全国通用 中考数学 二次函数压轴题专题练习 06角度问题（含答案解析版）

这是一份全国通用 中考数学 二次函数压轴题专题练习 06角度问题（含答案解析版），共24页。试卷主要包含了已知两角之比，含特殊角，等角等内容，欢迎下载使用。
例1．（2024•香坊区三模）在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣1分别交x轴于A、B两点，交y轴于点C，点A的坐标为（﹣1，0），点B的坐标为（2，0）．
（1）求抛物线解析式；
（2）如图1，点Q、点P分别在第一、第二象限内的抛物线上，PD⊥x轴于点D，点F在第四象限内，连接QF交x轴于点E，连接DF、PE，PE∥DF且PE＝DF，若点P的横坐标为t，点Q的横坐标为，求d与t之间的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；
（3）如图2，在（2）的条件下，点N在线段EQ上，连接PN，作PM平分∠NPD交线段BE于点M，连接MN，若∠NPM与∠NME的度数比为2：3，，求Q点的纵坐标.
【解答】解：（1）把A的坐标为（﹣1，0），点B的坐标为（2，0）代入y＝ax2+bx﹣1得，
解得，
∴抛物线的解析式为y＝x2x﹣1；
（2）设P（t，t2t﹣1），则OD＝﹣t，PD＝t2t﹣1，
∵PE∥DF且PE＝DF，
∴四边形PDFE是平行四边形，
∴∠DPE＝∠F，
∴tan∠DFE＝tanF＝，
在Rt△PDE中，DE＝PD•tanF﹣（t2t﹣1）×＝t2﹣t﹣，
∴d＝OE＝DE﹣OD＝t2+t﹣；
（3）∵PM平分∠NPD，
∴∠NPM＝∠DPM，
设∠NPM＝2α，
∴∠PMD＝90°﹣2α，
∵∠NPM与∠NME的度数比为2：3，
∴∠NME＝3α，
∴∠PMN＝90°﹣α，
∵∠PNM＝180°﹣∠MPN﹣∠PMN＝90°﹣α，
∴∠PMN＝∠PNM，
∴PM＝PN，
设PD＝5m，则DE＝8m，过N作NG⊥PM于G，
∵PD⊥x轴于点D，
∴∠PGN＝∠PDM＝∠MGN＝90°，
∵PM＝PN，∠NPG＝∠MPD，
∴△PDM≌△PGN（AAS），
∴PG＝PD＝5m，
延长PM，NE交于点H，过H作HR⊥PD于R，则∠PRH＝90°，
∵PD∥NH，
∴∠PHN＝∠MPD，
∵∠NPG＝∠MPD，
∴∠NPG＝∠PHN，
∵∠PGN＝∠HGN＝90°，NG＝NG，
∴△PGN≌△HNG（AAS），
∴PG＝GH＝5m，
∴PH＝10m，
在Rt△PRH中，PR＝＝6m，
∴tan∠PHR＝，
∵DE∥RH，
∴∠PMD＝∠PHR，
∴tan∠PMD＝tan∠PHR＝，
在Rt△PDM中，DM＝PD÷tan∠PMD＝5m÷m，
∴ME＝DE﹣DM＝8m﹣m，
∴PM＝＝m，
过点N作NT⊥DP交DP的延长线于T，则∠T＝90°，
∵∠PRH＝∠RHN＝90°，
∴四边形TRHN是矩形，
∴NT＝RH＝8m，DT＝NE，
∴PT＝＝m，
∵EN﹣EF＝AD，EN＝DT，EF＝PD，
∴DT﹣PD＝AD，
∴PT＝m，
∴AD＝2m，
∴OD＝2m+1，
∴P（﹣2m﹣1，5m），
将P（﹣2m﹣1，5m）代入y＝x2﹣﹣1，得5m＝（﹣2m﹣1）2﹣（﹣2m﹣1）﹣1，
∴m＝1或m＝0（舍），
∴t＝﹣3，
把t＝﹣3代入（2）中的结论d＝t2+t﹣，得d＝5，
把d＝5代入y＝x2x﹣1得y＝9，
∴Q点的纵坐标为9．
二、含特殊角
例2．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点A坐标为（﹣1，0），点B坐标为（3，0）．
（1）求此抛物线的函数解析式．
