第26讲 圆的相关概念及性质（2考点+36题型）（讲义）-2024年中考数学一轮复习讲义（全国通用）

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2、学会运用数形结合思想。数形结合思想是指从几何直观的角度,利用几何图形的性质研究数量关系，寻求代数问题的解决方法（以形助数）。
3、要学会抢得分点。要将整道题目解题思路转化为得分点。
4、学会运用等价转换思想。将抽象的问题转化为具体的问题，将实际问题转化为数学问题。
5、学会运用分类讨论的思想。如果不注意对各种情况分类讨论，就有可能造成错解或漏解，纵观近几年的中考压轴题分类讨论思想解题已成为新的热点。
6、转化思想：体现在数学上也就是要把难转简，把不熟转熟，把未知转为已知的问题。
第26讲 圆的相关概念及性质
目 录
TOC \ "1-3" \n \h \z \u \l "_Tc157234086" \l "_Tc157028086" 一、考情分析
二、知识建构
\l "_Tc157234087" 考点一 圆的相关概念
\l "_Tc157234088" 题型01 理解圆的相关概念
\l "_Tc157234089" 题型02 圆的周长与面积相关计算
\l "_Tc157234090" 题型03 圆中的角度计算
\l "_Tc157234091" 题型04 圆中线段长度的计算
\l "_Tc157234092" 题型05 求一点到圆上一点的距离最值
\l "_Tc157234093" 考点二 圆的性质
\l "_Tc157234094" 题型01 由垂径定理及推论判断正误
\l "_Tc157234095" 题型02 利用垂径定理求解
\l "_Tc157234096" 题型03 根据垂径定理与全等三角形综合求解
\l "_Tc157234097" 题型04 根据垂径定理与相似三角形综合求解
\l "_Tc157234098" 题型05 在坐标系中利用勾股定理求值或坐标
\l "_Tc157234099" 题型06 利用垂径定理求平行弦问题
\l "_Tc157234100" 题型07 利用垂径定理求同心圆问题
\l "_Tc157234101" 题型08 垂径定理在格点中的应用
\l "_Tc157234102" 题型09 利用垂径定理的推论求解
\l "_Tc157234103" 题型10 垂径定理的实际应用
\l "_Tc157234104" 题型11 利用垂径定理求取值范围
\l "_Tc157234105" 题型12 利用弧、弦、圆心角关系判断正误
\l "_Tc157234106" 题型13 利用弧、弦、圆心角关系求角度
\l "_Tc157234107" 题型14 利用弧、弦、圆心角关系求线段长
\l "_Tc157234108" 题型15 利用弧、弦、圆心角关系求周长
\l "_Tc157234109" 题型16 利用弧、弦、圆心角关系求面积
\l "_Tc157234110" 题型17 利用弧、弦、圆心角关系求弧的度数
\l "_Tc157234111" 题型18 利用弧、弦、圆心角关系比较大小
\l "_Tc157234112" 题型19 利用弧、弦、圆心角关系求最值
\l "_Tc157234113" 题型20 利用弧、弦、圆心角关系证明
\l "_Tc157234114" 题型21 利用圆周角定理求解
\l "_Tc157234115" 题型22 利用圆周角定理推论求解
\l "_Tc157234116" 题型23 已知圆内接四边形求角度
\l "_Tc157234117" 题型24 利用圆的有关性质求值
\l "_Tc157234118" 题型25 利用圆的有关性质证明
\l "_Tc157234119" 题型26 利用圆的有关性质解决翻折问题
\l "_Tc157234120" 题型27 利用圆的有关性质解决最值问题
\l "_Tc157234121" 题型28 利用圆的有关性质求取值范围
\l "_Tc157234122" 题型29 利用圆的有关性质解决多结论问题
\l "_Tc157234123" 题型30 圆有关的常见辅助线-遇到弦时, 常添加弦心距
\l "_Tc157234124" 题型31 圆有关的常见辅助线-遇到有直径时, 常添加（画）直径所对的圆周角
考点一 圆的相关概念
题型01 理解圆的相关概念
【例1】（2023·广东湛江·统考二模）下列说法中，正确的是（ ）
①对角线垂直且互相平分的四边形是菱形；②对角线相等的四边形是矩形；③同弧或等弧所对的圆周角相等；④弧分为优弧和劣弧．
A．①B．①③C．①③④D．②③④
【答案】A
【分析】根据菱形和矩形的判定方法、圆周角定理、弧的分类，逐项判断即可得出答案．
【详解】解：①对角线互相平分的四边形是平行四边形，对角线互相垂直的平行四边形为菱形，故该项正确；
②对角线相等的四边形有可能是等腰梯形，对角线相等的平行四边形才是矩形，故该选项错误；
③在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，故该选项错误；
④弧分为优弧、劣弧、半圆弧，故该项错误；
综上可知，正确的有①，
故选：A．
【点睛】本题考查菱形、矩形的判定，圆周角定理，弧的分类，属于基础题，熟练掌握上述知识点是解题的关键．
【变式1-1】（2023·上海普陀·统考二模）下列关于圆的说法中，正确的是（ ）
A．过三点可以作一个圆B．相等的圆心角所对的弧相等
C．平分弦的直径垂直于弦D．圆的直径所在的直线是它的对称轴
【答案】D
【分析】利用圆的有关定义及性质分别判断后即可确定正确的选项．
【详解】解：A、过不在同一直线上的三个点一定能作一个圆，故错误，不符合题意；
B、同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故错误，不符合题意；
C、平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，故错误，不符合题意；
D、圆的直径所在的直线是它的对称轴，正确，符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了确定圆的条件及圆的有关性质，解题的关键是了解有关性质及定义，难度不大．
【变式1-2】（2021·河南南阳·校联考一模）下列关于圆的说法，正确的是（ ）
A．弦是直径，直径也是弦
B．半圆是圆中最长的弧
C．圆的每一条直径所在的直线都是它的对称轴
D．过三点可以作一个圆
【答案】C
【分析】根据弧、弦的概念、对称轴的概念、过三点的圆的条件判断即可．
【详解】解：A、弦不一定是直径，但直径是弦，本选项说法错误，不符合题意；
B、半圆小于优弧，半圆是圆中最长的弧说法错误，本选项不符合题意；
C、圆的每一条直径所在的直线都是它的对称轴，本选项说法正确，符合题意；
D、过不在同一直线上的三点可以作一个圆，本选项说法错误，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了圆的有关概念和性质，解题关键是熟练掌握这些性质，灵活运用它们解答．
【变式1-3】（2022·四川德阳·模拟预测）下列语句中，正确的是（ ）
①相等的圆周角所对的弧相等；②同弧或等弧所对的圆周角相等；③平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧；④圆内接平行四边形一定是矩形．
A．①②B．②③C．②④D．④
【答案】C
【分析】根据圆周角定理、垂径定理、圆内接四边形的性质定理判断．
【详解】①在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等，本说法错误；
②同弧或等弧所对的圆周角相等，本说法正确；
③平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧，本说法错误；
④圆内接平行四边形一定是矩形，本说法正确；
故选：C．
【点睛】本题考查的是命题的真假判断，掌握圆周角定理、垂径定理、圆内接四边形的性质定理是解题的关键．
题型02 圆的周长与面积相关计算
【例2】（2023·福建泉州·南安市实验中学校考二模）适时的休闲可以缓解学习压力，如图是火影忍者中的仙法·白激之术，其形状外围大致为正圆，整体可看成为两个同心圆，BC=400像素，∠ABC=90°，那么周围圆环面积约为（ ）

A．40000πB．1600πC．64000πD．160000π
【答案】D
【分析】圆环的面积等于大圆面积减去小圆面积，由此即可求解．
【详解】解：如图所示，设同心圆的圆心为O，连接OC，则大圆的半径为OC，小圆的半径为OB，

