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中考数学压轴真题汇编(全国通用)专题04二次函数中角度问题压轴真题训练(原卷版+解析)
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这是一份中考数学压轴真题汇编(全国通用)专题04二次函数中角度问题压轴真题训练(原卷版+解析)，共34页。试卷主要包含了的顶点P在抛物线F，，与y轴交于点C，顶点为D，，交y轴于点C，综合与探究等内容，欢迎下载使用。
1．（2022•南充）抛物线y＝x2+bx+c与x轴分别交于点A，B（4，0），与y轴交于点C（0，﹣4）．
（1）求抛物线的解析式．
（2）如图1，▱BCPQ顶点P在抛物线上，如果▱BCPQ面积为某值时，符合条件的点P有且只有三个，求点P的坐标．
（3）如图2，点M在第二象限的抛物线上，点N在MO延长线上，OM＝2ON，连接BN并延长到点D，使ND＝NB．MD交x轴于点E，∠DEB与∠DBE均为锐角，tan∠DEB＝2tan∠DBE，求点M的坐标．
2．（2022•益阳）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线E：y＝﹣（x﹣m）2+2m2（m＜0）的顶点P在抛物线F：y＝ax2上，直线x＝t与抛物线E，F分别交于点A，B．
（1）求a的值；
（2）将A，B的纵坐标分别记为yA，yB，设s＝yA﹣yB，若s的最大值为4，则m的值是多少？
（3）Q是x轴的正半轴上一点，且PQ的中点M恰好在抛物线F上．试探究：此时无论m为何负值，在y轴的负半轴上是否存在定点G，使∠PQG总为直角？若存在，请求出点G的坐标；若不存在，请说明理由．
3．（2022•西宁）如图，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于点A（3，0），与y轴交于点B，点C在直线AB上，过点C作CD⊥x轴于点D（1，0），将△ACD沿CD所在直线翻折，使点A恰好落在抛物线上的点E处．
（1）求抛物线解析式；
（2）连接BE，求△BCE的面积；
（3）抛物线上是否存在一点P，使∠PEA＝∠BAE？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由．
4．（2022•湖北）抛物线y＝x2﹣4x与直线y＝x交于原点O和点B，与x轴交于另一点A，顶点为D．
（1）直接写出点B和点D的坐标；
（2）如图1，连接OD，P为x轴上的动点，当tan∠PDO＝时，求点P的坐标；
（3）如图2，M是点B关于抛物线对称轴的对称点，Q是抛物线上的动点，它的横坐标为m（0＜m＜5），连接MQ，BQ，MQ与直线OB交于点E．设△BEQ和△BEM的面积分别为S1和S2，求的最大值．
5．（2022•苏州）如图，二次函数y＝﹣x2+2mx+2m+1（m是常数，且m＞0）的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D．其对称轴与线段BC交于点E，与x轴交于点F．连接AC，BD．
（1）求A，B，C三点的坐标（用数字或含m的式子表示），并求∠OBC的度数；
（2）若∠ACO＝∠CBD，求m的值；
（3）若在第四象限内二次函数y＝﹣x2+2mx+2m+1（m是常数，且m＞0）的图象上，始终存在一点P，使得∠ACP＝75°，请结合函数的图象，直接写出m的取值范围．
6．（2022•黄石）如图，抛物线y＝﹣x2+x+4与坐标轴分别交于A，B，C三点，P是第一象限内抛物线上的一点且横坐标为m．
（1）A，B，C三点的坐标为 ， ， ．
（2）连接AP，交线段BC于点D，
①当CP与x轴平行时，求的值；
②当CP与x轴不平行时，求的最大值；
（3）连接CP，是否存在点P，使得∠BCO+2∠PCB＝90°，若存在，求m的值，若不存在，请说明理由．
7．（2022•锦州）如图，抛物线y＝ax2+bx+3交x轴于点A（3，0）和点B（﹣1，0），交y轴于点C．
（1）求抛物线的表达式；
（2）D是直线AC上方抛物线上一动点，连接OD交AC于点N，当的值最大时，求点D的坐标；
（3）P为抛物线上一点，连接CP，过点P作PQ⊥CP交抛物线对称轴于点Q，当tan∠PCQ＝时，请直接写出点P的横坐标．
8．（2022•西宁）如图，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于点A（3，0），与y轴交于点B，点C在直线AB上，过点C作CD⊥x轴于点D（1，0），将△ACD沿CD所在直线翻折，使点A恰好落在抛物线上的点E处．
（1）求抛物线解析式；
（2）连接BE，求△BCE的面积；
（3）抛物线上是否存在一点P，使∠PEA＝∠BAE？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由．
9．（2022•盘锦）如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A，B（4，0）两点（A在B的左侧），与y轴交于点C（0，﹣4）．点P在抛物线上，连接BC，BP．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，若点P在第四象限，点D在线段BC上，连接PD并延长交x轴于点E，连接CE，记△DCE的面积为S1，△DBP的面积为S2，当S1＝S2时，求点P的坐标；
（3）如图2，若点P在第二象限，点F为抛物线的顶点，抛物线的对称轴l与线段BC交于点G，当∠PBC+∠CFG＝90°时，求点P的横坐标．
10．（2022•新市区校级三模）综合与探究
如图，抛物线与x轴交于点A（﹣1，0）和点B（4，0），与y轴交于点C，连接BC．
（1）求抛物线的表达式及点C的坐标；
（2）点P是抛物线对称轴上一点，点Q为平面内一点，当以点B、C、P、Q为顶点的四边形是以BC为边的矩形时，请直接写出点P的坐标；
（3）点D是第四象限内抛物线上一动点，当∠BCD＝2∠ABC时，求点D的坐标．