（2）点P是直线BC上方抛物线上一个动点，过点P作x轴的垂线交直线BC于点D，过点P作y轴的垂线，垂足为点E，请探究2PD+PE是否有最大值？若有最大值，求出最大值及此时P点的坐标；若没有最大值，请说明理由．
（3）点M为该抛物线上的点，当∠MCB＝45°时，请直接写出所有满足条件的点M的坐标．
【解答】解：（1）∵抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点A坐标为 （﹣1，0），点B坐标为（3，0），
∴．
（2）当x＝0时，，
∴C（0，2），
设直线BC为y＝kx+2，
∴3k+2＝0，
解得，
∴直线BC为，
设，
∴，
∴2PD+PE＝＝，
当时，有最大值，
此时．
（3）如图，以CB为对角线作正方形CTBK，
∴∠BCK＝∠BCT＝45°，
∴CK，CT与抛物线的另一个交点即为M，
如图，过T作x轴的平行线交y轴于Q，过B作BG⊥TQ于G，则OB＝GQ＝3，
∴∠CTB＝90°＝∠CQT＝∠QGB，
∴∠QCT+∠CTQ＝90°＝∠CTQ+∠BTG，
∴∠QCT＝∠BTG，
∵CT＝BT，
∴△CQT≌△TGB（AAS），
∴QT＝GB，CQ＝TG，
设TQ＝GB＝m，则CQ＝TG＝3﹣m，
∴Q0＝3﹣m﹣2＝1﹣m，
∴T（m，m﹣1），
由TC＝TB可得m2+（m﹣3）2＝（m﹣3）2+（m﹣1）2，
解得，
∴，
设CT为y＝nx+2，
∴，
解得n＝﹣5，
∴直线CT为y＝﹣5x+2，
∴，
解得或，
∴，，C（0，2），B（3，0），正方形CTBK．
∴，
同理可得直线CK为，
∴，
解得或，
∴，
综上，点M的坐标为或．
对应练习：
1.（2024春•江北区校级期末）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+3的图象与x轴交于点A（﹣1，0）和点B（4，0），与y轴交于点C，连接BC，过点A作AD∥BC交y轴于点D，连接BD．
（1）求二次函数的表达式；
（2）如图1，点P在第一象限内的抛物线上，连接PB、PC，当四边形BPCD的面积最大时，求出此时点P的坐标以及S四边形BPCD的最大值；
（3）如图2，将抛物线先向左平移3个单位，再向上平移1个单位得到新抛物线，若新抛物线与y轴交于点E，连接AE、BE，点M在新抛物线的对称轴上，满足：∠EBM+∠AEO＝∠OEB，请直接写出点M的坐标．
【解答】解：（1）由题意，设二次函数的解析式：y＝a（x+1）（x﹣4），
由题意：﹣4a＝3，
∴，
∴；
（2）过点P作PQ∥y轴交BC于点Q，
∵AD∥BC，
∴，
∴S四边形BPCD＝S△BCD+S△PBC
＝，
∵B（4，0）、C（0，3），
∴BC的解析式为：，
设，，
∴，
∵，对称轴：直线m＝2，
∴当m＝2时，PQ最大＝3，
此时，S四边形BPCD的最大值为13.5；
（3）平移过后的解析式，对称轴为：直线，
由新抛物线的表达式知，点E（0，4），即OE＝OB＝4，设新抛物线的对称轴交x轴于点N（﹣，0），
则∠OEB＝∠OBE＝45°，∠EBM+∠AEO＝∠OEB＝45°，
∴∠MBN＝∠OEA，
由点O、A、C的坐标得：tan∠AEO＝＝＝tan∠MBN，
则直线BM的表达式为：y＝﹣（x﹣4），
当x＝﹣时，y＝﹣（x﹣4）＝；
即点M（﹣，）；
当点M（M′）在BE上方时，
同理可得：直线BM′的表达式为：y＝﹣4（x﹣4），
当x＝﹣时，y＝﹣4（x﹣4）＝22，
即点M（﹣，22）；
综上，，．
2．（2024•单县三模）已知抛物线y＝ax2+bx+3的顶点坐标为（﹣1，4），与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，点P为第二象限内抛物线上的动点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图，点E的坐标为（0，﹣1），点G为x轴负半轴上的一点，∠OGE＝15°，连接PE，若∠PEG＝2∠OGE，请求出点P的坐标；