∴设小圆的半径为OB=r，大圆的半径OC=R，
∵BC=400像素，∠ABC=90°，
∴AB⊥BC，
在Rt△OBC中，OB2+BC2=OC2，即r2+BC2=R2，
∴R2−r2=BC2=4002，
∵S圆环=πR2−πr2=π(R2−r2)，
∴S圆环=π(R2−r2)=π×BC2=π×4002=160000π，
故选：D．
【点睛】本题主要考查圆与直角三角形的综合，掌握圆环面积的计算方法是解题的关键．
【变式2-1】（2019·广东佛山·佛山市三水区三水中学校考一模）某公园计划砌一个形状如图（1）所示的喷水池，后来有人建议改为图（2）的形状，且外圆的直径不变，喷水池边沿的宽度、高度不变，你认为砌喷水池的边沿（ ）
A．图（1）需要的材料多B．图（2）需要的材料多
C．图（1）、图（2）需要的材料一样多D．无法确定
【答案】C
【分析】根据圆的周长公式，将每个圆的周长计算出来，找到和周长L的关系即可．
【详解】设大圆的直径是D，图（2）中三个小圆的直径分别为：d1,d2,d3,
∴d1+d2+d3=D
根据圆周长公式，得图（1）中，需要2πD；
图（2）中，需要πD +πd1+πd2+πd3=πD +π( d1+d2+d3)= 2πD
故选：C．
【点睛】注意：第二个图中，计算三个小圆的周长时候，提取π，所有的直径之和是大圆的直径．
【变式2-2】（2021·河南南阳·校联考一模）方孔钱是我国古代铜钱的固定形式，呈“外圆内方”．如图所示，是方孔钱的示意图，已知“外圆”的周长为2π，“内方”的周长为4，则图中阴影部分的面积是 ．
【答案】π﹣1
【分析】根据阴影部分面积＝圆的面积﹣中间正方形的面积即可求得．
【详解】解：∵“外圆”的周长为2π，“内方”的周长为4，
∴“外圆”的的半径为1，“内方”的边长为1，
∴圆的面积为π，中间正方形的面积为1，
∴图中阴影部分面积为：π﹣1．
故答案为：π﹣1．
【点睛】本题考查了圆的面积，明确阴影部分面积的组成是解决本题的关键．
【变式2-3】（2022·山东济宁·统考一模）如图，一枚圆形古钱币的中间是一个正方形孔，已知圆的直径与正方形的对角线之比为3∶1，则圆的面积约为正方形面积的 倍．（精确到个位）
【答案】14
【分析】根据圆的性质和正方形的性质求圆的半径和正方形的边长，利用面积公式求解即可.
【详解】解：如图
由题意得AC与EF共线
∵圆的直径与正方形的对角线之比为3：1
∴EF：AC=3：1
∴OE：OA=3：1
设OE=3x，OA= x
在正方形ABCD中
由勾股定理得：AD=2x
∴圆的面积为：π×（3x）2=9πx2
正方形的面积为（2x）2=2 x2
∴9πx2÷2 x2=9π2≈14
故答案为：14
【点睛】本题主要考查了圆的性质和正方形的性质，以及圆与正方形的面积公式的求解.
【变式2-4】（2021·四川内江·四川省内江市第六中学校考一模）把一个圆心为O，半径为r的小圆面积增加一倍，两倍，三倍，分别得到如图所示的四个圆（包括原来的小圆），则这四个圆的周长之比（按从小到大顺序排列）是 ．
【答案】1：2：3：2
【分析】设最小的圆的面积是a，则其它三个圆的面积分别是2a，3a，4a．由题意得四个圆是相似形，根据面积比可求得其相似比，根据周长比等于相似比即可得到答案．
【详解】解：设最小的圆的面积是a，则其它三个圆的面积分别是2a，3a，4a，
所有的圆都是相似形，面积的比等于半径的比的平方，
因而半径的比是1:2:3:2，周长的比等于相似比，即半径的比，是1:2:3:2．
故答案为：1:2:3:2．
【点睛】本题主要考查了圆相似形时，解题的关键是：掌握面积的比等于相似比的平方，周长的比等于相似比．
题型03 圆中的角度计算
【例3】（2022·江苏常州·统考一模）如图，已知AB、AD是⊙O的弦，∠B=30°，点C在弦AB上，连接CO并延长CO交于⊙O于点D，∠D=20°，则∠BAD的度数是（ ）
A．30°B．40°C．50°D．60°
【答案】C
【分析】连接OA，根据圆的半径相等证明∠OAB=∠B和∠OAD=∠D，得到答案．
【详解】解：连接OA，
∵OA=OB， ∴∠OAB=∠B=30°，
∵OA=OD， ∴∠OAD=∠D=20°，
∴∠BAD=∠OAB+∠OAD=50°，
故选：C．
【点睛】本题考查的是圆的性质和等腰三角形的性质，掌握圆的半径相等和等边对等角是解题的关键．
【变式3-1】（2023·山东聊城·统考一模）如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB，垂足为C，OD∥AB，OC＝12OD，则∠ABD的度数为（ ）
A．90°B．95°C．100°D．105°
【答案】D
【分析】连接OB，即得出OB＝OD，从而得出∠OBD＝∠ODB．根据含30度角的直角三角形的性质结合题意可判断∠OBC＝30°，再利用平行线的性质可得出∠BOD＝∠OBC＝30°，从而根据三角形内角和求出∠OBD＝∠ODB＝75°，最后由∠ABD＝∠OBC+∠OBD求解即可．
【详解】如图：连接OB，
∴OB＝OD，
∴∠OBD＝∠ODB．
∵OC＝12OD，
∴OC＝12OB．
∵OC⊥AB，
∴sin∠OBC=OCOB=12,
∴∠OBC＝30°．
∵OD∥AB，
∴∠BOD＝∠OBC＝30°，
∴∠OBD＝∠ODB＝75°，
∴∠ABD＝∠OBC+∠OBD=30°+75°＝105°．
故选D．
【点睛】本题考查圆的基本性质，等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，平行线的性质，三角形内角和定理的应用．连接常用的辅助线是解题关键．
【变式3-2】（2022·河北廊坊·统考模拟预测）如图，CD是⊙O的直径，弦DE ∥AO，若∠A=25°，则∠D的度数为（ ）
A．30°B．40°C．50°D．60°
【答案】C
【分析】由OA=OC，得∠C=∠A=25°，再由三角形外角性质得∠AOD=50°，然后根据平行线的性质可求解．
【详解】解：∵CD是⊙O的直径，
∴OA=OC，
∴∠C=∠A=25°，
∴∠AOD=∠C+∠A=50°，
∵OA∥DE，
∴∠D=∠AOD=50°，
故选：C．
【点睛】本题考查圆的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，平行线的性质，本题属基础题目，难度不大．
【变式3-3】（2022·江苏苏州·苏州市振华中学校校考模拟预测）如图，在扇形AOB中，D为AB上的点，连接AD并延长与OB的延长线交于点C，若CD=OA，∠O=75°，则∠A的度数为（ ）
A．35°B．52.5°C．70°D．72°
【答案】C
【分析】连接OD，根据CD=OA，OA=OD，设∠C=α，根据等边对等角以及三角形外角的性质可得 ∠A=3α，根据三角形内角和定理即可求得
【详解】解：如图，连接OD，
∴OA=OD
∴∠A=∠ODA
∵ CD=OA
∴∠C=∠DOC
设∠C=α，
∴∠A=∠ODA=∠DOC+∠C=2α
在△AOC中，∠O=75°
∴∠A+∠C=105°
∴3α=105°
∴α=35°
∴∠A=2α=70°
故选C
【点睛】本题考查了圆的基本概念，等角对等边，三角形内角和定理，掌握以上知识是解题的关键．
题型04 圆中线段长度的计算
【例4】（2023·湖南益阳·统考二模）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D在斜边AB上，以BD为直径的⊙O经过边AC上的点E，连接BE，且BE平分∠ABC，若⊙O的半径为3，AD=2，则线段BC的长为（ ）

