人教B版 (2019)必修 第一册第二章 等式与不等式2.2 不等式2.2.2 不等式的解集导学案

这是一份人教B版 (2019)必修 第一册第二章 等式与不等式2.2 不等式2.2.2 不等式的解集导学案，共8页。

运行程序如图所示，从“输入实数x”到“结果是否小于18”为一次程序操作， 输入x后程序操作仅进行了一次就停止．
[问题] (1)情境中的运算程序涉及何不等式？
(2)如何解此不等式？



知识点一 不等式的解集与不等式组的解集
1．不等式的解集
一般地，不等式的所有解组成的集合称为不等式的解集．
2．不等式组的解集
对于由若干个不等式联立得到的不等式组来说，这些不等式的解集的交集称为不等式组的解集．
1．不等式ax＋b>0的解集是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(b,a)，＋∞))吗？
提示：不一定．当a＞0时，不等式ax＋b>0的解集为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(b,a)，＋∞))；当a0的解集为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(b,a))).
2．不等式的解集是否一定为无限集？
提示：不一定．如不等式|x|0时，关于x的不等式|x|>m的解集为(－∞，－m)∪(m，＋∞)；关于x的不等式|x|≤m的解集为[－m，m]．
eq \a\vs4\al()
|ax＋b|≤m，|ax＋b|≥m(m＞0)型不等式的解法
只需将ax＋b看成一个整体，即化成|x|≤m，|x|≥m(m＞0)型不等式求解．
|ax＋b|≤m(m＞0)型不等式的解法：先化为－m≤ax＋b≤m，再由不等式的性质求出该不等式的解集．
不等式|ax＋b|≥m(m＞0)的解法：先化为ax＋b≥m或ax＋b≤－m，再进一步利用不等式性质求出该不等式的解集．
若|x|＝|a|, 是否一定有x＝a?
提示：不一定．|x|＝|a|⇔x＝a或x＝－a.
1．不等式|x|＞2的解集为________．
解析：|x|>2⇔x2，∴不等式的解集为(－∞，－2)∪(2，＋∞)．
答案：(－∞，－2)∪(2，＋∞)
2．不等式|x－1|≤2的解集为________．
解析：|x－1|≤2⇔－2≤x－1≤2⇔－1≤x≤3，
∴不等式的解集为[－1，3]．
答案：[－1，3]
知识点三 数轴上的坐标与距离
1．两点间的距离公式
一般地，如果实数a，b在数轴上对应的点分别为A，B，即A(a)，B(b)，则线段AB的长为AB＝|a－b|，这就是数轴上两点之间的距离公式．
2．中点坐标公式
若线段AB的中点M对应的数为x，则x＝eq \f(a＋b,2)就是数轴上的中点坐标公式．
设数轴上A(－3)，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))，求线段AB的长及线段AB的中点M的坐标．
解：AB＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(－3－\f(1,2)))＝eq \f(7,2)，
中点M的坐标x＝eq \f(－3＋\f(1,2),2)＝－eq \f(5,4).
[例1] (链接教科书第64页例1)解下列不等式组：
(1)eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x－5＞1＋2x， ①,3x＋2≤4x； ②))
(2)eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)x＋5＞1－x， ①,x－1≤\f(3,4)x－\f(1,8). ②))
[解] (1)解不等式①，得x＜－6，解不等式②，得x≥2，把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
由图可知，解集没有公共部分，不等式组无解，即不等式组的解集为∅.
(2)解不等式①，得x＞－eq \f(12,5)，解不等式②，得x≤eq \f(7,2)，把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
由图可知不等式组的解集为eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(12,5)，\f(7,2))).
eq \a\vs4\al()
不等式组的求解步骤
(1)求出不等式组中每个不等式的解集；
(2)借助数轴求出各解集的公共部分(交集)；
(3)写出不等式组的解集．
[跟踪训练]
1．已知关于x的不等式组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2x＋1＞3，,a－x＞1，))的解集为(1，3)，则a的值为________．
解析：由2x＋1＞3，得x＞1，由a－x＞1，得x＜a－1.
又∵不等式组的解集为(1，3)，∴a－1＝3，即a＝4.
答案：4
2．解不等式1≤eq \f(3－x,2)＜2x＋eq \f(1,2).
解：原不等式可化为下面的不等式组
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(3－x,2)≥1， ①,\f(3－x,2)＜2x＋\f(1,2)， ②))
解不等式①，得x≤1，
解不等式②，得x＞eq \f(2,5)，
所以原不等式的解集为eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(2,5)，1)).
角度一 |ax＋b|≤c与|ax＋b|≥c(c＞0)型不等式的解法
