高中数学人教B版 (2019)必修 第一册第二章 等式与不等式2.2 不等式2.2.2 不等式的解集导学案及答案

这是一份高中数学人教B版 (2019)必修 第一册第二章 等式与不等式2.2 不等式2.2.2 不等式的解集导学案及答案，共9页。

如图为某三岔路口交通环道的简化模型，在某高峰时段，单位时间进出路口A，B，C的机动车辆如图所示，图中x1，x2，x3分别表示该时段单位时间通过路段eq \(AB,\s\up10(︵))，eq \(BC,\s\up10(︵))，eq \(CA,\s\up10(︵))的机动车辆数(假设：单位时间内，在上述路段中，同一路段上驶入与驶出车辆数相等)．
问题 (1)你能用x3，x1，x2分别表示出x1，x2，x3吗？
(2)你能判断出x1，x2，x3的大小吗？
知识点一 不等式的解集与不等式组的解集
1．不等式的解集：不等式的所有解组成的集合称为不等式的解集．
2．不等式组的解集：对于由若干个不等式联立得到的不等式组来说，这些不等式的解集的交集称为不等式组的解集．
1.解不等式的理论依据是什么？
[提示] 不等式的性质．
1.(1)不等式2x－eq \f(1,2)＞0的解集为________．
(2)不等式组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－x＋2＞0，,2x＋1＞0，))的解集为________．
(1)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)，＋∞)) (2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，2)) [(1)由2x－eq \f(1,2)＞0解得x＞eq \f(1,4)，所以不等式2x－eq \f(1,2)＞0的解集为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)，＋∞)).
(2)由－x＋2＞0解得x＜2，由2x＋1＞0解得x＞－eq \f(1,2).不等式组的解集为它们的交集，故－eq \f(1,2)＜x＜2，即解集为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，2))]
知识点二 绝对值不等式
1．定义：一般地，含有绝对值的不等式称为绝对值不等式．
2．含绝对值不等式的解法
(1)|x|＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x，x＞0，,0，x＝0，,－x，x＜0.))
(2)当m＞0时，|x|＞m的解集为(－∞，－m)∪(m，＋∞)，|x|≤m的解集为[－m，m]．
2.若m＜0，|x|≤m的解集是什么？
[提示] ∅
2.(1)不等式|x|＞2的解集为________．
(2)不等式|x－1|≤2的解集为________．
(1)(－∞，－2)∪(2，＋∞) (2)[－1,3] [(1)由|x|＞2，解得x＜－2或x＞2.
所以不等式的解集为(－∞，－2)∪(2，＋∞)．
(2)由|x－1|≤2得－2≤x－1≤2，解得－1≤x≤3.
所以不等式的解集为[－1,3]．]
知识点三 数轴上的坐标与距离
1．两点间的距离公式
一般地，如果实数a，b在数轴上对应的点分别为A，B，即A(a)，B(b)，则线段AB的长为AB＝|a－b|，这就是数轴上两点之间的距离公式．
2．中点坐标公式
若线段AB的中点M对应的数为x，则x＝eq \f(a＋b,2)就是数轴上的中点坐标公式．
3.若A，B两点在数轴上的坐标分别为A(2)，B(－4)，则AB＝__________，线段AB的中点M的坐标为________．
6 －1 [AB＝|2－(－4)|＝6；
线段AB的中点M的坐标为eq \f(2－4,2)＝－1.]
类型1 不等式组的解法
【例1】 (对接教材)解下列不等式组：
(1)eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－5＞1＋2x， ①,3x＋2≤4x； ②))
(2)eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(2,3)x＋5＞1－x， ①,x－1≤\f(3,4)x－\f(1,8). ②))
[解] (1)解不等式①，得x＜－6，解不等式②，得x≥2，把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
由图可知，解集没有公共部分，不等式组无解，即不等式组的解集为∅.
(2)解不等式①，得x＞－eq \f(12,5)，解不等式②，得x≤eq \f(7,2)，把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
由图可知不等式组的解集为eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(12,5)，\f(7,2))).
不等式组的求解步骤是怎样的？
[提示] (1)求出不等式组中每个不等式的解集．
(2)借助数轴求出各解集的公共部分(交集)．
(3)写出不等式组的解集．
[跟进训练]
1．已知关于x的不等式组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x＋1＞3，,a－x＞1，))的解集为(1,3)，则a的值为________．
4 [由2x＋1＞3，得x＞1，由a－x＞1，得x＜a－1.
又∵不等式组的解集为(1,3)，∴a－1＝3，即a＝4.]
2．解不等式1≤eq \f(3－x,2)＜2x＋eq \f(1,2).