挑战2023年中考数学解答题压轴真题汇编
专题04 二次函数中角度问题压轴真题训练
1．（2022•南充）抛物线y＝x2+bx+c与x轴分别交于点A，B（4，0），与y轴交于点C（0，﹣4）．
（1）求抛物线的解析式．
（2）如图1，▱BCPQ顶点P在抛物线上，如果▱BCPQ面积为某值时，符合条件的点P有且只有三个，求点P的坐标．
（3）如图2，点M在第二象限的抛物线上，点N在MO延长线上，OM＝2ON，连接BN并延长到点D，使ND＝NB．MD交x轴于点E，∠DEB与∠DBE均为锐角，tan∠DEB＝2tan∠DBE，求点M的坐标．
【解答】解：（1）由题意得，
，
∴，
∴y＝﹣；
（2）如图1，
作直线l∥BC且与抛物线相切于点P1，直线l交y轴于E，作直线m∥BC且直线m到BC的距离等于直线l到BC的距离，
∵BC的解析式为y＝x﹣4，
∴设直线l的解析式为：y＝x+m，
由＝x+m得，
x2﹣4x﹣3（m+4）＝0，
∵Δ＝0，
∴﹣3（m+4）＝4，
∴m＝﹣，
∴x2﹣4x+4＝0，y＝x﹣，
∴x＝2，y＝﹣，
∴P1（2，﹣），
∵E（0，﹣），C（0，﹣4），
∴F（0，﹣4×2﹣（﹣）），
即（0，﹣），
∴直线m的解析式为：y＝x﹣，
∴，
∴，，
∴P2（2﹣2，﹣2﹣），P3（2+2，2﹣），
综上所述：点P（2，﹣）或（2﹣2，﹣2﹣）或（2+2，2﹣）；
（3）如图2，
作MG⊥x轴于G，作NH⊥x轴于H，作MK⊥DF，交DF的延长线于K，
设D点的横坐标为a，
∵BN＝DN，
∴BD＝2BN，N点的横坐标为：，
∴OH＝，
∵NH∥DF，
∴△BHN∽△BFD，
∴，
∴DF＝2NH，
同理可得：△OMG∽△ONH，
∴＝，
∴MG＝2NH，OG＝2OH＝a+4，
∴KF＝MG＝DF，
∵tan∠DEB＝2tan∠DBE
∴＝2•，
∴EF＝，
∵BF＝4﹣a，
∴EF＝，
∵EF∥MK，
∴△DEF∽△DMK，
∴＝，
∴，
∴a＝0，
∴OG＝a+4＝4，
∴G（﹣4，0），
当x＝﹣4时，y＝﹣﹣4＝，
∴M（﹣4，）．
2．（2022•益阳）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线E：y＝﹣（x﹣m）2+2m2（m＜0）的顶点P在抛物线F：y＝ax2上，直线x＝t与抛物线E，F分别交于点A，B．
（1）求a的值；
（2）将A，B的纵坐标分别记为yA，yB，设s＝yA﹣yB，若s的最大值为4，则m的值是多少？
（3）Q是x轴的正半轴上一点，且PQ的中点M恰好在抛物线F上．试探究：此时无论m为何负值，在y轴的负半轴上是否存在定点G，使∠PQG总为直角？若存在，请求出点G的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）由题意可知，抛物线E：y＝﹣（x﹣m）2+2m2（m＜0）的顶点P的坐标为（m，2m2），
∵点P在抛物线F：y＝ax2上，
∴am2＝2m2，
∴a＝2．
（2）∵直线x＝t与抛物线E，F分别交于点A，B，
∴yA＝﹣（t﹣m）2+2m2＝﹣t2+2mt+m2，yB＝2t2，
∴s＝yA﹣yB
＝﹣t2+2mt+m2﹣2t2
＝﹣3t2+2mt+m2
＝﹣3（t﹣m）2+m2，
∵﹣3＜0，
∴当t＝m时，s的最大值为m2，
∵s的最大值为4，
∴m2＝4，解得m＝±，
∵m＜0，
∴m＝﹣．
（3）存在，理由如下：
设点M的横坐标为n，则M（n，2n2），
∴Q（2n﹣m，4n2﹣2m2），
∵点Q在x轴正半轴上，
∴2n﹣m＞0且4n2﹣2m2＝0，
∴n＝﹣m，
∴M（﹣m，m2），Q（﹣m﹣m，0）．
如图，过点Q作x轴的垂线KN，分别过点P，G作x轴的平行线，与KN分别交于K，N，
∴∠K＝∠N＝90°，∠QPK+∠PQK＝90°，
∵∠PQG＝90°，
∴∠PQK+∠GQN＝90°，
∴∠QPK＝∠GQN，
∴△PKQ∽△QNG，
∴PK：QN＝KQ：GN，即PK•GN＝KQ•QN．
∵PK＝﹣m﹣m﹣m＝﹣m﹣2m，KQ＝2m2，GN＝﹣m﹣m，
∴（﹣m﹣2m）（﹣m﹣m）＝2m2•QN
解得QN＝．
∴G（0，﹣）．
3．（2022•西宁）如图，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于点A（3，0），与y轴交于点B，点C在直线AB上，过点C作CD⊥x轴于点D（1，0），将△ACD沿CD所在直线翻折，使点A恰好落在抛物线上的点E处．
（1）求抛物线解析式；
（2）连接BE，求△BCE的面积；
（3）抛物线上是否存在一点P，使∠PEA＝∠BAE？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）∵将△ACD沿CD所在直线翻折，使点A恰好落在抛物线上的点E处，点A的坐标为（3，0），点D的坐标为（1，0），
∴点E的坐标为（﹣1，0）．
将A（3，0），E（﹣1，0）代入y＝ax2+bx+3，
得：，解得：，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3．
（2）当x＝0时，y＝﹣1×02+2×0+3＝3，
∴点B的坐标为（0，3）．
设直线AB的解析式为y＝mx+n（m≠0），
将A（3，0），B（0，3）代入y＝mx+n，
得：，解得：，
∴直线AB的解析式为y＝﹣x+3．
∵点C在直线AB上，CD⊥x轴于点D（1，0），当x＝1时，y＝﹣1×1+3＝2，
∴点C的坐标为（1，2）．
∵点A的坐标为（3，0），点B的坐标为（0，3），点C的坐标为（1，2），点E的坐标为（﹣1，0），
∴AE＝4，OB＝3，CD＝2，
∴S△BCE＝S△ABE﹣S△ACE＝AE•OB﹣AE•CD＝×4×3﹣×4×2＝2，
∴△BCE的面积为2．
（3）存在，理由如下：
∵点A的坐标为（3，0），点B的坐标为（0，3），
∴OA＝OB＝3．
在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，OA＝OB，
∴∠BAE＝45°.