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3的顶点坐标为（﹣1，4），
∴，
解得：，
∴抛物线解析式为y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）设直线PE交x轴于点H，
∵∠OGE＝15°，∠PEG＝2∠OGE＝30°，
∴∠OHE＝∠OGE+∠PEG＝45°，
∴OH＝OE＝1，
∴H（﹣1，0），
设直线HE的解析式为y＝k′x+b′，
∴，
∴，
∴直线HE的表达式为y＝﹣x﹣1，
联立，
解得 （舍去正值），
∴P．
三、等角
例3．（2024•沂源县一模）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+5经过A（﹣5，0），B（﹣4，﹣3）两点，与x轴的另一个交点为C，顶点为D，连接CD．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）点P为该抛物线上一动点（与点B，C不重合），设点P的横坐标为t．
①当点P在直线BC的下方运动时，求△PBC的面积的最大值及点P的坐标；
②该抛物线上是否存在点P，使得∠PBC＝∠BCD？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）将点A（﹣5，0）、B（﹣4，﹣3）代入抛物线y＝ax2+bx+5，
得：，
解得：，
∴该抛物线的表达式为：y＝x2+6x+5…①；
（2）①令y＝0，得x2+6x+5＝0，
解得：x1＝﹣1，x2＝﹣5，
∴点C（﹣1，0），
设直线BC的解析式为y＝kx+d，将点B、C的坐标代入得：，
解得：，
∴直线BC的解析式为y＝x+1…②，
如图1，过点P作y轴的平行线交BC于点G，
设点G（t，t+1），则点P（t，t2+6t+5），
∴PG＝t+1﹣（t2+6t+5）＝﹣t2﹣5t﹣4，
∴S△PBC＝PG•（xC﹣xB）＝×（﹣t2﹣5t﹣4）×3＝﹣t2﹣t﹣6＝﹣（t+）2+，
∵﹣＜0，
∴S△PBC有最大值，当t＝﹣时，其最大值为，此时P（﹣，﹣）；
②∵y＝x2+6x+5＝（x+3）2﹣4，
∴顶点D（﹣3，﹣4），
设直线BP与CD交于点H，
当点P在直线BC下方时，
∵∠PBC＝∠BCD，
∴点H在BC的中垂线上，
∵线段BC的中点坐标为（﹣，﹣），
过该点与BC垂直的直线的k值为﹣1，
设BC中垂线的表达式为：y＝﹣x+m，
将点（﹣，﹣）代入上式得﹣＝﹣（﹣）+m，
解得：m＝﹣4，
∴直线BC中垂线的表达式为：y＝﹣x﹣4…③，
设直线CD的解析式为y＝k′x+b′，把C（﹣1，0），D（﹣3，﹣4）代入得：，
解得：，
∴直线CD的解析式为：y＝2x+2…④，
联立③④得：，
解得：，
∴点H（﹣2，﹣2），
设直线BH的解析式为y＝k″x+b″，则，
解得：，
∴直线BH的解析式为：y＝x﹣1…⑤，
联立①⑤得，
解得：，（舍去），
故点P（﹣，﹣）；
当点P（P′）在直线BC上方时，
∵∠PBC＝∠BCD，
∴BP′∥CD，
则直线BP′的表达式为：y＝2x+s，将点B坐标代入上式并解得：s＝5，
即直线BP′的表达式为：y＝2x+5…⑥，
联立①⑥并解得：x＝0或﹣4（舍去﹣4），
故点P（0，5）；
综上所述，点P的坐标为P（﹣，﹣）或（0，5）．
对应练习：
1.（2024•莱芜区模拟）抛物线的顶点坐标为D（1，4），与x轴交于A（﹣1，0），B两点，与y轴交于点C．
