湖南省长沙市长郡中学2024-2025学年高三上学期月考（二）数学试卷（Word版附答案）

这是一份湖南省长沙市长郡中学2024-2025学年高三上学期月考（二）数学试卷（Word版附答案），共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（5分）已知集合A＝{x||x|⩽2}，B＝{t|1⩽2t⩽8（t∈Z）}，则A∩B＝（ ）
A．[﹣1，3]B．{0，1}C．[0，2]D．{0，1，2}
2．（5分）已知复数z满足|z﹣i|＝1，则|z|的取值范围是（ ）
A．[0，1]B．[0，1）C．[0，2）D．[0，2]
3．（5分）已知是奇函数，q：a＝﹣1，则p是q成立的（ ）
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
4．（5分）若锐角α满足，则＝（ ）
A．B．C．或D．或
5．（5分）某大学在校学生中，理科生多于文科生，女生多于男生，则下述关于该大学在校学生的结论中，一定成立的是（ ）
A．理科男生多于文科女生
B．文科女生多于文科男生
C．理科女生多于文科男生
D．理科女生多于理科男生
6．（5分）如图，某车间生产一种圆台形零件，其下底面的直径为4cm，上底面的直径为8cm，高为4cm，已知点P是上底面圆周上不与直径AB端点重合的一点，且AP＝BP，O为上底面圆的圆心，则OP与平面ABC所成的角的正切值为（ ）
A．2B．C．D．
7．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知直线与圆C：x2+y2＝1交于A，B两点，则△AOB的面积的最大值为（ ）
A．1B．C．D．
8．（5分）设函数f（x）＝（x2+ax+b）lnx，若f（x）≥0，则a的最小值为（ ）
A．﹣2B．﹣1C．2D．1
二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。）
（多选）9．（6分）已知n＞2，且n∈N*，下列关于二项分布与超几何分布的说法中，错误的有（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则P（X＝1）＝P（X＝n﹣1）
D．当样本总数远大于抽取数目时，可以用二项分布近似估计超几何分布
（多选）10．（6分）已知函数f（x）＝sinωx+acsωx（x∈R，ω＞0）的最大值为2，其部分图象如图所示，则（ ）
A．a＞0
B．函数为偶函数
C．满足条件的正实数ω存在且唯一
D．f（x）是周期函数，且最小正周期为π
（多选）11．（6分）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，准线交x轴于点D，直线l经过F且与C交于A，B两点，其中点A在第一象限，线段AF的中点M在y轴上的射影为点N．若|MN|＝|NF|，则（ ）
A．l的斜率为
B．△ABD是锐角三角形
C．四边形MNDF的面积是
D．|BF|•|FA|＞|FD|2
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分。）
12．（5分）在△ABC中，AD是边BC上的高，若，则＝ ．
13．（5分）已知定义在R上的函数f（x）满足2f（x）＝f（﹣x）+3ex，则曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为 ．
14．（5分）小澄玩一个游戏：一开始她在2个盒子A，B中分别放入3颗糖，然后在游戏的每一轮她投掷一个质地均匀的骰子，如果结果小于3她就将B中的1颗糖放入A中，否则将A中的1颗糖放入B中，直到无法继续游戏．那么游戏结束时B中没有糖的概率是 ．
四、解答题（本大题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
