浙江省台州市2023_2024学年高二数学上学期期中试题含解析

这是一份浙江省台州市2023_2024学年高二数学上学期期中试题含解析，共19页。试卷主要包含了 直线的一个方向向量是， 圆， 已知两点到直线的距离相等，则， 有以下三条轨迹， 已知双曲线等内容，欢迎下载使用。
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据方向向量的定义即可求解.
【详解】的一个方向向量是,
故选：A
2. 在平面直角坐标系中，双曲线的渐近线方程为（）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据等轴双曲线即可求解.
【详解】的渐近线方程为，
故选：C
3. 圆：与圆：的公共弦所在直线方程为（）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】将两圆方程作差即可得相交弦方程.
【详解】由，即，半径为，
由，即，半径为，
所以，即两圆相交，
将两圆方程作差得，整理得，
所以公共弦所在直线方程为.
故选：B
4. 已知两点到直线的距离相等，则（）
A. 4B. 6C. 2D. 4或6
【答案】D
【解析】
【分析】直接根据点到直线距离公式进行求解即可.
【详解】已知点，，直线，
由于点与点到直线的距离相等，
则有，解得：或.
故选：D
5. “直线与直线相互垂直”是“”的（）
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】根据两直线垂直，求出的值，则可判断充分性和必要性.
【详解】因为直线与直线相互垂直，
所以，
所以．
当时，直线与直线相互垂直，
而当直线与直线相互垂直时，不一定成立，
所以“直线与直线相互垂直”是“”的必要而不充分条件，
故选:B．
6. 已知抛物线的焦点为F，准线为l，过C上一点A作l的垂线，垂足为B.若，则的外接圆面积为（）.
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据抛物线的定义求得，进而得到，利用勾股定理求得，进而得到，然后利用正弦定理中的外接圆直径公式，求得的外接圆半径为R，然后计算其面积.
【详解】设，由抛物线的定义可知，
所以，代入抛物线的方程中得到，
由几何关系可知，.
设的外接圆半径为R，由正弦定理可知，解得，
所以的外接圆面积为.
故选：A
7. 有以下三条轨迹：
①已知圆，圆，动圆P与圆A内切，与圆B外切，动圆圆心P的运动轨迹记为；
②已知点A，B分别是x，y轴上动点，O是坐标原点，满足，AB，AO的中点分别为M，N，MN的中点为P，点P的运动轨迹记为；
③已知，直线：，点P满足到点A的距离与到直线的距离之比为，点P的运动轨迹记为.设曲线的离心率分别是，则（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由题意求出点P的运动轨迹方程，进而求出曲线的离心率，比较它们大小即可得出答案.
【详解】对于①，因为圆，圆．
所以为，的半径，，的半径，
设动圆的半径为，
则，，
可得为定值，
所以圆心在以、为焦点的椭圆上运动，
由，得，，
所以椭圆方程为，
即动圆圆心的轨迹方程为，所以，
对于②，设，，因为，
所以，
因为AB，AO的中点分别为M，N，所以，，
MN的中点为P，所以，
所以，因为，
所以，故点P的运动轨迹记为：，
所以；
对于③，设点，由题意可得，
整理可得.
所以，点P的运动轨迹的方程为：，所以，
所以.
故选：A.
8. 已知、是椭圆的两个焦点，P是椭圆上一点，，，则椭圆的离心率的最大值为（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据椭圆定义，结合余弦定理可得，进而利用换元法，结合二次函数的性质即可求解.
【详解】设则，,
所以，
由余弦定理可得，
故，进而可得，
令，则，，
令，所以，对称轴为，
所以在单调递减，在单调递增，
故当和时，，
故的最大值为，
所以，故的最大值为，
故选：A
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 已知双曲线：的焦点在轴上，且实轴长是虚轴长的3倍，则下列说法正确的是（）
A. 双曲线的实轴长为6B. 双曲线的虚轴长为2
C. 双曲线的焦距为D. 双曲线的离心率为
【答案】AB
【解析】
【分析】由题设可得，结合已知方程得双曲线方程为，进而判断各项正误.
【详解】由题设，而，故，则，
所以双曲线方程为，实轴长为，虚轴长为，焦距为，离心率为，
故A、B对，C、D错.
