模型17 多过程模型 （讲练）-【巧解题】最新高考物理模型全归纳

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应用牛顿运动定律和动能定理分析多过程问题
若一个物体参与了多个运动过程，有的运动过程只涉及分析力或求解力而不涉及能量问题，则常常用牛顿运动定律求解;若该过程涉及能量转化问题，并且具有功能关系的特点，则往往用动能定理求解.
用动力学和能量观点分析多过程问题
若一个物体参与了多个运动过程,有的运动过程只涉及分析力或求解力而不涉及能量问题，则常常用牛顿运动定律求解;若该过程涉及能量转化问题，并且具有功能关系的特点,则往往用动能定理或机械能守恒定律以及能量守恒定律求解.
【模型训练】
1．如图所示，倾角为的粗糙斜面AB长，B端距水平地面，O在B点的正下方，B点右端接一光滑小圆弧（图上未画出），圆弧右端切线水平，且与一长的水平木板MN平滑连接。一个小滑块与斜面AB间的动摩擦因数为，它从A端由静止释放后运动到N端恰好停止。（，）
（1）求滑块到达B点速度的大小；
（2）求滑块与木板MN之间的动摩擦因数；
（3）若将木板右侧截去长为的一段，滑块从A端由静止释放后将滑离木板，落在水平地面上某点P（图中未标出）。求落地点P距O点的距离范围。
【答案】（1）2m/s；（2）；（3）
【详解】（1）滑块从斜面上最高点A下滑到最低点B过程中，机械能守恒
代入数据解得
vB=2m/s
（2）滑块从A点到N点，根据动能定理得
代入数据得
（3）设木板右侧截取长度为△L后，则滑块离开木板后做平抛运动，设平抛的初速度为v0
则在平抛运动的过程中
由题可知
由抛物线图象可得：当时，即△L=0.16m时，S有最大值为：Smax=1.16m
当=1时，即△L=1m时，S有最小值为：Smin=0.8m
故P距O点的距离范围
2．如图所示，固定的竖直光滑圆轨道与倾斜光滑直轨道相切与点，轨道半径，直轨道倾角，质量的小球B锁定在点，固定的水平发射装置发射小球，小球以最小速度和发生碰撞，小球与小球碰撞前瞬间，小球解除锁定，两小球质量相等，碰后两个小球粘在一起，沿光滑轨道在D点无能量损失的滑上小车，小车放在光滑水面上，右端固定一个轻弹簧，弹簧原长为，小车段粗糙，小球与段的动摩擦因数，EF段光滑，小车的质量，重力加速度，，，求
（1）水平弹簧装置具有弹性势能；
（2）小球恰好不从小车上滑下，小车段的长度；
（3）为保证小球既要挤压弹簧又不滑离小车，小车DE段的长度的取值范围。
【答案】（1）；（2）；（3）
【详解】（1）由题意可得小球在轨道的最高点的速度为，由能量守恒可得
（2）小球从最高点到C点，由动能定理可得
求得
AB碰撞过程动量守恒
两小球滑到水平面时，由动能定理可得
对两小球与小车的系统，小球恰好不从小车上滑下，此时二者共速，动量守恒可得
由能量守恒可得
联立求得
（3）对两小球与小车的系统，小球恰好压缩弹簧，此时二者共速，动量守恒可得
由能量守恒可得
求得
为保证小球既要挤压弹簧又不滑离小车，小车DE段的长度的取值范围
3．如图所示，高度相同的两块平板P1、P2置于光滑水平面上，其质量分别为m1=1kg和m2=3kg。质量m=1kg且可看作质点的物体P置于P1的最右端，P1与P一起以v0=4m/s的速度向右运动，与静止的P2发生碰撞（碰撞时间极短），碰撞过程中无机械能损失。P与P2之间的动摩擦因数为μ=0.5，P2足够长，重力加速度g取10m/s2。求：
（1）P1、P2碰撞后瞬间两平板的速度大小；
（2）P最终距离P2左端的距离。
【答案】（1）均为2m/s；（2）0.3m
【详解】（1）、碰撞过程中无机械能损失，以、为系统，根据动量守恒定律得
根据机械能守恒定律得
联立解得
，
则碰后、的速度大小均为。
（2）碰撞后以的速度运动到上，最后两物体共速，碰撞后对与，根据动量守恒定律得
对与，根据功能关系得
联立解得