15．（13分）已知数列{an}中，a1＝1，且an≠0，Sn为数列{an}的前n项和，．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若，求数列{cn}的前n项和．
16．（15分）如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，四边形ABCD与四边形CDEF均为等腰梯形，AB∥CD，EF∥CD，CD＝2AB＝2EF＝4，．
（1）证明：平面ABCD⊥平面CDEF；
（2）若M为线段CD上一点，且CM＝1，求二面角A﹣EM﹣B的余弦值．
17．（15分）已知函数f（x）＝e2x﹣2ax，a∈R．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）若对于任意的x＞0，都有f（x）≥1恒成立，求a的取值范围．
18．（17分）已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，E的一条渐近线方程为，过F1且与x轴垂直的直线与E交于P，Q两点，且△PQF2的周长为16．
（1）求E的方程；
（2）A，B为双曲线E右支上两个不同的点，线段AB的中垂线过点C（0，4），求∠ACB的取值范围．
19．（17分）对于集合A，B，定义运算符“Δ”：AΔB＝{x|x∈A，x∈B两式恰有一式成立}，|A|表示集合A中元素的个数．
（1）设A＝[﹣1，1]，B＝[0，2]，求AΔB；
（2）对于有限集A，B，C，证明|AΔB|+|BΔC|≥|AΔC|，并求出固定A，C后使该式取等号的B的数量；（用含A，C的式子表示）
（3）若有限集A，B，C满足|AΔB|+|BΔC|＝|AΔC|，则称有序三元组（A，B，C）为“联合对”，定义I＝{1，2，⋯，n}，n∈N*，u＝{（A，B，C）|A，B，C⊆I}．
①设m∈I，求满足|AΔC|＝m的“联合对”（A，B，C）⊆u的数量；（用含m的式子表示）
②根据（2）及（3）①的结果，求u中“联合对”的数量．
2024-2025学年湖南省长沙市长郡中学大联考高三（上）月考数学试卷（二）
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个部选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1．（5分）已知集合A＝{x||x|⩽2}，B＝{t|1⩽2t⩽8（t∈Z）}，则A∩B＝（ ）
A．[﹣1，3]B．{0，1}C．[0，2]D．{0，1，2}
【分析】解绝对值不等式与指数不等式可化简集合A，B，再利用交集的定义求解即可．
【解答】解：B＝{t|1≤2t≤8（t∈Z）}＝{0，1，2，3}，A＝{x||x|≤2}＝{x|﹣2≤x≤2}，
所以A∩B＝{x|﹣2≤x≤2}∩{0，1，2，3}＝{0，1，2}．
故选：D．
【点评】本题主要考查交集及其运算，属于基础题．
2．（5分）已知复数z满足|z﹣i|＝1，则|z|的取值范围是（ ）
A．[0，1]B．[0，1）C．[0，2）D．[0，2]
【分析】利用|z﹣i|＝1表示以（0，1）为圆心，1为半径的圆，|z|表示圆上的点到原点的距离可得答案．
【解答】解：因为在复平面内，
|z﹣i|＝1表示到点（0，1）距离为1的所有复数对应的点，
即|z﹣i|＝1表示以（0，1）为圆心，1为半径的圆，
|z|表示圆上的点到原点的距离，所以最短距离为0，
最长距离为1+1＝2，
则|z|的取值范围是[0，2]．
故选：D．
【点评】本题主要考查复数的模长，属于基础题．
3．（5分）已知是奇函数，q：a＝﹣1，则p是q成立的（ ）
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