A．403B．8C．245D．6
【答案】C
【分析】连接OE，证明OE∥BC，利用相似三角形的性质即可求解．
【详解】解：连接OE，如图，
∵BE平分∠ABC，
∴∠OBE=∠CBE，
∵OB=OE，
∴∠OBE=∠OEB，
∴∠CBE=∠OEB，
∴OE∥BC，
∴△AOE∽△ABC，
∴OEBC=AOAB，
∵⊙O的半径为3，AD=2，
∴AO=AD+OD=5，AB=AO+OB=8，
∴BC=OE⋅ABAO=3×85=245，
故选：C．

【点睛】本题考查了圆的基本性质，相似三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质是解题的关键．
【变式4-1】（2023·云南临沧·统考一模）已知AB=12，C、D是以AB为直径的⊙O上的任意两点，连接CD，且AB⊥CD，垂足为M，∠OCD=30°，则线段MB的长为 ．
【答案】9
【分析】根据含30度角的直角三角形的性质得到OM=12OC=3，则MB=OM+OB=9．
【详解】解：如图，
∵AB⊥CD，∠OCD=30°，
∴OM=12OC，
∵AB=12，
∴OC=OB=6，
∴OM=3，
∴MB=OM+OB=9，
故答案为：9．
【点睛】本题主要考查了圆的基本性质，含 30度角的直角三角形的性质，正确求出OM=12OC=3是解题的关键．
【变式4-2】（2023·广东·统考一模）已知A、B是圆O上的点，以O为圆心作弧，交OA、OB于点C、D．分别以点C和点D为圆心，大于12CD长为半径画弧，两弧相交于点E．作线段OE，交AB于点F，交⊙O于点G．若OF=3cm，∠AOB=120°，则⊙O的半径为 cm．
【答案】6
【分析】连接CD，根据作图得出OE垂直平分CD，根据等腰三角形的性质得出∠AOE=∠BOE=12∠AOB=60°，OF⊥AB，利用直角三角形的性质，求出OA=2OF=2×3=6cm即可．
【详解】解：连接CD，
根据作图可知，OC=OD，OE垂直平分CD，
∵OC=OD，OE⊥CD，
∴∠AOE=∠BOE=12∠AOB=60°，
即∠AOF=∠BOF=12∠AOB=60°，
∵AO=BO，
∴OF⊥AB，
∴∠AFO=90°，
∴∠OAF=30°，
∴OA=2OF=2×3=6cm．
故答案为：6．
【点睛】本题主要考查了尺规作线段垂直平分线，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握直角三角形中，30度角所对的直角边等于斜边的一半．
题型05 求一点到圆上一点的距离最值
【例5】（2023·山东德州·统考三模）如图，四边形ABCD为矩形，AB=3，BC=4．点P是线段BC上一动点，点M为线段AP上一点．∠ADM=∠BAP，则BM的最小值为（ ）
A．52B．125C．13−32D．13−2
【答案】D
【分析】证明∠AMD=90°，得出点M在O点为圆心，以AO为半径的圆上，从而计算出答案．
【详解】设AD的中点为O，以O点为圆心，AO为半径画圆
∵四边形ABCD为矩形
∴∠BAP+∠MAD=90°
∵∠ADM=∠BAP
∴∠MAD+∠ADM=90°
∴∠AMD=90°
∴点M在O点为圆心，以AO为半径的圆上
连接OB交圆O与点N
∵点B为圆O外一点
∴当直线BM过圆心O时，BM最短
∵BO2=AB2+AO2，AO=12AD=2
∴BO2=9+4=13
∴BO=13
∵BN=BO−AO=13−2
故选：D．
【点睛】本题考查直角三角形、圆的性质，解题的关键是熟练掌握直角三角形和圆的相关知识．
【变式5-1】（2021·山东临沂·统考模拟预测）如图，在RtΔABC中，∠ACB=90°，AC=10，BC=12，点D是ΔABC内的一点，连接AD，CD，BD，满足∠ADC=90°，则BD的最小值是（ ）
A．5B．6C．8D．13
【答案】C
【分析】如图，取AC中点O，连接DO．则点D在以点O为圆心，AC长为直径的圆周上运动，当O、D、B在同一直线上时，OB最短，此时BD=OB−OD=OB−5为最短．所以BD=OB−OD=OB−5=13−5=8，即为BD的最小值．
【详解】解：如图，取AC中点O，连接DO．
∵∠ADC=90°，
∴点D在以点O为圆心，AC长为直径的圆周上运动，且DO=12AC=12×10=5，
当O、D、B在同一直线上时，OB最短，此时BD=OB−OD=OB−5为最短．
在RtΔOCB中，
OC=5，BC=12，
则OB=122+52=13，
∴BD=OB−OD=OB−5=13−5=8，
即BD的最小值是8．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了两点之间最短距离的问题，解题的关键是正确构造圆和运用勾股定理．
【变式5-2】（2022·山东临沂·统考一模）如图，△ABC中，AB=AC，BC=24，AD⊥BC于点D，AD=5，P是半径为3的⊙A上一动点，连结PC，若E是PC的中点，连结DE，则DE长的最大值为（ ）
A．8B．8.5C．9D．9.5
【答案】A
【分析】连接BP，根据三角形中位线定理可得DE=12BP，从而得到当BP最大时，DE最大，再由当PB过圆心A时，PB最大，即可求解．
【详解】解：如图，连接BP，
∵AB=AC，BC=24，AD⊥BC于点D，
∴BD=CD=12，
∵E是PC的中点，
∴DE=12BP，
∴当BP最大时，DE最大，
∵P是半径为3的⊙A上一动点，
∴当PB过圆心A时，PB最大，此时P、A、B三点共线，
∵AD=5，BD=12，
∴AB=13，
∴PB的最大值为13+3=16，
∴DE的最大值为8．
故选：A
【点睛】本题考查的是圆的基本性质，等腰三角形的性质，勾股定理以及三角形中位线定理，明确当PB取最大值时，DE的长最大是解题的关键．
【变式5-3】（2022·江苏徐州·统考二模）如图，点A，B的坐标分别为A(3，0)、B(0，3)，点C为坐标平面内的一点，且BC=2，点M为线段AC的中点，连接OM，则OM的最大值为（ ）
A．322+1B．32+2C．322D．2
【答案】A
【分析】根据同圆的半径相等可知：点C在半径为2的⊙B上，通过画图可知，C在BD与圆B的交点时，OM最小，在DB的延长线上时，OM最大，根据三角形的中位线定理可得结论．
【详解】解：如图，∵点C为坐标平面内一点，BC=2，
∴C在⊙B上，且半径为2，
取OD=OA=3，连接CD，
∵AM=CM，OD=OA，
∴OM是△ACD的中位线，
∴OM=12=CD，
当OM最大时，即CD最大，而D，B，C三点共线时，当C在DB的延长线上时，OM最大，
∵OB=3，OD=3，∠BOD=90°，
∴BD=32，
∴CD=32+2，
∴OM=12CD=322+1，即OM的最大值为322+1；
故选A
【点睛】本题考查了坐标和图形的性质，三角形的中位线定理等知识，确定OM为最大值时点C的位置是关键，也是难点．
考点二 圆的性质
1. 圆的对称性
2. 垂径定理及推论
垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.
推论：1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.
垂径定理模型（知二得三）
如图，可得①AB过圆心 ②AB⊥CD ③CE=DE ④AC=AD ⑤BC=BD
【总结】垂径定理及其推论实质是指一条直线满足：（1）过圆心（2）垂直于弦（3）平分弦（被平分的弦不是直径）（4）平分弦所对的优弧（5）平分弦所对的劣弧，若已知五个条件中的两个，那么可推出其中三个，简称“知二得三”，解题过程中应灵活运用该定理.
常见辅助线做法（考点）：1）过圆心，作垂线，连半径，造Rt△，用勾股，求长度；
2）有弦中点，连中点和圆心，得垂直平分.
2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧.
【易错点】求两条弦间的距离时要分类讨论两条弦与圆心的相对位置：两弦在圆心的同侧，两弦在圆心的异侧．
3. 弧、弦、圆心角的关系
定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等.
推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等.
【解题思路】在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么这两条弧所对的弦相等，所对的圆心角、圆周角也都相等．运用这些相等关系，可以实现线段相等与角相等之间的相互转化．
4. 圆周角定理
圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.（即：圆周角= 12 圆心角）
推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等.
推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径.
【补充】圆的一条弧（弦）只对着一个圆心角，对应的圆周角有无数个，但圆周角的度数只有两个，这两个度数和为180°
【解题思路】
1）在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半，在同圆中可以利用圆周角定理进行角的转化.
2）在证明圆周角相等或弧相等时，通常“由等角找等弧”或“由等弧找等角”.
3）当已知圆的直径时，常构造直径所对的圆周角．
4）在圆中求角度时，通常需要通过一些圆的性质进行转化．比如圆心角与圆周角间的转化；同弧或等弧的圆周角间的转化；连直径，得到直角三角形，通过两锐角互余进行转化等．
1）圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形,利用等腰三角形的顶点和底角的关系进行转化.
2）圆周角和圆周角可利用其“桥梁”——圆心角来转化.
3）圆周角定理成立的条件是“同一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所对的圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角.
5. 圆内接四边形
性质：1）圆内接四边形对角互补.
2) 圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角.
题型01 由垂径定理及推论判断正误
【例1】（2023·浙江·模拟预测）如图，CD是⊙O是直径，AB是弦且不是直径，CD⊥AB，则下列结论不一定正确的是（ ）

