株洲市南方中学2025届高三上学期11月月考数学试卷(含答案)

这是一份株洲市南方中学2025届高三上学期11月月考数学试卷(含答案)，共17页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．若集合（i是虚数单位），，则等于( )
A.B.C.D.
2．已知一组数据，，，，平均数为2，方差为，则另一组数据，，，，的平均数、标准差分别为( )
A.2，B.2，1C.4，D.4，
3．已知奇函数，则( )
A.B.0C.1D.
4．若正四棱锥的高为8,且所有顶点都在半径为5的球面上,则该正四棱锥的侧面积为( )
A.24B.32C.96D.128
5．图1是蜂房正对着蜜蜂巢穴开口的截面图，它是由许多个正六边形互相紧挨在一起构成.可以看出蜂房的底部是由三个大小相同的菱形组成，且这三个菱形不在一个平面上.研究表明蜂房底部的菱形相似于菱形十二面体的表面菱形，图2是一个菱形十二面体，它是由十二个相同的菱形围成的几何体，也可以看作正方体的各个正方形面上扣上一个正四棱锥（如图3），且平面与平面的夹角为45°，则( )
A.B.C.D.
6．在中，角A为，角A的平分线交于点D，已知，且，则( )
A.1B.C.9D.
7．设椭圆的左、右焦点分别为，，直线l过点.若点关于l的对称点P恰好在椭圆C上，且，则C的离心率为( )
A.B.C.D.
8．在锐角中，，则的取值范围是( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．已知随机变量,记,,则( )
A.B.C.D.
10．已知当时，，并且满足，，则下列关于函数说法正确的是( )
A.B.周期
C.的图象关于对称D.的图象关于对称
11．已知等比数列的公比为q，其前n项的积为，且满足，，，则( )
A.B.
C.的值是中最大的D.使成立的最大正整数数n的值为198
三、填空题
12．若，则__________.
13．若直线被圆所截得的弦长为4，则的最小值为_______.
14．已知函数，若函数的最小值恰好为0，则实数a的最小值是________.
四、解答题
15．如图，在四棱锥中，，，，点E在上，且，.
（1）若F为线段中点，求证：平面.
（2）若平面，求平面与平面夹角的余弦值.
16．人工智能（AI）是一门极富挑战性的科学,自诞生以来,理论和技术日益成熟.某公司研究了一款答题机器人,参与一场答题挑战.若开始基础分值为m（）分,每轮答2题,都答对得1分,仅答对1题得0分,都答错得-1分.若该答题机器人答对每道题的概率均为,每轮答题相互独立,每轮结束后机器人累计得分为X,当时,答题结束,机器人挑战成功,当时,答题也结束,机器人挑战失败.
（1）当时,求机器人第一轮答题后累计得分X的分布列与数学期望;
（2）当时,求机器人在第6轮答题结束且挑战成功的概率.
17．正数数列，满足，，且，，成等差数列，，，成等比数列.
（1）求，的通项公式；
（2）求证：.
18．已知双曲线的右顶点，它的一条渐近线的倾斜角为.
（1）过点作直线l交双曲线C于M，N两点（不与点E重合），求证：；
（2）若过双曲线C上一点P作直线与两条渐近线相交，交点为A，B，且分别在第一象限和第四象限，若，，求面积的取值范围.
19．已知函数.
（1）判断函数在区间上极值点的个数并证明；
（2）函数在区间上的极值点从小到大分别为，，，…，，…，设，为数列的前n项和.
①证明：；
②问是否存在使得？若存在，求出n的取值范围；若不存在，请说明理由.
参考答案
1．答案：C
解析：由已知得，故，故选C.
2．答案：C
解析：因为一组数据，，，，的平均数为2，方差为，
所以另一组数据，，，，的平均数为，方差为，即平均数、标准差分别为.
故选：C.
3．答案：A
解析：，
是奇函数，
，
，
，.
故选:A
4．答案：C
解析：如图所示,设P在底面的投影为G,易知正四棱锥的外接球球心在上,
由题意球O的半径,,
所以,,则,
故中,边AB的高为,
所以该正四棱锥的侧面积为.
故选：C.
5．答案：A
解析：
连接、相交于点O，连接，因为四棱锥为正棱锥，
所以平面，取的中点E，连接、，
因为，，所以，，
所以即为平面与平面的夹角，即，
设，则，
所以，，
在中，由余弦定理，
故选：A.
6．答案：C
解析：由可得：，
因为B，C，D三点共线，故，即，
所以，
以A为原点，以为x轴建立平面直角坐标系如图所示，
因为，，则，
因，故设，，
则，，，
由得，
解得，，故，，
所以.
故选：C
7．答案：C
解析：
设，
由已知可得，，
根据椭圆的定义有.
又，所以.