【分析】当p成立，判断q是否成立，再由q成立时，判断p是否成立，即可知p是q成立何种条件．
【解答】解：根据题意，由f（x）是奇函数，且其定义域为（﹣1，1），
则f（0）＝0，即ln（2+a）＝0，解得a＝﹣1，
所以p⇒q，p是q的充分条件．
当a＝﹣1时，，﹣1＜x＜1，
∴，所以f（x）是奇函数，
所以p⇐q，p是q的必要条件．
综合可得：p是q的充要条件．
故选：A．
【点评】本题考查函数奇偶性的性质和应用，涉及充分必要条件的判断，属于基础题．
4．（5分）若锐角α满足，则＝（ ）
A．B．C．或D．或
【分析】首先根据利用辅助角公式得到，再利用角的变换＝，结合诱导公式，以及二倍角公式，即可求解．
【解答】解：已知，
则，
因为，，
则，
则＝
＝．
故选：B．
【点评】本题考查了辅助角公式，重点考查了诱导公式及二倍角公式，属中档题．
5．（5分）某大学在校学生中，理科生多于文科生，女生多于男生，则下述关于该大学在校学生的结论中，一定成立的是（ ）
A．理科男生多于文科女生
B．文科女生多于文科男生
C．理科女生多于文科男生
D．理科女生多于理科男生
【分析】将问题转化为不等式问题，利用不等式性质求解．
【解答】解：根据已知条件设理科女生有x1人，理科男生有x2人，
文科女生有y1人，文科男生有y2人，
根据题 意可知x1+x2＞y1+y2，x2+y2＜x1+y1，
根据异向不等式可减的性质有（x1+x2）﹣（x2+y2）＞（y1+y2）﹣（x1+y1），
∴x1＞y2，
∴理科女生多于文科男生，C正确；
其他选项没有足够证据论证．
故选：C．
【点评】本题考查简单的合情推理、根据问题的特征将其转化等价的排列问题等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
6．（5分）如图，某车间生产一种圆台形零件，其下底面的直径为4cm，上底面的直径为8cm，高为4cm，已知点P是上底面圆周上不与直径AB端点重合的一点，且AP＝BP，O为上底面圆的圆心，则OP与平面ABC所成的角的正切值为（ ）
A．2B．C．D．
【分析】作出直线OP与平面ABC所成的角，通过直角三角形来求得直线OP与平面ABC所成的角的正切值．
【解答】解：设O′为下底面圆的圆心，连接OO′，CO′和CO，
因为AP＝BP，所以AB⊥OP，
又因为AB⊥OO′，OP∩OO′＝O，OP、OO′⊂平面OO′P，
所以AB⊥平面OO′P，
因为PC是该圆台的一条母线，所以O，O′，C，P四点共面，且O′C∥OP，
又AB⊂平面ABC，所以平面ABC⊥平面POC，
又因为平面ABC∩平面POC＝OC，
所以点P在平面ABC的射影在直线OC上，
则OP与平面ABC所成的角，即为∠POC＝∠OCO′，
过点C作CD⊥OP于点D，因为OP＝4cm，O′C＝2cm，
所以．
故选：A．
【点评】本题考查异面直线所成的角的正切值的求法，属于中档题．
7．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知直线与圆C：x2+y2＝1交于A，B两点，则△AOB的面积的最大值为（ ）
A．1B．C．D．
【分析】求得直线过定点以及圆心到直线的距离的取值范围，得出△AOB的面积的表达式利用三角函数单调性即可得出结论．
【解答】解：已知线，
令x＝0，
即，
即直线l恒过点，
又，
则该点在圆x2+y2＝1内，
圆C：x2+y2＝1的圆心为C（0，0），半径r＝1，
作CD⊥l于点D，如图所示：
易知圆心C到直线l的距离为，
所以，
又，
可得；
因此可得，
所以△AOB的面积为．
故选：D．
【点评】本题考查了圆的性质，重点考查了直线与圆的位置关系，属中档题．
8．（5分）设函数f（x）＝（x2+ax+b）lnx，若f（x）≥0，则a的最小值为（ ）
A．﹣2B．﹣1C．2D．1