故选：AB
10. 已知椭圆的左、右焦点分别是，，左、右顶点分别是，，点是椭圆上异于和的任意一点，则下列说法正确的是（）
A. B. 直线与直线的斜率之积为
C. 存在点满足D. 若的面积为，则点的横坐标为
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据椭圆的定义判断A，计算出和的斜率计算B，根据圆的直径所对圆周角为判断C，由三角形面积公式判断D.
【详解】A选项中，因为椭圆方程为，则，所以，
由椭圆的定义知，，所以，A正确；
B选项中，椭圆的左、右顶点分别是，，设，
因为点是椭圆上异于和的任意一点，所以将代入到椭圆方程得：，且，，
所以，
因为，所以，
所以，B正确；
C选项中，由椭圆方程知，，，，
若，则点在以线段为直径的圆上，
以线段为直径的圆的方程为的圆在椭圆内，
所以椭圆上不存在满足，C错误；
D选项中，，所以，
所以代入到知，，D正确.
故选：ABD
11. 设直线系M:，则下面四个命题正确的是（）
A. 存在定点P在M中的任意一条直线上
B. 圆与M中的所有直线都没有公共点
C. 对于任意整数，存在正边形，其所有边均在M中的直线上
D. M中的直线所能围成的正三角形面积都相等
【答案】BC
【解析】
【分析】由于点到直线系的距离均为，则直线系表示与圆的切线的集合，然后结合题意判断四个选项是否正确即可.
【详解】由于点到直线系的距离为，
故直线系表示与圆的切线的集合，
对于A选项，由于直线系表示圆的切线，其中存在两条切线平行，所以中所有直线经过一个定点不可能，故A选项错误；
对于B选项，由于直线系表示圆的切线，而圆内含于圆中，得中的所有直线均与圆无公共点，故B选项正确；
对于C选项，由于圆所有外切正多边形的边都是圆的切线，所以对于任意正数，存在正边形，其所有边均在中的直线上，故C选项正确；
对于D选项，正的三边所在的直线均与圆相切，可以分为切点全在边上或者一个切点在边上，两个切点在边的延长线上两种情况，三角形面积不相等，故D选项错误.
故选：BC
12. 三支不同的曲线交抛物线于点，为抛物线的焦点，记的面积为，下列说法正确的是（）
A. 为定值B.
C. 若，则D. 若，则
【答案】AD
【解析】
【分析】设直线与抛物线的交于点，则与关于轴对称，设，则，联立，利用韦达定理求得，进而可求得，结合焦半径公式即可判断A；判断是否为定值即可判断B；求出，即可判断CD.
【详解】如图，设直线与抛物线的交于点，则与关于轴对称，
设，则，
联立，消得，
则，
又，
则，
则，
对于A，，
，故A正确；
对于B，，
因为不是定值，所以不是定值，故B错误；
对于C，设直线的倾斜角为，则，
则，
所以
，
又因，所以，所以，故C错误；
对于D，因为，所以，所以，故D正确.
故选：AD.
【点睛】方法点睛：解决直线和抛物线的位置关系类问题时，一般方法是设出直线方程并联立抛物线方程，得到根与系数的关系式，要结合题中条件进行化简，但要注意的是计算量一般都较大而复杂，要十分细心.
三、填空题：本题共4小题，每题5分，共20分.
13. 已知直线的方程为，则倾斜角为_______，在轴上的截距为________.
【答案】 ①. ②. 4
【解析】
【分析】根据给定的直线方程，求出直线的斜率，进而求出倾斜角，再求出直线与y轴交点的纵坐标即得.
【详解】直线的方程为的斜率，令其倾斜角为，则，于是；
当时，，所以直线在轴上的截距为4.
故答案为：；4
14. 准线方程为的抛物线的标准方程为__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据准线方程确定抛物线开口方向并求出值，进而求其标准方程
【详解】已知抛物线的准线方程为，
得该抛物线开口向右，且，得，
故抛物线的方程为：.
故答案为：
15. 过点的直线与椭圆交于两点，则的最大值是_________.
【答案】
【解析】
【分析】由题意可知即为椭圆与直线的交点，设，利用两点间的距离公式以及二次函数性即可求出的最大值是.
【详解】根据题意可知，显然在椭圆上，不妨取，则，
设，由不重合可知，且，即
所以，
根据二次函数性质可知，当时，取最大值为，
即可得的最大值是.
故答案为：
16. 已知分别为双曲线的左右焦点，过的直线与双曲线的右支交于A、B两点，记的内切圆的半径为，的内切圆的半径为，，则双曲线的离心率的取值范围为_________.