A．AE=BEB．OE=DEC．AO=COD．AD=BD
【答案】B
【分析】由于CD⊥AB, 根据垂径定理有AE=BE, AD=BD, 不能得出OE=DE, 圆的半径都相等.
【详解】解：如图所示，
∵CD⊥AB,
∴AE=BE, AD=BD,
⊙O的半径都相等，那么
AO=CO,
不能得出OE=DE.
故选:B.
【点睛】本题考查了垂径定理.解题的关键是熟练掌握垂径定理的内容.
【变式1-1】（2022·河南洛阳·统考一模）如图，点F是⊙O直径AB上一个动点（不与点A，B重合），过点F作弦CD⊥AB，点E是AD上不与点D重合的一个动点，则下列结论中不一定正确的是（ ）
A．CF=DFB．AC=AD
C．∠BAC=∠BEDD．∠ABC>∠BED
【答案】D
【分析】根据垂径定理，同弧或等弧所对的圆周角相等，即可．
【详解】∵AB是直径，CD是弦，CD⊥AB，垂足为F，
∴CF=DF，CB=DB，AC=AD，
∴∠BAC=∠BED，∠CAB=∠BED，
∴A、B、C正确；
∵∠ACB=90°，
∴∠CAB+∠ABC=90°，
∴∠BED+∠ABC=90°，但是不能确定∠ABC和∠BED的大小关系，
∴∠ABC>∠BED不一定正确，
故选：D．
【点睛】本题考查圆的性质，垂径定理，解题的关键是掌握垂径定理的运用．
【变式1-2】（2022·山东济宁·二模）如图，在⊙O中，AB是直径，CD是弦，AB⊥CD，垂足为E，连接CO、AD、OD，∠BAD=22.5°，则下列说法中不正确的是（ ）
A．CE=EOB．OC=2CDC．∠OCE=45°D．∠BOC=2∠BAD
【答案】B
【分析】由AB⊥CD，AB是⊙O的直径， 得CE=DE，BC⏜=BD⏜，进而得出△OCE为等腰直角三角形，进而得出∠OCE=45°，OC=2CE，CE=OE，从而得出答案．
【详解】解：∵AB⊥CD，AB是⊙O的直径，
∴CE=DE，BC⏜=BD⏜，
∴∠BOC=2∠BAD=2×22.5°=45°，
∴△OCE为等腰直角三角形，
∴∠OCE=45°，OC=2CE，CE=OE，
∴OC=22CD．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了垂径定理、圆周角定理及解直角三角形，熟练掌握垂径定理是解题的关键．
题型02 利用垂径定理求解
【例2】（2023·广东佛山·校考一模）如图，线段CD是⊙O的直径，CD⊥AB于点E，若AB长为16，OE长为6，则⊙O半径是（ ）
A．5B．6C．8D．10
【答案】D
【分析】连接OB，由垂径定理可得BE=AE=8，由勾股定理计算即可获得答案．
【详解】解：如图，连接OB，
∵线段CD是⊙O的直径，CD⊥AB于点E，AB=16，
∴BE=AE=12AB=12×16=8，
∴在Rt△OBE中，可有OB=OE2+BE2=62+82=10，
∴⊙O半径是10．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了垂径定理及勾股定理等知识，理解并掌握垂径定理是解题关键．
【变式2-1】（2022·重庆·重庆八中校考一模）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，AC＝CD，⊙O的半径为22，则△AOC的面积为（ ）
A．3B．2C．23D．4
【答案】C
【分析】根据垂径定理求出CE=12CD=12AC，则在Rt△ACE中存在特殊角，即∠CAO=30°，∠ACE=60°，根据OC=OA=２2，得到∠CAO=∠ACO=30°，则有∠OEC=30°，则在Rt△OCE中有OE=12OC=２，CE=3OE=6，则△AOC的面积得解．
【详解】∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，
∴直径AB平分弦CD，E为CD中点，
∴CE=12CD=12AC，
∴∠CAO=30°，
∴∠ACE=60°，
又∵OC=OA=22，
∴∠CAO=∠ACO=30°，
∴∠OEC=30°，
∴ Rt△OCE中有OE=12OC=2，CE=3OE=6，
则△AOC的面积为：S=12×OA×CE=23，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了垂径定理以及解特殊直角三角形的知识，灵活运用垂径定理是解答本题的关键．
【变式2-2】（2022·广东广州·执信中学校考二模）如图，⊙O是ΔABC的外接圆，∠BAC=60°，若⊙O的半径OC为2，则弦BC的长为（ ）
A．4B．23C．3D．3
【答案】B
【分析】过点O作OM⊥BC，交BC于点M，根据圆周角定理以及垂径定理可得结果．
【详解】解：过点O作OM⊥BC，交BC于点M，
∵⊙O是ΔABC的外接圆，∠BAC=60°，
∴∠BOC=2∠BAC=120°，
又∵OB=OC，OM⊥BC，
∴∠COM=12∠BOC=60°，MB=MC，
∴在RtΔCOM中，∠OCM=30°，
∴OM=12OC=1，CM=OC2−OM2=3，
∴BC=2CM=23，
故选：B．
【点睛】本题考查了垂径定理，圆周角定理，勾股定理，熟知相关性质定理是解本题的关键．
【变式2-3】（2022·浙江宁波·统考模拟预测）已知⊙O的直径CD=10cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，且AB=8cm，则AC的长为（ ）
A．25cmB．43cmC．25cm或45cmD．23cm或43cm
【答案】C
【分析】先画好一个圆，标上直径CD，已知AB的长为8cm，可知分为两种情况，第一种情况AB与OD相交，第二种情况AB与OC相交，利用勾股定理即可求出两种情况下的AC的长；
【详解】连接AC，AO，
∵圆O的直径CD=10cm，AB⊥CD，AB=8cm，
∴AM=12AB=12×8=4cm，OD=OC=5cm，
当C点位置如图1所示时，
∵OA=5cm，AM=4cm，CD⊥AB，
∴OM=OA2−AM2=52−42=3cm，
∴CM=OC+OM=5+3=8cm，
∴AC=AM2+CM2=42+82=45cm；
当C点位置如图2所示时，同理可得OM=3cm，
∵OC=5cm，
∴MC=5−3=2cm，
在Rt△AMC中，AC=AM2+CM2=42+22=25cm．
故选C．
【点睛】本题考查垂径定理和勾股定理，根据题意正确画出图形进行分类讨论，熟练运用垂径定理是解决本题的关键．
题型03 根据垂径定理与全等三角形综合求解
【例3】（2022·湖北襄阳·模拟预测）如图，AB为⊙O的直径，AE为⊙O的弦，C为优弧ABE的中点，CD⊥AB，垂足为D，AE=8，DB=2，则⊙O的半径为（ ）
A．6B．5C．42D．43
【答案】B
【分析】如图，连接CO，延长CO交AE于点T．设⊙O的半径为r．证明△AOT≅△CODAAS，推出CD=AT=4，在Rt△COD中，根据OC2=CD2+OD2，构建方程求解．
【详解】解：如图，连接CO，延长CO交AE于点T，设⊙O的半径为r，
∵AC=CE，
∴CT⊥AE，
∴AT=TE=12AE=4，
在△AOT和△AOD中，
∠ATO=∠CDO=90°∠AOT=∠CODAO=CO，
∴△AOT≅△CODAAS，
∴CD=AT=4，
在Rt△COD中，OC2=CD2+OD2，
∴r2=42+(r−2)2，
∴r=5，
故选：B．
【点睛】此题主要考查圆心角，弧，弦之间的关系，垂径定理，勾股定理，全等三角形的判定和性质等知识，解答该题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，该题属于中考常考题型．
【变式3-1】（2020·湖北武汉·统考一模）如图，AB是⊙O的直径，点C为BD的中点，CF为⊙O的弦，且CF⊥AB，垂足为E，连接BD交CF于点G，连接CD，AD，BF．
(1)求证：ΔBFG≅ΔCDG；
(2)若AD=BE=2，求BF的长．
【答案】(1)证明见解析；(2)BF=23.
【分析】(1)根据点C为BD的中点和垂径定理可证CD=BF，再利用AAS即可证得结论；
(2)解法一：连接OF，设⊙O的半径为r，由CF=BD列出关于r的方程就能求解；
解法二：如图，作辅助线，构建角平分线和全等三角形，证明RtΔAHC≅RtΔAEC，得AE=AH，再证明RtΔCDH≅RtΔCBEHL，得DH=BE=2，进而可得AE和AB的长，易证ΔBEC∼ΔBCA，列比例式可求得BC的长，也就是BF的长；
解法三：连接OC，根据垂径定理和三角形的中位线定理可得OH=1，再证明ΔCOE≅ΔBOH，然后利用勾股定理即可求出结果．
【详解】证明：(1)∵C是BD的中点，∴CD=BC，
∵AB是⊙O的直径，且CF⊥AB，∴BC=BF，
∴CD=BF，∴CD=BF，
在ΔBFG和ΔCDG中，
∵∠F=∠CDG∠FGB=∠DGCBF=CD，
∴ΔBFG≅ΔCDGAAS；
(2)解法一：如图，连接OF，设⊙O的半径为r，
RtΔADB中，BD2=AB2−AD2，即BD2=2r2−22，
RtΔOEF中，OF2=OE2+EF2，即EF2=r2−r−22，
∵CD=BC=BF，∴BD=CF，∴BD=CF，
∴BD2=CF2=2EF2=4EF2，
即2r2−22=4r2−r−22，
解得：r=1(舍)或3，
∴BF2=EF2+BE2=32−3−22+22=12，
∴BF=23；