∵点P在抛物线上，
∴设点P的坐标为（m，﹣m2+2m+3）．
①当点P在x轴上方时记为P1，过点P1作P1M⊥x轴于点M，
在Rt△EMP1中，∠P1EA＝45°，∠P1ME＝90°，
∴EM＝P1M，即m﹣（﹣1）＝﹣m2+2m+3，
解得：m1＝﹣1（不合题意，舍去），m2＝2，
∴点P1的坐标为（2，3）；
②当点P在x轴下方时记为P2，过点P2作P2N⊥x轴于点N，
在Rt△ENP2中，∠P2EN＝45°，∠P2NE＝90°，
∴EN＝P2N，即m﹣（﹣1）＝﹣（﹣m2+2m+3），
解得：m1＝﹣1（不合题意，舍去），m2＝4，
∴点P2的坐标为（4，﹣5）．
综上所述，抛物线上存在一点P，使∠PEA＝∠BAE，点P的坐标为（2，3）或（4，﹣5）．
4．（2022•湖北）抛物线y＝x2﹣4x与直线y＝x交于原点O和点B，与x轴交于另一点A，顶点为D．
（1）直接写出点B和点D的坐标；
（2）如图1，连接OD，P为x轴上的动点，当tan∠PDO＝时，求点P的坐标；
（3）如图2，M是点B关于抛物线对称轴的对称点，Q是抛物线上的动点，它的横坐标为m（0＜m＜5），连接MQ，BQ，MQ与直线OB交于点E．设△BEQ和△BEM的面积分别为S1和S2，求的最大值．
【解答】解：（1）令y＝x2﹣4x＝x，
解得x＝0或x＝5，
∴B（5，5）；
∵y＝x2﹣4x＝（x﹣2）2﹣4，
∴顶点D（2，﹣4）．
（2）如图，过点D作DE⊥y轴于点E，
∴DE＝2，OE＝4，
∴tan∠DOE＝，
∵tan∠PDO＝，
∴∠DOE＝∠PDO，
①当点P在线段OD的右侧时，DP∥y轴，如图，
∴P（2，0）；
②当点P在线段OD左侧时，设直线DP与y轴交于点G，则△ODG是等腰三角形，
∴OG＝DG，
设OG＝t，则DG＝t，GE＝4﹣t，
在Rt△DGE中，t2＝22+（4﹣t）2，
解得t＝，
∴G（0，﹣），
∴直线DG的解析式为：y＝﹣x﹣，
令y＝0，则﹣x﹣＝0，
解得x＝﹣，
∴P（﹣，0）．
综上，点P的坐标为（2，0）或（﹣，0）．
（3）∵点B（5，5）与点M关于对称轴x＝2对称，
∴M（﹣1，5）．
如图，分别过点M，Q作y轴的平行线，交直线OB于点N，K，
∴N（﹣1，﹣1），MN＝6，
∵点Q横坐标为m，
∴Q（m，m2﹣4m），K（m，m），
∴KQ＝m﹣（m2﹣4m）＝﹣m2+5m．
∵S1＝QK（xB﹣xE），S2＝MN（xB﹣xE），
∴＝＝﹣（m2﹣5m）＝﹣（m﹣）2+，
∵﹣＜0，
∴当m＝时，的最大值为．
提示：本题也可分别过点M，Q作BO的垂线，用m分别表示高线，再求比，也可得出结论．
5．（2022•苏州）如图，二次函数y＝﹣x2+2mx+2m+1（m是常数，且m＞0）的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D．其对称轴与线段BC交于点E，与x轴交于点F．连接AC，BD．
（1）求A，B，C三点的坐标（用数字或含m的式子表示），并求∠OBC的度数；
（2）若∠ACO＝∠CBD，求m的值；
（3）若在第四象限内二次函数y＝﹣x2+2mx+2m+1（m是常数，且m＞0）的图象上，始终存在一点P，使得∠ACP＝75°，请结合函数的图象，直接写出m的取值范围．
【解答】解：（1）当y＝0时，﹣x2+2mx+2m+1＝0，
解方程，得x1＝﹣1，x2＝2m+1，
∵点A在点B的左侧，且m＞0，
∴A（﹣1，0），B（2m+1，0），
当x＝0时，y＝2m+1，
∴C（0，2m+1），
∴OB＝OC＝2m+1，
∵∠BOC＝90°，
∴∠OBC＝45°；
（2）如图1中，连接AE．
∵y＝﹣x2+2mx+2m+1＝﹣（x﹣m）2+（m+1）2，
∴D（m，（m+1）2），F（m，0），
∴DF＝（m+1）2，OF＝m，BF＝m+1，
∵A，B关于对称轴对称，
∴AE＝BE，
∴∠EAB＝∠OBC＝45°，
∵∠ACO＝∠CBD，∠OCB＝∠OBC，
∴∠ACO+∠OCB＝∠CBD+∠OBC，即∠ACE＝∠DBF，
∵EF∥OC，
∴tan∠ACE＝＝＝＝，
∴＝m+1，
∴m＝1或﹣1，
∵m＞0，
∴m＝1；
（3）如图，设PC交x轴于点Q．
当点P在第四象限时，点Q总是在点B的左侧，此时∠CQA＞∠CBA，即∠CQA＞45°，
∵∠ACQ＝75°，
∴∠CAO＜60°，
∴2m+1＜，
∴m＜，
又∵∠CAQ＞15°，
同法可得m＞，
∵m＞0，
∴0＜m＜．
6．（2022•黄石）如图，抛物线y＝﹣x2+x+4与坐标轴分别交于A，B，C三点，P是第一象限内抛物线上的一点且横坐标为m．
（1）A，B，C三点的坐标为 ， ， ．
（2）连接AP，交线段BC于点D，
①当CP与x轴平行时，求的值；
②当CP与x轴不平行时，求的最大值；
（3）连接CP，是否存在点P，使得∠BCO+2∠PCB＝90°，若存在，求m的值，若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）令x＝0，则y＝4，
∴C（0，4）；
令y＝0，则﹣x2+x+4＝0，
∴x＝﹣2或x＝3，
∴A（﹣2，0），B（3，0）．
故答案为：（﹣2，0）；（3，0）；（0，4）．
（2）①∵CP∥x轴，C（0，4），
∴P（1，4），
∴CP＝1，AB＝5，
∵CP∥x轴，
∴＝＝．
②如图，过点P作PQ∥AB交BC于点Q，
∴直线BC的解析式为：y＝﹣x+4．
设点P的横坐标为m，
则P（m，﹣m2+m+4），Q（m2﹣m，﹣m2+m+4）．
∴PQ＝m﹣（m2﹣m）＝﹣m2+m，
∵PQ∥AB，
∴＝＝＝﹣（m﹣）2+，
∴当m＝时，的最大值为．
另解：分别过点P，A作y轴的平行线，交直线BC于两点，仿照以上解法即可求解．
（3）假设存在点P使得∠BCO+2∠BCP＝90°，即0＜m＜3．
过点C作CF∥x轴交抛物线于点F，
∵∠BCO+2∠PCB＝90°，∠BCO+∠BCM+∠MCF＝90°，
∴∠MCF＝∠BCP，
延长CP交x轴于点M，
∵CF∥x轴，
∴∠PCF＝∠BMC，
∴∠BCP＝∠BMC，
∴△CBM为等腰三角形，
∵BC＝5，
∴BM＝5，OM＝8，
∴M（8，0），
∴直线CM的解析式为：y＝﹣x+4，
令﹣x2+x+4＝﹣x+4，
解得x＝或x＝0（舍），
∴存在点P满足题意，此时m＝．
7．（2022•锦州）如图，抛物线y＝ax2+bx+3交x轴于点A（3，0）和点B（﹣1，0），交y轴于点C．
（1）求抛物线的表达式；
（2）D是直线AC上方抛物线上一动点，连接OD交AC于点N，当的值最大时，求点D的坐标；
（3）P为抛物线上一点，连接CP，过点P作PQ⊥CP交抛物线对称轴于点Q，当tan∠PCQ＝时，请直接写出点P的横坐标．
【解答】解：（1）把点A（3，0）和B（﹣1，0）代入得：，
解得：，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3；
（2）过点D作DH∥y轴，交AC于点H，如图所示：
设D（m，﹣m2+2m+3），直线AC的解析式为y＝kx+b，
由（1）可得：C（0，3），
∴，解得：，
∴直线AC的解析式为y＝﹣x+3，
∴H（m，﹣m+3），
∴DH＝﹣m2+3m，
∵DH∥y轴，
∴△OCN∽△DHN，
∴，
∵，
∴当时，的值最大，
∴；
（3）由题意可得如图所示：
过点P作y轴的平行线PH，分别过点C、Q作CG⊥PH于G，QH⊥PH于H，
∵PQ⊥CP，
∴∠CPQ＝∠CGP＝∠PHQ＝90°，
∴∠CPG+∠PCG＝∠CPG+∠QPH＝90°，
∴∠PCG＝∠QPH，
∴△PCG∽△QPH，
∴，
∵，
∴，
设点P（n，﹣n2+2n+3），
由题意可知：抛物线的对称轴为直线x＝1，C（0，3），
∴QH＝|n﹣1|，PG＝|﹣n2+2n|，
∴，
当时，解得：，
当时，解得：
综上：点P的横坐标为或或或．
8．（2022•西宁）如图，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于点A（3，0），与y轴交于点B，点C在直线AB上，过点C作CD⊥x轴于点D（1，0），将△ACD沿CD所在直线翻折，使点A恰好落在抛物线上的点E处．
（1）求抛物线解析式；
（2）连接BE，求△BCE的面积；
（3）抛物线上是否存在一点P，使∠PEA＝∠BAE？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）∵将△ACD沿CD所在直线翻折，使点A恰好落在抛物线上的点E处，点A的坐标为（3，0），点D的坐标为（1，0），
∴点E的坐标为（﹣1，0）．
将A（3，0），E（﹣1，0）代入y＝ax2+bx+3，
得：，解得：，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3．
（2）当x＝0时，y＝﹣1×02+2×0+3＝3，
∴点B的坐标为（0，3）．
设直线AB的解析式为y＝mx+n（m≠0），
将A（3，0），B（0，3）代入y＝mx+n，
得：，解得：，
∴直线AB的解析式为y＝﹣x+3．
∵点C在直线AB上，CD⊥x轴于点D（1，0），当x＝1时，y＝﹣1×1+3＝2，
∴点C的坐标为（1，2）．
∵点A的坐标为（3，0），点B的坐标为（0，3），点C的坐标为（1，2），点E的坐标为（﹣1，0），
∴AE＝4，OB＝3，CD＝2，
∴S△BCE＝S△ABE﹣S△ACE＝AE•OB﹣AE•CD＝×4×3﹣×4×2＝2，
∴△BCE的面积为2．
（3）存在，理由如下：
∵点A的坐标为（3，0），点B的坐标为（0，3），
∴OA＝OB＝3．
在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，OA＝OB，
∴∠BAE＝45°.
