第一次月考卷02（测试范围：集合+不等式+函数）-2025年高考数学一轮复习 （新高考专用）

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2、精练习题。不搞“题海战术”，在老师指导下，选一些源于课本的变式题，或体现基本概念、基本方法的基本题，通过解题来提高思维能力和解题技巧，加深对所学知识的深入理解。在解题时，要独立思考，一题多思，一题多解，反复玩味，悟出道理。
3、加强审题的规范性。每每大考过后，总有同学抱怨没考好，纠其原因是考试时没有注意审题。审题决定了成功与否，不解决这个问题势必影响到高考的成败。
4、重视错题。错误要及时寻找错因，及时进行总结，三五个字，一两句话都行，言简意赅，切中要害，以利于吸取教训，力求相同的错误不犯第二次。
2025年高考一轮复习第一次月考卷02（测试范围：集合+不等式+函数）
（满分150分，考试用时120分钟）
一､选择题
1．已知全集，集合，，那么集合（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】解不等式求出集合，根据交集的定义即可.
【解析】由题意可知，，
，
所以.
故选：B.
2．已知函数为奇函数，则实数的值为（ ）
A．B．C．1D．
【答案】B
【分析】利用奇函数的定义可得，计算可求的值.
【解析】，
得，所以.
故选：B.
3．已知，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】由函数在上是单调递增函数，则，可得答案
【解析】由函数在上是单调递增函数，则，
所以“”是“”的的充要条件，
故选：C
【点睛】本题考查函数的单调性的应用和充要条件的判断，属于基础题，
4．若，则的最小值为（ ）
A．B．C．1D．
【答案】D
【分析】将和两边放，然后两边同时除以，凑出，再用基本不等式即可.
【解析】因为，，两边同时除以，得到，
当且仅当即取“=”.
则，当且仅当取“=”.
两边取自然对数，则，当且仅当取“=”.
故的最小值为.
故选：D.
5．5G技术的数学原理之一是著名的香农公式：它表示：在受高斯白噪声干拢的信道中，最大信息传递速率C取决于信道带宽W﹒信道内所传信号的平均功率S，信道内部的高斯噪声功率N的大小．其中叫做信噪比，按照香农公式，在不改变W的情况下，将信噪比卡从1999提升至，使得C大约增加了20%，则入的值约为（ ）(参考数据lg2≈0.3，103.96≈9120)
A．9121B．9119C．9919D．10999
【答案】B
【分析】根据题意先建立数学模型，然后利用对数求值进行计算.
【解析】解：由题意得：
，
又
故
故选：B
6．已知且，函数满足对任意实数，都有成立，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由可得函数在上为增函数，所以，从而可求出的取值范围
【解析】解：因为对任意实数，都有成立，
所以在上为增函数，
所以，解得，
所以的取值范围为，
故选：C
7．已知正实数a，b满足，则的最小值为（ ）
A．B．3C．D．
【答案】C
【分析】由题设条件有，令则有、，应用基本不等式求范围且恒成立，进而求的范围，即可得结果.
【解析】由，则，且，
所以，
令，则，且，
所以，即，仅当时等号成立，
对于恒成立，仅当，即时等号成立，
综上，若，则，
而，则，只需，
所以，仅当，即时等号成立，
综上，，仅当，即时等号成立.
所以目标式最小值为.
故选：C
8．已知定义在R上的奇函数，对于都有，当时，，则函数在内所有的零点之和为（ ）
A．16B．12C．10D．8
【答案】B
【分析】根据函数奇偶性以及对称性，推出函数的周期，再结合时，，即可作出函数的图象，将零点问题转化为函数图象的交点问题，数形结合，即可求得答案.
【解析】由题意定义在R上的奇函数，对于，都有，
图象关于直线对称；
且，即，
故，
即函数是以4为周期的周期函数，
当，则，则，
故，
当，则，因为，
则；
当时，则，
由此可作出函数在内的图象，如图示：

由可得，
由图象可知的图象与在内仅有4个交点，
不妨设这4个交点的横坐标从左向右依次为，
由于为图象对称轴，且函数周期为4，故也为函数图象的对称轴，
故由图象可知关于对称，关于对称，
故，则，
即函数在内所有的零点之和为12，
故选：B
【点睛】方法点睛：解决此类函数性质综合应用的题目，要能根据函数的性质，比如奇偶性、对称性，进而推出函数的周期，进而结合给定区间上的解析式，作出函数大致图像，数形结合，解决问题.
二、多选题
9．已知，，，则下列结论中正确的有（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
【答案】ABD
【分析】根据不等性质分别判断各选项.
【解析】对于A：因为，所以，所以，故A正确；
对于B：因为，所以，两边同乘以得，即，故B正确；
对于C：因为，所以，所以，
又，两式相乘得，故C错误；
对于D：，因为，所以，，所以，即，故D正确；
故选：ABD.
10．已知关于x的一元二次不等式的解集为或，则下列说法正确的是（ ）
A．且
B．
C．不等式的解集为
D．不等式的解集为
【答案】AB
【分析】A选项，转化为为一元二次方程的两个根，且，由韦达定理得到答案；B选项，根据为一元二次方程的根，得到B正确；C选项，在A基础上不等式变形为，解出解集；D选项，不等式变形为，求出解集.