解法二：如图，过C作CH⊥AD交AD延长线于点H，连接AC、BC，
∵CD=BC，∴∠HAC=∠BAC，
∵CE⊥AB，∴CH=CE，
∵AC=AC，∴RtΔAHC≅RtΔAEC，
∴AE=AH，
∵CH=CE，CD=CB，
∴RtΔCDH≅RtΔCBEHL，
∴DH=BE=2，∴AE=AH=2+2=4，∴AB=4+2=6，
∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90∘，∴∠ACB=∠BEC=90∘，
∵∠EBC=∠ABC，∴ΔBEC∼ΔBCA，
∴BCAB=BEBC，
∴BC2=AB⋅BE=6×2=12，
∴BF=BC=23．

解法三：如图，连接OC，交BD于H，
∵C是BD的中点，∴OC⊥BD，∴DH=BH，
∵OA=OB，∴OH=12AD=1，
∵OC=OB，∠COE=∠BOH，∠OHB=∠OEC=90∘，
∴ΔCOE≅ΔBOHAAS，
∴OH=OE=1，OC=OB=3，
∴CE=EF=32−12=22，
∴BF=BE2+EF2=22+222=23．

【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质、圆周角定理、垂径定理、一元二次方程的求解、三角形全等的性质和判定以及勾股定理等知识．第二问有难度，注意掌握辅助线的作法和数形结合思想的应用．
【变式3-2】（2023·湖北武汉·校考模拟预测）如图AB为圆O的直径，AE为圆O的弦，C为O上一点，AC=CE，CD⊥AB，垂足为D．

(1)连接CO，判断CO与AE的位置关系，并证明；
(2)若AE=8，BD=2，求圆O的半径；
【答案】(1)CO⊥AE，证明见详解
(2)5
【分析】（1）CO⊥AE，理由如下：延长CO交AE于点G，连接OE，再根据圆的基本性质及等腰三角形的性质即可；
（2）由（1）中结论，CO⊥AE，AG=12AE=4，先证明△AGO≌△CDO(AAS)，再根据勾股定理即可．
【详解】（1）解：CO⊥AE，理由如下：
延长CO交AE于点G，连接OE，

∵AC=CE，
∴∠AOC=∠COE,
∵∠AOG=180°−∠AOC,∠GOE=180°−∠EOC,
∴∠AOG=∠GOE,
∵OA=OE，
∴CO⊥AE；
（2）解：由（1）中结论，CO⊥AE，AG=12AE=4,
∠AGO=∠CDO=90°,∠AOG=∠COD,AO=CO,
△AGO≌△CDO(AAS)，
∴AG=CD=4，
设⊙O的半径为r，则OD=r−2，OC=r,
在Rt△CDO中，CD2+OD2=OC2，即42+(r−2)2=r2，
解得：r=5，即⊙O的半径为5．