∵点P在抛物线上，
∴设点P的坐标为（m，﹣m2+2m+3）．
①当点P在x轴上方时记为P1，过点P1作P1M⊥x轴于点M，
在Rt△EMP1中，∠P1EA＝45°，∠P1ME＝90°，
∴EM＝P1M，即m﹣（﹣1）＝﹣m2+2m+3，
解得：m1＝﹣1（不合题意，舍去），m2＝2，
∴点P1的坐标为（2，3）；
②当点P在x轴下方时记为P2，过点P2作P2N⊥x轴于点N，
在Rt△ENP2中，∠P2EN＝45°，∠P2NE＝90°，
∴EN＝P2N，即m﹣（﹣1）＝﹣（﹣m2+2m+3），
解得：m1＝﹣1（不合题意，舍去），m2＝4，
∴点P2的坐标为（4，﹣5）．
综上所述，抛物线上存在一点P，使∠PEA＝∠BAE，点P的坐标为（2，3）或（4，﹣5）．
9．（2022•盘锦）如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A，B（4，0）两点（A在B的左侧），与y轴交于点C（0，﹣4）．点P在抛物线上，连接BC，BP．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，若点P在第四象限，点D在线段BC上，连接PD并延长交x轴于点E，连接CE，记△DCE的面积为S1，△DBP的面积为S2，当S1＝S2时，求点P的坐标；
（3）如图2，若点P在第二象限，点F为抛物线的顶点，抛物线的对称轴l与线段BC交于点G，当∠PBC+∠CFG＝90°时，求点P的横坐标．
【解答】解：（1）将B（4，0）、C（0，﹣4）两点代入y＝x2+bx+c得，
，
解得：，
∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣3x﹣4；
（2）方法一：由y＝x2﹣3x﹣4可得，A（﹣1，0），
设点P（m，m2﹣3m﹣4），
则，，
∵S△BCE＝S1+S△BDE，S△BPE＝S2+S△BDE，S1＝S2，
∴S△BCE＝S△BPE，
∴，
解得：m1＝3，m2＝0（舍去），
∴P（3，﹣4）；
方法二：∵S1＝S2，
∴S△PBE＝S△CBE，
∴PC∥x轴，
∴点P与C关于对称轴x＝对称，
∴P（3，﹣4）；
（3）如图，作CE⊥l于E，PQ⊥BC于Q，PN⊥x轴于N，连接PC交x轴于点H，
设P（n，n2﹣3n﹣4），PC的表达式为：y＝kx+d（k≠0），
将P，C代入y＝kx+d（k≠0）得，
，
解得：，
∴PC的表达式为：y＝（n﹣3）x﹣4，
将y＝0代入y＝（n﹣3）x﹣4得，
0＝（n﹣3）x﹣4，
即，
∴，
∵S△PCB＝S△PHB+S△HCB，
∴PQ•BC＝PN•HB+OC•HB，
∵BC＝＝，
∴，
∵，
由题可知，，
∴，
将代入y＝x2﹣3x﹣4得，，
∴，
∴，
∵∠PBC+∠CFG＝90°，PQ⊥BC，CE⊥l，
∴∠PBQ＝∠FCE，∠CEF＝∠PQB，
∴△CEF∽△PQB，
∴，
∴，
解得：（舍去）．
∴点P的横坐标为﹣，
方法二：将CF绕点F顺时针旋转90°得C'，连接CC'，作CE⊥l于E，
求出点C'（），
从而求出直线CC'的解析式，
∴∠ECF＝∠BCC'＝∠PBC，
∴BP∥CC'，
求出直线BP的解析式与抛物线求交点即可．
10．（2022•新市区校级三模）综合与探究
如图，抛物线与x轴交于点A（﹣1，0）和点B（4，0），与y轴交于点C，连接BC．
（1）求抛物线的表达式及点C的坐标；
（2）点P是抛物线对称轴上一点，点Q为平面内一点，当以点B、C、P、Q为顶点的四边形是以BC为边的矩形时，请直接写出点P的坐标；
（3）点D是第四象限内抛物线上一动点，当∠BCD＝2∠ABC时，求点D的坐标．
【解答】解：（1）由题意得：y＝（x+1）（x﹣4）＝x2﹣x﹣2；
当x＝0时，y＝﹣2，即点C（0，﹣2）；
（2）以点B、C、P、Q为顶点的四边形是以BC为边的矩形时，如下图，分点P在BC上方和下方两种情况，
当点P在BC的上方时，设抛物线的对称轴交x轴于点H，
∵∠OBC+∠PBH＝90°，∠HPB+∠PBH＝90°，
∴∠OBC＝∠HPB，
∴∠OBC＝∠HPB＝，解得：PH＝5，
即点P（，5）；
当点P在BC的下方时，过点P作PH⊥y轴于点H，
同理可得：tan∠HCP＝tan∠OBC＝，
即，即，
解得：HC＝3，则OH＝5，
即点P（，﹣5）；
综上，点P的坐标为：（，5）或（，﹣5）；
（3）作点C关于x轴的对称点E（0，2），则∠CBE＝2∠ABC＝∠BCD，
∴BE∥CD，
设直线BE的表达式为：y＝kx+2，
将点B的坐标代入上式得：0＝4k+2，解得：k＝﹣；
∵BE∥CD，
故设直线CD的表达式为：y＝﹣x+t，
由点C的坐标知，t＝﹣2，
即直线CD的表达式为：y＝﹣x﹣2，
联立y＝x2﹣x﹣2和y＝﹣x﹣2，并解得：x＝0（舍去）或2，
即点D（2，﹣3）．
1．（2022•南充）抛物线y＝x2+bx+c与x轴分别交于点A，B（4，0），与y轴交于点C（0，﹣4）．
（1）求抛物线的解析式．
（2）如图1，▱BCPQ顶点P在抛物线上，如果▱BCPQ面积为某值时，符合条件的点P有且只有三个，求点P的坐标．
（3）如图2，点M在第二象限的抛物线上，点N在MO延长线上，OM＝2ON，连接BN并延长到点D，使ND＝NB．MD交x轴于点E，∠DEB与∠DBE均为锐角，tan∠DEB＝2tan∠DBE，求点M的坐标．
2．（2022•益阳）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线E：y＝﹣（x﹣m）2+2m2（m＜0）的顶点P在抛物线F：y＝ax2上，直线x＝t与抛物线E，F分别交于点A，B．
（1）求a的值；
（2）将A，B的纵坐标分别记为yA，yB，设s＝yA﹣yB，若s的最大值为4，则m的值是多少？
（3）Q是x轴的正半轴上一点，且PQ的中点M恰好在抛物线F上．试探究：此时无论m为何负值，在y轴的负半轴上是否存在定点G，使∠PQG总为直角？若存在，请求出点G的坐标；若不存在，请说明理由．
3．（2022•西宁）如图，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于点A（3，0），与y轴交于点B，点C在直线AB上，过点C作CD⊥x轴于点D（1，0），将△ACD沿CD所在直线翻折，使点A恰好落在抛物线上的点E处．
（1）求抛物线解析式；
（2）连接BE，求△BCE的面积；
（3）抛物线上是否存在一点P，使∠PEA＝∠BAE？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由．
