备战2025年高考二轮复习数学专题突破练10（Word版附解析）

这是一份备战2025年高考二轮复习数学专题突破练10（Word版附解析），共5页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.(2024·山东日照二模)已知数列{an}各项均为正数,首项a1=3,且数列{lg3an}是以-2为公差的等差数列,则a3=( )
A.127B.13C.1D.9
答案A
解析因为数列{an}各项均为正数,首项a1=3,则lg3a1=1.又数列{lg3an}是以-2为公差的等差数列,则lg3a3=1-2×(3-1)=-3,故a3=3-3=127.故选A.
2.(2024·广东广州三模)等比数列{an}满足a1+a3=10,a2+a4=5,则a5=( )
A.14B.12C.1D.2
答案B
解析依题意有a1+a1q2=10,a1q+a1q3=5=(a1+a1q2)q,解得q=12,a1=8,故a5=a1q4=8×116=12.故选B.
3.(2024·山东泰安二模)设等比数列{an}的前n项和为Sn,若S3=5a2+6a1,则公比q为( )
A.1或5B.5
C.1或-5D.5或-1
答案D
解析由S3=5a2+6a1=a1+a2+a3,得4a2+5a1=a3,所以4a1q+5a1=a1q2,即q2-4q-5=0,所以(q-5)(q+1)=0,所以q=5或q=-1.故选D.
4.(2024·江苏宿迁一模)设Sn是等比数列{an}的前n项和,若S3,S9,S6成等差数列,a1=-2,则a7的值为( )
A.-2B.-12C.12D.1
答案B
解析由题意知q≠1,因为S3,S9,S6成等差数列,所以2S9=S3+S6⇒2(S9-S6)=-(S6-S3),即q3=-12,
所以a7=a1q6=-2×-122=-12.故选B.
5.(2024·黑龙江佳木斯三模)一部中国古代数学名著中有一首诗,讲述了“竹筒容米”问题.诗云:“家有九节竹一茎,为因盛米不均平,下头三节三升九,上梢四节贮三升,惟有中间二节竹,要将米数次递盛,若是先生能算法,教君只算到天明.”(【注释】三升九:3.9升,次递盛:盛米容积依次相差同一数量)求该九节竹一共盛米多少升?( )
A.8.8升B.9升C.9.1升D.9.2升
答案B
解析设第n节竹筒盛米an升,则数列{an}为等差数列,a1+a2+a3+a4=3,a7+a8+a9=3.9,设公差为d,则有4a1+6d=3,3a1+21d=3.9,解得a1=0.6,d=0.1,
所以an=0.1n+0.5,则该九节竹筒一共盛米(0.6+1.4)×92=9升.故选B.
6.(2024·北京顺义二模)已知各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,lg an+lg an+1=lg 2n,n∈N*,则S9=( )
A.511B.61C.41D.9
答案B
解析由lg an+lg an+1=lg 2n可得lg anan+1=lg 2n,即anan+1=2n,所以an+1an+2=2n+1,两式相除可得an+2an=2,即a3a1=a5a3=…=a4a2=a6a4=2.由a1=1可得a2=2,因此数列{an}的奇数项是以a1=1为首项,公比为2的等比数列,偶数项是以a2=2为首项,公比为2的等比数列,
所以S9=a1+a2+a3+…+a9=(a1+a3+…+a9)+(a2+a4+…+a8)=1×(1-25)1-2+2×(1-24)1-2=61.故选B.
7.(2024·山东泰安三模)已知Sn为等差数列{an}的前n项和,a1=-21,S7=S15,则Sn的最小值为( )
A.-99B.-100C.-110D.-121
答案D
解析设{an}的公差为d,因为a1=-21,S7=S15,可得a1=-21,7a1+7×62d=15a1+15×142d,
解得d=2,所以an=2n-23,
可得Sn=-21n+n×(n-1)2×2=n2-22n.
因为a11=-10,
所以当n=11时,Sn取得最小值S11=112-22×11=-121.故选D.
8.(2024·江西临川模拟)已知数列{an}满足a1=3,an+1=an+2an+1+1,则a10=( )
A.80B.100C.120D.143
答案C
解析因为an+1=an+2an+1+1,所以an+1+1=(an+1)2+2an+1+1,即an+1+1=(an+1+1)2,
等式两边开方可得an+1+1=an+1+1,即an+1+1-an+1=1,所以数列{an+1}是首项为a1+1=2,公差为1的等差数列,所以an+1=2+(n-1)×1=n+1,所以an=n2+2n,所以a10=102+20=120.
二、选择题:本题共2小题,每小题6分,共12分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9.(2024·山东临沂二模)已知{an}是等差数列,Sn是其前n项和,则下列命题为真命题的是( )
A.若a3+a4=9,a7+a8=18,则a1+a2=5
B.若a2+a13=4,则S14=28
C.若S15S8
D.若{an}和{anan+1}都为递增数列,则an>0
答案BC
解析对于A,由a3+a4=9,a7+a8=18,可得(a7+a8)-(a3+a4)=8d=9,所以d=98.又由a1+a2=(a3+a4)-4d=9-4×98=92,所以A错误.对于B,由S14=14(a1+a14)2=14(a2+a13)2=28,所以B正确.对于C,由S15=15(a1+a15)2=15a80,所以对任意的n≥2,an>0,但a1的正负不确定,所以D错误.故选BC.