则P最终距离P2左端的距离。
4．如图甲所示，轻弹簧左端固定在竖直墙上，右端点在O位置。质量为m的物块A（可视为质点）以初速度v0从距O点右方s0处的P点向左运动，与弹簧接触后压缩弹簧，将弹簧右端压到O′点位置后，A又被弹簧弹回。A离开弹簧后，恰好回到P点，物块A与水平面间的动摩擦因数为μ。
（1）求物块A从P点出发又回到P点的过程中克服摩擦力所做的功；
（2）求O点和O′点间的距离s1；
（3）如图乙所示，若将另一个与A完全相同的物块B（可视为质点）与弹簧右端拴接，将A放在B右边，向左推A、B，使弹簧右端压缩到O′点位置，然后从静止释放，A、B共同滑行一段距离后分离。求分离后物块A向右滑行的最大距离s2的大小。
【答案】（1）；（2）；（3）
【详解】（1）A从P回到P的过程，根据动能定理，克服摩擦力所做的功为
（2）A从P回到P全过程，根据动能定理，有
得
（3）A、B分离时，两者间弹力为零，且加速度相同，A的加速度是μg，B的加速度也是μg，说明B只受摩擦力，弹簧处于原长；设此时它们的共同速度是v1，弹出过程弹力做功WF，由A返回P点的过程得
WF-μmg（s1+s0）=0-0
有
解得
5．如图（a）所示，在竖直平面内有一固定轨道ABC，BC段是半径为R的光滑半圆轨道，AB段是长度为4R的粗糙水平轨道。一质量为m的小物块静止在A点，现对小物块施加一水平向右的拉力F，其在水平轨道上加速度a与位移x的关系如图（b）所示。该拉力的初始值F0=mg，通过B点后拉力保持不变，在小物块离地面高度为R时再撤去拉力，已知重力加速度为g，求：
（1）小物块运动至B点时拉力F1大小；
（2）小物块运动至C点时的速度大小；
（3）小物块从C点抛出后，当小物块再次离地高度为R时，在小物块上施加一大小为F1、方向水平向左的恒力，求小物块回到水平轨道时距B的距离。
【答案】（1）2mg；（2）；（3）6R
【详解】（1）根据牛顿第二定律，在A点
F0－μmg=m·0.5g
在B点
F1－μmg=m·1.5g
解得
F1=2mg
（2）小物块从A运动到B，合外力也均匀增大，故合外力做功
小物块从A运动到C，由动能定理
解得
（3）小物块从C点平抛，运动到距离地面R处，由平抛规律
x1=vCt
此时，小物块的速度与水平方向的夹角α满足
所受合外力与水平方向的夹角β满足
解得
α=β
故此后小物块做匀加速直线运动，其水平位移为
小物块回到水平轨道时距B的距离
x=x1＋x2=6R
6．如图所示，滑道由光滑的曲面滑梯和一条与其平滑连接的水平轨道构成，水平轨道右侧固定有一轻质弹簧，弹簧左端恰好位于点。若质量为的滑块A从距离地面高处由静止开始下滑，下滑后与静止于点的滑块B发生碰撞。若碰撞后A、B粘在一起，两者以2m/s的速度向右移动0.5m停下。已知水平轨道长度，两滑块与段之间的动摩擦因数相同，其余部分光滑，两滑块均可视为质点，弹簧始终在弹性限度内，重力加速度。求：
（1）滑块B的质量；
（2）滑块与段之间的动摩擦因数；
（3）若A、B两滑块发生弹性碰撞，求弹簧最大的弹性势能。
【答案】（1）；（2）；（3）
【详解】（1）从到，对由动能定理
得
若下滑后滑块与静止于点的滑块B发生碰撞后共同运动，由动量守恒
得
（2）若滑块、B一起运动，由运动学公式
得
（3）若滑块、B发生弹性碰撞，由系统动量守恒和能量守恒
得
，
压缩弹簧到速度为0时，弹簧最大的弹性势能，且
当弹簧将B弹回后
即B恰好返回原静止位置，下滑再次下滑的速度小于第一次速度，即第一次B压缩弹簧的弹性势能最大
7．如图所示，在距水平地面高的光滑绝缘水平台面上，一个质量为、带电量的小物块压缩弹簧后被锁扣K锁住，储存了的弹性势能。现打开锁扣K，物块与弹簧分离后以水平速度向右滑离平台，并恰好从B点沿切线方向进入光滑竖直的圆弧轨道BC。已知B点距水平地面高，圆弧轨道BC的圆心O与水平台面等高，C点的切线水平，并与水平地面上长为的粗糙直轨道CM平滑连接，CM轨道区域存在水平向左的匀强电场，小物块穿过电场后平滑的滑上以速度逆时针转动的传送带，小物块与直轨道和传送带的动摩擦因数均为，传送带MN两端点间距离，小物块刚好没有从N端滑离传送带。小物块在整个运动过程中电量保持不变，重力加速度，空气阻力忽略不计。试求：