[解] 原不等式组可化为下面的不等式组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(3－x,2)≥1， ①,\f(3－x,2)＜2x＋\f(1,2)， ②))
解不等式①，得x≤1，
解不等式②，得x＞eq \f(2,5)，
所以不等式组的解集为eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(2,5)，1)).
类型2 含绝对值的不等式的解法
1．若|x|＝|a|，是否一定有x＝a?
[提示] 不一定，x＝a或x＝－a.
2．|x|的几何意义是什么？
[提示] |x|表示数轴上坐标为x的点到原点的距离，
即|x|＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x，x≥0，,－x，x＜0.))
角度1 |ax＋b|≤c与|ax＋b|≥c(c＞0)型的不等式的解法
【例2】 (对接教材)解下列不等式：
(1)|5x－2|≥8；
(2)2≤|x－2|≤4.
[解] (1)|5x－2|≥8⇔5x－2≥8或5x－2≤－8⇔x≥2或x≤－eq \f(6,5)，
∴原不等式的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≥2或x≤－\f(6,5))))).
(2)原不等式等价于
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(|x－2|≥2， ①,|x－2|≤4. ②))
由①得x－2≤－2或x－2≥2，
∴x≤0或x≥4.
由②得－4≤x－2≤4，
∴－2≤x≤6.
∴原不等式的解集为{x|－2≤x≤0或4≤x≤6}．
|ax＋b|≥c和|ax＋b|≤c型不等式的解法
(1)当c＞0时，|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c，|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c.
(2)当c＝0时，|ax＋b|≥c的解集为R，|ax＋b|＜c的解集为∅.
(3)当c＜0时，|ax＋b|≥c的解集为R，|ax＋b|≤c的解集为∅.
角度2 |x－a|＋|x－b|≥c和|x－a|＋|x－b|≤c型不等式的解法
【例3】 (对接教材)解不等式|x＋7|－|x－2|≤3.
[解] 法一：|x＋7|－|x－2|可以看成数轴上的动点(坐标为x)到－7对应点的距离与到2对应点的距离的差，先找到这个差等于3的点，即x＝－1.由图易知不等式|x＋7|－|x－2|≤3的解为x≤－1，即x∈(－∞，－1]．
法二：令x＋7＝0，x－2＝0得x＝－7，
x＝2.
①当x＜－7时，不等式变为－x－7＋x－2≤3，
∴－9≤3成立，
∴x＜－7.
②当－7≤x≤2时，不等式变为x＋7＋x－2≤3，
即2x≤－2，∴x≤－1，
∴－7≤x≤－1.
③当x＞2时，不等式变为x＋7－x＋2≤3，
即9≤3不成立，
∴x∈∅.
∴原不等式的解集为(－∞，－1]．
零点(各绝对值等于0时对应x的值)分段法是解绝对值不等式最基本、最重要的方法，一定要熟练掌握，在解答过程中要注意以下几点：
(1)分段要准确，注意等号的分布，避免重复或遗漏；
(2)每一段都有一个前提，每一段解出的范围都要和前提取“交集”，最后写不等式的解集时要把每一段x的范围取“并集”，即“先分后合”；
(3)不等式的解集有两种书写形式：一是用集合的描述法表示，特殊时用列举法；二是用区间．
[跟进训练]
3．解下列不等式：
(1)|3－2x|＜9；
(2)4＜|3x－2|＜8.
[解] (1)∵|3－2x|＜9，∴|2x－3|＜9.
∴－9＜2x－3＜9.
即－6＜2x＜12.
∴－3＜x＜6.
∴原不等式的解集为(－3,6)．
(2)由4＜|3x－2|＜8，
得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(|3x－2|＞4，,|3x－2|＜8，))⇒eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3x－2＜－4或3x－2＞4，,－8＜3x－2＜8，))
⇒eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＜－\f(2,3)或x＞2，,－2＜x＜\f(10,3).))
∴原不等式的解集为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－2，－\f(2,3)))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(10,3))).
4．解不等式|x－1|＋|2－x|＞3＋x.
[解] 把原不等式变为|x－1|＋|x－2|＞3＋x，
(1)当x≤1时，
原不等式变为－(x－1)－(x－2)＞3＋x，解得x＜0；
(2)当1＜x≤2时，
原不等式变为x－1－(x－2)＞3＋x，解得x∈∅；
(3)当x＞2时，
原不等式变为x－1＋x－2＞3＋x，解得x＞6.
