高中数学人教B版 (2019)必修 第一册3.3 函数的应用(一)学案

这是一份高中数学人教B版 (2019)必修 第一册3.3 函数的应用(一)学案，共9页。

随着经济和社会的发展，汽车已逐步成为人们外出的代步工具．下面是某地一汽车销售公司对近三年的汽车销售量的统计表：
结合以上三年的销量及人们生活的需要，2021年初，该汽车销售公司的经理提出全年预售43万辆汽车的目标……
[问题] (1)在实际生产生活中，对已收集到的样本数据常采用什么方式获取直观信息？
(2)你认为该目标能够实现吗？



知识点 常见的几类函数模型
eq \a\vs4\al()
求解函数应用题的程序

1．某物体一天中的温度T与时间t满足函数关系：T(t)＝t3－3t＋60，时间的单位是小时，温度的单位是℃，t＝0表示中午12：00，其前t值为负，其后t值为正，则上午8时的温度是( )
A．8 ℃ B．12 ℃
C．58 ℃ D．18 ℃
解析：选A 求上午8时的温度，即求t＝－4时的值，所以T(－4)＝(－4)3－3×(－4)＋60＝8.故选A.
2.甲、乙、丙、丁四辆玩具赛车同时从起点出发并做匀速直线运动，丙车最先到达终点，丁车最后到达终点．若甲、乙两车的S ­ t图像如图所示，则对于丙、丁两车的图像所在区域，判断正确的是( )
A．丙在Ⅲ区域，丁在Ⅰ区域B.丙在Ⅰ区城，丁在Ⅲ区域
C．丙在Ⅱ区域，丁在Ⅰ区域 D．丙在Ⅲ区域，丁在Ⅱ区域
解析：选A 由图像可得相同时间内丙车行驶路程最远，丁车行驶路程最近，即丙在Ⅲ区域，丁在Ⅰ区域，故选A.
3．某商品进货单价为45元，若按50元一个销售，能卖出50个；若销售单价每涨1元，其销售量就减少2个，为了获得最大利润，此商品的最佳售价应为每个________元．
解析：设涨价x元，销售的利润为y元，
则y＝(50＋x－45)(50－2x)＝－2x2＋40x＋250
＝－2(x－10)2＋450，
所以当x＝10，即销售价为60元时，y取得最大值．
答案：60
[例1] (链接教科书第122页例2)某报刊亭从报社买进报纸的价格是每份0.24元，卖出的价格是每份0.40元，卖不掉的报纸可以以每份0.08元的价格退回报社．在一个月(以30天计算)里，有20天每天可卖出400份，其余10天每天只能卖出250份，但每天从报社买进的报纸份数必须相同，试问报刊亭摊主应该每天从报社买进多少份报纸，才能使每月所获得利润最大，每月最多可获利多少元？
[解] 设每天从报社买进x份(250≤x≤400)报纸；每月所获利润是y元，则每月售出报纸共(20x＋10×250)份；每月退回报社报纸共10×(x－250)份．
依题意得y＝(0.40－0.24)×(20x＋10×250)－(0.24－0.08)×10(x－250)．
即y＝0.16(20x＋2 500)－0.16(10x－2 500)，
化简得y＝1.6x＋800(其中250≤x≤400)．
∵此一次函数(y＝kx＋b，k≠0)的k＝1.6＞0，
∴y是一个单调增函数，再由250≤x≤400知当x＝400时，y取得最大值，此时y＝1.6×400＋800＝1 440(元)．
∴每天从报社买进400份报纸时所获利润最大，每月最多可获利1 440元．
eq \a\vs4\al()
利用一次函数模型解决实际问题的2个注意点
(1)待定系数法是求一次函数解析式的常用方法；
(2)当一次项系数为正时，一次函数为增函数；当一次项系数为负时，一次函数为减函数．
[跟踪训练]
车管站在某个星期日保管的自行车和电动车共有3 500辆次，其中电动车保管费是每辆一次0.5元，自行车保管费是每辆一次0.3元．
(1)若设自行车停放的辆次为x，总的保管费收入为y元，试写出y关于x的函数关系式；
(2)若估计前来停放的3 500辆次自行车和电动车中，电动车的辆次数不小于25%，但不大于40%，试求该车管站这个星期日收入保管费总数的范围．
解：(1)由题意得
y＝0.3x＋0.5(3 500－x)＝－0.2x＋1 750(x∈N*且0≤x≤3 500)．
(2)若电动车的辆次数不小于25%，但不大于40%，则
3 500×(1－40%)≤x≤3 500×(1－25%)，
即2 100≤x≤2 625.
画出函数y＝－0.2x＋1 750(2 100≤x≤2 625)的图像(图略)，可得函数y＝－0.2x＋1 750(2 100≤x≤2 625)的值域是[1 225，1 330]，即收入在1 225元至1 330元之间.
[例2] (链接教科书第122页例3)渔场中鱼群的最大养殖量为m(m＞0)，为了保证鱼群的生长空间，实际养殖量x小于m，以便留出适当的空闲量．已知鱼群的年增长量y和实际养殖量与空闲率(空闲率是空闲量与最大养殖量的比值)的乘积成正比，比例系数为k(k＞0)．
(1)写出y关于x的函数关系式，并指出该函数的定义域；
(2)求鱼群年增长量的最大值．
[解] (1)根据题意知，空闲率是eq \f(m－x,m)，故y关于x的函数关系式是y＝kx·eq \f(m－x,m)，0≤x＜m.
(2)由(1)知，y＝kx·eq \f(m－x,m)＝－eq \f(k,m)x2＋kx＝－eq \f(k,m)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(m,2)))eq \s\up12(2)＋eq \f(mk,4)，0≤x＜m，则当x＝eq \f(m,2)时，y取得最大值，ymax＝eq \f(mk,4).
所以鱼群年增长量的最大值为eq \f(mk,4).
eq \a\vs4\al()
二次函数模型主要用来解决实际问题中的利润最大、用料最省等问题，是高考考查的重点．解题时，建立二次函数解析式后，可以利用配方法、判别式法、换元法、函数的单调性等来求函数的最值，从而解决实际问题．
[跟踪训练]
将进货单价为8元的商品按10元一个销售时，一天可卖出100个．若这种商品的销售单价每涨1元，日销售量减少10个，为了获得最大利润，此商品的销售单价应定为多少元？
解：设销售单价定为x元，则日销售量减少(x－10)×10个，那么，日销售个数就成了100－(x－10)×10＝200－10x个．
设获利为y元，则
y＝(x－8)×(200－10x)
＝10(－x2＋28x－160)
＝－10(x－14)2＋360，
当x＝14时，ymax＝360.
所以为了获得最大利润，此商品的销售单价应定为14元.
[例3] (链接教科书第123页例5)某工厂有一段旧墙长14 m，现准备利用这段旧墙为一面建造一个平面图形为矩形，占地面积为126 m2的厂房，工程条件是：①建1 m新墙的费用为a元；②修1 m旧墙的费用为eq \f(a,4)元；③拆去1 m旧墙，用所得的材料建1 m新墙的费用为eq \f(a,2)元．经讨论有两种方案：(1)利用旧墙的一段x m(x