湖南省株洲市南方中学2024-2025学年高三上学期11月月考数学试卷（Word版附解析）

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命题人：蒋 帅 审题人：李 强
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 若集合 （ 是虚数单位）， ，则 等于 （ ）
A. B. C. D.
2. 已知一组数据，，，，的平均数为2，方差为，则另一组数据，，，，的平均数、标准差分别为（ ）
A. 2，B. 2，1C. 4，D. 4，
3. 已知奇函数，则（ ）
A. B. 0C. 1D.
4. 若正四棱锥的高为8，且所有顶点都在半径为5的球面上，则该正四棱锥的侧面积为（ ）
A. 24B. 32C. 96D. 128
5. 图1是蜂房正对着蜜蜂巢穴开口的截面图，它是由许多个正六边形互相紧挨在一起构成．可以看出蜂房的底部是由三个大小相同的菱形组成，且这三个菱形不在一个平面上．研究表明蜂房底部的菱形相似于菱形十二面体的表面菱形，图2是一个菱形十二面体，它是由十二个相同的菱形围成的几何体，也可以看作正方体的各个正方形面上扣上一个正四棱锥（如图3），且平面ABCD与平面ATBS的夹角为45°，则（ ）
A. B. C. D.
6. 在中，角A为，角A平分线AD交BC于点D，已知，且，则（ ）
A. 1B. C. 9D.
7. 设椭圆C：的左、右焦点分别为，，直线l过点.若点关于l的对称点P恰好在椭圆C上，且，则C的离心率为（ ）
A. B. C. D.
8. 在锐角ΔABC中，，则取值范围是
A. B.
C. D.
二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知随机变量，记，则（ ）
A. B. C. D.
10. 已知当时，，并且满足，则下列关于函数说法正确的是（ ）
A. B. 周期
C. 图象关于对称D. 的图象关于对称
11. 已知等比数列的公比为，其前项的积为，且满足，，，则（ ）
A. B.
C. 的值是中最大的D. 使成立的最大正整数数的值为198
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 若，则__________.
13. 若直线被圆所截得的弦长为，则的最小值为_______．
14. 已知函数，若函数的最小值恰好为0，则实数的最小值是___________.
四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 如图，在四棱锥中，，，,点在上，且，．
（1）若为线段中点，求证：平面．
（2）若平面，求平面与平面夹角的余弦值．
16. 人工智能（AI）是一门极富挑战性的科学，自诞生以来，理论和技术日益成熟.某公司研究了一款答题机器人，参与一场答题挑战.若开始基础分值为（）分，每轮答2题，都答对得1分，仅答对1题得0分，都答错得分.若该答题机器人答对每道题的概率均为，每轮答题相互独立，每轮结束后机器人累计得分为，当时，答题结束，机器人挑战成功，当时，答题也结束，机器人挑战失败.
（1）当时，求机器人第一轮答题后累计得分的分布列与数学期望；
（2）当时，求机器人在第6轮答题结束且挑战成功的概率.
17. 正数数列满足，且成等差数列，成等比数列．
（1）求的通项公式；
（2）求证：．
18. 已知双曲线的右顶点，它的一条渐近线的倾斜角为．
（1）过点（作直线交双曲线于两点（不与点重合），求证：；
（2）若过双曲线上一点作直线与两条渐近线相交，交点为，且分别在第一象限和第四象限，若，求面积的取值范围．
19 已知函数.
（1）判断函数在区间上极值点的个数并证明；
（2）函数在区间上的极值点从小到大分别为，设为数列的前项和.
①证明：；
②问是否存在使得？若存在，求出取值范围；若不存在，请说明理由.