浙江省绍兴市2023_2024学年高二数学上学期期中试卷含解析

这是一份浙江省绍兴市2023_2024学年高二数学上学期期中试卷含解析，共18页。试卷主要包含了 已知直线，则该直线的倾斜角是， 圆与圆的位置关系为， 过两点的直线方程为， “”是“直线与圆相交”的， 已知双曲线的焦点与椭圆， 关于曲线C等内容，欢迎下载使用。
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用斜率与倾斜角的关系计算即可.
【详解】设该直线倾斜角为，由题意可知，故.
故选：A
2. 圆与圆的位置关系为（）
A. 内切B. 相交C. 外切D. 外离
【答案】B
【解析】
【分析】根据圆与圆的位置关系判断即可.
【详解】圆的圆心，半径，圆的圆心，半径
所以，则，故两圆相交.
故选：B.
3. 过两点的直线方程为（）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据两点式方程直接求解即可.
【详解】解：∵直线过两点和，
∴直线的两点式方程为＝，整理得.
故选：C.
4. 平面的一个法向量，点在内，则点到平面的距离为（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由点到平面距离的向量法计算．
【详解】，
所以点到平面的距离为．
故选：C．
5. “”是“直线与圆相交”的（）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】先求出直线与圆相交的充要条件，结合四种条件的定义可得答案.
详解】直线与圆相交，
显然，推不出，而可推出，故是必要不充分条件.
故选：B.
6. 已知双曲线的焦点与椭圆：的上、下顶点相同，且经过的焦点，则的方程为（）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】设双曲线方程为，由题意算出即可.
【详解】椭圆：，上、下顶点分别为，，上、下焦点分别为，.
因为双曲线的焦点与的上、下顶点相同，且经过的焦点，
设双曲线方程为，则有，，，
所以双曲线的方程为.
故选：C
7. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，离心率为，P为双曲线右支上一点，且满足，则的周长为（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用双曲线的离心率列方程，由此求得，结合双曲线的定义求得，由此求得的周长.
【详解】由题意可得，，
即有，
可得，，
P为双曲线右支上一点，
可得，
又，
可得，
则的周长为，
故选：C
【点睛】本小题主要考查双曲线的离心率和定义，属于基础题.
8. 已知椭圆的左､右焦点分别为，，过点的直线与椭圆交于，两点，若为正三角形，则该椭圆的离心率为（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据是正三角形，此时轴，结合椭圆定义，求得三边长，再由，求得a，b间的关系，从而求得离心率.
【详解】因为是正三角形，所以，轴.
设，则，，故，解得，
从而.将代入椭圆方程可得，
因此，得，故椭圆离心率，
故选：D.
二、选择题:本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 已知直线，直线，则下列结论正确的是（）
A. 在轴上的截距为B. 过定点
C. 若，则或D. 若，则
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据直线截距的定义可判定A，由直线方程可求定点判定B，利用两直线的位置关系可判定C、D.
【详解】由易知，故A正确；
由，故B正确；
若两直线平行，则有且，解得，故C错误；
若两直线垂直，则有，故D正确.
故选：ABD
10. 关于曲线C：，下列说法正确的是（）
A. 若曲线C表示圆，则
B. 若，曲线C表示两条直线
C. 若，过点与曲线C相切的直线有两条
D. 若，则直线被曲线C截得弦长等于
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据圆的一般方程的特点，结合圆的性质和圆的弦长公式逐一判断即可.
【详解】A：，
所以当曲线C表示圆时，有，所以本选项说法正确；
B：当时，由A可知：且，
所以当时，曲线C表示点，因此本选项说法不正确；
C：当时，由A可知：，
因为，所以点在圆外面，所以过点与曲线C相切的直线有两条，因此本选项说法正确；
D：当时，由A可知：，
圆心到直线距离为：，
所以弦长为：，因此本选项说法正确，
故选：ACD
11. 设椭圆:的左、右焦点分别为，，是椭圆上的动点，则下列结论中正确的有（）
A. 离心率B.
C. 面积的最大值为D. 直线与以线段为直径的圆相切
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据椭圆的定义、性质及直线与圆的位置关系一一判定选项即可.