（1）压缩弹簧后被锁扣K锁住时的弹性势能；
（2）匀强电场的场强大小E；
（3）小物块从开始运动到最后静止的整个运动过程中因摩擦力做功产生的热量Q。
【答案】（1）；（2）；（3）
【详解】（1）小物块由A运动到B的过程中做平抛运动，在竖直方向上根据自由落体运动规律可知
小物块由A运动到B的时间为
根据图中几何关系可知
解得

根据平抛运动规律有
解得
根据能的转化与守恒可知，原来压缩的弹簧储存的弹性势能为
（2）设小物块在B点和C点的速度大小分别为、，B点的速度大小
从B点和C点由机械能守恒定律得
解得
小物块刚好没有从N端滑离传送带，小物块在N端速度为零，从C点N端由动能定理得
解得
（3）小滑块第一次到达C点时的速度为，第一次到达M点的速度为vM，
解得
vM=4m/s
从M到N的时间
此过程中的相对位移
小物块从传送带上返回先做匀加速，速度达到3m/s后做匀速运动，加速时间
此过程中的相对位移
过M点再次进入匀强电场，假设能再次通过C点，设此时速度为，则

解得
且
物块滑到圆轨道某处，又下滑经C点第三次进入电场，设物块停下时距C点的距离为x3
解得
x3=0.18m
小物块在电场中摩擦发的热
Q1=μmg（2 L1+x3）=10.32J
小物块在传送带上发的热
Q=μmg（ x2+x1）=24.5J
总的发热
Q=Q1+Q2=34.82J
8．如图所示，BCDG是光滑绝缘的圆形轨道，位于竖直平面内，轨道半径为，下端与水平绝缘轨道在点平滑连接，整个轨道处在水平向左的匀强电场中。现有一质量为、带电量为的小滑块（可视为质点）置于水平轨道上，滑块与水平轨道间的动摩擦因数为0.5，重力加速度为。，。
（1）若滑块从水平轨道上距离点的点由静止释放，求滑块到达点的速度；
（2）在（1）的情况下，求滑块到达点时对轨道的压力；
（3）改变的大小，为了使小滑块不脱离圆弧轨道，求AB初始距离的取值范围。
【答案】（1）；（2），方向竖直向下；（3）或
【详解】（1）根据题意，从A点到B，根据动能定理可得
解得
（2）由牛顿第二定律得
由牛顿第三定律得
解得
方向竖直向下。
（3）滑块恰好始终沿轨道BCDG滑行，则滑至圆弧轨道D、G间等效最高点时，由电场力和重力的合力提供向心力，此时的速度最小，与竖直方向夹角的正切值为
解得
则有
解得
滑块不离开轨道有两种可能，一种是最高到点（等效重力场中圆心等高处），另一种是恰好通过H点（等效最高点）。如图所示
①如果最高到I点，根据动能定理，有
解得
②如果在等效场中最高到H点，则根据动能定理，有
联立解得
故使滑块沿圆弧轨道滑行时不脱离圆弧轨道的的取值范围为
或
9．如图所示，在竖直平面内，粗糙的斜面轨道AB的下端与圆弧轨道DCB相切于B点，DC段粗糙，CB段光滑，圆心角，D点与圆心O等高，圆弧轨道半径，一个质量为，可视为质点的小物体，从D点的正上方距离为的E点处自由下落，小物体与斜面AB之间的动摩擦因数，取，，。忽略空气阻力对物体运动的影响，则：
（1）小物体经多长时间到达D点；
（2）当小物体到达圆弧轨道底端C时对轨道的压力为13N，求小物体在圆弧DC段克服摩擦力所做的功；
（3）要使小物体不从斜面顶端飞出，斜面的长度L至少要多长？
【答案】（1）；（2）；（3）
【详解】（1）小物体从E点处自由下落到D点，根据
解得
（2）在C点，根据牛顿第二定律可得
由题意可知
解得
小物体从E点到圆弧轨道底端C过程，根据动能定理可得
联立解得 小物体在圆弧DC段克服摩擦力所做的功为
（3）从C点到斜面最高点过程，根据动能定理可得
解得