【点睛】本题考查圆的基本性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．
题型04 根据垂径定理与相似三角形综合求解
【例4】（2022·重庆沙坪坝·重庆南开中学校考三模）如图，点E是⊙O中弦AB的中点，过点E作⊙O的直径CD，P是⊙O上一点，过点P作⊙O的切线与AB延长线交于点F，与CD延长线交于点G，若点P为FG中点，csF=35，⊙O的半径长为3则CE的长为（ ）
A．75B．85C．32D．43
【答案】B
【分析】连接OP，由切线的性质得OP⊥FG，证明ΔOPG∼ΔFEG得OPFE=PGEG=OGFG，∠POG=∠F，由cs∠F=35可进一步求出OG=5，由勾股定理求出PG=4，故可得FG=8，从而求出GE=325,OE=75，故可得CE=85．
【详解】解：连接OP，如图，
∵FG是圆的切线，点P是切点，
∴OP⊥FG，即∠OPG=90°,
又点E为AB的中点，且CD是直径，
∴CD⊥AB，即∠GEF=90°，
∴∠OPG=∠GEF=90°,
又∠G=∠G,
∴ΔOPG∼ΔFEG,
∴OPFE=PGEG=OGFG,∠POG=∠F，
∵cs∠F=35
∴cs∠GOP=35=OPOG,
∵OP=3,
∴35=3OG,
∴OG=5,
由勾股定理得，PG=OG2−OP2=4,
∵点P是FG的中点，
∴FG=2PG=8,
又OPFE=PGEG=OGFG,
∴PGOG=EGFG，即45=EG8,
∴EG=325,
∴OE=EG−GO=325−5=75,
∴CE=OC−OE=3−75=85,
故选B．
【点睛】本题主要考查了垂径定理，切线的性质，相似三角形的判定与性质等投放一款，正确作出辅助线构造相似三角形是解答本题的关键．
【变式4-1】（2022·四川泸州·校考一模）如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点F，OE⊥AC于点E，若OE＝3，OB＝5，则CD的长度是（ ）
A．9.6B．45C．53D．10
【答案】A
【分析】根据垂径定理求出AC的长，易证：△AEO∽△AFC，求出CF长，即可求解．
【详解】解：∵OE⊥AC，
∴AE＝EC，
∵AB⊥CD，
∴∠AFC＝∠AEO＝90°，
∵OE＝3，OB＝OA=5，
∴AE＝AO2−OE2=4，
∴AC＝8，
∵∠A＝∠A，∠AEO＝∠AFC，
∴△AEO∽△AFC，
∴AOAC=EOFC，即：58=3FC，
∴FC=245，
∵CD⊥AB，
∴CD＝2CF＝485＝9.6．
故选：A．
【点睛】本题考查了垂径定理，三角形相似的判定和性质定理，勾股定理，熟练掌握应用垂径定理是解题的关键．
【变式4-2】（2019·新疆阿克苏·模拟预测）如图，AC是⊙O的直径，弦BD⊥AO于E，连接BC，过点O作OF⊥BC于F，若BD=8cm，AE=2cm，则OF的长度是（ ）
A．3cmB．6 cmC．2.5cmD．5 cm
【答案】D
【详解】分析：根据垂径定理得出OE的长，进而利用勾股定理得出BC的长，再利用相似三角形的判定和性质解答即可．
详解：连接OB，
∵AC是⊙O的直径，弦BD⊥AO于E，BD=8cm，AE=2cm．
在Rt△OEB中，OE2+BE2=OB2，即OE2+42=（OE+2）2
解得：OE=3，
∴OB=3+2=5，
∴EC=5+3=8．
在Rt△EBC中，BC=BE2+EC2=42+82=45．
∵OF⊥BC，
∴∠OFC=∠CEB=90°．
∵∠C=∠C，
∴△OFC∽△BEC，
∴OFBE=OCBC，即OF4=545，
解得：OF=5．
故选D．
点睛：本题考查了垂径定理，关键是根据垂径定理得出OE的长．
【变式4-3】（2023·河南周口·统考一模）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上的一点．
(1)过点B作⊙O的切线PB，交AC的延长线于点P（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
(2)在（1）的条件下，若OD⊥BC，垂足为D，OD=2，PC=9，求PB的长．
【答案】(1)见解析
(2)313
【分析】（1）以B为圆心，小于OB的长为半径画弧，与直线AB有两个交点，再以这两个交点为圆心，大于这两点的长的一半为半径画弧，两弧的交点和点B的连线所在的直线交AC的延长线于点P；
（2）由垂径定理得BD=CD，则OD为△ABC的中位线，得AC=2OD=4，由圆周角定理得∠ACB=90°，根据切线的性质得∠PBA=90°，推出Rt△PBC∽Rt△PAB，从而利用相似三角形的性质求解．
【详解】（1）解：如图，PB为所作；
（2）解：∵OD⊥BC，
∴BD=CD，
∵OB=OA，
∴OD为△ABC的中位线，
∴AC=2OD=4，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵PB为⊙O的切线，
∴AB⊥PB，
∴∠PBA=90°，
∵∠BPC=∠APB，
∴Rt△PBC∽Rt△PAB，
∴PB:PA=PC:PB，
即PB:4+9=9:PB，
解得：PB=313，
即PB的长为313．
【点睛】本题考查了作图-复杂作图，切线的判定和性质，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，熟练掌握知识点并灵活运用是解题的关键．
题型05 在坐标系中利用勾股定理求值或坐标
【例5】（2021·吉林松原·校考一模）如图，在平面直角坐标系中，点P在第一象限，⊙P与x轴、y轴都相切，且经过矩形AOBC的顶点C，与BC相交于点D，若⊙P的半径为5，点A的坐标是(0,8)，则点D的坐标是（ ）

A．(9,2)B．(9,3)C．(10,2)D．(10,3)
【答案】A
【分析】在Rt△CPF中根据勾股定理求出PF的长，再根据垂径定理求出DF的长，进而求出OB，BD的长，从而求出点D的坐标．
【详解】设切点分别为G，E，连接PG，PE，PC，PD，并延长EP交BC与F，则PG=PE=PC=5，四边形OBFE是矩形．
∵OA=8，
∴CF=8-5=3，
∴PF=4，
∴OB=EF=5+4=9．
∵PF过圆心，
∴DF=CF=3，
∴BD=8-3-3=2，
∴D(9，2)．
故选A．

【点睛】本题考查了矩形的性质，坐标与图形的性质，勾股定理，以及垂径定理等知识，正确做出辅助线是解答本题的关键．
【变式5-1】（2023·湖南衡阳·校考模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，⊙P与y轴相切于点C，与x轴相交于A，B两点，假设点P的坐标为（5，3），点M是⊙P上的一动点，那么△ABM面积的最大值为（ ）

A．64B．48C．32D．24
【答案】C
【分析】过点P作PD⊥x轴于点D，连接PC，PA易得PC=PA=5，PD=3，然后由垂径定理，即可求得AD的长，继而求得AB的长，继而求得答案．
【详解】解：过点P作PD⊥x轴于点D，在AB上方，PD与⊙P的交点即△ABM面积最大时动点的位置，连接PC，PA，