4．（2022•湖北）抛物线y＝x2﹣4x与直线y＝x交于原点O和点B，与x轴交于另一点A，顶点为D．
（1）直接写出点B和点D的坐标；
（2）如图1，连接OD，P为x轴上的动点，当tan∠PDO＝时，求点P的坐标；
（3）如图2，M是点B关于抛物线对称轴的对称点，Q是抛物线上的动点，它的横坐标为m（0＜m＜5），连接MQ，BQ，MQ与直线OB交于点E．设△BEQ和△BEM的面积分别为S1和S2，求的最大值．
5．（2022•苏州）如图，二次函数y＝﹣x2+2mx+2m+1（m是常数，且m＞0）的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D．其对称轴与线段BC交于点E，与x轴交于点F．连接AC，BD．
（1）求A，B，C三点的坐标（用数字或含m的式子表示），并求∠OBC的度数；
（2）若∠ACO＝∠CBD，求m的值；
（3）若在第四象限内二次函数y＝﹣x2+2mx+2m+1（m是常数，且m＞0）的图象上，始终存在一点P，使得∠ACP＝75°，请结合函数的图象，直接写出m的取值范围．
6．（2022•黄石）如图，抛物线y＝﹣x2+x+4与坐标轴分别交于A，B，C三点，P是第一象限内抛物线上的一点且横坐标为m．
（1）A，B，C三点的坐标为 ， ， ．
（2）连接AP，交线段BC于点D，
①当CP与x轴平行时，求的值；
②当CP与x轴不平行时，求的最大值；
（3）连接CP，是否存在点P，使得∠BCO+2∠PCB＝90°，若存在，求m的值，若不存在，请说明理由．
7．（2022•锦州）如图，抛物线y＝ax2+bx+3交x轴于点A（3，0）和点B（﹣1，0），交y轴于点C．
（1）求抛物线的表达式；
（2）D是直线AC上方抛物线上一动点，连接OD交AC于点N，当的值最大时，求点D的坐标；
（3）P为抛物线上一点，连接CP，过点P作PQ⊥CP交抛物线对称轴于点Q，当tan∠PCQ＝时，请直接写出点P的横坐标．
8．（2022•西宁）如图，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于点A（3，0），与y轴交于点B，点C在直线AB上，过点C作CD⊥x轴于点D（1，0），将△ACD沿CD所在直线翻折，使点A恰好落在抛物线上的点E处．
（1）求抛物线解析式；
（2）连接BE，求△BCE的面积；
（3）抛物线上是否存在一点P，使∠PEA＝∠BAE？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由．
9．（2022•盘锦）如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A，B（4，0）两点（A在B的左侧），与y轴交于点C（0，﹣4）．点P在抛物线上，连接BC，BP．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，若点P在第四象限，点D在线段BC上，连接PD并延长交x轴于点E，连接CE，记△DCE的面积为S1，△DBP的面积为S2，当S1＝S2时，求点P的坐标；
（3）如图2，若点P在第二象限，点F为抛物线的顶点，抛物线的对称轴l与线段BC交于点G，当∠PBC+∠CFG＝90°时，求点P的横坐标．
10．（2022•新市区校级三模）综合与探究
如图，抛物线与x轴交于点A（﹣1，0）和点B（4，0），与y轴交于点C，连接BC．
（1）求抛物线的表达式及点C的坐标；
（2）点P是抛物线对称轴上一点，点Q为平面内一点，当以点B、C、P、Q为顶点的四边形是以BC为边的矩形时，请直接写出点P的坐标；
（3）点D是第四象限内抛物线上一动点，当∠BCD＝2∠ABC时，求点D的坐标．
挑战2023年中考数学解答题压轴真题汇编
专题04 二次函数中角度问题压轴真题训练
1．（2022•南充）抛物线y＝x2+bx+c与x轴分别交于点A，B（4，0），与y轴交于点C（0，﹣4）．
（1）求抛物线的解析式．
（2）如图1，▱BCPQ顶点P在抛物线上，如果▱BCPQ面积为某值时，符合条件的点P有且只有三个，求点P的坐标．
（3）如图2，点M在第二象限的抛物线上，点N在MO延长线上，OM＝2ON，连接BN并延长到点D，使ND＝NB．MD交x轴于点E，∠DEB与∠DBE均为锐角，tan∠DEB＝2tan∠DBE，求点M的坐标．
【解答】解：（1）由题意得，
，
∴，
∴y＝﹣；
（2）如图1，
作直线l∥BC且与抛物线相切于点P1，直线l交y轴于E，作直线m∥BC且直线m到BC的距离等于直线l到BC的距离，
∵BC的解析式为y＝x﹣4，
∴设直线l的解析式为：y＝x+m，
由＝x+m得，
x2﹣4x﹣3（m+4）＝0，
∵Δ＝0，
∴﹣3（m+4）＝4，
∴m＝﹣，
∴x2﹣4x+4＝0，y＝x﹣，
∴x＝2，y＝﹣，
∴P1（2，﹣），
∵E（0，﹣），C（0，﹣4），
∴F（0，﹣4×2﹣（﹣）），
即（0，﹣），
∴直线m的解析式为：y＝x﹣，
∴，
∴，，
∴P2（2﹣2，﹣2﹣），P3（2+2，2﹣），
综上所述：点P（2，﹣）或（2﹣2，﹣2﹣）或（2+2，2﹣）；
（3）如图2，
作MG⊥x轴于G，作NH⊥x轴于H，作MK⊥DF，交DF的延长线于K，
设D点的横坐标为a，
∵BN＝DN，
∴BD＝2BN，N点的横坐标为：，
∴OH＝，
∵NH∥DF，
∴△BHN∽△BFD，
∴，
∴DF＝2NH，
同理可得：△OMG∽△ONH，
∴＝，
∴MG＝2NH，OG＝2OH＝a+4，
∴KF＝MG＝DF，
∵tan∠DEB＝2tan∠DBE
∴＝2•，
∴EF＝，
∵BF＝4﹣a，
∴EF＝，
∵EF∥MK，
∴△DEF∽△DMK，
∴＝，
∴，
∴a＝0，
∴OG＝a+4＝4，
∴G（﹣4，0），
当x＝﹣4时，y＝﹣﹣4＝，
∴M（﹣4，）．
2．（2022•益阳）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线E：y＝﹣（x﹣m）2+2m2（m＜0）的顶点P在抛物线F：y＝ax2上，直线x＝t与抛物线E，F分别交于点A，B．
（1）求a的值；
（2）将A，B的纵坐标分别记为yA，yB，设s＝yA﹣yB，若s的最大值为4，则m的值是多少？
（3）Q是x轴的正半轴上一点，且PQ的中点M恰好在抛物线F上．试探究：此时无论m为何负值，在y轴的负半轴上是否存在定点G，使∠PQG总为直角？若存在，请求出点G的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）由题意可知，抛物线E：y＝﹣（x﹣m）2+2m2（m＜0）的顶点P的坐标为（m，2m2），
