全国通用 中考数学 二次函数压轴题专题练习 05面积转化问题（含答案解析版）

这是一份全国通用 中考数学 二次函数压轴题专题练习 05面积转化问题（含答案解析版），共19页。试卷主要包含了平行转化法，三角形面积之比，面积差等内容，欢迎下载使用。
三角形面积之比：
一、平行转化法：
例1．（2024•酒泉二模）如图，平面直角坐标系中，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于点A（﹣1，0）和点B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，3）．点D为直线BC上的一动点．
（1）求此二次函数的表达式；
（2）如图1，当点D在线段BC上时，过动点D作DP∥AC交抛物线第一象限部分于点P，连接PA，PB，记△PAD与△PBD的面积和为S，当S取得最大值时，求点P的坐标；
【解答】解：（1）由题意得：y＝a（x+1）（x﹣3）＝a（x2﹣2x﹣3），
则﹣3a＝3，则a＝﹣1，
则抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+3；
（2）连接CP，
∵DP∥AC，则S△PDA＝S△PCD，
则S＝S△PAD+S△PBD＝S△PBC，
过点P作y轴的平行线交BC于点E，
由点B、C的坐标得，直线BC的表达式为：y＝﹣x+3，
设点P（x，﹣x2+2x+3），则点E（x，﹣x+3），
则S＝PE×OB＝3×（﹣x2+2x+3+x﹣3）＝﹣（x﹣）2+≤，
故S的最大值为，此时x＝1.5，则点P（，）；
对应练习：已知：如图所示，抛物线y=ax2-2ax-3a的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且OC=3OA．
（1）求此抛物线解析式；
（2）在点P为抛物线上一动点，若△ACP的面积是6，求点P的坐标.
二、三角形面积之比：
例2．（2024•济宁二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）与x轴交于A（﹣2，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C，且OC＝2OA．
（1）试求抛物线的解析式；
（2）直线y＝kx+1（k＞0）与y轴交于点D，与抛物线在第一象限交于点P，与直线BC交于点M，记，试求m的最大值及此时点P的坐标；
【解答】解：（1）∵A（﹣2，0），
∴OA＝2，
∵OC＝2OA，
∴OC＝4，
∴C（0，4），
∵抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣2，0）、B（4，0）、C（0，4），
∴，
解得：，
∴该抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+4；
（2）如图1，过点P作PE∥y轴交直线BC于E，连接CP，
设直线BC的解析式为y＝kx+d，
∵B（4，0）、C（0，4），
∴，
解得：，
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+4，
设P（t，﹣t2+t+4），则E（t，﹣t+4），
∴PE＝﹣t2+t+4﹣（﹣t+4）＝﹣t2+2t，
∵直线y＝kx+1（k＞0）与y轴交于点D，
∴D（0，1），
∴CD＝4﹣1＝3，
∵PE∥y轴，即PE∥CD，
∴△EMP∽△CMD，
∴＝＝＝﹣t2+t，
∵m＝＝，
∴m＝﹣t2+t＝﹣（t﹣2）2+，
∵﹣＜0，
∴当t＝2时，m取得最大值，此时点P的坐标为（2，4）；
对应练习：
1．（2024•单县三模）已知抛物线y＝ax2+bx+3的顶点坐标为（﹣1，4），与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，点P为第二象限内抛物线上的动点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，连接OP交BC于点D，当S△CPD：S△BPD＝1：2时，请求出点D的坐标；
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3的顶点坐标为（﹣1，4），
∴，
解得：，
∴抛物线解析式为y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）令y＝0，得﹣x2﹣2x+3＝0，
解得：x1＝﹣3，x2＝1，
∴A（1，0），B（﹣3，0），
令x＝0，则y＝﹣x2﹣2x+3＝3，
∴C（0，3），
∴OB＝OC＝3，
∴，∠CBO＝45°，
∵S△CPD：S△BPD＝1：2，设点P到BC的距离为h，
∴＝＝，
∴，
过点D作DK⊥x轴于点K，则△BDK是等腰直角三角形，如图1，
∴，
