浙江省杭州市观成教育集团2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试卷

这是一份浙江省杭州市观成教育集团2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试卷，共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）若气象部门预报明天下雨的概率是85%，下列说法正确的是（ ）
A．明天下雨的可能性比较大
B．明天一定不会下雨
C．明天一定会下雨
D．明天下雨的可能性比较小
2．（3分）下列条件中，能确定一个圆的是（ ）
A．以点O为圆心
B．以10cm长为半径
C．以点A为圆心，4cm长为半径
D．经过已知点M
3．（3分）已知AB∥CD∥EF，若AC：CE＝2：3，则（ ）
A．AC：BD＝3：2B．BD：BF＝2：5C．CD：EF＝2：3D．CE：AC＝2：5
4．（3分）如图，已知点A，B，C，D都在⊙O上，OB⊥AC，BC＝CD，下列说法错误的是（ ）
A．B．∠AOC＝∠BODC．AC＝2CDD．OC⊥BD
5．（3分）已知点A（﹣2，a），B（﹣1，b），C（2，c）是抛物线y＝kx2+2kx+4（k＞0）上的三点，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．c＞a＞bB．c＞b＞aC．b＞a＞cD．b＞c＞a
6．（3分）不透明袋子中仅有红、黄小球各一个，两个小球除颜色外无其他差别．从中随机摸出一个小球，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，则两次摸出的都是红球的概率是（ ）
A．B．C．D．
7．（3分）如图，在三角形纸片ABC中，AB＝9，AC＝6，BC＝12，沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC相似的是（ ）
A．B．
C．D．
8．（3分）在二次函数y＝ax2+bx+c中，如果a＜0，b＞0，c＜0，那么它的图象一定不经过（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
9．（3分）如图，在⊙O中，C是上一点，OA⊥OB，过点C作弦CD交OB于E，若OA＝DE，则∠C与∠AOC满足的数量关系是（ ）
A．B．C．D．
10．（3分）如图，点C，D在半圆O上，，AD，BC相交于点E，的值为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）有8张卡片，上面分别写着数1，2，3，4，5，6，7，8．从中随机抽取1张，该卡片上的数是4的整数倍的概率是 ．
12．（3分）如图，在扇形AOB中，OA＝6，∠AOB＝120°，则的长为 ．
13．（3分）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，若∠OBC＝28°，则∠A＝ °．
14．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c的自变量x与函数值y之间满足下列数量关系：
则4a﹣2b+c＝ ．
15．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝6，CO是边AB上的中线，G为△ABC的重心，过点G作GN∥BC交AB于点N，那么△OGN的面积是 ．
16．（3分）已知关于x的函数y＝（x﹣1）[（k﹣1）x+（k﹣2）]（k是常数），设k分别取0，1，2时，所对应的函数为y0，y1，y2，某学习小组通过画图，探索，得到以下结论：①函数y0，y1，y2都是二次函数；②满足y1＞y2的x取值范围是﹣1＜x＜1；③不论k取何实数，y＝（x﹣1）[（k﹣1）x+（k﹣2）]的图象都经过点（1，0）和点（﹣1，2）；④当x＞1时满足y2＞y1＞y0，则以上结论正确的是 ．
三、解答题（本题有8小题，共66分）
17．（6分）计算：
（1）已知比例式3：x＝2：5，求x的值．
（2）已知线段a＝4.5，线段b＝2，求线段a，b的比例中项线段c．