（1）求这条抛物线的函数表达式；
（3）如图，点P在第四象限的抛物线上，连接CD，PD与BC相交于点Q，与x轴交于点G，是否存在点P，使∠PQC＝∠ACD．若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）∵抛物线的顶点坐标为D（1，4），
∴设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）2+4，将点A（﹣1，0）代入，得：4a+4＝0，
解得：a＝﹣1，
∴y＝﹣（x﹣1）2+4＝﹣x2+2x+3，
故该抛物线的函数表达式为y＝﹣x2+2x+3；
（3）存在点P，使∠PQC＝∠ACD．理由如下：
如图2，过点D作y轴的平行线交过点C与x轴的平行线于点E，则DE＝CE＝1，
即∠DCE＝45°，则∠OCD＝90°+45°＝135°，
则∠ACD＝135°+∠ACO；
过点Q作QT⊥x轴于点T，则∠CQT＝135°，
则∠PQC＝∠CQT+∠TQP＝135°+∠TQP＝∠ACD＝135°+∠ACO，
∴∠TQP＝∠ACO，
过点P作PN∥y轴交过点D与x轴的平行线于点N，
∵PN⊥x轴，QT⊥x轴，
∴PN∥QT，
∴∠NPD＝∠TQP＝∠ACO，
在Rt△AOC中，tan∠ACO＝＝＝tan∠NPD，
设点P（t，﹣t2+2t+3），
则tan∠NPD＝＝＝，
解得：t＝1（舍去）或t＝4，
经检验，t＝4是方程的根，
∴P（4，﹣5）．
2．（2024•济南一模）如图，二次函数y＝x2﹣2mx﹣2m﹣1（m＞0）的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D，其对称轴与线段BC交于点E，与x轴交于点F．连接AC、BD．
（1）若m＝1，求B点和C点坐标；
（2）若∠ACO＝∠CBD，求m的值；
【解答】解：（1）当m＝1 时，y＝x2﹣2x﹣3，
令y＝0，得x2﹣2x﹣3＝0，
解得：x1＝﹣1，x2＝3，
∵点A在点B的左侧，
∴B（3，0），
令x＝0，得y＝﹣3，
∴C（0，﹣3）；
（2）当y＝0时，x2﹣2mx﹣2m﹣1＝0，
解得：x1＝﹣1，x2＝2m+1，
∵点A在点B的左侧，且m＞0，
∴A（﹣1，0），B（2m+1，0），
∵当 x＝0时，y＝﹣2m﹣1，
∴C（0，﹣2m﹣1），
∴OB＝OC＝2m+1，
∵∠BOC＝90°，
∴∠OBC＝45°，
如图1中，连接AE，
∵y＝x2﹣2mx﹣2m﹣1＝（x﹣m）2﹣（m2+2m+1），
∴D（m，﹣m2﹣2m﹣1），F（m，0），
∴DF＝m2+2m+1，OF＝m，BF＝m+1，
∵A、B关于对称轴直线x＝1对称，
∴AE＝BE，
∴∠EAB＝∠OBC＝45°，
∵∠ACO＝∠CBD，∠OCB＝∠OBC，
∴∠ACO+∠OCB＝∠CBD+∠OBC，
即∠ACE＝∠DBF，
∵EF∥OC，
tan∠ACE＝＝＝＝，
tan∠DBF＝＝＝m+1，
∵∠ACE＝∠DBF，
∴tan∠ACE＝tan∠DBF，
∴＝m+1，
解得：m＝1或﹣1，
经检验，m＝±1是方程＝m+1的根，
∵m＞0，
∴m＝1；
3．如图①，抛物线y＝ax2+bx﹣3与x轴交于点A（﹣4，0）和点B（1，0），与y轴交于点C，点P是直线下方抛物线上的点，PD⊥AC于点D，PF⊥x轴于点F，交线段AC于点E．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当△PDE的周长最大时，求P点的坐标；
（3）如图（2），点M是在直线上方的抛物线上一动点，当∠MAO＝∠OAC时，求点M的坐标．
【解答】解：（1）把A（﹣4，0），B（1，0）代入y＝ax2+bx﹣3中得：