∴OK＝1，
∴D（﹣1，2）；
2．（2023•怀远县校级模拟）如图1，抛物线y＝ax2+bx+4（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0），C（3，0），与y轴交于点B，P是第一象限内抛物线上的点，连接OP交BC于点M，连接PC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）是否存在点P，使得S△PCM：S△CMO＝2：3？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）把点A（﹣1，0），C（3，0）代入y＝ax2+bx+4（a≠0），得：
，
解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）存在．如图，过点P作PQ∥BC交x轴于点Q，
∴△CMO∽△QPO，
∴，
设△OPC的边OP上的高为h，
∴，，
∵S△PCM：S△CMO＝2：3，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵OC＝3，
∴OQ＝5，
∴点Q的坐标为（5，0），
由抛物线的解析式知B（0，4），
设直线BC的解析式为y＝k1x+b1，
把B（0，4），C（3，0）代入得，，
解得，
∴直线BC的解析式为，
∵PQ∥BC，
∴设直线PQ的解析式为，
代入Q（5，0）得，
解得，
∴直线PQ的解析式为，
∵点P在抛物线，
∴联立得，解得x1＝1，x2＝2，
把x1＝1，x2＝2代入，得，
∴点P的坐标为或（2，4）；
3.（2024春•昆都仑区校级月考）如图，抛物线y＝ax2+2x+c（a＜0）与x轴交于点A和点B（点A在原点的左侧，点B在原点的右侧），与y轴交于点C，OB＝OC＝3．
（1）求该抛物线的函数解析式；
（2）如图①，连接BC，点D是直线BC上方抛物线上的点，连接OD，CD．OD交BC于点F，当S△COF：S△CDF＝3：2时，求点D的坐标；
【解答】解：（1）∵OC＝OB＝3，
∴C（0，3），B（3，0），
将C（0，3），B（3，0）代入y＝ax2+2x+c，得：
，
∴，
∴抛物线解析式为：y＝﹣x2+2x+3；
（2）设BC的解析式为y＝kx+m，将C（0，3），B（3，0）代入，得：
，
∴，
∴直线BC的解析式为：y＝﹣x+3．
∵△CDF与△COF高相同，
∴S△COF：S△CDF＝OF：FD＝3：2．
作DG∥y轴，交BC于点G，设点D的横坐标为t，则G（t，﹣t+3），D（t，﹣t2+2t+3），
∴DG＝﹣t2+2t+3﹣（﹣t+3）＝﹣t2+3t．
∵DG∥CO，
∴△GDF∽△COF，
∴OF：DF＝OC：DG，
∴DG＝2，
∴﹣t2+3t＝2，
∴t1＝1，t2＝2，
∴当t＝1时，
∴y＝4，
当t＝2时，
∴y＝3，
∴点D的坐标（1，4）或（2，3）；
4．（2024•济宁）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过（0，﹣3），（﹣b，c）两点，其中a，b，c为常数，且ab＞0．
（1）求a，c的值；
（2）若该二次函数的最小值是﹣4，且它的图象与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．
①求该二次函数的解析式，并直接写出点A，B的坐标；
②如图，在y轴左侧该二次函数的图象上有一动点P，过点P作x轴的垂线，垂足为D，与直线AC交于点E，连接PC，CB，BE．是否存在点P，使若存在，求此时点P的横坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）∵函数过（0，﹣3），（﹣b，c）
∴c＝﹣3，ab2﹣b2+c＝c，
∴（a﹣1）b2＝0，
∵ab＞0，
∴a≠0，b≠0，
∴a﹣1＝0，
∴a＝1．
（2）①由（1）知该函数的解析式为：y＝x2+bx﹣3＝（x+）2﹣，
∵a＝1＞0，
∴当x＝﹣时，函数最小值为y＝﹣，
∵二次函数最小值为﹣4，
∴﹣＝﹣4，
解得b＝±2，
∵ab＞0，
∴b＝2，
∴二次函数解析式为y＝x2+2x﹣3，
令y＝0，则x2+2x﹣3＝0，
解得x1＝﹣3，x2＝1，
∴点A坐标（﹣3，0），点B坐标（1，0）．
②Ⅰ，当点P在点A右侧时，如图，过B作BF⊥AC于点F，过P作PG⊥AC于点G，
∵A（﹣3，0），C（0，﹣3），B（1，0），
∴OA＝OC＝3，OB＝1，
∴AB＝OA+OB＝4，AC＝3，
∵S△ABC＝，
∴BF＝＝2，
∵△PCE和△BCE都是以CE为底的三角形，
∴＝＝，
∴PG＝，
过P作PH∥AC交y轴于点H，过C作CK⊥PH，则CK＝PG＝，
∵OA＝OC，
∴∠OCA＝45°，
∴∠CHK＝45°，
∴CH＝CK＝，
∴OH＝，
∴点H坐标（0，﹣），
∴直线PH解析式为y＝﹣x﹣，