18．（6分）已知二次函数y＝x2+bx+c的图象经过（0，﹣3），（1，0）
（1）求二次函数的表达式．
（2）将二次函数写成y＝a（x﹣h）2+k的形式，并求出顶点坐标．
19．（8分）某大剧院有A，B，C三个完全相同的入口，D，E两个完全相同的出口，小明周末要去大剧院观看话剧表演，随机选择一个入口，结束后任选一个出口离开．
（1）请用树状图或列表的方法，表示小明进出大剧院的所有可能路线；
（2）求小明从B入口进入大剧院的概率．
20．（8分）如图，在△ABC中，AD是角平分线，点E在边AC上，且AD2＝AE•AB，连接DE．
（1）求证：△ABD∽△ADE；
（2）若CD＝3，CE＝，求AC的长．
21．（10分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，D是直径AB上一点，∠ACD的平分线交AB于点E，交⊙O于另一点F，FA＝FE．
（1）求证：CD⊥AB；
（2）设FM⊥AB，垂足为M，若OM＝OE＝1，求AC的长．
22．（10分）某商场要经营一种新上市的文具，进价为20元，试营销阶段发现：当销售单价是25元时，每天的销售量为250件，销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10件，设每天的销售利润为W元．
（1）当销售价为每件30元时，每天的销售量为多少件；
（2）若商场要每天获得销售利润2000元，销售单价应定为多少元？
（3）求销售单价为多少元时，该文具每天的销售利润最大？最大利润是多少？
23．（12分）已知二次函数y＝x2+bx﹣3（b为常数）．
（1）该函数图象与x轴交于A、B两点，若点A坐标为（3，0），
①b的值是 ，点B的坐标是 ；
②当0＜y＜5时，借助图象，求自变量x的取值范围；
（2）对于一切实数x，若函数值y＞t总成立，求t的取值范围（用含b的式子表示）；
（3）当m＜y＜n时（其中m、n为实数，m＜n），自变量x的取值范围是1＜x＜2，求n与b的值及m的取值范围．
24．（12分）如图，半圆O的直径AB＝6．点C在半圆O上，连结AC，BC，过点O作OD∥AC分别交BC，于点E，D，连结AD交BC于点F．
（1）求证：点D是的中点；
（2）当△BOE与△FDE相似时，求线段OE的长．
（3）将点O绕点F顺时针旋转90°到点G．当点G在线段AC上，求线段OE的长．
2024-2025学年浙江省杭州市观成教育集团九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）若气象部门预报明天下雨的概率是85%，下列说法正确的是（ ）
A．明天下雨的可能性比较大
B．明天一定不会下雨
C．明天一定会下雨
D．明天下雨的可能性比较小
【答案】A
【分析】利用概率的意义结合具体的选项进行判断即可．
【解答】解：明天下雨的概率是85%，说明明天下雨的可能性比较大，但也可能下雨，也可能不下雨，
因此选项A符合题意，
故选：A．
2．（3分）下列条件中，能确定一个圆的是（ ）
A．以点O为圆心
B．以10cm长为半径
C．以点A为圆心，4cm长为半径
D．经过已知点M
【答案】C
【分析】确定一个圆有两个重要因素，一是圆心，二是半径，据此可以得到答案．
【解答】解：∵圆心确定，半径确定后才可以确定圆，
∴C选项正确，
故选：C．
3．（3分）已知AB∥CD∥EF，若AC：CE＝2：3，则（ ）
A．AC：BD＝3：2B．BD：BF＝2：5C．CD：EF＝2：3D．CE：AC＝2：5
【答案】B
【分析】根据平行线分线段成比例定理，得到比例式BD：DF＝AC：CE，进而判断即可．
【解答】解：∵AB∥CD∥EF，
∴BD：DF＝AC：CE＝2：3，
∴BD：BF＝2：5，
故选：B．
4．（3分）如图，已知点A，B，C，D都在⊙O上，OB⊥AC，BC＝CD，下列说法错误的是（ ）
A．B．∠AOC＝∠BODC．AC＝2CDD．OC⊥BD
【答案】C
【分析】根据题意和垂径定理，可以得到AC＝BD，，，然后即可判断各个小题中的结论是否正确，从而可以解答本题．
【解答】解：∵OB⊥AC，
∴，故A正确，不符合题意；
∵BC＝CD，
∴，
∴，
∴∠AOC＝∠BOD，故B正确，不符合题意；