要使小物体不从斜面顶端飞出，斜面的长度至少为。
10．如图所示，三个质量均为1kg的小滑块 A、B、C沿直线静止排列在水平面上，其中A、B 与水平面间无摩擦，C与水平面之间的动摩擦因数。某时刻给滑块A水平向右的速度，与滑块B碰撞后粘在一起形成结合体P（P与水平面间无摩擦），结合体P与滑块C发生弹性碰撞后均停止在水平面上。已知重力加速度。求：
（1）A、B碰撞过程中，B受到的冲量大小I；
（2）P、C第一次碰撞后C的速度；
（3）整个过程中滑块C的位移大小x。
【答案】（1）；（2），水平向右；（3）2.25m
【详解】（1）设水平向右为正方向，A、B、C质量均为m，A、B碰撞过程中，由动量守恒有
mv0=2mv1
对B，由动量定理有
I=Δp=mv1-0
解得
v1=3m/s，I=
（2）P、C第一次碰撞过程中，由动量守恒有
2mv1=2mvP1+mvC1，
解得第一次碰撞后C的速度
水平向右。
（3）对P、C构成的系统由能量守恒
解得
11．滑板运动，越来越受到年轻人追捧，如图所示，滑板轨道ADE光滑，水平轨道AD与半径四分之一竖直圆弧轨道DE在D点相切。一个质量为的运动员（可视为质点）以初速度冲上静止在A点质量的滑板（可视为质点），设运动员蹬上滑板后立即与滑板一起共同沿着轨道运动。若不计空气阻力，重力加速度g取值（计算结果均保留三位有效数字）。求：
（1）运动员以6m/s的水平速度冲上滑板，是否能达到E点；
（2）以运动员恰好到达E点的速度冲上滑板，运动员和滑板滑过圆弧形轨道D点时对轨道的压力；
（3）若A点左侧为滑动摩擦因数的水泥地面，则运动员与滑板滑回后停在距A点多远的距离。
【答案】（1）不能；（2），方向竖直向下；（3）
【详解】（1）运动员和滑板组成的系统动量守恒，根据动量守恒定律有
解得
在水平轨道上系统的动能为
到达轨道最高点的重力势能为
因为
所以不能达到E点。
（2）若恰好能到达E点，则在E点运动员和滑板组成的系统速度为0，根据能量守恒，有
解得
根据牛顿第二定律，有
解得
根据牛顿第三定律，可知运动员和滑板对轨道的压力大小为，方向竖直向下。
（3）根据能量守恒定律，可知运动员和滑板回到A点时的速度为,根据动能定理，有
解得
12．如图所示，长为L＝3m的木板A质量为M＝2kg，A静止于足够长的光滑水平面上，小物块B（可视为质点）静止于A的左端，B的质量为m1＝1kg，曲面与水平面相切于M点。现让另一小物块C（可视为质点），从光滑曲面上离水平面高h＝3.6m处由静止滑下，C与A相碰后与A粘在一起，C的质量为m2＝1kg，A与C相碰后，经一段时间B可刚好未离开A。（g＝10m/s2）求：
（1）C与A碰撞结束时A的速度；
（2）A、B之间的动摩擦因数μ；
（3）从开始到最后损失的机械能。
【答案】（1），方向水平向左；（2）0.1；（3）27J
【详解】（1）设C滑至水平面的速度为v，由动能定理得
代入数据，得
对A、C碰撞过程，设碰后共同速度为，由动量守恒得
得
所以，C与A碰后结束时A的速度大小为，方向水平向左；
（2）B恰好不滑离A时与A有相同的速度，设为，对A、C、B组成的系统由动量守恒定律可得
解得
对A、B、C组成的系统由能量守恒定律可得
代入数据，解得
（3）选择地面为零势能参考平面，开始时，A、B、C整个系统的机械能为
最后系统的机械能为
故整个过程中系统损失的机械能为
13．如图所示，半径为R的光滑四分之一圆弧轨道AB在最低点B与足够长的光滑水平面平滑连接，质量为4m的物块甲静置于B处，质量为m的物块乙从圆弧轨道最高点A处由静止开始无初速度释放。已知重力加速度为g，甲、乙两物块均可视为质点，不计空气阻力，甲、乙间的碰撞均为弹性碰撞。求：
（1）物块乙第1次刚要到达B处时对圆弧轨道的压力大小；
（2）物块甲、乙第1次碰撞后瞬时各自的速度大小；
（3）最终物块甲、乙各自的速度大小。
【答案】（1）3mg；（2）；（3），