在中，由余弦定理可得，
，
即，
整理可得，
等式两边同时除以可得，，
解得，或（舍去），
所以.
故选：C.
8．答案：D
解析：在锐角中，
可得，
，，
所以由正弦定理可知
，故选D.
9．答案：ABD
解析：由题意可知:,且,
可得,故A正确;
且,
即,所以,故B正确;
根据期望和方差的性质可知:,,故C错误,D正确;
故选:ABD.
10．答案：AD
解析：由于时，，并且满足，
则函数的图象关于对称.
由于，所以，
故，
故，
故函数的最小正周期为，
根据，知函数的图象关于对称.
由于时，，
，故A正确，
由于函数的最小正周期为，故B错误；
由函数的图象关于对称，易知的图象不关于对称，故C错误；
根据函数图象关于对称，且函数图象关于对称，知函数图象关于对称，又函数的最小正周期为，则函数图象一定关于对称，故D正确.
故选：AD.
11．答案：ABD
解析：，，.
，，
又，.故A正确.
由A选项的分析可知，，，，，故B正确，C不正确.
，
，
使成立的最大正整数数n的值为198，故D正确.
故选：ABD
12．答案：
解析：的展开式通项是：，
依题意得，，即，所以，
故答案为：
13．答案：
解析：由，则圆心为，半径为2，
由直线被圆所截得的弦长为4，故直线过圆心，
所以且，，
则，
当且仅当，即，时等号成立，
所以的最小值为.
故答案为：
14．答案：
解析：令，则，所以，
令，则，
令，则，
当时，，单调递减；当时，，单调递增.
故当时，取得最小值，
故当，即时，函数的最小值恰好为0，
令，则，
令，得；令，得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
则，所以a的最小值为.
故答案为：.
15．答案：（1）证明见解析；
（2）
解析：（1）取的中点为S，接，，则，，
而，，故，，故四边形为平行四边形，
故，而平面，平面，
所以平面.
（2）
因为，故，故，，
故四边形为平行四边形，故，所以平面，
而平面，故，，而，
故建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，
则，，，，
设平面的法向量为，
则由可得，取，
设平面的法向量为，
则由可得，取，
故，
故平面与平面夹角的余弦值为
16．答案：（1）分布列见解析,
（2）
解析：（1）当时,第一轮答题后累计得分X所有取值为4,3,2,
根据题意可知：,,,
所以第一轮答题后累计得分X的分布列为：
所以.
（2）当时,设“第六轮答题后,答题结束且挑战成功”为事件A,
此时情况有2种,分别为：
情况①：前5轮答题中,得1分的有3轮,得0分的有2轮,第6轮得1分;
情况②：前4轮答题中,得1分的有3轮,得分的有1轮,第5.6轮都得1分;
所以.
17．答案：（1）；;
（2）证明见解析.
解析：（1），，成等差数列，，，成等比数列，
，，
数列，为正数数列，，
当时，，，
，且，则，
，，，，
，
数列是以4为首项，2为公差的等差数列，
，，
当时，满足上式，，
当时，，
当时，满足上式，.
（2）证明：
当时，；
当时，；
当时，
.
综上所述，对一切正整数n，有.
18．答案：（1）证明见解析；
（2）
解析：（1）
易知，，，，
故双曲线C的方程为.
直线的方程为，
联立，
其中，且时，
则，，，
，
.
（2）由题意可知，若直线有斜率则斜率不为0，
故设直线方程为：，
设，，，
，，
点P在双曲线C上，，
，
③，
又，，
，④，
联立，
，
⑤，⑥，
A，B分别在第一象限和第四象限，，，
由④式得：，
⑦，
将⑤⑥代入⑦得：，
，
，
令，
由对勾函数性质可得上单调递减，在上单调递增，
，.
19．答案：（1）函数在区间内恰有两个极值点，证明见解析；
（2）①证明见解析；②不存在，理由见解析
解析：（1），设，又，
当时，，，在上单调递减，
，在上无零点；
当时，，，在上单调递增，
，，在上有唯一零点；
当时，，，在上单调递减，
，，在上有唯一零点.
综上，函数在区间上有两个零点且在零点左右函数符号发生改变，
故函数在区间内恰有两个极值点.
（2）①由（1）知在无极值点；在有极小值点，即为；
在有极大值点，即为，
同理可得，在有极小值点，在有极值点，
由得，，，
，，，，
，，，
由函数在单调递增得，
，
由在单调递减得，
.
②同理，，
，
由在上单调递减得，
，
且，，
当n为偶数时，从开始相邻两项配对，每组和均为负值，
即，结论成立；
当n为奇数时，从开始相邻两项配对，每组和均为负值，还多出最后一项也是负值，
即，结论也成立，
综上，对一切，成立，故不存在使得.
X
4
3
2