∴AC＝BD，
∴AC＝BD＜BC+CD＝2CD，故C错误，符合题意；
∵OB＝OD，BC＝CD，
∴OC⊥BD，故D正确，不符合题意；
故选：C．
5．（3分）已知点A（﹣2，a），B（﹣1，b），C（2，c）是抛物线y＝kx2+2kx+4（k＞0）上的三点，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．c＞a＞bB．c＞b＞aC．b＞a＞cD．b＞c＞a
【答案】A
【分析】求得抛物线开口方向和对称轴，根据二次函数的性质，通过三点与对称轴距离的远近来比较函数值的大小．
【解答】解：∵y＝kx2+2kx+4（k＞0），
∴抛物线开口向上，抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝﹣1，
∵点B（﹣1，b）在对称轴上，点C（3，c）最远，
∴b＜a＜c．
故选：A．
6．（3分）不透明袋子中仅有红、黄小球各一个，两个小球除颜色外无其他差别．从中随机摸出一个小球，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，则两次摸出的都是红球的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】列表可得出所有等可能的结果数以及两次摸出的都是红球的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【解答】解：列表如下：
共有4种等可能的结果，其中两次摸出的都是红球的结果有1种，
∴两次摸出的都是红球的概率为．
故选：A．
7．（3分）如图，在三角形纸片ABC中，AB＝9，AC＝6，BC＝12，沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC相似的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据相似三角形的判定分别进行判断即可得出答案即可．
【解答】解：在三角形纸片ABC中，AB＝9，AC＝6，BC＝12，
A．因为，对应边，，
所以沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC不相似，
故此选项不符合题意；
B．因为，对应边，又∠A＝∠A，
所以沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC相似，
故此选项符合题意；
C．因为，对应边，
即：，
所以沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC不相似，
故此选项不符合题意；
D．因为，对应边，，
所以沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC不相似，
故此选项不符合题意；
故选：B．
8．（3分）在二次函数y＝ax2+bx+c中，如果a＜0，b＞0，c＜0，那么它的图象一定不经过（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】B
【分析】根据二次函数y＝ax2+bx+c，a＜0，b＞0，c＜0和二次函数的性质，可知该函数图象的对称轴在y轴右侧，与y轴交于负半轴，开口向下，然后即可判断该函数图象一定不经过第二象限．
【解答】解：∵二次函数y＝ax2+bx+c，a＜0，b＞0，c＜0，
∴该函数图象的对称轴在y轴右侧，与y轴交于负半轴，开口向下，
∴该函数图象存在三种情况，如图所示，
∴它的图象一定不经过第二象限，
故选：B．
9．（3分）如图，在⊙O中，C是上一点，OA⊥OB，过点C作弦CD交OB于E，若OA＝DE，则∠C与∠AOC满足的数量关系是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】连接OD，根据垂直定义可得∠BOA＝90°，从而可得∠BOC＝90°﹣∠AOC，再根据等腰三角形的性质可得∠D＝∠C，然后根据已知和等量代换可得OD＝DE，从而可得∠DEO＝∠DOE＝，再利用三角形是外角性质可得∠DEO＝∠C+∠BOC，最后利用等量代换进行计算，即可解答．
