重庆市荣昌中学校2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题 含解析

这是一份重庆市荣昌中学校2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题 含解析，共17页。试卷主要包含了选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。
考试时间：120分钟 试卷满分：150分
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知直线l经过点，则直线l的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由直线过的两点的坐标，可得直线的斜率，进而求出直线的倾斜角的大小.
【详解】直线l经过点，所以直线的斜率为，
设直线的倾斜角为，
即，所以.
故选：B.
2. 直线，，若，则的值为（ ）
A. B. C. D. 或
【答案】D
【解析】
【分析】根据两直线垂直可得出关于的等式，即可得解.
【详解】因为，则，解得或.
故选：D.
3. 已知两平行直线与之间的距离是，若，则（ ）
A. 0B. C. 1D.
【答案】B
【解析】
【分析】
首先根据斜率相等求出，再根据两平行线的距离公式：求出的值即可.
【详解】两条直线平行，所以，解得，
所以直线。
又直线与直线之间的距离是，
则，解得或（舍去），
所以.
故选：B
【点睛】本题考查了两平行线间的距离公式，考查了基本运算求解能力，属于基础题.
4. 已知为圆：上的动点，点满足，记的轨迹为，则的方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】设，根据得到，代入圆中，得到轨迹方程.
【详解】设，因为，所以，
又在圆：上，
故，即的方程为．
故选：C
5. 下列命题中正确的是（ ）
A. 点关于平面对称的点的坐标是
B. 若直线l的方向向量为，平面的法向量为，则
C. 若构成空间的一个基底，则共面
D. 在空间直角坐标系Oxyz中，，点O到直线AB的距离是
【答案】D
【解析】
【分析】由空间直角坐标系概念判断A，由向量法判断线面位置关系，判断B，根据空间向量基本定理判断C，由向量法求点线距判断D．
【详解】对于A，点关于平面对称的点的坐标是，A选项错误；
对于B，若直线l的方向向量为，平面的法向量为，
因为，所以，则或，B选项错误；
对于C ，由向量加减法法则知是与共面的两个不共线向量，C选项错误；
对于D，因为，，在上的投影为，
所以点O到直线AB的距离是，D正确．
故选：D．
6. 已知圆与圆有且仅有一条公共切线，则实数的值为（ ）
A. 3B. 2C. 2或-1D. 3或
【答案】D
【解析】
【分析】根据给定条件，可得圆内切于圆，进而求出的值
【详解】圆的圆心，半径，
圆的圆心，半径，
由圆与圆有且仅有一条公共切线，得圆内切于圆，
则，而，因此，所以或.
故选：D
7. 已知是棱长为8的正方体的一条体对角线，点在正方体表面上运动，则的最小值为（ ）
A. B. C. D. 0
【答案】B
【解析】
【分析】求得正方体外接球的半径，根据空间向量的数量积运算求得的表达式，确定的最小值，即得答案.
【详解】如图，是棱长为8的正方体的一条体对角线，则也是正方体外接球的一条直径，
由正方体特征可得其外接球半径为,
设外接球球心为，则，
则
,
由于点在正方体表面上运动，
故的最小值为球心与正方体面的中心连线的长，
即为正方体棱长一半，为，
所以的最小值为，
故选：B.
8. 过椭圆左焦点作倾斜角为的直线，与椭圆交于、两点，其中为线段的中点，线段的长为，则椭圆的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】设、、，利用点差法，化简可得，结合已知条件可得，将其代入上式化简可求得结果.
【详解】设、、，
由题意得，，
两式相减，得，
因为为线段的中点，且直线的倾斜角为，所以．
因为，直线的倾斜角为，，
易知点在第二象限，则，，
所以，所以，得，
所以，即，所以．
故选：D.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 已知，，则下列说法正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用空间向量的坐标运算可判断A选项；利用空间向量平行的坐标表示可判断B选项；利用空间向量数量积的坐标运算可判断CD选项.
【详解】对于A选项，，A对；
对于B选项，因为，则、不共线，B错；
对于C选项，，所以，，C对；
对于D选项，，
，，
，
所以，，D对.
故选：ACD.
10. 已知圆，直线.则以下命题正确的有（ ）
A. 直线l恒过定点B. y轴被圆C截得的弦长为
C. 直线l与圆C恒相交D. 直线l被圆C截得弦长最长时，直线的方程为
【答案】CD
【解析】
【分析】根据直线方程求出定点坐标即可判断选项A；求出圆和y轴的交点坐标，即可判断选项B；利用定点和圆的位置关系即可判断选项C；当弦长最长时，直线过圆心从而判断选项D.
【详解】对于A，直线，即，
由，解得，故直线过定点，故A错误；
对于B, 圆，当时，，故y轴被圆C截得的弦长为，故B错误；
对于C，直线过定点，,故点在圆内，则直线l与圆C恒相交，故C正确；
对于D，当直线l被圆C截得弦长最长时，直线过圆心，则，解得，
故直线方程为：，即，故D正确.
故选：CD
11. 已知椭圆的左、右焦点分别为、，上顶点为，动点在椭圆上，则下列描述正确的有（ ）
A. 若的周长为6，则
B. 若当时，的内切圆半径为，则
C. 若存在点，使得，则
D. 若的最大值为2b，则
【答案】ABD
【解析】
【分析】利用焦点三角形的周长求得，可求判断A；利用余弦定理求得焦点三角形的面积，可得，求解可判断B；若，则以为圆心，为半径的圆与椭圆有交点，则，求解可判断C；，利用二次函数的最值可求得的范围判断D.