∵点P的坐标为(5,3)，
∵⊙P与y轴相切于点C，
∴PC=5，PD=3，
∴PC=PA=5，DM=PD+PM=8
在Rt△PAD中，AD=PA2−PD2=4，
∵PD⊥AB，
∴AB=2AD=8，
当点M位于(3,8)时，△ABM面积最大，最大值为：12AB⋅MD=12×8×8=32．
故选C．
【点睛】此题考查了切线的性质、垂径定理以及勾股定理．此题难度适中，添设辅助线，构造直角三角形是解题的关键．
【变式5-2】（2022·江苏泰州·统考二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，以M3,5为圆心，AB为直径的圆与x轴相切，与y轴交于A、C两点，则点B的坐标是 ．
【答案】(6,1)
【分析】如图，连接BC，设圆与x轴相切于点D，连接MD交BC与点E，结合已知条件，则可得BC⊥MD，勾股定理求解EM，进而即可求得B的坐标．
【详解】解：如图，连接BC，设圆与x轴相切于点D，连接MD交BC与点E，
则MD⊥x轴，
∵AB为直径，则∠ACB=90°，
∴BC⊥MD，
∴BC∥x轴，
∵M3,5
∴MB=MD=5，CE=EB=3，
∴ME=MB2−EB2=52−32=4，CB=6，
∴DE=MD−ME=5−4=1，
∵BC∥x轴，
∴B(6,1)．
故答案为：(6,1)．
【点睛】本题考查了圆的性质，直径所对的圆周角是直角，垂径定理，切线的性质，勾股定理，坐标与图形，掌握以上知识是解题的关键．
【变式5-3】（2022·江苏南京·校联考一模）如图，在平面直角坐标系中，一个圆与两坐标轴分别交于A、B、C、D四点．已知A（6，0），B（﹣2，0），C（0，3），则点D的坐标为 ．
【答案】(0,−4)
【详解】设圆心为P，过点P作PE⊥AB于点E，PF⊥CD于点F，先根据垂径定理可得EA＝EB＝4，FC＝FD，进而可求出OE＝2，再设P（2，m），即可利用勾股定理表示出PC2，PA2，最后利用PA＝PA列方程即可求出m值，进而可得点D坐标．
【解答】解：设圆心为P，过点P作PE⊥AB于点E，PF⊥CD于点F，则EA＝EB＝AB2＝4，FC＝FD，
∴OE＝EB﹣OB＝4﹣2＝2，
∴E（2，0），
设P（2，m），则F（0，m），
连接PC、PA，
在Rt△CPF中，PC2＝（3﹣m）2+22，
在Rt△APE中，PA2＝m2+42，
∵PA＝PC，
∴（3﹣m）2+22＝m2+42，
∴m＝±12（舍正），
∴F（0，−12），
∴CF＝DF＝3−(−12)＝72，
∴OD＝OF+DF＝12+72＝4，
∴D（0，﹣4），
故答案为：（0，﹣4）．
【点睛】本题考查垂径定理，涉及到平面直角坐标系，勾股定理等，解题关键是利用半径相等列方程．
【变式5-4】（2022·新疆昌吉·统考一模）如图，在平面直角坐标系中，⊙M与x轴相切于点A，与y轴交点分别为B、C，圆心M的坐标是（4，5），则弦BC的长度为 ．
【答案】6
【分析】连接BM、AM，作MH⊥BC于H，由垂径定理得到BC=2HB，根据切线的性质及M点的坐标得到OH，OB，在Rt△MBH中，由勾股定理可求出BH，即可得到BC的长度．
【详解】解：如图，连接BM、AM，作MH⊥BC于H，
则BH=CH，
∴BC=2HB，
∵⊙M与x轴相切于点A，
∴MA⊥OA，
∵圆心M的坐标是(4，5)，
∴MA=5，MH=4，
∴MB=MA=5，
在Rt△MBH中，由勾股定理得：MH=MB2−MH2=52−42=3，
∴BC=2×3=6．
故答案为：6．
【点睛】本题考查切线的性质、坐标与图形性质、垂径定理、勾股定理的知识．解题的关键是正确添加辅助线，构造直角三角形．
【变式5-5】（2023·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，以点C1,1为圆心，2为半径作圆，交x轴于A，B两点，点P在⊙C上．

(1)求出A，B两点的坐标；
(2)试确定经过A、B两点且以点P为顶点的抛物线解析式；
(3)在该抛物线上是否存在一点D，使线段OP与CD互相平分？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)A1−3,0,B1+3,0
(2)y=−x2+2x+2或y=13x2−23x−23
(3)D0,2
【分析】（1）作CE⊥AB于点E，连接OA,OB，根据C1,1，半径AC=BC=2，得到CE=1,利用勾股定理求出AE=BE=3，即可得到A，B两点的坐标；
（2）由圆与抛物线的对称性可知抛物线的顶点P的坐标为1,3或1,−1，分别设出解析式代入点B的坐标求出解析式；
（3）假设存在点D使线段OP与CD互相平分，则四边形OCPD是平行四边形，得到PC∥OD且PC=OD，由PC∥y轴，确定点D在y轴上，根据PC得到点D的坐标，检验是否符合解析式即可．
【详解】（1）作CE⊥AB于点E，连接OA,OB，
∵C1,1，半径AC=BC=2，
∴CE=1，
∴AE=BE=AC2−CE2=22−12=3，
∴A1−3,0,B1+3,0；

（2）由圆与抛物线的对称性可知抛物线的顶点P的坐标为1,3或1,−1，
当抛物线的顶点P的坐标为1,3时，设抛物线的解析式为y=ax−12+3，
将点B1+3,0代入，解得a=−1，
∴y=−x−12+3=−x2+2x+2；
当抛物线的顶点P的坐标为1,−1时，设抛物线的解析式为y=ax−12−1，
将点B1+3,0代入，解得a=13，
∴y=13x−12−1=13x2−23x−23；
（3）假设存在点D使线段OP与CD互相平分，则四边形OCPD是平行四边形，
∴PC∥OD且PC=OD，
∵PC∥y轴，
∴点D在y轴上，
当抛物线为y=−x2+2x+2时，
∵PC=2，
∴OD=2，即D0,2，
又D0,2满足y=−x2+2x+2，
∴点D在抛物线上，
存在D0,2使线段OP与CD互相平分；
当抛物线为y=13x2−23x−23时，
∵PC=3，
∴OD=3，即D0,−3，
∵D0,−3不满足y=13x2−23x−23，
∴不存在D0,−3使线段OP与CD互相平分；
综上，存在D0,2使线段OP与CD互相平分．
【点睛】此题考查了圆的垂径定理，勾股定理，求二次函数的解析式，平行四边形的性质及判定，综合掌握各知识点是解题的关键．
题型06 利用垂径定理求平行弦问题
【例6】（2023·山东泰安·统考二模）已知⊙O的直径为10cm， AB，CD是⊙O的两条弦，AB∥CD，AB=8cm，CD=6cm，则AB与CD之间的距离为（ ）．
A．1B．7C．1或7D．3或4
【答案】C
【分析】作OE⊥AB于E，延长EO交CD于F，连接OA、OC，如图，利用平行线的性质OF⊥CD，根据垂径定理得到AE=BE=4cm，CF=DF=3cm，则利用勾股定理可计算出OE=3cm，OF=4cm，讨论：当点O在AB与CD之间时，EF=OF+OE；当点O不在AB与CD之间时，EF=OF−OE．
【详解】作OE⊥AB于E，延长EO交CD于F，连接OA、OC，如图

∵AB∥CD，OE⊥AB
∴OF⊥CD
∴AE=BE=12AB=4cm
CF=DF=12CD=3cm
在Rt△OAE中，OE=AO2−AE2=52−42=3cm
在Rt△OCF中，OF=CO2−CF2=52−32=4cm
当点O在AB与CD之间时，如图1，EF=OF+OE=4+3=7cm
当点O不在AB与CD之间时，如图2，EF=OF−OE=4−3=1cm
故选：C．
【点睛】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．注意分类讨论．
【变式6-1】（2022·江苏宿迁·校联考一模）已知⊙O的直径为10cm，AB，CD是⊙O的两条弦，AB//CD，AB=8cm，CD=6cm，则AB与CD之间的距离为 cm．
【答案】7或1．
【分析】分两种情况考虑：当两条弦位于圆心O同一侧时，当两条弦位于圆心O两侧时；利用垂径定理和勾股定理分别求出OE和OF的长度，即可得到答案．
【详解】解：分两种情况考虑：
当两条弦位于圆心O一侧时，如图1所示，