【解答】解：连接OD，
∵OA⊥OB，
∴∠BOA＝90°，
∴∠BOC＝∠AOB﹣∠AOC＝90°﹣∠AOC，
∵OD＝OC，
∴∠D＝∠C，
∵OD＝OA，OA＝DE，
∴OD＝DE，
∴∠DEO＝∠DOE＝＝，
∵∠DEO是△EOC的一个外角，
∴∠DEO＝∠C+∠BOC，
∴＝∠C+90°﹣∠AOC，
∴3∠C＝2∠AOC，
∴∠C＝∠AOC，
故选：C．
10．（3分）如图，点C，D在半圆O上，，AD，BC相交于点E，的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】如图所示，连接AC，连接OD交BC于M，先证明AC＝BC，OD⊥BC，由圆周角定理得到∠ACB＝90°，进而证明△ABC是等腰直角三角形，推出∠ABC＝45°，进一步证明△OBM是等腰直角三角形，则OM＝BM，设AC＝BC＝2a，则OM＝BM＝a，，，证明△ACE∽△DME，即可得到．
【解答】解：如图所示，连接AC，连接OD交BC于M，
∵，
∴AC＝BC，OD⊥BC，，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴∠ABC＝45°，
∴△OBM是等腰直角三角形，
∴OM＝BM，
设AC＝BC＝2a，
∴OM＝BM＝a，
∴，
∴，
∵∠C＝90°，OD⊥BC，
∴AC∥OD，
∴△ACE∽△DME，
∴，
故选：D．
二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）有8张卡片，上面分别写着数1，2，3，4，5，6，7，8．从中随机抽取1张，该卡片上的数是4的整数倍的概率是 ．
【答案】．
【分析】直接由概率公式求解即可．
【解答】解：∵有8张卡片，上面分别写着数1，2，3，4，5，6，7，8，其中该卡片上的数是4的整数倍的数是4，8，
∴该卡片上的数是4的整数倍的概率是＝，
故答案为：．
12．（3分）如图，在扇形AOB中，OA＝6，∠AOB＝120°，则的长为 4π ．
【答案】4π．
【分析】把已知数据代入弧长公式计算即可．
【解答】解：由题意得弧AB的长为
，
故答案为：4π．
13．（3分）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，若∠OBC＝28°，则∠A＝ 62 °．
【答案】62．
【分析】连接OC，利用等腰三角形的性质，三角形内角和定理求出∠BOC的度数，然后利用圆周角定理求解即可．
【解答】解：连接OC，
∵OB＝OC，∠OBC＝28°，
∴∠OCB＝∠OBC＝28°，
∴∠BOC＝180°﹣∠OCB﹣∠OBC＝124°，
∴，
故答案为：62．
14．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c的自变量x与函数值y之间满足下列数量关系：
则4a﹣2b+c＝ 20 ．
【答案】20．
【分析】由表中数据得到点（0，10）和（2，10）为抛物线上的对称点，利用对称性得到抛物线的对称轴为直线x＝1，则x＝﹣2和x＝4对应的函数值都为20，即4a﹣2b+c＝20．
【解答】解：由表中数据得到点（0，10）和（2，10）为抛物线上的对称点，
∴抛物线对称轴为直线x＝1，
∴x＝﹣2和x＝4对应的函数值都为20，
故4a﹣2b+c＝20．
故答案为：20．
15．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝6，CO是边AB上的中线，G为△ABC的重心，过点G作GN∥BC交AB于点N，那么△OGN的面积是 0.5 ．
【答案】0.5．
【分析】先证△ABC∽△OBE，由CO是边AB上的中线，可得OE的长，再证△ONG∽△OBC，根据G为△ABC的重心，可得△ONG与△OBC的面积比，可得△OGN的面积．
【解答】解：
过O作OE⊥BC，交BC于E，
∴∠ACB＝∠OEB＝90°，
∵∠ABC＝∠OBE，
∴△ABC∽△OBE，
∴＝＝，
∵CO是边AB上的中线，
∴＝，
∵AC＝3，BC＝6，
∴OE＝1.5，BE＝3，
＝4.5，
∵GN∥BC，
∴∠ONG＝∠OBC，∠OGN＝∠OCB，
∴△ONG∽△OBC，
∴（）2＝，