，
解得：，
∴抛物线解析式为；
（2）在中，当x＝0时，y＝﹣3，
∴C（0，﹣3），
∵OA＝4，OC＝3，
∴，
∴，
∵PD⊥AC，PF⊥x轴，
∴∠EFA＝∠EDP＝90°，
又∵∠AEF＝∠PED，
∴∠DPE＝∠FAE，
∴，
∴DE＝PE•sin∠DPE＝0.6PE，DP＝PE•cs∠DPE＝0.8PE，
∴△PDE的周长＝PE+DE+PD＝2.4PE，
∴当PE最大时，△PDE的周长最大，
设直线AC解析式为y＝kx+b′，代入得：
，
解得：，
∴直线AC解析式为，
设，则，
∴
＝
＝，
∵，
当m＝﹣2时，PE有最大值，即此时△PDE的周长最大，此时；
（3）如图所示，设直线AM交y轴于D，
在△AOD和△AOC中，
，
∴△AOD≌△AOC（ASA），
∴OD＝OC＝3，
∴D（0，3），
同理可得直线AD解析式为，
联立得：，
解得：或（舍去），
∴．
4．（2020春•云梦县期中）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c过点x轴上的A（﹣1，0）和B点，交y轴于点C，点P是该抛物线上第一象限内的一动点，且CO＝3AO．
（1）抛物线的解析式为： y＝﹣x2+2x+3 ；
（2）若sin∠BCP＝，在对称轴左侧的抛物线上是否存在点Q，使∠QBC＝∠PBC？若存在，请求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）∵A（﹣1，0），
∴OA＝1，
又∵CO＝3AO，
∴OC＝3，
∴C（0，3），
把A，C两点的坐标代入y＝﹣x2+bx+c得，
，
解得：，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3，
故答案为：y＝﹣x2+2x+3．
（2）存在．
∵，点P在第一象限，
∴∠BCP＝45°，
∵B（3，0），C（0，3），
∴OC＝OB，
∴△BOC是等腰直角三角形，
∴∠OBC＝∠OCB＝45°，
∴∠BCP＝∠OCB＝45°，
∴CP∥OB，
∴P（2，3），
设BQ与y轴交于点G，
在△CPB和△CGB中：
2，
∴△CPB≌△CGB（ASA），
∴CG＝CP＝2，
∴OG＝1，
∴点G（0，1），
设直线BQ：y＝kx+1，
将点B（3，0）代入y＝kx+1，
∴，
∴直线BQ：，
联立直线BQ和二次函数解析式，
解得：或（舍去），
∴Q（，）．
5．（2024春•昆都仑区校级月考）如图，抛物线y＝ax2+2x+c（a＜0）与x轴交于点A和点B（点A在原点的左侧，点B在原点的右侧），与y轴交于点C，OB＝OC＝3．
（1）求该抛物线的函数解析式；
（2）在抛物线上是否存在点P，使∠PCO＝∠PCB．若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）∵OC＝OB＝3，
∴C（0，3），B（3，0），
将C（0，3），B（3，0）代入y＝ax2+2x+c，得：
，
∴，
∴抛物线解析式为：y＝﹣x2+2x+3；
（2）存在，理由：∵∠PCO＝∠PCB，
∴PC是∠BCO的平分线，
设CP交x轴于E，过E作EH⊥BC于H，
∴EO＝EH，
∵OC＝OB＝3，∠BOC＝90°，
∴∠OBC＝45°，BC＝3，
∴△BHE是等腰直角三角形，
∴BH＝EH＝BE，
∵OE＝OH，CE＝CE，
∴Rt△COE≌Rt△CHE（HL），
∴CH＝OC＝3，
∴BH＝EH＝OE＝3﹣3，
∴E（33，0）
∴直线CE的解析式为y＝﹣（）x+3，
令﹣x2+2x+3＝﹣（）x+3，
解得x＝3+或x＝0（不合题意舍去），
∴y＝﹣2﹣4，
∴P（3+，﹣2﹣4）．