∵点P在抛物线F：y＝ax2上，
∴am2＝2m2，
∴a＝2．
（2）∵直线x＝t与抛物线E，F分别交于点A，B，
∴yA＝﹣（t﹣m）2+2m2＝﹣t2+2mt+m2，yB＝2t2，
∴s＝yA﹣yB
＝﹣t2+2mt+m2﹣2t2
＝﹣3t2+2mt+m2
＝﹣3（t﹣m）2+m2，
∵﹣3＜0，
∴当t＝m时，s的最大值为m2，
∵s的最大值为4，
∴m2＝4，解得m＝±，
∵m＜0，
∴m＝﹣．
（3）存在，理由如下：
设点M的横坐标为n，则M（n，2n2），
∴Q（2n﹣m，4n2﹣2m2），
∵点Q在x轴正半轴上，
∴2n﹣m＞0且4n2﹣2m2＝0，
∴n＝﹣m，
∴M（﹣m，m2），Q（﹣m﹣m，0）．
如图，过点Q作x轴的垂线KN，分别过点P，G作x轴的平行线，与KN分别交于K，N，
∴∠K＝∠N＝90°，∠QPK+∠PQK＝90°，
∵∠PQG＝90°，
∴∠PQK+∠GQN＝90°，
∴∠QPK＝∠GQN，
∴△PKQ∽△QNG，
∴PK：QN＝KQ：GN，即PK•GN＝KQ•QN．
∵PK＝﹣m﹣m﹣m＝﹣m﹣2m，KQ＝2m2，GN＝﹣m﹣m，
∴（﹣m﹣2m）（﹣m﹣m）＝2m2•QN
解得QN＝．
∴G（0，﹣）．
3．（2022•西宁）如图，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于点A（3，0），与y轴交于点B，点C在直线AB上，过点C作CD⊥x轴于点D（1，0），将△ACD沿CD所在直线翻折，使点A恰好落在抛物线上的点E处．
（1）求抛物线解析式；
（2）连接BE，求△BCE的面积；
（3）抛物线上是否存在一点P，使∠PEA＝∠BAE？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）∵将△ACD沿CD所在直线翻折，使点A恰好落在抛物线上的点E处，点A的坐标为（3，0），点D的坐标为（1，0），
∴点E的坐标为（﹣1，0）．
将A（3，0），E（﹣1，0）代入y＝ax2+bx+3，
得：，解得：，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3．
（2）当x＝0时，y＝﹣1×02+2×0+3＝3，
∴点B的坐标为（0，3）．
设直线AB的解析式为y＝mx+n（m≠0），
将A（3，0），B（0，3）代入y＝mx+n，
得：，解得：，
∴直线AB的解析式为y＝﹣x+3．
∵点C在直线AB上，CD⊥x轴于点D（1，0），当x＝1时，y＝﹣1×1+3＝2，
∴点C的坐标为（1，2）．
∵点A的坐标为（3，0），点B的坐标为（0，3），点C的坐标为（1，2），点E的坐标为（﹣1，0），
∴AE＝4，OB＝3，CD＝2，
∴S△BCE＝S△ABE﹣S△ACE＝AE•OB﹣AE•CD＝×4×3﹣×4×2＝2，
∴△BCE的面积为2．
（3）存在，理由如下：
∵点A的坐标为（3，0），点B的坐标为（0，3），
∴OA＝OB＝3．
在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，OA＝OB，
∴∠BAE＝45°.
∵点P在抛物线上，
∴设点P的坐标为（m，﹣m2+2m+3）．
①当点P在x轴上方时记为P1，过点P1作P1M⊥x轴于点M，
在Rt△EMP1中，∠P1EA＝45°，∠P1ME＝90°，
∴EM＝P1M，即m﹣（﹣1）＝﹣m2+2m+3，
解得：m1＝﹣1（不合题意，舍去），m2＝2，
∴点P1的坐标为（2，3）；
②当点P在x轴下方时记为P2，过点P2作P2N⊥x轴于点N，
在Rt△ENP2中，∠P2EN＝45°，∠P2NE＝90°，
∴EN＝P2N，即m﹣（﹣1）＝﹣（﹣m2+2m+3），
解得：m1＝﹣1（不合题意，舍去），m2＝4，
∴点P2的坐标为（4，﹣5）．
综上所述，抛物线上存在一点P，使∠PEA＝∠BAE，点P的坐标为（2，3）或（4，﹣5）．
4．（2022•湖北）抛物线y＝x2﹣4x与直线y＝x交于原点O和点B，与x轴交于另一点A，顶点为D．
（1）直接写出点B和点D的坐标；
（2）如图1，连接OD，P为x轴上的动点，当tan∠PDO＝时，求点P的坐标；
（3）如图2，M是点B关于抛物线对称轴的对称点，Q是抛物线上的动点，它的横坐标为m（0＜m＜5），连接MQ，BQ，MQ与直线OB交于点E．设△BEQ和△BEM的面积分别为S1和S2，求的最大值．
【解答】解：（1）令y＝x2﹣4x＝x，
解得x＝0或x＝5，
∴B（5，5）；
∵y＝x2﹣4x＝（x﹣2）2﹣4，
∴顶点D（2，﹣4）．
（2）如图，过点D作DE⊥y轴于点E，
∴DE＝2，OE＝4，
∴tan∠DOE＝，
∵tan∠PDO＝，
∴∠DOE＝∠PDO，
①当点P在线段OD的右侧时，DP∥y轴，如图，
∴P（2，0）；
②当点P在线段OD左侧时，设直线DP与y轴交于点G，则△ODG是等腰三角形，
∴OG＝DG，
设OG＝t，则DG＝t，GE＝4﹣t，
在Rt△DGE中，t2＝22+（4﹣t）2，
解得t＝，
∴G（0，﹣），
∴直线DG的解析式为：y＝﹣x﹣，
令y＝0，则﹣x﹣＝0，
解得x＝﹣，
∴P（﹣，0）．
综上，点P的坐标为（2，0）或（﹣，0）．
（3）∵点B（5，5）与点M关于对称轴x＝2对称，
∴M（﹣1，5）．
如图，分别过点M，Q作y轴的平行线，交直线OB于点N，K，
∴N（﹣1，﹣1），MN＝6，
∵点Q横坐标为m，
∴Q（m，m2﹣4m），K（m，m），
∴KQ＝m﹣（m2﹣4m）＝﹣m2+5m．
∵S1＝QK（xB﹣xE），S2＝MN（xB﹣xE），
∴＝＝﹣（m2﹣5m）＝﹣（m﹣）2+，
∵﹣＜0，
∴当m＝时，的最大值为．
提示：本题也可分别过点M，Q作BO的垂线，用m分别表示高线，再求比，也可得出结论．
5．（2022•苏州）如图，二次函数y＝﹣x2+2mx+2m+1（m是常数，且m＞0）的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D．其对称轴与线段BC交于点E，与x轴交于点F．连接AC，BD．
（1）求A，B，C三点的坐标（用数字或含m的式子表示），并求∠OBC的度数；
（2）若∠ACO＝∠CBD，求m的值；
（3）若在第四象限内二次函数y＝﹣x2+2mx+2m+1（m是常数，且m＞0）的图象上，始终存在一点P，使得∠ACP＝75°，请结合函数的图象，直接写出m的取值范围．