∵G为△ABC的重心，
∴＝，
∴＝，
∴S△ONG＝0.5，
故答案为：0.5．
16．（3分）已知关于x的函数y＝（x﹣1）[（k﹣1）x+（k﹣2）]（k是常数），设k分别取0，1，2时，所对应的函数为y0，y1，y2，某学习小组通过画图，探索，得到以下结论：①函数y0，y1，y2都是二次函数；②满足y1＞y2的x取值范围是﹣1＜x＜1；③不论k取何实数，y＝（x﹣1）[（k﹣1）x+（k﹣2）]的图象都经过点（1，0）和点（﹣1，2）；④当x＞1时满足y2＞y1＞y0，则以上结论正确的是 ②③④ ．
【答案】见试题解答内容
【分析】将k＝0，1，2代入可判定①，解不等式可判定②④，经过定点（1，0），（﹣1，2）可知k的系数为0，则可判定③．
【解答】解：当k分别取0，1，2时，所对应的函数解析式分别为：
y0＝﹣x2﹣x+2，
y1＝﹣x+1，
y2＝x2﹣x，
由上可知，①错误；
若y1＞y2，则﹣x+1＞x2﹣x，
∴x2＜1，
即﹣1＜x＜1．
则②正确；
∵关于x的函数y＝（x﹣1）[（k﹣1）x+（k﹣2）]＝（x2﹣1）k﹣x2﹣x+2，
∴当x＝±1时，函数值与k无关，
即当x＝1，y＝0，
当x＝﹣1，y＝2，
∴过定点（1，0），（﹣1，2），
则③正确；
若﹣x+1＞﹣x2﹣x+2，
∴x＞1或x＜﹣1；
若x2﹣x＞﹣x+1，
∴x＞1或x＜﹣1，
∴当x＞1时，y2＞y1＞y0；
则④正确．
故答案为：②③④．
三、解答题（本题有8小题，共66分）
17．（6分）计算：
（1）已知比例式3：x＝2：5，求x的值．
（2）已知线段a＝4.5，线段b＝2，求线段a，b的比例中项线段c．
【答案】（1）；
（2）3．
【分析】（1）根据所给比例式，结合外项之积等于内项之积即可解决问题．
（2）根据比例中项的定义，得出a，b，c之间的关系，再结合a，b的长度即可解决问题．
【解答】解：（1）由3：x＝2：5得，
2x＝3×5，
解得x＝，
故x的值是．
（2）因为线段c是线段a和线段b的比例中项，
所以c2＝ab．
又因为线段a＝4.5，线段b＝2，
所以c2＝4.5×2＝9，
所以c＝3（舍负），
故线段a，b的比例中项线段c为3．
18．（6分）已知二次函数y＝x2+bx+c的图象经过（0，﹣3），（1，0）
（1）求二次函数的表达式．
（2）将二次函数写成y＝a（x﹣h）2+k的形式，并求出顶点坐标．
【答案】（1）y＝x2+2x﹣3；
（2）y＝（x+1）2﹣4，顶点坐标为（﹣1，﹣4）．
【分析】（1）将点（0，﹣3），（1，0）代入函数解析式，利用待定系数法即可求出二次函数的表达式．
（2）利用配方法将二次函数解析式化为顶点式，即可得到顶点坐标．
【解答】解：（1）∵二次函数y＝x2+bx+c的图象经过（0，﹣3），（1，0），
∴，解得：，
∴y＝x2+2x﹣3；
（2）y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4，
∴顶点坐标为（﹣1，﹣4）．
19．（8分）某大剧院有A，B，C三个完全相同的入口，D，E两个完全相同的出口，小明周末要去大剧院观看话剧表演，随机选择一个入口，结束后任选一个出口离开．
（1）请用树状图或列表的方法，表示小明进出大剧院的所有可能路线；
（2）求小明从B入口进入大剧院的概率．
【答案】（1）见解析；
（2）．
【分析】（1）画树状图，即可解决问题；
（2）直接由概率公式求解即可．
【解答】解：（1）画树状图如下：
所有等可能的结果有6种，即A﹣D、A﹣E、B﹣D、B﹣E、C﹣D、C﹣E；
（2）∵大剧院有A，B，C三个完全相同的入口，
∴小明从B入口进入大剧院的概率为．
20．（8分）如图，在△ABC中，AD是角平分线，点E在边AC上，且AD2＝AE•AB，连接DE．
（1）求证：△ABD∽△ADE；
（2）若CD＝3，CE＝，求AC的长．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）由AD是∠BAC的角平分线可得出∠BAD＝∠EAD，由AD2＝AE•AB可得出＝，进而即可证出△ABD∽△ADE；
