴
∴
∵
∴一次函数的函数图象经过一、二、三象限，
当时，
当时，
设一次函数与轴，轴所围成的三角形面积为
∴，
∴，
∵，
∴当即时，取得最小值，最小值为，
∴的最大值为，
当时，取得最大值，最大值为,
∴取得最小值为．
∴
25．如图，正方形ABCD的边长为3，E、F为线段AC上两动点（不与A，C点重合），且∠EBF=45°．
（1）求证：△ABF∽△BEF；
（2）试说明无论点E，F在线段AC上怎样运动，总有；
（3）如图2，过点E，F分别作AB，BC的垂线相交于点O，垂足分别为M，N，求OM•ON的值．
（1）证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴∠BAF=45°，
∴∠BAF=∠EBF=45°，
∵∠AFB=∠BFE（同角），
∴△ABF∽△BEF．
（2）解：∵△ABF∽△BEF，
∴，则BF2=AF•EF，
同理可证△BCE∽△FBE，
∴，则BE2=CE•EF，
∴．
（3）解：∵∠BAF=∠ECB=45°，
∠CEB=∠BAF+∠ABE=45°+∠ABE，
∠ABF=∠EBF+∠ABE=45°+∠ABE，
∴∠ABF=∠CEB，
∴△ABF∽△CEB，则，
∴AF•CE=AB•BC=9，
∵OM∥BC，
∴，
∵正方形ABCD的边长为3，
∴AB=3，BC=3，
∴，
∴，
∵ON∥AB，
∴，
∴，
已知过点E，F分别作AB，BC的垂线，
∴∠MBC=∠MON=∠BNO=90°，
∴四边形MBNO是矩形，
∴OM=BN，ON=BM，
∴．