【详解】由椭圆方程可知椭圆离心率为，故A错误；
由椭圆定义可知，故B正确；
当P在上下顶点时的面积可取得最大值为，故C正确；
以为直径的圆的圆心为原点，半径为，
而圆心到直线的距离，即与直线相切，故D正确.
故选：BCD
12. 矩形ABCD中，，，沿对角线AC将矩形折成一个大小为的二面角，若，则下列结论正确的有（）
A. 四面体ABCD的体积为
B. 点B与D之间的距离为
C. 异面直线AC与BD所成角为45°
D. 直线AD与平面ABC所成角的正弦值为
【答案】ACD
【解析】
【分析】分别作，垂足为E，F，利用向量法求出，可判断B，由题可得平面，然后利用棱锥的体积公式可得可判断A，利用向量法求出判断C，根据等积法结合条件可得直线AD与平面ABC所成角的正弦值判断D.
【详解】分别作，垂足为E，F，则，
由已知可得，，
因为，
所以
，
所以，故B错误；
因为，，
所以，即，
同理，
又，平面，
则平面，
所以四面体ABCD的体积为，故A正确；
由题可得，，，
则
，
则，得，
所以异面直线与所成的角为，故C正确；
设点到平面为，则，
所以，
所以，
设直线AD与平面ABC所成角为，则，故D正确.
故选：ACD．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知，是椭圆：的两个焦点，点在上，则的最大值为________．
【答案】9
【解析】
【分析】根据椭圆的定义可得，结合基本不等式即可求得的最大值.
【详解】∵在椭圆上
∴
∴根据基本不等式可得，即，当且仅当时取等号.
故答案为：9.
14. 在平面直角坐标系内，点关于直线对称的点的坐标为___________.
【答案】
【解析】
【分析】设对称点为，根据直线，又中点在直线上，列方程求解，即可得点的坐标.
【详解】解：设对称点为，则可得，又直线的斜率为
所以，即①
又中点在直线上，所以，即②
联立①②解得：，所以点的坐标为.
故答案为：.
15. 已知，，，若，，，四点共面，则______．
【答案】5
【解析】
【分析】根据，，，四点共面，由求解.
【详解】解：因为，，，且，，，四点共面，
所以，则，解得，
故答案为：5
16. 若对于一个实常数，恰有三组实数对满足关系式，则______.
【答案】
【解析】
【分析】根据点到直线的距离和代数式的几何意义求解即可.
【详解】由，
若，则需与矛盾，所以，
由，得点到直线的距离为，
由，得点在圆上，
根据题意恰有三组实数对满足关系式，
等价于圆上恰有三个点满足到直线的距离为，
圆心到直线的距离为，
则需圆的半径，
过作直线于，交圆于，
则，
则要使圆上恰有三个点满足到直线的距离为，
有.
故答案为：
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 已知直线的方程为，若直线在轴上的截距为，且.
（1）求直线和直线的交点坐标；
（2）已知不过原点的直线经过直线与直线的交点，且在轴上截距是在轴上的截距的倍，求直线的方程.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用直线的位置关系及点斜式先求得，联立方程计算交点即可；
（2）利用截距式计算即可.
【小问1详解】
设直线和直线的斜率分别为，由题意知，
∵，∴．
又因为直线在轴上的截距为，所以直线过点.
所以直线的方程为，即:.
联立，得，即交点为.
【小问2详解】
因直线不过原点，设其在轴上的截距为，方程为，
因为过，所以，解得，
所以直线的方程.
18. 已知空间向量，.
（1）若与共线，求实数的值；
（2）若与所成角是锐角，求实数的范围．
【答案】（1）
（2）{且}．
【解析】
【分析】（1）利用空间向量共线的坐标表示计算即可；
（2）利用空间向量夹角的坐标表示计算即可.