（2）由△ABD∽△ADE可得出∠ADB＝∠AED，根据三角形内角和定理及平角等于180°，即可得出∠CDE＝∠CAD，结合公共角相等可得出△DCE∽△ACD，再利用相似三角形的性质即可求出AC的长度．
【解答】（1）证明：∵AD是∠BAC的角平分线，
∴∠BAD＝∠EAD．
∵AD2＝AE•AB，
∴＝，
∴△ABD∽△ADE；
（2）解：∵△ABD∽△ADE，
∴∠ADB＝∠AED．
∵∠DAE+∠ADE+∠AED＝180°，∠ADB+∠ADE+∠CDE＝180°，
∴∠CDE＝∠DAE，即∠CDE＝∠CAD．
又∵∠DCE＝∠ACD，
△DCE∽△ACD，
∴＝，即＝，
∴AC＝4．
21．（10分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，D是直径AB上一点，∠ACD的平分线交AB于点E，交⊙O于另一点F，FA＝FE．
（1）求证：CD⊥AB；
（2）设FM⊥AB，垂足为M，若OM＝OE＝1，求AC的长．
【答案】（1）见解析；
（2）AC＝．
【分析】（1）证明∠CEB+∠DCE＝∠BCE+∠ACE＝∠ACB＝90°，即可得到∠CDE＝90°，由此得出CD⊥AB；
（2）求出AB和BC的长，即可求出AC的长．
【解答】（1）证明：∵FA＝FE，
∴∠FAE＝∠AEF，
∵∠FAE与∠BCE都是所对的圆周角，
∴∠FAE＝∠BCE，
∵∠AEF＝∠CEB，
∴∠CEB＝∠BCE，
∵CE平分∠ACD，
∴∠ACE＝∠DCE
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠CEB+∠DCE＝∠BCE+∠ACE＝∠ACB＝90°，
∴∠CDE＝90°，
∴CD⊥AB；
（2）解：由（1）知，∠BEC＝∠BCE，
∴BE＝BC，
∵AF＝EF，FM⊥AB，
∴MA＝ME＝2，AE＝4，
∴圆的半径OA＝OB＝AE﹣OE＝3，
∴BC＝BE＝OB﹣OE＝2，
在△ABC中，AB＝6，BC＝2，∠ACB＝90°，
∴．
22．（10分）某商场要经营一种新上市的文具，进价为20元，试营销阶段发现：当销售单价是25元时，每天的销售量为250件，销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10件，设每天的销售利润为W元．
（1）当销售价为每件30元时，每天的销售量为多少件；
（2）若商场要每天获得销售利润2000元，销售单价应定为多少元？
（3）求销售单价为多少元时，该文具每天的销售利润最大？最大利润是多少？
【答案】（1）当销售价为每件30元时，每天的销售量为200件；
（2）商场要每天获得销售利润2000元，销售单价应定为30元或40元；
（3）销售单价为35元时，该文具每天的销售利润最大，最大利润是2250元．
【分析】（1）根据题意，可以列出算式250﹣（30﹣25）×10，然后计算即可；
（2）根据题意和题目中的数据，可以列出相应的方程，然后求解即可；
（3）根据题意，可以写出利润与售价之间的函数关系式，然后化为顶点式，即可求得W的最大值．
【解答】解：（1）由题意可得，
当销售价为每件30元时，每天的销售量为：250﹣（30﹣25）×10＝200（件），
答：当销售价为每件30元时，每天的销售量为200件；
（2）设销售单价应定为x元，
由题意可得，（x﹣20）[250﹣10（x﹣25）]＝2000，
解得x1＝30，x2＝40，
答：商场要每天获得销售利润2000元，销售单价应定为30元或40元；
（3）由题意可得，
W＝（x﹣20）×[250﹣10（x﹣25）]＝﹣10（x﹣35）2+2250，
∴当x＝35时，W取得最大值，此时W＝2250，
答：销售单价为35元时，该文具每天的销售利润最大，最大利润是2250元．
23．（12分）已知二次函数y＝x2+bx﹣3（b为常数）．
（1）该函数图象与x轴交于A、B两点，若点A坐标为（3，0），
①b的值是 ﹣2 ，点B的坐标是 （﹣1，0） ；
②当0＜y＜5时，借助图象，求自变量x的取值范围；
（2）对于一切实数x，若函数值y＞t总成立，求t的取值范围（用含b的式子表示）；