10.(2024·湖南长沙一模)设等比数列{an}的公比为q,前n项的积为Tn,下列说法正确的是( )
A.若T8=T12,则a10a11=1
B.若T8=T12,则T20=1
C.若a1=1 024,且T10为数列{Tn}的唯一最大项,则12109T11>T9,则使得Tn>1成立的n的最大值为20
答案BCD
解析若T8=T12,则T12T8=a9a10a11a12=(a10a11)2=1,可得a10a11=±1.故选项A错误.而T20=a1a2…a19a20=(a10a11)10=1.故选项B正确.若a1=1 024,且T10是数列{Tn}的唯一最大项.当qT9,T10>T11,可得a10>1,a111,1 024q100时,由T10>T11,T10>T9,T11>T9,可得a111,a10a11>1,所以a1>0,010,n∈N*时,an10,n∈N*时,数列{Tn}单调递减.又T1>1,T20=a1a2…a20=(a10a11)10>1,T21=a1a2…a21=(a11)211成立的n的最大值为20,即选项D正确.故选BCD.
三、填空题:本题共2小题,每小题5分,共10分.
11.(2024·广东茂名模拟)在公差为正数的等差数列{an}中,若a1=3,a3,a6,32a8成等比数列,则数列{an}的前10项和为 .
答案165
解析设等差数列的公差为d,由题意得a62=a3×32a8,即(a1+5d)2=(a1+2d)×32(a1+7d),因为公差大于零,解得d=3,d=-38(舍去),所以S10=10×3+10×92×3=165.
12.(2024·上海宝山二模)某区域的地形大致如图1,某部门负责该区域的安全警戒,在哨位O的正上方安装探照灯对警戒区域进行探查扫描.假设1:警戒区域为空旷的扇环形平地A1AnBnB1;假设2:视探照灯为点M,且距离地面20米;假设3:探照灯M照射在地面上的光斑是椭圆.当探照灯M以某一俯角从AkAk+1侧扫描到BkBk+1侧时,记为一次扫描,此过程中照射在地面上的光斑形成一个扇环Sk(k=1,2,3,…).由此,通过调整M的俯角,逐次扫描形成扇环S1,S2,S3,….第一次扫描时,光斑的长轴为EF,|OE|=30米,此时在探照灯M处测得点F的俯角为30°(如图2).记|AkAk+1|=dk,经测量知|A1An|=80米,且{dk}是公差为0.1米的等差数列,则至少需要经过 次扫描,才能将整个警戒区域扫描完毕.
图1
图2
答案15
解析因为在Rt△MOF中,∠F=30°,OM=20,
所以OF=203,EF=203-30,故A1A2=203-30,故{dk}是以203-30为首项,以0.1为公差的等差数列,故Sk=(203-30)k+k(k-1)2×0.1.而S14≈74.0680,故kmin=15.所以至少需要15次才能将整个警戒区域扫描完毕.
四、解答题:本题共2小题,共30分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
13.(15分)(2024·江苏南通二模)设数列{an}的前n项和为Sn,若Sn-12an=n2+1,n∈N*.
(1)求a1,a2,并证明:数列{an+an+1}是等差数列;
(2)求S20.
解(1)当n=1时,由条件得a1-12a1=2,所以a1=4.
当n=2时,由条件得(a1+a2)-12a2=5,所以a2=2.
因为Sn-12an=n2+1,所以Sn-1-12an-1=(n-1)2+1(n≥2),两式相减得an-12an+12an-1=2n-1,即an+an-1=4n-2,所以(an+1+an)-(an+an-1)=[4(n+1)-2]-(4n-2)=4,从而数列{an+1+an}为等差数列.
(2)由(1)知an+an-1=4n-2(n≥2),
所以S20=(a1+a2)+(a3+a4)+…+(a19+a20)=10×[(a1+a2)+(a19+a20)]2,
所以S20=(4×2-2)+(4×4-2)+…+(4×20-2)=10×(6+78)2=420.
14.(15分)(2024·山东济南一模)已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=32且Sn=2an+1-3,令bn=n2+nan.
(1)求证:{an}为等比数列;
(2)求使bn取得最大值时的n的值.
(1)证明由Sn=2an+1-3,可得当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2an+1-2an,即当n≥2时,an+1an=32.
又因为a1=32,所以a2=94,a2a1=32.
综上,当n≥1时,an+1an=32,
所以{an}为首项和公比均为32的等比数列.
(2)解由(1)可得an=32n,
所以bn=23n(n2+n),
当n≥2时,bnbn-1=2(n2+n)3(n2-n)=2(n+1)3(n-1),
令bnbn-1>1,可得2≤n