[例2] 不等式|5－4x|＞9的解集为________．
[解析] ∵|5－4x|＞9，∴5－4x＞9或5－4x＜－9.
∴4x＜－4或4x＞14，
∴x＜－1或x＞eq \f(7,2).
∴原不等式的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(x＜－1或x＞\f(7,2))))).
[答案] eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(x＜－1或x＞\f(7,2)))))
[母题探究]
(变设问)若不等式|kx－5|≤9的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(－1≤x≤\f(7,2)))))，则实数k＝________．
解析：由|kx－5|≤9⇔－4≤kx≤14.
∵不等式的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(－1≤x≤\f(7,2)))))，
∴k＝4.
答案：4
eq \a\vs4\al()
|ax＋b|≥c和|ax＋b|≤c型不等式的解法
(1)当c＞0时，|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c，|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c；
(2)当c＝0时，|ax＋b|≥c的解集为R，|ax＋b|＜c的解集为∅；
(3)当c＜0时，|ax＋b|≥c的解集为R，|ax＋b|≤c的解集为∅.
角度二 |x－a|＋|x－b|≥c和|x－a|＋|x－b|≤c型不等式的解法
[例3] (链接教科书第67页探索与研究)解不等式|x＋7|－|x－2|≤3.
[解] 法一：|x＋7|－|x－2|可以看成数轴上的动点(坐标为x)到－7对应点的距离与到2对应点的距离的差，先找到这个差等于3的点，即x＝－1.由图易知不等式|x＋7|－|x－2|≤3的解为x≤－1，即x∈(－∞，－1]．
法二：令x＋7＝0，x－2＝0得x＝－7，x＝2.
①当x＜－7时，不等式变为－x－7＋x－2≤3，
∴－9≤3成立，
∴x＜－7.
②当－7≤x≤2时，不等式变为x＋7＋x－2≤3，
即2x≤－2，∴x≤－1，
∴－7≤x≤－1.
③当x＞2时，不等式变为x＋7－x＋2≤3，
即9≤3不成立，
∴x∈∅.
∴原不等式的解集为(－∞，－1]．
eq \a\vs4\al()
分段讨论法是解绝对值不等式最基本、最重要的方法，一定要熟练掌握，在解答过程中要注意以下几点：
(1)分段要准确，注意等号的分布，避免重复或遗漏；
(2)每一段都有一个前提，每一段解出的范围都要和前提取“交集”，最后写不等式的解集时要把每一段x的范围取“并集”，即“先分后合”；
(3)不等式的解集有两种书写形式：一是用集合的描述法表示，特殊时用列举法；二是用区间．
[跟踪训练]
1．解下列不等式：
(1)|3－2x|＜9；
(2)4＜|3x－2|＜8.
解：(1)∵|3－2x|＜9，∴|2x－3|＜9.
∴－9＜2x－3＜9.
即－6＜2x＜12.
∴－3＜x＜6.
∴原不等式的解集为(－3，6)．
(2)由4＜|3x－2|＜8，得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(|3x－2|＞4，,|3x－2|＜8，))⇒
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(3x－2＜－4或3x－2＞4，,－8＜3x－2＜8，))⇒eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＜－\f(2,3)或x＞2，,－2＜x＜\f(10,3).))
∴原不等式的解集为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－2，－\f(2,3)))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(10,3))).
2．解不等式|x－1|＋|2－x|＞3＋x.
解：把原不等式变为|x－1|＋|x－2|＞3＋x，
(1)当x≤1时，
原不等式变为－(x－1)－(x－2)＞3＋x，解得x＜0；
(2)当1＜x≤2时，
原不等式变为x－1－(x－2)＞3＋x，解得x∈∅；
(3)当x＞2时，
原不等式变为x－1＋x－2＞3＋x，解得x＞6.
综上，原不等式解集为(－∞，0)∪(6，＋∞).
[例4] (链接教科书第66页例2)已知数轴上三点P(－8)，Q(m)，R(2)．
(1)若其中一点到另外两点的距离相等，求实数m的值；
(2)若线段PQ的中点到线段PR的中点的距离大于1，求实数m的取值范围．
[解] (1)若P是线段QR的中点，则－8＝eq \f(m＋2,2)，
∴m＝－18；
若Q是线段PR的中点，则m＝eq \f(－8＋2,2)＝－3；
若R是线段PQ的中点，则2＝eq \f(－8＋m,2)，∴m＝12.
(2)由题意，知eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(m－8,2)－\f(－8＋2,2)))>1，
即eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(m,2)－1))>1，
∴eq \f(m,2)－1>1或eq \f(m,2)－14或m0时，点P位于原点右侧，且点P与原点O的距离OP＝x；当P(x)中x5，求点M坐标的取值范围．
解：点H的坐标为eq \f(11－3,2)＝4，
设M(x)，则|x－4|>5.
∴x－4>5或x－49或x