【答案】
【解析】
【分析】设圆切、、分别于点、、，推导出，可得出，可得出关于、的不等式，即可求得该双曲线离心率的取值范围.
【详解】设、的内切圆圆心分别为、，
设圆切、、分别于点、、，
过的直线与双曲线的右支交于A、两点，
由切线长定理可得，，，
所以，
，
则，所以点的横坐标为.
故点的横坐标也为，同理可知点的横坐标为，故轴，
故圆和圆均与轴相切于，圆和圆两圆外切.
在中，，
即，
，，所以，，
所以，，则，
所以，
即，
由题意可得：，可得，即，
所以.
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 已知直线经过点，.
（1）求直线的一般式方程；
（2）若点，求点C关于直线的对称点的坐标.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先求出直线l的斜率，从而利用点斜式求出直线l的方程，化为一般式；
（2）设出对称点，根据中点坐标和斜率关系得到方程组，求出，得到对称点.
【小问1详解】
直线l的斜率为，
所以直线l方程为，即；
【小问2详解】
设点C关于直线的对称点坐标为,
显然的中点坐标满足，
即，
又直线与直线l垂直，故，
联立与，解得，
所以点C关于直线的对称点的坐标为.
18. 已知直线，圆，圆.
（1）求直线被圆截得的弦AB的长；
（2）判断圆和圆的位置关系，并给出证明.
【答案】（1）
（2）内切，证明见详解
【解析】
【分析】（1）化简圆为标准方程，求出到直线的距离，则，代入求解即可得出答案；
（2）化简圆为标准方程，求两圆圆心距与，比较，即可得出答案.
小问1详解】
因为圆，
所以，则圆的圆心为，，
则到直线的距离为：
，
所以
【小问2详解】
因为，则，
则圆的圆心为，，
，
所以两圆内切.
19. 已知圆经过，，.
（1）求圆的方程；
（2）若直线与圆相切，且与轴正半轴交于点，交轴正半轴于点.求的值.
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）设圆的标准方程，根据点在圆上列方程组求参数，即得圆的方程；
（2）设直线，根据直线与圆相切及点线距离公式列方程整理，即可求值.
【小问1详解】
令圆，则，可得，
所以.
【小问2详解】
由题意，设直线，即，而且半径为2，
直线与圆相切，则，则，
所以，化简得.
20. 已知动点到定点的距离比到直线的距离小1.
（1）求动点的轨迹的方程；
（2）取上一点，任作弦，满足,则直线AB是否经过一个定点？若经过定点，求出该点坐标，否则说明理由.
【答案】（1）
（2）定点为
【解析】
【分析】（1）根据抛物线的定义求解动点的轨迹方程；
（2）首先将点代入抛物线中求得参数的值，然后假设，，利用已知条件，得到，最后代入直线方程中即可得到恒过定点.
【小问1详解】
已知动点到定点的距离比到直线的距离小，
可得动点到定点的距离与到直线的距离相等，
由抛物线的定义易知轨迹的方程为.
【小问2详解】
将代入中，可得：，
，故得：，即得：；
如图，设，，由于，
整理可得：.
，
则根据点斜式方程可得：，
整理得：
由直线的方程，
可知直线恒过定点
21. 已知椭圆的离心率为，椭圆上的点到左焦点的距离的最大值为.
（1）求椭圆的方程；
（2）求椭圆的外切矩形（即矩形的四边所在直线均与椭圆相切）的面积的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意求出，进而可求出结果；
（2）当矩形的一组对边斜率不存在时，可求出矩形的面积；当矩形四边斜率都存在时，不防设所在直线斜率为，则斜率为，设出直线的方程为，联立直线与椭圆方程，结合韦达定理以及弦长公式等，即可求解.
【小问1详解】
因为，，解得，
所以，
所以椭圆方程为；
【小问2详解】
当矩形一组对边斜率不存在时，矩形的边长分别为4和2，
则矩形的面积为8，
当矩形的四边斜率都存在时，不妨设的斜率为，
则的斜率为，
设直线AB方程为，联立，
得，由，可得，
显然直线CD的方程为，则直线之间的距离为，
同理可得：之间的距离为，
所以矩形的面积为，
取等条件：，
当AB斜率存在时，.
综上所述，面积S的取值范围是.