联立方程组可得，
解得，，
∴P点坐标为（，）或（，）．
Ⅱ，当点P在点A左侧时，过P作PH∥AC交y轴于点H，
同第一种情况的方法可得H（0，﹣）
∴直线PH解析式为y＝﹣x﹣，
联立方程组得，
解得（舍），，
∴P点坐标为（，）．
综上，P点的横坐标为或或．
5．（2024•东营）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（2，0）两点，与y轴交于点C，点D是抛物线上的一个动点．
（1）求抛物线的表达式；
（2）当点D在直线BC下方的抛物线上时，过点D作y轴的平行线交BC于点E，设点D的横坐标为t，DE的长为l，请写出l关于t的函数表达式，并写出自变量t的取值范围；
（3）连接AD，交BC于点F，求的最大值．
【解答】解：（1）由题意得，
，
∴，
∴抛物线的表达式为：y＝x2﹣x﹣2；
（2）设直线BC的函数表达式为：y＝mx+n，
∴，
∴，
∴y＝x﹣2，
∴E（t，t﹣2），
∵D（t，t2﹣t﹣2），
∴l＝（t﹣2）﹣（t2﹣t﹣2）＝﹣t2+2t（0＜t＜2）；
（3）如图1，
当0＜t＜2时，
作AG∥DE，交BC于G，
∴△DEF∽△AGF，
∴，
把x＝﹣1代入y＝x﹣2得，
y＝﹣3，
∴AG＝3，
∴＝﹣（t﹣1）2+，
∵当x＝1时，最大＝，
∵，
∴最大＝．
6．（2024•湖北模拟）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣2，0）和点B，交y轴负半轴于点C，对称轴在y轴的右边，OB＝2OC，点P是直线BC下方抛物线上的点，连接OP交BC于点E，连接PC，记△PEC，△OEC的面积分别为S1，S2．（1）当抛物线的对称轴为直线x＝1时．
①求抛物线的函数表达式；
②当的值最大时，求此时点P的坐标；
【解答】解：（1）①抛物线的对称轴为直线 x＝1，A（﹣2，0），
∴B（4，0），
∵OB＝2OC，点C在y轴负半轴上，
∴C（0，﹣2），即c＝﹣2，
∵点A，B在抛物线上，
∴，
解得：，
∴．抛物线的函数表达式为；
②∵B（40），C（0，﹣2），
设直线BC的解析式为 y＝kx﹣2，
∴0＝4k﹣2，
解得 ，
∴直线BC的解析式为，
过点P作PF⊥x轴，交BC于点F，如图1，
设，，OC∥PF，
∴，
∵OC∥PF，
∴△OCE∽△PFE，
∴＝，
∴＝＝＝＝，
∵，
∴当m＝2时，的值最大，此时P（2，﹣2）；
三、面积差
例3.（2023•武汉模拟）如图1，抛物线y＝ax2+bx﹣3（a＞0）交x轴于点A，B（点A在点B左侧），交y轴于点C，且OB＝OC＝3OA，点D为抛物线上第四象限的动点．
（1）求抛物线的解析式．
（2）如图1，直线AD交BC于点P，连接AC，BD，若△ACP和△BDP的面积分别为S1和S2，当S1﹣S2的值最小时，求直线AD的解析式．
【解答】解：（1）由二次函数y＝ax2+bx﹣3，
令x＝0，则y＝﹣3，
∴C（0，﹣3）．
又∵OB＝OC＝3OA，
∴A（﹣1，0），B（3，0），代入得：
y＝a（x+1）（x﹣3）＝a（x2+2x﹣3）
即﹣3a＝﹣3，
解得：a＝1
∴y＝x2﹣2x﹣3；
（2）由题意得：S1﹣S2＝（S△ACP+S△ABP）﹣（S△BDP+S△ABP）＝S△ABC﹣S△ABD．
∵S△ABC＝6，为定值，
∴当S△ABD达到最大值时，S1﹣S2的值最小．
即点D为抛物线的顶点（1，﹣4）时，S△ABD达到最大值．
又∵A（﹣1，0），
设直线AD的表达式为：y＝k（x+1），
将点D的坐标代入上式并解得：k＝﹣2，
∴直线AD的表达式为：y＝﹣2x﹣2；
对应练习：
1．（2024•资阳）已知平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴的正半轴交于C点，且B（4，0），BC＝4．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，点P是抛物线在第一象限内的一点，连接PB，PC，过点P作PD⊥x轴于点D，交BC于点K．记△PBC，△BDK的面积分别为S1，S2，求S1﹣S2的最大值；
【解答】解：（1）∵B（4，0），
∴OB＝4，
∵∠BOC＝90°，，
∴，
∴C（0，4），
把B（4，0），C（0，4），代入函数解析式得：
，
解得：，
∴；
（2）∵B（4，0），C（0，4），
∴设直线BC的解析式为：y＝kx+4（k≠0），把B（4，0）代入，得：k＝﹣1，
∴y＝﹣x+4，
设，则K（m，﹣m+4），D（m，0），
∴，DK＝﹣m+4，DB＝4﹣m，
∴，，
∴
＝
＝，
∴当时，S1﹣S2的最大值为；
平行转化法1：
条件：PM//AC
结论：S△PAC=S△MAC
平行转化法2：
条件：PM//AB
结论：S△PAB=S△MAB
1.底相等，面积比=高之比
2.高相等，面积比=底之比