【分析】根据题意，分析出二次方程根的区间，进而求出a的最值．
【解答】解：f（x）＝（x2+ax+b）lnx，f（x）≥0，
由对数函数性质，x∈（0，1），lnx＜0，x∈（1，+∞），lnx＞0，
则x∈（0，1），x2+ax+b＜0，x∈（1，+∞），x2+ax+b＞0，
x2+ax+b＝0的一个根小于等于0，一个根为1，
，a＝﹣b﹣1≥﹣1，所以a的最小值为﹣1．
故选：B．
【点评】本题考查对函数函数的值域，一元二次方程根的分布，属于中档题．
二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。）
（多选）9．（6分）已知n＞2，且n∈N*，下列关于二项分布与超几何分布的说法中，错误的有（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则P（X＝1）＝P（X＝n﹣1）
D．当样本总数远大于抽取数目时，可以用二项分布近似估计超几何分布
【分析】利用二项分布的期望、方差公式及期望、方差的性质计算判断AB；利用二项分布的概率公式计算判断C；利用二项分布与超几何分布的关系判断D．
【解答】解：对于A，由，得，
所以，故A正确；
对于B，由，得，
所以，故B错误；
对于C，由，得，
故P（X＝1）≠P（X＝n﹣1），故C错误；
对于D，当样本总数远大于抽取数目时，可以用二项分布近似估计超几何分布，故D正确．
故选：BC．
【点评】本题主要考查了二项分布的期望公式和方差公式，属于基础题．
（多选）10．（6分）已知函数f（x）＝sinωx+acsωx（x∈R，ω＞0）的最大值为2，其部分图象如图所示，则（ ）
A．a＞0
B．函数为偶函数
C．满足条件的正实数ω存在且唯一
D．f（x）是周期函数，且最小正周期为π
【分析】根据题意，求得函数，结合三角函数的图象与性质，逐项判定，即可求解．
【解答】解：由函数，且tanφ＝a，
因为函数f（x）的最大值为2，可得，解得，
又因为f（0）＝a＞0，所以，所以A正确；
因为，且函数f（x）在的附近单调递减，
所以，所以ω＝2+8k，k∈Z，
又因为，可得，所以，解得0＜ω＜4，所以ω＝2，
此时，其最小正周期为T＝π，所以C、D正确；
设，
F（﹣x）＝2sin[2（﹣x）]＝﹣2sin2x＝﹣F（x），所以F（x）为奇函数，
即函数为奇函数，所以B不正确．
故选：ACD．
【点评】本题考查三角函数的解析式的求法，两角和与差的三角函数的应用，是中档题．
（多选）11．（6分）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，准线交x轴于点D，直线l经过F且与C交于A，B两点，其中点A在第一象限，线段AF的中点M在y轴上的射影为点N．若|MN|＝|NF|，则（ ）
A．l的斜率为
B．△ABD是锐角三角形
C．四边形MNDF的面积是
D．|BF|•|FA|＞|FD|2
【分析】根据题意分析可知△MNF为等边三角形，即可得直线l的倾斜角和斜率，进而判断A；可知直线l的方程，联立方程求点A，B的坐标，求相应长度，结合长度判断BD；根据面积关系判断C．
【解答】解：由题意可知：抛物线的焦点为，准线为，即，
设A（x1，y1），B（x2，y2），y1＞0，y2＜0，
则，所以，
因为，
所以|MN|＝|MF|，即|MN|＝|NF|＝|MF|，
可知△MNF为等边三角形，即∠NMF＝60°，
且MN∥x轴，可知直线l的倾斜角为60°，斜率为，故A正确；
则直线，
联立方程，解得或，
即，，则，
可得，
在△ABD中，|BD|＜|AD|＜|AB|，且|BD|2+|AD|2﹣|AB|2＜0，
可知∠ADB为最大角，且为锐角，所以△ABD是锐角三角形，故B正确；
四边形MNDF的面积为，故C错误；
因为，所以|BF|•|FA|＞|FD|2，故D正确．
故选：ABD．