【解答】解：（1）当y＝0时，﹣x2+2mx+2m+1＝0，
解方程，得x1＝﹣1，x2＝2m+1，
∵点A在点B的左侧，且m＞0，
∴A（﹣1，0），B（2m+1，0），
当x＝0时，y＝2m+1，
∴C（0，2m+1），
∴OB＝OC＝2m+1，
∵∠BOC＝90°，
∴∠OBC＝45°；
（2）如图1中，连接AE．
∵y＝﹣x2+2mx+2m+1＝﹣（x﹣m）2+（m+1）2，
∴D（m，（m+1）2），F（m，0），
∴DF＝（m+1）2，OF＝m，BF＝m+1，
∵A，B关于对称轴对称，
∴AE＝BE，
∴∠EAB＝∠OBC＝45°，
∵∠ACO＝∠CBD，∠OCB＝∠OBC，
∴∠ACO+∠OCB＝∠CBD+∠OBC，即∠ACE＝∠DBF，
∵EF∥OC，
∴tan∠ACE＝＝＝＝，
∴＝m+1，
∴m＝1或﹣1，
∵m＞0，
∴m＝1；
（3）如图，设PC交x轴于点Q．
当点P在第四象限时，点Q总是在点B的左侧，此时∠CQA＞∠CBA，即∠CQA＞45°，
∵∠ACQ＝75°，
∴∠CAO＜60°，
∴2m+1＜，
∴m＜，
又∵∠CAQ＞15°，
同法可得m＞，
∵m＞0，
∴0＜m＜．
6．（2022•黄石）如图，抛物线y＝﹣x2+x+4与坐标轴分别交于A，B，C三点，P是第一象限内抛物线上的一点且横坐标为m．
（1）A，B，C三点的坐标为 ， ， ．
（2）连接AP，交线段BC于点D，
①当CP与x轴平行时，求的值；
②当CP与x轴不平行时，求的最大值；
（3）连接CP，是否存在点P，使得∠BCO+2∠PCB＝90°，若存在，求m的值，若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）令x＝0，则y＝4，
∴C（0，4）；
令y＝0，则﹣x2+x+4＝0，
∴x＝﹣2或x＝3，
∴A（﹣2，0），B（3，0）．
故答案为：（﹣2，0）；（3，0）；（0，4）．
（2）①∵CP∥x轴，C（0，4），
∴P（1，4），
∴CP＝1，AB＝5，
∵CP∥x轴，
∴＝＝．
②如图，过点P作PQ∥AB交BC于点Q，
∴直线BC的解析式为：y＝﹣x+4．
设点P的横坐标为m，
则P（m，﹣m2+m+4），Q（m2﹣m，﹣m2+m+4）．
∴PQ＝m﹣（m2﹣m）＝﹣m2+m，
∵PQ∥AB，
∴＝＝＝﹣（m﹣）2+，
∴当m＝时，的最大值为．
另解：分别过点P，A作y轴的平行线，交直线BC于两点，仿照以上解法即可求解．
（3）假设存在点P使得∠BCO+2∠BCP＝90°，即0＜m＜3．
过点C作CF∥x轴交抛物线于点F，
∵∠BCO+2∠PCB＝90°，∠BCO+∠BCM+∠MCF＝90°，
∴∠MCF＝∠BCP，
延长CP交x轴于点M，
∵CF∥x轴，
∴∠PCF＝∠BMC，
∴∠BCP＝∠BMC，
∴△CBM为等腰三角形，
∵BC＝5，
∴BM＝5，OM＝8，
∴M（8，0），
∴直线CM的解析式为：y＝﹣x+4，
令﹣x2+x+4＝﹣x+4，
解得x＝或x＝0（舍），
∴存在点P满足题意，此时m＝．
7．（2022•锦州）如图，抛物线y＝ax2+bx+3交x轴于点A（3，0）和点B（﹣1，0），交y轴于点C．
（1）求抛物线的表达式；
（2）D是直线AC上方抛物线上一动点，连接OD交AC于点N，当的值最大时，求点D的坐标；
（3）P为抛物线上一点，连接CP，过点P作PQ⊥CP交抛物线对称轴于点Q，当tan∠PCQ＝时，请直接写出点P的横坐标．
【解答】解：（1）把点A（3，0）和B（﹣1，0）代入得：，
解得：，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3；
（2）过点D作DH∥y轴，交AC于点H，如图所示：
设D（m，﹣m2+2m+3），直线AC的解析式为y＝kx+b，
由（1）可得：C（0，3），
∴，解得：，
∴直线AC的解析式为y＝﹣x+3，
∴H（m，﹣m+3），
∴DH＝﹣m2+3m，
∵DH∥y轴，
∴△OCN∽△DHN，
∴，
∵，
∴当时，的值最大，
∴；
（3）由题意可得如图所示：
过点P作y轴的平行线PH，分别过点C、Q作CG⊥PH于G，QH⊥PH于H，
∵PQ⊥CP，
∴∠CPQ＝∠CGP＝∠PHQ＝90°，
∴∠CPG+∠PCG＝∠CPG+∠QPH＝90°，
∴∠PCG＝∠QPH，
∴△PCG∽△QPH，
∴，
∵，
∴，
设点P（n，﹣n2+2n+3），
由题意可知：抛物线的对称轴为直线x＝1，C（0，3），
∴QH＝|n﹣1|，PG＝|﹣n2+2n|，
∴，
当时，解得：，
当时，解得：
综上：点P的横坐标为或或或．
8．（2022•西宁）如图，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于点A（3，0），与y轴交于点B，点C在直线AB上，过点C作CD⊥x轴于点D（1，0），将△ACD沿CD所在直线翻折，使点A恰好落在抛物线上的点E处．
（1）求抛物线解析式；
（2）连接BE，求△BCE的面积；
（3）抛物线上是否存在一点P，使∠PEA＝∠BAE？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）∵将△ACD沿CD所在直线翻折，使点A恰好落在抛物线上的点E处，点A的坐标为（3，0），点D的坐标为（1，0），
∴点E的坐标为（﹣1，0）．
将A（3，0），E（﹣1，0）代入y＝ax2+bx+3，
得：，解得：，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3．
（2）当x＝0时，y＝﹣1×02+2×0+3＝3，
∴点B的坐标为（0，3）．
设直线AB的解析式为y＝mx+n（m≠0），
将A（3，0），B（0，3）代入y＝mx+n，
得：，解得：，
∴直线AB的解析式为y＝﹣x+3．
∵点C在直线AB上，CD⊥x轴于点D（1，0），当x＝1时，y＝﹣1×1+3＝2，
∴点C的坐标为（1，2）．
∵点A的坐标为（3，0），点B的坐标为（0，3），点C的坐标为（1，2），点E的坐标为（﹣1，0），
∴AE＝4，OB＝3，CD＝2，
∴S△BCE＝S△ABE﹣S△ACE＝AE•OB﹣AE•CD＝×4×3﹣×4×2＝2，
∴△BCE的面积为2．
（3）存在，理由如下：
∵点A的坐标为（3，0），点B的坐标为（0，3），
∴OA＝OB＝3．
在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，OA＝OB，
∴∠BAE＝45°.