【详解】对于A,由椭圆，可得，
因为的周长为6，所以，解得，
因为，所以，解得，故A正确；
对于B，由，可得，
当时，由余弦定理可得
，
则，解得，
所以，
又的内切圆半径为，
所以，
所以，所以，解得（舍去）或，
所以，故B正确；
对于C，若，则以为圆心，为半径的圆与椭圆有交点，则，
所以，所以，解得，
所以存在点，使得，则，故C错误；
对于D，设，
，
又因为，因为下顶点到上顶点的距离为2b，又的最大值为2b，
故时取最大值，所以，解得，故D正确.
故选：ABD.
【点睛】结论点睛：椭圆中焦点三角形的有关结论
（1）焦点三角形的周长为；
（2）当点为椭圆短轴的一个端点时，为最大.
三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
12. 圆与圆的公共弦的长为_________．
【答案】
【解析】
【分析】将两圆方程作差可得出相交弦所在直线的方程，求出圆的圆心到相交弦所在直线的距离，利用勾股定理可求得相交弦长.
【详解】将圆与圆的方程作差可得，
所以，两圆相交弦所在直线的方程为，
圆的圆心为原点，半径为，
原点到直线的距离为，
所以，两圆的公共弦长为.
故答案为：.
13. 已知直线：在轴上的截距是轴上截距的2倍，则的值_______.
【答案】或
【解析】
【分析】求出直线与两坐标轴的交点，根据截距的关系，列方程求即可.
【详解】依题意可得，
直线在轴上的截距为，在轴上截距，
则，得或.
故答案为：或.
14. 已知，则的最小值___________.
【答案】
【解析】
【分析】设点为直线上动点，已知式几何意义为与的距离和与2,0的距离之和，设点，求出关于直线的对称点，计算出即得．
【详解】设点为直线上的动点，
由，
则其几何意义为与的距离和与2,0的距离之和，
设点，
则点关于直线的对称点为点，
故，且，
所以，
当且仅当三点共线时取等号，
所以的最小值为.
故答案为：．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 在中，，边上的高所在直线的方程为，的平分线所在直线的方程为，点的坐标为.
（1）求直线的一般式方程；
（2）求直线的一般式方程及点的坐标.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由两直线垂直得到直线斜率，用点斜式写出直线方程.
（2）由倾斜角关系得到直线斜率，由点斜式写出直线方程，联立直线方程组，解出交点坐标.
【小问1详解】
∵，∴且，∴，
∵，∴直线：，即
【小问2详解】
∵，∴，∴
方程，令，则，∴A−2,0，
∴，∴，
∴直线：
联立方程，解得
即
16. 已知圆C过三点．
（1）求圆C的方程；
（2）斜率为1的直线l与圆C交于M，N两点，若为等腰直角三角形，求直线l的方程．
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】（1）根据圆过点，得到圆心在上，设圆心坐标，再由圆心到圆上的点的距离相等求解；
（2）设直线l的方程为：，根据为等腰直角三角形，由圆心到直线的距离求解.
【小问1详解】
解：因为圆过点，故圆心在上，
设圆心坐标，
则，解得．
故其半径．
故圆的方程为：；
【小问2详解】
设直线l的方程为：，
因为为等腰直角三角形，
∴圆心到直线的距离，即，
解得或－8，所以l：或．
17. 已知椭圆C：的焦距为，离心率为.
（1）求C的标准方程；
（2）若，直线l：交椭圆C于E，F两点，且的面积为，求t的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意得到，，即可得到答案.
（2）首先设，，根据直线与椭圆联立，结合根系关系得到，设直线l与x轴的交点为，再根据求解即可.
【小问1详解】
由题意得，，，
又，则，
则，
所以C的标准方程为.
【小问2详解】
由题意设，，如图所示：
联立，
整理得， ，
则，，
故.
设直线l与x轴交点为，
又，则，
故，
结合，解得.
18. 如图，四棱锥的底面为菱形，，底面，分别是线段的中点，是线段上的一点
（1）若是线段的中点，试证明平面；
（2）已知直线与平面所成角为.
①若和的面积分别记为，试求的值；
②求三棱锥的体积.
【答案】（1）证明见解析
（2）①；②
【解析】
【分析】（1）利用线面平行的判定即可证明.
（2）①利用向量法和三角形面积公式即可求得的值，②利用等体积法即可求得体积.
【小问1详解】
∵，分别为线段，，∴，
又∵，∴，面PAD，面PAD，∴面PAD.
小问2详解】
分别以，，所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图所示，
，，，，，，，，，设平面AEF的法向量
，则 ，所以，取，
设，
则
则，
整理得，解得或（舍去)，
①
②∵，且
19. 已知圆的方程为.
（1）求过点的圆的切线方程；
（2）已知两个定点，，其中，.为圆上任意一点，（为常数）.
①求常数的值；
②过点作直线与圆交于、两点，若点恰好是线段的中点，求实数的取值范围.
【答案】（1）或
（2）①；②
【解析】
【分析】（1）分类讨论，先确定斜率不存在时直线是否是切线，在斜率存在时，利用圆心到切线的距离等于半径求解；
（2）①设点，把已知条件用坐标表示并整理后它与（1）中圆方程相同，由此可求得；
②设，由中点得点坐标，由在圆上得关于的方程组，方程组有解转化为直线与圆有交点，
从而利用圆心到直线的距离不小于半径求得参数范围．
【小问1详解】
圆的圆心坐标为，半径为，
当过点的圆的切线斜率不存在时，切线方程为；
当斜率存在时，设切线方程为，即.
由，解得，则切线方程为.
过点的圆的切线方程为或.
【小问2详解】
①设点，则，
，
，，，
又，化简得，
为圆上任意一点，，
又，，解得，常数.
②由①知，，，点，圆，
设，是线段的中点，，
又，在圆上，即关于的方程组有解，
化简得有解，
即直线与圆有交点，
则圆心到直线的距离，
化简得：，
解得.