【点评】本题考查了直线与抛物线的综合，考查了方程思想及转化思想，属于中档题．
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分。）
12．（5分）在△ABC中，AD是边BC上的高，若，则＝ ．
【分析】设，表达出，根据垂直关系得到方程，求出，进而得到答案．
【解答】解：设，
则，
由，得，
解得，所以，
所以．
故答案为：．
【点评】本题考查平面向量数量积的坐标运算，属于基础题．
13．（5分）已知定义在R上的函数f（x）满足2f（x）＝f（﹣x）+3ex，则曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为 y＝x+3 ．
【分析】利用方程组法求出函数解析式，然后利用导数求切线斜率，由点斜式可得切线方程．
【解答】解：因为2f（x）＝f（﹣x）+3ex，所以2f（﹣x）＝f（x）+3e﹣x，
联立可解得f（x）＝e﹣x+2ex，所以f（0）＝3，
所以f′（x）＝﹣e﹣x+2ex，f′（0）＝1．
所以曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y﹣3＝x，
故所求的切线方程为y＝x+3．
故答案为：y＝x+3．
【点评】本题考查导数的运用：求切线方程，考查转化思想和方程思想、运算能力，属于中档题．
14．（5分）小澄玩一个游戏：一开始她在2个盒子A，B中分别放入3颗糖，然后在游戏的每一轮她投掷一个质地均匀的骰子，如果结果小于3她就将B中的1颗糖放入A中，否则将A中的1颗糖放入B中，直到无法继续游戏．那么游戏结束时B中没有糖的概率是 ．
【分析】设最初在A中有k颗糖，B中有6﹣k颗糖时，游戏结束时B中没有糖的概率为ak（k＝0，1，⋯，6），归纳找出递推关系，利用方程得出a0，再由递推关系求a3．
【解答】解：设A中有k颗糖，B中有6﹣k颗糖，游戏结束时B中没有糖的概率为ak（k＝0，1，⋯，6）．
显然，，
可得ak+1﹣ak＝2（ak﹣ak﹣1），则，
所以
＝3a0
＝a0+2a0
＝a0
＝（27﹣1）a0，
同理，
所以，解得，
所以．
故答案为：．
【点评】本题主要考查数列递推式，考查运算求解能力，属于中档题．
四、解答题（本大题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
15．（13分）已知数列{an}中，a1＝1，且an≠0，Sn为数列{an}的前n项和，．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若，求数列{cn}的前n项和．
【分析】（1）求出，可求出通项公式，即可求得{an}的通项公式；
（2）求出，再讨论n为奇、偶数，利用裂项相消法即可求数列{cn}的前n项和．
【解答】解：（1），
当n≥2时，Sn﹣Sn﹣1＝an，
两式相除可得，
可得是以为首项，1为公差的等差数列，
则，所以，
an＝Sn﹣Sn﹣1＝2n﹣1，n≥2，当n＝1时a1＝1也满足该式，
所以an＝2n﹣1．
（2）由（1）结论可知an＝2n﹣1，
所以，
设{cn}的前n项和为Tn，当n为偶数时，
，
当n为奇数时，Tn＝Tn﹣1+cn＝﹣﹣＝﹣．
所以．
【点评】本题考查数列的递推式和等差数列的通项公式、数列的裂项相消求和，考查转化思想和运算能力，属于中档题．
16．（15分）如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，四边形ABCD与四边形CDEF均为等腰梯形，AB∥CD，EF∥CD，CD＝2AB＝2EF＝4，．
（1）证明：平面ABCD⊥平面CDEF；
（2）若M为线段CD上一点，且CM＝1，求二面角A﹣EM﹣B的余弦值．
【分析】（1）根据线面垂直判定定理得出线面垂直，再结合面面垂直的判定定理得出面面垂直；