【详解】（1）设物块乙第1次刚要到达B点时速度大小为v0，物块乙对圆弧轨道的压力大小为FN，从A到B过程中，由机械能守恒定律有
解得
在B点，对物块乙进行受力分析有
解得
（2）设物块甲、乙第1次碰撞后瞬时，物块甲速度为v甲1，物块乙速度为v乙1，以水平向右为正方向，对物块甲、乙组成的系统，由弹性碰撞有
联立解得
，
负号表示碰撞后物块乙速度反向，方向水平向左；
（3）由分析知，物块甲、乙第2次碰撞前瞬时，有
方向水平向右；
设物块甲、乙第2次碰撞后瞬时，物块甲速度为v甲2，物块乙速度为v乙2，对物块甲、乙组成的系统，由弹性碰撞有
联立解得
，
因为
可知第2次碰撞后，物块甲、乙将水平向右匀速运动，不会再发生碰撞，即最终物块甲的速度大小为，物块乙的速度大小为。
14．如图所示，竖直固定的半径R＝0.32m的光滑绝缘圆弧轨道在B点与粗糙绝缘水平轨道AB相切。整个轨道处于水平向左的匀强电场中。将一个质量m＝0.4kg、带电量q＝＋3×10－3C的物块P（可视为质点）从水平轨道上B点右侧距离B点x＝0.64m的位置由静止释放，物块运动到B点时对圆弧轨道的压力大小为。圆弧轨道右下方留有开口，物块进入圆弧轨道后，开口将自动关闭形成一个闭合的圆轨道。已知物块P与水平轨道AB间的动摩擦因数μ＝0.25，，sin37°＝0.6，cs37°＝0.8.求：
（1）物块P运动到B点时的速度大小以及匀强电场的场强大小；
（2）为了让物块P进入圆弧轨道后恰好能做完整的圆周运动，需要将物块P从B点右侧多远处由静止释放？
（3）通过计算分析物块P进入圆弧轨道后的运动过程是否会与圆弧轨道分离。
【答案】（1）；；（2）；（3）见解析
【详解】（1）依题意，物块运动到B点时，所受轨道的支持力大小为，由牛顿第二定律，可得
解得
物块P从静止运动到B点过程，根据动能定理可得
解得
（2）设物块P在圆弧轨道运动的等效最低点为D点，设电场力和物块的重力的合力与竖直方向的夹角为，如下图所示：
则有
解得
等效最高点在D点关于圆心对称的F点，依题意，物块P进入圆弧轨道后恰好能做完整的圆周运动的条件为
解得
即物块P进入圆弧轨道后恰好能做完整的圆周运动的临界速度为，设将物块P从B点右侧处由静止释放运动到F点过程，由动能定理可得
联立，解得
（3）根据（1）中分析，物块P从B点运动到等效最高点的速度设为，由动能定理可得
解得
即物块P进入圆弧轨道后的运动过程会与圆弧轨道分离。
15．一辆质量m=2kg的平板车左端放有质量M=3kg的小滑块，滑块与平板车之间的动摩擦因数μ=0.4。开始时平板车和滑块以v0=2m/s的速度在光滑水平面上向右运动，并与竖直墙壁发生碰撞，碰撞时间极短且碰撞后平板车速度大小保持不变，但方向与原来相反。平板车足够长，以至滑块不会滑到平板车右端。
（1）平板车最终停在何处？
（2）为使滑块不滑离平板车，平板车至少多长？
（3）从平板车第一次与墙壁碰撞后算起，平板车运动的总时间是多少？
【答案】（1）平板车最终停在右侧紧靠墙壁处；（2）；（3）
【详解】（1）平板车每次碰撞后速度大小保持不变，方向相反，由于小滑块的质量大于平板车的质量，可知每次碰撞后，系统的总动量一直向右，所以经过多次碰撞后，平板车最终停在右侧紧靠墙壁处。
（2）平板车与墙壁碰撞无能量损失，滑块与平板车动能最终转化为内能，则有
解得平板车至少长为
（3）设平板车做变速运动的总时间为，该时间与小滑块匀减速的时间相等；根据牛顿第二定律得
又
解得
平板车第一次与墙壁碰撞后，与滑块以共同速向右匀速运动，由动量守恒可得
第一次碰后至平板车与滑块共速，平板车的位移为，对平板车由功能关系
解得
共速后平板车与滑块匀速直线运动至第二次碰撞时间为，则有
可得
同理第二次碰撞后至平板车与滑块共速，平板车匀速的时间，则有
可得
第次碰撞，小车速度
平板车与滑块匀速运动的时间为
可得
当时
解得
=1s
平板车运动的总时间