（3）当m＜y＜n时（其中m、n为实数，m＜n），自变量x的取值范围是1＜x＜2，求n与b的值及m的取值范围．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）①依据题意，由二次函数y＝x2+bx﹣3过点A（3，0）代入可得b，进而得二次函数解析式，从而可以求出B；
②依据题意，由①令y＝0，y＝5分别求出对应自变量进而可以得解；
（2）依据题意，由不等式变形得x2+bx﹣3﹣t＞0，对于一切实数成立，即对函数y＝x2+bx﹣3﹣t与x轴无交点，可得Δ＜0，进而可以得解；
（3）依据题意可得抛物线上横坐标为x＝1与x＝2的两点关于对称轴对称，从而求出b，进而得二次函数解析式，再由自变量x的取值范围是1＜x＜2，可得n的值，最后可以求出m的范围．
【解答】解：（1）①由二次函数y＝x2+bx﹣3过点A（3，0），
∴9+3b﹣3＝0．
∴b＝﹣2．
∴二次函数为：y＝x2﹣2x﹣3．
令y＝0，
∴x2﹣2x﹣3＝0．
∴解得，x＝﹣1或x＝3．
∴B（﹣1，0）．
故答案为：﹣2；（﹣1，0）．
②由题意，令y＝x2﹣2x﹣3＝5，
∴x＝4或x＝﹣2．
又∵a＝1＞0，
∴二次函数图象开口向上．
∴当0＜y＜5时，满足题意的自变量有两部分，
∴﹣2＜x＜﹣1或3＜x＜4．
（2）由题意，∵对于一切实数x，若函数值y＞t总成立，
即x2+bx﹣3＞t恒成立．
即x2+bx﹣3﹣t＞0．
∵y＝x2+bx﹣3﹣t开口向上，
∴Δ＝b2﹣4（﹣3﹣t）＜0．
∴t＜﹣．
（3）由题意，抛物线上横坐标为x＝1与x＝2的两点关于对称轴对称，
∴对称轴x＝﹣＝．
∴b＝﹣3．
∴二次函数为y＝x2﹣3x﹣3＝（x﹣）2﹣．
∴当x＝1或x＝2时，y＝﹣5，即此时n＝﹣5．
由题意，∵m＜y＜﹣5时，自变量x的取值范围是1＜x＜2，
∴m＜﹣．
24．（12分）如图，半圆O的直径AB＝6．点C在半圆O上，连结AC，BC，过点O作OD∥AC分别交BC，于点E，D，连结AD交BC于点F．
（1）求证：点D是的中点；
（2）当△BOE与△FDE相似时，求线段OE的长．
（3）将点O绕点F顺时针旋转90°到点G．当点G在线段AC上，求线段OE的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）1.8．
【分析】（1）利用圆周角定理得到AC⊥BC，利用平行线的性质和垂径定理解答即可得出结论；
（2）利用相似三角形的性质得到∠B＝∠D，利用同圆的半径相等的性质，等腰三角形的性质和圆周角定理得到∠CAD＝DAB＝∠B＝30°，再利用含30°角的直角三角形的性质解答即可；
（3）画出图形，利用旋转的性质和全等三角形的判定与性质得到CG＝EF，CF＝OE，设OE＝CF＝x，则AC＝2x，DE＝OD﹣OE＝3﹣x，利用相似三角形的判定与性质求得EF，BE，再利用勾股定理列出方程解答即可．
【解答】（ 1 ）证明：∵AB是半圆O的直径，
∴∠C＝ 90°，
∴AC⊥BC．
∵OD∥AC，
∴OD⊥BC，
∴，
∴点D是的中点；
（ 2 ）解：当△BOE与△FDE相似时，分两种情况：
①当∠DOB＝∠D时，不符合题意，舍去．
②当∠B＝∠D时，
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠D，
∴∠OAD＝∠B，
∴，
∵，
∴，
∴∠CAD＝DAB＝∠B＝30°，
∵OD⊥BC，
∴OE＝OB＝AB＝．
即线段OE的长为；
（3）解：如图：
由（ 1 ）知，∠C＝∠OEF＝ 90°，
∴∠CFG+∠CGF＝90°．
由旋转的性质可知：∠OFG＝ 90°，OF＝GF，
∴∠CFG+∠OFE ＝ 90°，
∴∠CGF＝EFO．
在△FCG和△OEF中，
，
∴△FCG≌△OEF（AAS），
∴CG＝EF，CF＝OE．
由 ①得：OD∥AC，
∵OA＝OB，
∴OE为△BAC的中位线，
∴AC＝2OE．
设OE＝CF＝x，则AC＝2x，DE＝OD﹣OE＝3﹣x．
∵OD∥AC，
∴△FCA∽△FED，
∴，
∴．
∴EF＝．
∴BE＝CE＝CF+EF＝x+＝，
∵OE2+BE2＝OB2，
∴，
解得：x＝ 1.8或x＝﹣3（负数不合题意，舍去），
∴OE＝1.8．x
0
2
4
y
10
10
20
红
黄
红
（红，红）
（红，黄）
黄
（黄，红）
（黄，黄）
x
0
2
4
y
10
10
20