（2）应用空间向量法计算二面角余弦即可．
【解答】解：（1）证明：在平面CDEF内，过E作EO垂直于CD交CD于点O，
由CD＝2EF＝4，得DO＝1，且DE＝，所以OE＝2，
连接AO，由△ADO≅△EDO，可知AO⊥CD且AO＝2，
所以在三角形OAE中，AE2＝OE2+OA2，从而OE⊥OA，
又OE⊥CD，OA∩CD＝O，OA，CD⊂平面ABCD，所以OE⊥平面ABCD，
OE⊂平面CDEF，所以平面ABCD⊥平面CDEF；
（2）由（1）知，平面ABCD⊥平面CDEF，以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则A（0，0，2），E（2，0，0），M（0，2，0），B（0，2，2），
，
设平面AEM的法向量为，
则，即，取z＝1，则，
设平面BEM的法向量为，
则，即，取y＝1，则，
所以|cs＜，＞|＝＝，
由图可以看出二面角A﹣EM﹣B为锐角，故二面角A﹣EM﹣B的余弦值为．
【点评】本题考查面面垂直的判定定理以及二面角的求法，属于中档题．
17．（15分）已知函数f（x）＝e2x﹣2ax，a∈R．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）若对于任意的x＞0，都有f（x）≥1恒成立，求a的取值范围．
【分析】（1）对f（x）＝e2x﹣2ax求导，可得f′（x）＝2e2x﹣2a，再分类讨论a的取值，得出导数的正负即可得出单调区间；
（2）对a进行分类讨论，根据导数的正负求得f（x）的最小值，判断是否满足f（x）≥1，即可求解．
【解答】解：（1）对f（x）＝e2x﹣2ax求导，可得f′（x）＝2e2x﹣2a，
令f′（x）＝0，即2e2x﹣2a＝0，即e2x＝a，
当a≤0时，f′（x）＞0恒成立，f（x）在R上单调递增；
当a＞0时，，
当时，f′（x）＜0，f（x）在上单调递减；
当时，f′（x）＞0，f（x）在上单调递增；
综上，当a≤0时，f（x）的单调递增区间为R；
当a＞0时，f（x）的单调递减区间为，单调递增区间为．
（2）因为对于任意的x＞0，都有f（x）≥1恒成立，
对f（x）＝e2x﹣2ax求导，可得f′（x）＝2e2x﹣2a，
令f′（x）＝0，即2e2x﹣2a＝0，即e2x＝a，
①当a≤0时，f′（x）＞0，则f（x）在（0，+∞）单调递增，f（x）＞f（0）＝1，符合题意；
②当0＜a≤1时，e2x＝a，则，
则f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）单调递增，f（x）＞f（0）＝1，符合题意；
③当a＞1时，e2x＝a，则，
当时，f′（x）＜0，则f（x）在单调递减，
当时，f′（x）＞0，则f（x）在单调递增，
所以，
令g（a）＝a﹣alna，a＞1，则g′（a）＝﹣lna＜0，
所以g（a）在（1，+∞）上单调递减，所以g（a）＜g（1）＝1，不合题意；
综上所述，a∈（﹣∞，1]．
【点评】本题主要考查利用导数研究函数的单调性与最值，考查运算求解能力，属于中档题．
18．（17分）已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，E的一条渐近线方程为，过F1且与x轴垂直的直线与E交于P，Q两点，且△PQF2的周长为16．
（1）求E的方程；
（2）A，B为双曲线E右支上两个不同的点，线段AB的中垂线过点C（0，4），求∠ACB的取值范围．
【分析】（1）将x＝﹣c代入曲线E得，故得，从而结合双曲线定义以及题意得，解出a，b即可得解．
（2）设AB：y＝kx+m，联立双曲线方程求得中点坐标，再结合弦长公式求得∠ACM的正切值，进而得∠ACM范围，从而由∠ACB＝2∠ACM即可得解．
【解答】解：（1）先将x＝﹣c代入双曲线方程，得，
因此，因此，
