培优点04 隐零点与极值点偏移问题（2种核心题型+基础保分练+综合提升练+拓展冲刺练）-2025高考数学一轮精讲讲练（新高考版）

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隐零点问题是指对函数的零点设而不求，通过一种整体代换和过渡，再结合题目条件最终解决问题；极值点偏移是指函数在极值点左右的增减速度不一样，导致函数图象不具有对称性，隐零点与极值点偏移问题常常出现在高考数学的压轴题中，这类题往往对思维要求较高，过程较为烦琐，计算量较大，难度大
【核心题型】
题型一 隐零点
零点问题求解三步曲
(1)用函数零点存在定理判定导函数零点的存在性，列出零点方程f′(x0)＝0，并结合f′(x)的单调性得到零点的取值范围．
(2)以零点为分界点，说明导函数f′(x)的正负，进而得到f(x)的最值表达式．
(3)将零点方程适当变形，整体代入最值式子进行化简证明，有时(1)中的零点范围还可以适当缩小．
【例题1】（2024·吉林长春·东北师大附中校联考模拟预测）已知（其中为自然对数的底数）.
（1）当时，求曲线在点处的切线方程，
（2）当时，判断是否存在极值，并说明理由；
（3），求实数的取值范围.
【变式1】（23-24高三上·河南焦作·期末）（1）求函数的极值；
（2）若，证明：当时，．
【变式2】（2024·浙江宁波·高三统考期末）已知函数，其中．
（1）当时，求曲线在处的切线方程；
（2）记为的导函数，若对，都有，求的取值范围．
【变式3】（2024·河北邢台·高三统考期末）已知函数．
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）证明：．
题型二 极值点偏移
极值点偏移问题的解法
(1)(对称化构造法)构造辅助函数：对结论x1＋x2>((