【解析】A选项，由题意得为一元二次方程的两个根，且，
故，即，A正确；
B选项，为一元二次方程的根，故，B正确；
C选项，由A选项可知，，解得，C错误；
D选项，，
又，故，解得或，D错误.
故选：AB
11．定义区间的长度为，记函数（其中）的定义域的长度为，则下列说法正确的有（ ）
A．
B．的最大值为
C．在上单调递增
D．给定常数，当时，的最小值为
【答案】ABD
【分析】求函数的定义域，得判断选项A；利用单调性定义证明单调性判断选项C，由单调性求判断函数的最值判断BD选项．
【解析】由，得，，，A选项正确；
设，则，
，，，，在上是增函数，
同理可证，在上是减函数，
所以在上是增函数，在上是减函数，C选项错误；
为最大值，B选项正确；
，，，在上是增函数，在上是减函数，
的最小值为和中较小者，
．
的最小值为，D选项正确．
故选：．
三、填空题
12．已知正实数满足，则的最小值是 .
【答案】
【分析】由题意可得，根据基本不等式中“1”的用法计算即可求解.
【解析】由题意知，，，
所以，
当且仅当即时等号成立，
所以的最小值为.
故答案为：
13．已知函数的值域为，则函数的定义域为
【答案】
【分析】首先求出函数的定义域，再利用抽象函数的定义域的求法求解
【解析】由值域为，
得，所以，
解得即的定义域为，
由得，
故的定义域为.
故答案为：
14．已知函数在上单调递减，且对任意的，总有，则实数t的取值范围是 ．
【答案】
【分析】先根据单调性求出的范围，结合二次函数区间最值可得答案.
【解析】由于函数图象的对称轴为直线，
函数在上单调递减，所以.
在区间上，0距对称轴最远，故要使对任意的，都有，
只要即可，即，
解得.
又，所以.
故答案为：
四、解答题
15．计算：
(1)
(2).
(3)已知，求的值.
【答案】(1)；
(2)0；
(3)
【分析】（1）利用指数幂的运算化简求值；
（2） 利用对数式的运算规则化简求值；
（3）由，两边同时平方，求出，由 ，求出，再由求值即可.
【解析】（1）.
（2）
.
（3），即，
，，
..
16．已知指数函数的图象过点．
(1)求的值；
(2)求关于的不等式的解集．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）由指数函数的概念列式求解，
（2）由对数函数的单调性转化后求解．
【解析】（1）由题知指数函数，则，得或，又，
图象经过，则，解得；
（2），以2为底的对数函数在其定义域内是单调递增的，
∴满足条件，
∴不等式的解集为．
17．已知函数.
(1)若，求在区间上的最大值和最小值；
(2)若在上恒成立，求的取值范围.
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）利用换元法及二次函数的性质计算可得；
（2）参变分离可得在上恒成立，利用基本不等式求出的最小值，即可求出参数的取值范围.
【解析】（1）若，，，
令，因为，所以，
令，，
则在上单调递减，在上单调递增，
又，，，
所以，，
所以，；
（2）因为在上恒成立，
即在上恒成立，
又，
当且仅当，即时等号成立，
所以，即的取值范围是.
18．设函数
(1)若不等式对一切实数x恒成立，求a的取值范围；
(2)解关于的不等式：．
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）对是否为零进行讨论，再结合二次函数的性质即可求解.
（2）不等式化简为，根据一元二次不等式的解法，分类讨论即可求解.
【解析】（1）对一切实数x恒成立，等价于恒成立.
当时，不等式可化为，不满足题意.
当，有，即，解得
所以的取值范围是．
（2）依题意，等价于，
当时，不等式可化为，所以不等式的解集为.
当时，不等式化为，此时，所以不等式的解集为.
当时，不等式化为，
①当时，，不等式的解集为；
②当时，，不等式的解集为；
③当时，，不等式的解集为；
综上，当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为.
19．设有两个集合，如果对任意，存在唯一的，满足，那么称是一个的函数.设是的函数，是的函数，那么是的函数，称为和的复合，记为.如果两个的函数对任意，都有，则称.
(1)对，分别求一个，使得对全体恒成立；
(2)设集合和的函数以及的函数.
（i）对，构造的函数以及的函数，满足；
（ii）对，构造的函数以及的函数，满足，并且说明如果存在其它的集合满足存在的函数以及的函数，满足，则存在唯一的的函数满足.
【答案】(1)，
(2)（i），；（ii），，说明见解析
【分析】（1）利用对数函数性质结合题干条件求解；
（2）（i）利用常函数求解；（ii）结合（i）再证明唯一性即可.
【解析】（1）因为，而，
对全体恒成立；
故对所有成立.
（2）（i）考虑以及两个函数，
对任意，因为，
所以.
（ii）我们可以继续使用（i）的构造，
任意取，因为，所以，
所以，则，
因此存在满足条件；
如果符合题意，即，
则，
由定义得到；
所以存在唯一的的函数满足题意.
【点睛】关键点点睛：充分利用题目定义的新函数证明唯一性是关键.