综上，原不等式解集为(－∞，0)∪(6，＋∞)．
类型3 数轴上的距离问题
【例4】 (对接教材)已知数轴上三点P(－8)，Q(m)，R(2)．
(1)若其中一点到另外两点的距离相等，求实数m的值；
(2)若PQ中点到线段PR中点的距离大于1，求实数m的取值范围．
[解] (1)若P是线段QR的中点，则－8＝eq \f(m＋2,2)，
∴m＝－18；
若Q是线段PR的中点，则m＝eq \f(－8＋2,2)＝－3；
若R是线段PQ的中点，则2＝eq \f(－8＋m,2)，
∴m＝12.
(2)由题意，知eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(m－8,2)－\f(－8＋2,2)))＞1，
即eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(m,2)－1))＞1，
∴eq \f(m,2)－1＞1或eq \f(m,2)－1＜－1，解得m＞4或m＜0，
∴实数m的取值范围是(－∞，0)∪(4，＋∞)．
1．当P(x)中x＞0时，点P位于原点右侧，且点P与原点O的距离OP＝x；当P(x)中x＜0时，点P位于原点左侧，且点P与原点O的距离OP＝－x.
2．由数轴上的点与实数的对应关系可知，点越靠向右方，对应的实数越大；点对应的实数越大，点越靠向右方．
[跟进训练]
5．在数轴上，已知A(4)，B(x)，且AB＝5，求x的值及线段AB的中点坐标．
[解] 由题意，得AB＝|x－4|＝5，∴x＝－1或x＝9.
当x＝－1时，线段AB的中点坐标为eq \f(4－1,2)＝eq \f(3,2).
当x＝9时，线段AB的中点坐标为eq \f(4＋9,2)＝eq \f(13,2).
6．已知数轴上点H是以P(－3)，Q(11)为端点的线段的中点，若MH＞5，求点M坐标的取值范围．
[解] 点H的坐标为eq \f(11－3,2)＝4，
设M(x)，则|x－4|＞5.
∴x－4＞5或x－4＜－5，
∴x＞9或x＜－1，
即点M坐标的取值范围为(－∞，－1)∪(9，＋∞).
1．不等式3x＋6≤2x的解集为( )
A．[－6，＋∞) B．(－∞，－6]
C．[6，＋∞)D．(－∞，6]
B [移项得3x－2x≤－6，
即x≤－6，
故原不等式的解集为(－∞，－6]．]
2．不等式组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x－4＜0，,x＋1≥0))的解集在数轴上表示正确的是( )
A B
C D
B [由不等式组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x－4＜0，,x＋1≥0，))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＜2，,x≥－1，))即－1≤x＜2，数轴表示正确的为B．]
3．不等式|x＋1|＞3的解集是( )
A．{x|x＜－4或x＞2}B．{x|－4＜x＜2}
C．{x|x＜－4或x≥2}D．{x|－4≤x＜2}
A [由|x＋1|＞3，得x＋1＞3或x＋1＜－3，因此x＜－4或x＞2.]
4．已知点B(x)到原点的距离不大于4，则x的取值范围为________．
[－4,4] [由题意，|x|≤4，所以－4≤x≤4.]
5．不等式|x－2|－|x－1|＞0中x的取值范围为________．
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，\f(3,2))) [原不等式等价于|x－2|＞|x－1|，则
|x－2|2＞|x－1|2，解得x＜eq \f(3,2)，
即原不等式的解集为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，\f(3,2)))]
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．一元一次不等式组解集的求解策略是怎样的？
[提示] (1)一元一次不等式组的解集就是每个不等式解集的交集；
(2)求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到(无解)．
2．如何解含有绝对值的不等式？
[提示] (1)含绝对值的不等式|x|＜a与|x|＞a的解集
(2)|ax＋b|≤c和|ax＋b|≥c(c＞0)型不等式的解法
|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c；
|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c.
(3)|x－a|＋|x－b|≥c和|x－a|＋|x－b|≤c(c＞0)型不等式的解法
(ⅰ)利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；
(ⅱ)利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想．
1.了解不等式(组)解集的概念，会求简单的一元一次不等式(组)的解集.
2.了解含绝对值不等式的几何意义，能借助数轴解含有绝对值的不等式．(重点、难点)
3.掌握数轴上两点间的距离公式及中点坐标公式．(重点)
1.通过求一元一次不等式(组)的解集，培养数学运算核心素养.
2.借助绝对值不等式的解法，提升数学抽象、数学运算核心素养.
3.通过数轴上两点间距离公式及中点坐标公式的学习，培养直观想象核心素养.
不等式
a＞0
a＝0
a＜0
|x|＜a
{x|－a＜x＜a}
∅
∅
|x|＞a
{x|x＜－a或x＞a}
{x|x∈R且x≠0}
R