【小问1详解】
由已知可得，．
因为与共线，所以，解得．
【小问2详解】
由(1)知，．
所以，∴．
又当时，与共线，
所以实数的范围为{且}．
19. 在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为，动点P满足
（1）求动点P的轨迹C的方程
（2）若直线l过点且与轨迹C相切，求直线l的方程.
【答案】（1）；
（2）或.
【解析】
【分析】（1）设，根据动点满足，再用两点间距离公式列式化简作答.
（2）讨论直线的斜率，设出直线l的方程，由圆心到直线的距离等于圆的半径求解作答.
【小问1详解】
设，由，得，
化简得，
所以P点的轨迹的方程为.
【小问2详解】
由（1）知，轨迹：表示圆心为，半径为2的圆，
当直线l的斜率不存在时，方程为，圆心到直线l的距离为2，与相切；
当直线l的斜率存在时，设，即，
于是，解得，因此直线的方程为，即，
所以直线l的方程为或.
20. 如下图，在四棱锥中，平面平面，平面平面，又.
（1）求点到平面的距离；
（2）设，，，平面与平面夹角的余弦值为，求BC的长．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据面面垂直的性质判定线面垂直即证平面即可；
（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量计算面面角即可.
【小问1详解】
如图，在平面中取一点E，并过点E分别作直线，，
因为平面平面，平面平面，
平面，所以平面，
又平面，
所以．
同理因为平面平面，平面平面，
平面，所以平面，
又平面，
所以，
又，平面，
所以平面，即点P到平面的距离为.
【小问2详解】
如图所示，以A点为原点，分别以分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系．
设，则，
∴，，，．
设平面的法向量为，
则，令，得．
同理，设平面的法向量为，有，
令，即．
由题意知，解得，
所以的长为．
21. 已知双曲线：：(，)与有相同的渐近线，且经过点.
（1）求双曲线的方程；
（2）已知直线与双曲线交于不同的两点､，且线段的中点在圆上，求实数的值.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
分析】
（1）根据共渐近线设双曲线的方程，然后代入点计算；（2）联立直线与双曲线的方程，得关于的一元二次方程，写出韦达定理，然后表示出的中点坐标，代入圆的方程计算.
【详解】（1）由题意，设双曲线的方程为，又因为双曲线过点，，所以双曲线的方程为：
（2）由得
设，则，，所以
则中点坐标为，代入圆
得，所以.
22. 已知椭圆的离心率为，、分别为椭圆的左、右顶点，、分别为椭圆的左、右焦点，．
（1）求椭圆方程；
（2）设与轴不垂直的直线交椭圆于、两点（、在轴的两侧），记直线，，，的斜率分别为，，，．
（i）求的值；
（ii）若，求面积的取值范围．
【答案】22.
23. （i）；（ii）
【解析】
【分析】（1）结合离心率与焦点到顶点的距离计算即可得；
（2）（i）设出直线，联立后消去得与有关的韦达定理后求解即可得；
（ii）借助（i）中的结论，将面积用未知数表达后结合换元法借助函数性质求最最值即可得.
【小问1详解】
由于椭圆的离心率为，故，
又，所以，，，
所以椭圆的方程为.
【小问2详解】
（i）设与轴交点为，由于直线交椭圆Ｃ于、两点（、在轴的两侧），
故直线的的斜率不为，直线的方程为，
联立，则，
则，
设，，则，，
又，，
故，
同理．
（ii）因为，则，．
又直线交与轴不垂直可得，所以，即．
所以，，
于是，
，
整理得，解得或，
因为、在轴的两侧，所以，，
又时，直线与椭圆有两个不同交点，
因此，直线恒过点，
此时，，
，
设，由直线交与轴不垂直可得，
故，
因为在上为减函数，
所以面积的取值范围为.
【点睛】本题关键在面积的表示及运算，结合换元法解决最后分式不等式的范围问题.