重庆市荣昌中学校2024-2025学年高三上学期10月期中考试数学试题

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知函数，则“是函数为偶函数”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】利用充分必要条件的判定方法，结合余弦函数的奇偶性即可得解.
【详解】当时，，故函数为偶函数，即充分性成立；
当为偶函数时，，此时不一定成立，即必要性不成立；
所以“是函数为偶函数”的充分不必要条件.
故选：A.
2．已知且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】因为，所以，
因为，所以，
所以，
所以
.
故选：B
3. 已知函数恒过定点，则函数的图象不经过（ ）
A. 第一象限B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】D
【解析】
【分析】利用指数函数的性质求解．
【详解】
，恒过定点，
，，，其图象如图所示，
因此不经过第四象限，
故选：D．
4.已知a＝（15）14，b＝lg1415，3c＋c＝0，则（ ）
A.a＜b＜c B.c＜a＜b C.c＜b＜a D.a＜c＜b
解析：B （15）14＞0，且（15）14＜（15）0＝1，故0＜a＜1，b＝lg1415＞lg1414＝1，即b＞1.因为f（x）＝3x＋x在R上单调递增，且f（－1）＝－23＜0，f（0）＝1＞0，所以c∈（－1，0），所以c＜a＜b.故选B.
5．2020年3月14日是全球首个国际圆周率日（ Day）．历史上，求圆周率的方法有多种，与中国传统数学中的“割圆术”相似．数学家阿尔·卡西的方法是：当正整数充分大时，计算单位圆的内接正边形的周长和外切正边形（各边均与圆相切的正边形）的周长，将它们的算术平均数作为的近似值．按照阿尔·卡西的方法，的近似值的表达式是（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】单位圆内接正边形的每条边所对应的圆心角为，每条边长为 ，
所以，单位圆的内接正边形的周长为，
单位圆的外切正边形的每条边长为，其周长为，
，
则.
故选：A.
6.设函数f（x）＝sin ωx＋sin（ωx＋π3）（ω＞0），已知f（x）在[0，π]上有且仅有3个极值点，则ω的取值范围是（ ）
A.(52, 72］ B. ［52, 72 ) C. （73，103］ D. ［73，103）
答案：C
解析：f（x）＝sin ωx＋sin（ωx＋π3）＝sin ωx＋sin ωxcs π3＋cs ωxsin π3＝32sin ωx＋32cs ωx＝3（32sin ωx＋12cs ωx）＝3sin（ωx＋π6），当x∈[0，π]时，ωx＋π6∈［π6，ωπ＋π6］，令t＝ωx＋π6，则t∈［π6，ωπ＋π6］，作出函数y＝3sin t（π6≤t≤ωπ＋π6，ω＞0）的图象如图所示，
由于函数f（x）在[0，π]上有且仅有3个极值点，
则52π＜ωπ＋π6≤72π，解得73＜ω≤103.
7.已知函数xlnx－ax 在（1，＋∞）上有极值，则实数a的取值范围为（ ）
A.－∞，14 B.－∞，14 C.0，14 D.0，14
解析：B f'（x）＝lnx－1（lnx）2－a，设g（x）＝lnx－1（lnx）2＝1lnx－1（lnx）2，∵函数f（x）在区间（1，＋∞）上有极值，∴f'（x）＝g（x）－a在（1，＋∞）上有变号零点，即g（x）＝a在（1，＋∞）上有解，令1lnx＝t，由x＞1可得ln x＞0，即t＞0，得到y＝t－t2＝－t－122＋14≤14，解得a≤14.又当a＝14时，f'（x）＝lnx－1（lnx）2－14＝-(lnx）2+4lnx－44（lnx）2＝－（lnx－2）24（lnx）2≤0在（1，＋∞）上恒成立，则f（x）在（1，＋∞）上单调递减，无极值点，故舍去，所以a的取值范围是－∞，14.故选B.
8．已知函数 方程有两个不同的根，分别是则 （ ）
A．B．3C．6D．9
【答案】B
【解析】由题意得：为R上的增函数，且
当时，，，
当时，，，
方程有两个不同的根等价于函数与的图象有两个交点，
作出函数与的图象如下图所示：
由图可知与图象关于对称，
则两点关于对称，中点在图象上，
由，解得：.
所以.
故选：B
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的的6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 函数与是同一个函数
B. 若函数的定义域为，则函数的定义域为
C. 已知命题p：，，则命题p的否定为，
D. 定义在R上的偶函数满足，则函数的周期为2
【答案】BCD
【解析】
【分析】A选项，两函数定义域不同；B选项，令，求出，得到函数定义域；C选项，全称量词命题的否定是特称量词命题，把任意改为存在，把结论否定；D选项，根据函数为偶函数得到f-x=fx，故，得到函数周期.
【详解】A选项，的定义域为R，令，解得，
故的定义域为，定义域不同，A错误；
B选项，令，解得，故函数的定义域为，B正确；
C选项，命题p的否定为，，C正确；
D选项，偶函数，故f-x=fx，又，
故，则函数的周期为2，D正确.
故选：BCD
10. 已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A. 是函数的周期
B. 函数在区间上单调递增
C. 函数的图象可由函数向左平移个单位长度得到
D. 函数的对称轴方程为
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用三角函数图象与性质逐一判断选项即可.
【详解】因为，所以是函数的周期，故A正确；
∵，∴，又在上不单调，故B错误；
∵函数向左平移个单位长度得到，故C正确；
令，得，故D正确，
故选：ACD．
11. 已知函数，其中实数，则下列结论正确的是（ ）
A. 在上单调递增
B. 当有且仅有3个零点时，的取值范围是
C. 若直线与曲线有3个不同的交点，且，则
D. 当时，过点可以作曲线的3条切线
【答案】BCD
【解析】
【分析】选项A根据导函数及可判断单调性；选项B根据极大值极小值可得；选项C由三次函数对称中心可得；选项D，先求过点的切线方程，将切线个数转化为与图象交点个数，进而可得.
【详解】选项A：由题意可得，
令解得或，
因为，所以令f'x>0解得或，令f'x