因此根据题意可得，
整理方程组可得，
因此双曲线E的方程为．
（2）由题意可知直线AB斜率存在且斜率，
令AB：y＝kx+m，B（x2，y2），A（x1，y1），令AB的中点为M．
根据消去y并整理得（3﹣k2）x2﹣2kmx﹣m2﹣3＝0，3﹣k2≠0，
所以Δ＝（2km）2+4（3﹣k2）（m2+3）＝12（3+m2﹣k2）＞0，所以m2＞k2﹣3，
，，，
因此M点为，，．
根据中垂线知kMC•kAB＝﹣1，因此，解得：m＝3﹣k2．
因此根据A，B在双曲线的右支上可得：
，
并且，
并且Δ＝4（3m2﹣3k2+9）＞0，
整理得（3﹣k2）2+（3﹣k2）＝（3﹣k2）（4﹣k2）＞0，
所以k2＜3或k2＞4，
又因为k2＞3，
所以k2＞4，
综上所述，k2＞4，所以k＞2，
又因为，
因此
＝．
又由于k2＞4，因此m＝3﹣k2＜﹣1，所以，因此，
因此．
因此．
【点评】本题考查直线与双曲线综合应用，属于中档题．
19．（17分）对于集合A，B，定义运算符“Δ”：AΔB＝{x|x∈A，x∈B两式恰有一式成立}，|A|表示集合A中元素的个数．
（1）设A＝[﹣1，1]，B＝[0，2]，求AΔB；
（2）对于有限集A，B，C，证明|AΔB|+|BΔC|≥|AΔC|，并求出固定A，C后使该式取等号的B的数量；（用含A，C的式子表示）
（3）若有限集A，B，C满足|AΔB|+|BΔC|＝|AΔC|，则称有序三元组（A，B，C）为“联合对”，定义I＝{1，2，⋯，n}，n∈N*，u＝{（A，B，C）|A，B，C⊆I}．
①设m∈I，求满足|AΔC|＝m的“联合对”（A，B，C）⊆u的数量；（用含m的式子表示）
②根据（2）及（3）①的结果，求u中“联合对”的数量．
【分析】（1）根据新定义，对区间逐一分析即可得解；
（2）利用韦恩图及新定义，求出不等式等号成立的条件，利用集合的性质转化为求子集个数；
（3）①分别求出（A，C），B取法的种数，再由分步乘法计数原理得解②结合（2）及（3）①的结果，利用二项式定理求解．
【解答】解：（1）当x∉[﹣1，2]，x∉A，x∉B，故x∉AΔB；
当x∈（1，2]，x∉A，x∈B，故x∈AΔB；
当x∈[0，1]，x∈A，x∈B，故x∉AΔB；
当x∈[﹣1，0），x∈A，x∉B，故x∈AΔB；
所以AΔB＝[﹣1，0）∪（1，2]．
（2）如图，画出Venn图，将A∪B∪C划分成7个集合S1，⋯，S7，
根据题干已知新定义，得|AΔB|＝|S1|+|S4|+|S5|+|S6|，|AΔC|＝|S1|+|S2|+|S6|+|S7|，|BΔC|＝|S2|+|S5|+|S4|+|S7|，
所以|AΔB|+|BΔC|﹣|AΔC|＝2|S4|+2|S5|≥0成立，当且仅当S5＝S4＝∅时取等号，
S5＝∅等价于B⊆（A∪C），S4＝∅等价于（A∩C）⊆B，所以当且仅当（A∩C）⊆B⊆（A∪C）取等号．
令B＝（A∩C）∪D，其中集合D与A∩C无交集，
因为AΔC＝（A∪C）（A∩C），所以有∅⊆D⊆（A∪C）（A∩C）＝AΔC，
所以D为AΔC的某一子集，有2|AΔC|种，因此使上式取等的B有2|AΔC|个．
（3）①令X＝AΔC⊆u，有|X|＝m，所以X有种取法，
对于每一个x，可知X中每一个元素x有两种情形：x∉A，x∈C或x∈A，x∉C．
且I中每一个元素x有两种情形：x∉A，x∈C或x∈A，x∉C．
所以∀x∈I，x共有两种选择，所以这样的（A，C）有2|I|＝2n种，
对于每一个（A，C），根据第二问可知B有2|AΔC|＝2m种取法．
所以由乘法原理，这样的“联合对”（A，B，C）有个．
②由①知，u中“联合对”的数量为（二项式定理），
所以u中“联合对”（A，B，C）的数量为6n．
【点评】本题考查集合新定义问题，属于难题．
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