∵点P在抛物线上，
∴设点P的坐标为（m，﹣m2+2m+3）．
①当点P在x轴上方时记为P1，过点P1作P1M⊥x轴于点M，
在Rt△EMP1中，∠P1EA＝45°，∠P1ME＝90°，
∴EM＝P1M，即m﹣（﹣1）＝﹣m2+2m+3，
解得：m1＝﹣1（不合题意，舍去），m2＝2，
∴点P1的坐标为（2，3）；
②当点P在x轴下方时记为P2，过点P2作P2N⊥x轴于点N，
在Rt△ENP2中，∠P2EN＝45°，∠P2NE＝90°，
∴EN＝P2N，即m﹣（﹣1）＝﹣（﹣m2+2m+3），
解得：m1＝﹣1（不合题意，舍去），m2＝4，
∴点P2的坐标为（4，﹣5）．
综上所述，抛物线上存在一点P，使∠PEA＝∠BAE，点P的坐标为（2，3）或（4，﹣5）．
9．（2022•盘锦）如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A，B（4，0）两点（A在B的左侧），与y轴交于点C（0，﹣4）．点P在抛物线上，连接BC，BP．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，若点P在第四象限，点D在线段BC上，连接PD并延长交x轴于点E，连接CE，记△DCE的面积为S1，△DBP的面积为S2，当S1＝S2时，求点P的坐标；
（3）如图2，若点P在第二象限，点F为抛物线的顶点，抛物线的对称轴l与线段BC交于点G，当∠PBC+∠CFG＝90°时，求点P的横坐标．
【解答】解：（1）将B（4，0）、C（0，﹣4）两点代入y＝x2+bx+c得，
，
解得：，
∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣3x﹣4；
（2）方法一：由y＝x2﹣3x﹣4可得，A（﹣1，0），
设点P（m，m2﹣3m﹣4），
则，，
∵S△BCE＝S1+S△BDE，S△BPE＝S2+S△BDE，S1＝S2，
∴S△BCE＝S△BPE，
∴，
解得：m1＝3，m2＝0（舍去），
∴P（3，﹣4）；
方法二：∵S1＝S2，
∴S△PBE＝S△CBE，
∴PC∥x轴，
∴点P与C关于对称轴x＝对称，
∴P（3，﹣4）；
（3）如图，作CE⊥l于E，PQ⊥BC于Q，PN⊥x轴于N，连接PC交x轴于点H，
设P（n，n2﹣3n﹣4），PC的表达式为：y＝kx+d（k≠0），
将P，C代入y＝kx+d（k≠0）得，
，
解得：，
∴PC的表达式为：y＝（n﹣3）x﹣4，
将y＝0代入y＝（n﹣3）x﹣4得，
0＝（n﹣3）x﹣4，
即，
∴，
∵S△PCB＝S△PHB+S△HCB，
∴PQ•BC＝PN•HB+OC•HB，
∵BC＝＝，
∴，
∵，
由题可知，，
∴，
将代入y＝x2﹣3x﹣4得，，
∴，
∴，
∵∠PBC+∠CFG＝90°，PQ⊥BC，CE⊥l，
∴∠PBQ＝∠FCE，∠CEF＝∠PQB，
∴△CEF∽△PQB，
∴，
∴，
解得：（舍去）．
∴点P的横坐标为﹣，
方法二：将CF绕点F顺时针旋转90°得C'，连接CC'，作CE⊥l于E，
求出点C'（），
从而求出直线CC'的解析式，
∴∠ECF＝∠BCC'＝∠PBC，
∴BP∥CC'，
求出直线BP的解析式与抛物线求交点即可．
10．（2022•新市区校级三模）综合与探究
如图，抛物线与x轴交于点A（﹣1，0）和点B（4，0），与y轴交于点C，连接BC．
（1）求抛物线的表达式及点C的坐标；
（2）点P是抛物线对称轴上一点，点Q为平面内一点，当以点B、C、P、Q为顶点的四边形是以BC为边的矩形时，请直接写出点P的坐标；
（3）点D是第四象限内抛物线上一动点，当∠BCD＝2∠ABC时，求点D的坐标．
【解答】解：（1）由题意得：y＝（x+1）（x﹣4）＝x2﹣x﹣2；
当x＝0时，y＝﹣2，即点C（0，﹣2）；
（2）以点B、C、P、Q为顶点的四边形是以BC为边的矩形时，如下图，分点P在BC上方和下方两种情况，
当点P在BC的上方时，设抛物线的对称轴交x轴于点H，
∵∠OBC+∠PBH＝90°，∠HPB+∠PBH＝90°，
∴∠OBC＝∠HPB，
∴∠OBC＝∠HPB＝，解得：PH＝5，
即点P（，5）；
当点P在BC的下方时，过点P作PH⊥y轴于点H，
同理可得：tan∠HCP＝tan∠OBC＝，
即，即，
解得：HC＝3，则OH＝5，
即点P（，﹣5）；
综上，点P的坐标为：（，5）或（，﹣5）；
（3）作点C关于x轴的对称点E（0，2），则∠CBE＝2∠ABC＝∠BCD，
∴BE∥CD，
设直线BE的表达式为：y＝kx+2，
将点B的坐标代入上式得：0＝4k+2，解得：k＝﹣；
∵BE∥CD，
故设直线CD的表达式为：y＝﹣x+t，
由点C的坐标知，t＝﹣2，
即直线CD的表达式为：y＝﹣x﹣2，
联立y＝x2﹣x﹣2和y＝﹣x﹣2，并解得：x＝0（舍去）或2，
即点D（2，﹣3）．
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