过O作OE⊥CD，交CD于点E，交AB于点F，连接OC，OA，
∵AB∥CD，∴OE⊥AB，
∴E、F分别为CD、AB的中点，
∴CE=DE=12CD=3cm，AF=BF=12AB=4cm，
在Rt△AOF中，OA=5cm，AF=4cm，
根据勾股定理得：OF=3cm，
在Rt△COE中，OC=5cm，CE=3cm，
根据勾股定理得：OE═4cm，
则EF=OE−OF=4cm−3cm=1cm；
当两条弦位于圆心O两侧时，如图2所示，
同理可得EF=4cm+3cm=7cm，
综上，弦AB与CD的距离为7cm或1cm．
故答案为：7或1．
【点睛】此题考查了垂径定理，勾股定理，利用了分类讨论的思想，熟练掌握垂径定理是解本题的关键．
【变式6-2】（2022·江苏泰州·统考二模）如图，在⊙O中，AB是直径，弦EF∥AB．
(1)在图1中，请仅用不带刻度的直尺画出劣弧EF的中点P；（保留作图痕迹，不写作法）
(2)如图2，在（1）的条件下连接OP、PF，若OP交弦EF于点Q，现有以下三个选项：①△PQF的面积为32；②EF=6；③PF=10，请你选择两个合适选项作为条件，求⊙O的半径，你选择的条件是 （填序号）
【答案】(1)见解析
(2)①②；①③；②③；半径为5
【分析】（1）直接连接AF，BE交于点C，连接OC并延长交EF于点P，此点即为所求点．
（2）连接OF，设半径为r，根据垂径定理和勾股定理即可得出答案．
【详解】（1）如图所示，连接AF，BE交于点C，连接OC并延长交EF于点P．
（2）第一种情况：选①②，如图所示，连接OF，设半径为r，
由题意可知：EQ=FQ=3,OP⊥EF，
∵SΔPQF=12QF⋅PQ=32，
∴12×3PQ=32，即PQ=1，
∴OQ=r−1，
∵OQ2+QF2=OF2，
∴(r−1)2+32=r2，解得r=5．
第二种情况：选①③，如图所示，连接OF，设半径为r，
由题意可知：OP⊥EF，
∵SΔPQF=12QF⋅PQ=32，
∴QF⋅PQ=3，
∵QF2+PQ2=PF2，
∴QF2+PQ2=10，即(QF+PQ)2−2QF⋅PQ=10，
∴QF+PQ=4，
∵∠FPQ>45°，
∴PQ0，
则AB=3kk>0,
∴AF=AC+CF=2k+5，
在Rt△ABF中，由勾股定理得，BF2+AF2=AB2，
即200+2k+52=3k2，
解得k1=9,k2=−5（不合题意，舍去），
∴AB=3k=27，
即AB的长为27
【点睛】此题考查了相似三角形的判定和性质、圆周角定理、勾股定理、折叠的性质、等边三角形的判定和性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
题型27 利用圆的有关性质解决最值问题
【例27】（2023·河北·模拟预测）如图，在△ABC中，∠BCA=60°，∠A=45°，AC=4经过点C且与边AB相切的动圆与CB，CA分别相交于点M，N，则线段MN长度的最小值是（ ）
A．3B．23C．22D．6
【答案】D
【分析】如图所示，设△CMN的外接圆圆心为O，过点O作OE⊥MN于E，连接OM，ON，利用垂径定理，圆周角定理，含30度角的直角三角形的性质证明MN=3OM，可以得到要使MN最小，则⊙O的直径要最小，过点C作CF⊥AB于点F，以CF为直径作圆与CB､CA分别相交于点M,N，连接OM,ON，此时，线段MN的长度最小，据此求解即可．
【详解】解：如图所示，设△CMN的外接圆圆心为O，过点O作OE⊥MN于E，连接OM，ON，
∴∠MON=2∠MCN=120°，
∴∠EOM=12∠MON=60°，
∴∠OME=30°，
∴OE=12OM，
∴MN=2ME=2OM2−OE2=3OM，
∴要使MN最小，则⊙O的直径要最小，
过点C作CF⊥AB于点F，以CF为直径作圆与CB､CA分别相交于点M,N，连接OM,ON，此时，线段MN的长度最小，
∵∠CFA=90°，∠A=45°，AC=4，
∴CF=AC2=22，
∴OM=OC=12CF=2，
∴MN=3OM=6．
故选D．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理，垂径定理，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理等等，正确确定MN最小值时的情形是解题的关键．
【变式27-1】（2022·江苏苏州·统考二模）如图，在平面直角坐标系中，点A，C，N的坐标分别为（2，0），（2，0），（4，3），以点C为圆心，2为半径画⊙C，点P在⊙C上运动，连接AP，交⊙C于点Q，点M为线段QP的中点，连接MN，则线段MN的最小值为（ ）
A．21−63B．3C．13D．10
【答案】B
【分析】以点O为圆心，2为半径画⊙O，连接ON交⊙O于点M'，连接CM， 由点M为线段QP的中点，得CM⊥AP，从而得点M在⊙O上，由勾股定理得ON=42+32=5，进而求得MN的最小值．
【详解】解：以点O为圆心，2为半径画⊙O，连接ON交⊙O于点M'，连接CM，

∵点M为线段QP的中点，
∴ CM⊥AP，
∴点M在⊙O上运动，
∵N（4，3），
∴ ON=42+32=5，
∵ MN+OM≥ON即MN+2≥5，
∴ MN≥3，
∴MN的最小值为3，
故选B．
【点睛】本题主要考查了垂径定理、圆周角定理以及勾股定理，构造辅助线，找出点M的运动轨迹是解题的关键．
【变式27-2】（2023·四川德阳·统考一模）如图，⊙O半径为2，正方形ABCD内接于⊙O，点E在ADC上运动，连接BE，作AF⊥BE，垂足为F，连接CF．则CF长的最小值为（ ）
A．5−1B．1C．2−1D．22
【答案】A
【分析】取AB的中点K，连接FK，CK，根据CF≥CK−FK即可解决问题．
【详解】解：如图，连接AO,DO，取AB的中点K，连接FK，CK，
∵AF⊥BE，
∴∠AFB=90°，
∵AK=BK，
∴KF=AK=BK，
∵正方形ABCD的外接圆的半径为2，
∴AD=OA2+OD2=22+22=2，
∴AB=BC=2，
∴KF=AK=KB=1，
∵∠CBK=90°，
∴CK=BK2+BC2=12+22=5，
∵CF≥CK−KF，
∴CF≥5−1，
∴CF的最小值为5−1．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，直角三角形斜边上的中线的性质，根据两点之间线段最短确定CF的最小值是解决本题的关键．
【变式27-3】（2022·广东广州·统考二模）如图， A，B是半圆O上的两点，CD是⊙O的直径，∠AOD=80°，B是AD的中点．
(1)在CD上求作一点P，使得AP+PB最短；
(2)若CD=4，求AP+PB的最小值．
【答案】(1)作图见解析
(2)23
【分析】（1）作出B关于CD的对称点B'，连接AB'，交CD于P点，P就是所求的点；
（2）延长AO交圆与E，连接OB',B'E，可以根据圆周角定理求得∠AOB'的度数，根据等腰三角形的性质求得∠A的度数，然后在直角△AEB'中，解直角三角形即可求解．
【详解】（1）解： 作BB'⊥CD，交圆于B'，然后连接AB'，交CD于P点，P就是所求的点；
此时：PA+PB=PA+PB'=AB'.
（2）延长AO交圆于E，连接OB',B'E．
∵BB'⊥CD，
∴BD=B'D，
∵∠AOD=80°，B是AD的中点，
∴∠DOB'=12∠AOD=40°．
∴∠AOB'=∠AOD+∠DOB'=120°，
又∵OA=OB'，
∴∠A=12(180°−∠AOB')=30°．
∵AE是圆的直径，
∴∠AB'E=90°， 而CD=AE=4,
∴直角△AEB'中，B'E=12AE=2，
∴AB'=AE2−B'E2=23,
∴PA+PB=AB'=23.
【点睛】本题考查了垂径定理，等腰三角形的性质，以及圆周角的性质定理，正确求得∠AOB'的度数是关键．
题型28 利用圆的有关性质求取值范围
【例28】（2022·安徽合肥·校考二模）如图，在⊙O中，直径AB=10，CD⊥AB于点E，CD=8．点F是弧BC上动点，且与点B、C不重合，P是直径AB上的动点，设m=PC+PF，则m的取值范围是( )
A．8