黑龙江省大庆市2024-2025学年九年级上学期11月期中数学试题

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考试时间： 答题时间：120分钟 总分：120分
一、选择题（本题10小题，每小题3分，共计30分）
1．“白日不到处，青春恰自来；苔花如米小，也学牡丹开．”这是清朝袁枚所写五言绝句《苔》，这首咏物诗启示我们身处逆境也要努力绽放自己，要和苔花一样尽自己所能实现人生价值．苔花也被称为“坚韧之花”．袁枚所写的“苔花”很可能是苔类孢子体的苍蒴，某孢子体的苍蒴直径约为0.0000086m，将数据0.0000086用科学记数法表示为8.6×10n，则n的值是（ ）
A．6B．﹣7C．﹣6 D．﹣5
2．中国“二十四节气”已被正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作品录，下列四幅作品分别代表“立春”、“谷雨”、“白露”、“大雪”，其中是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．下列说法正确的是（ ）
A．三点确定一个圆 B．三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等
C．相等的圆心角所对的弦相等 D．平分弦的直径垂直于弦．
4．如图，四边形ABCD内接于⊙O，，AB∥CD，∠B＝70°，连接AC，则∠CAD的度数为（ ）
A．25°B．28°C．30°D．35°
5．已知点在反比例函数的图象上，若y＞3，则x的取值范围是（ ）
A．x＞1B．x＜1C．0＜x＜1D．x＞0
6．如图，AB是⊙O的切线，B为切点，连接AO交⊙O于点C，延长AO交⊙O于点D，连接BD，若∠A＝2∠D，且AB＝4，则AC的长是（ ）
A．1B．C．D．
7．∠BAC放在正方形网格纸的位置如图，则tan∠BAC的值为（ ）
A．B．C．D．

第4题图 第6题图 第7题图
8．如图，在⊙O中，AB是直径，点C是圆上一点．在AB的延长线上取一点D，CD是⊙O的切线，若∠ACD＝120°，，则图中阴影部分的面积是（ ）
A．B．C．D．
9．已知二次函数y＝（x﹣a﹣1）（x﹣a+1）﹣3a+7（其中x是自变量）的图象与x轴没有公共点，且当x＜﹣1时，y随x的增大而减小，则实数a的取值范围是（ ）
A．a＜2B．a＞﹣1C．﹣1≤a＜2 D．﹣1＜a≤2

第8题图 第10题图
10．如图，BC是⊙O的直径，弦AB＝6，∠ABC＝60°，D是下半圆上一个动点，E为AD的中点，连接BE，则BE的最小值为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题（本题8小题，每小题3分，共计24分）
11．因式分解：3a2b﹣9ab＝ ．
12．要使二次根式有意义，则x的取值范围是 ．
13．已知⊙O的半径为1，则长为的弦AB所对的圆周角的度数为 ．
14．如果一个扇形的圆心角为30°，面积是，那么这个扇形的弧长是 m．
15．如图，点A在双曲线上，点B在双曲线上，AB∥x轴，过点A作AD⊥x轴
于D，连接OB，与AD相交于点C，若AB＝3OD，则k的值为 ．

第15题图 第16题图
16．如图，壮壮同学投掷实心球，出手（点P处）的高度OP是m，出手后实心球沿一段抛物线运行，到达最高点时，水平距离是5m，高度是4m．若实心球落地点为M，则OM＝ m．
17．如图所示，在直角坐标系中放置一个矩形ABCD，其中AB＝2，AD＝1，将矩形ABCD沿x轴的正方向无滑动的在x轴上滚动，当点A离开原点后第一次落在x轴上时，点A运动的路径线与x轴围成的面积为 ．（结果用含π的式子表示）

第17题图 第18题图
18．已知⊙O的半径为4，B，C是⊙O上两定点，点A是⊙O上一动点，且∠BAC＝60°，∠BAC的平分线交⊙O于点D，过点D作BC的平行线交AB的延长线于点F．下列说法中正确的是 ．
①AD的最大值是8；②点D为上一定点；③S△ABC的最大值是；
④DF与⊙O相交；⑤若△ABC为锐角三角形，则．
三、解答题（本题10小题，共计66分）
19．（4分）计算：．
20．（4分）先化简，再求值，其中x＝﹣1．
21．（4分）解分式方程；
22．（6分）如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，连接AC，BC．
（1）求证：∠CAB＝∠BCD；
（2）若AB＝4，BC＝2，求CD的长．
23．（6分）如图，海中有一个小岛C，某渔船在海中的A点测得小岛C位于东北方向上，该渔船由西向东航行一段时间后到达B点，测得小岛C位于北偏西30°方向上，再沿北偏东60°方向继续航行一段时间后到达D点，这时测得小岛C位于北偏西60°方向上．已知A，C相距30n mile．求C，D间的距离（计算过程中的数据不取近似值）．
24．（7分）某公司以每件40元的价格购进一种商品，在销售过程中发现这种商品每天的销售量y（件）与每件的销售单价x（元）满足一次函数关系：y＝﹣2x+140（x＞40）．
（1）当x＝50时，总利润为 元；
（2）若设总利润为w元，则w与x的函数关系式是 ；
（3）若每天的销售量不少于38件，则销售单价定为多少元时，此时利润最大，最大利润是多少？
25．（8分）高尔基说：“书，是人类进步的阶梯．”阅读可以启智增慧，拓展视野．为了解学生寒假阅读情况，开学初学校进行了问卷调查，并对部分学生假期（28天）的阅读总时间作了随机抽样分析，设被抽样的每位同学寒假阅读的总时间为t（小时），阅读总时间分为四个类别：A（0＜t＜12），B（12≤t＜24），C（24≤t＜36），D（t≥36），将分类结果制成两幅统计图（尚不完整）．根据以上信息，回答下列问题：
（1）请补全条形统计图；
（2）扇形统计图中a的值为 ；
（3）若该校有2000名学生，估计寒假阅读总时间少于24小时的学生有多少名？
（4）政教处决定从本次调查阅读时长前四名学生甲、乙、丙、丁中，随机抽取2名同学参加该校“阅读之星”竞选，请用树状图或列表法求恰好选中甲和乙的概率．
26．（9分）如图，一次函数y＝mx+n（m≠0）的图象与反比例函数y＝（k≠0）的图象交于点A（﹣3，a），B（1，3），且一次函数与x轴，y轴分别交于点C，D．
（1）求反比例函数和一次函数的表达式；
（2）根据图象直接写出不等式mx+n＞的解集；
（3）在第三象限的反比例函数图象上有一点P，使得S△OCP＝4S△OBD，求点P的坐标．
27．（9分）如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上的一点，点P是BA延长线上的一点，连接AC，∠PCA＝∠B．
（1）求证：PC是⊙O的切线；
（2）若sin∠B＝，求证：AC＝AP；
（3）若CD⊥AB于D，PA＝4，BD＝6，求AD的长．
28．（9分）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），
B（2，0）两点，与y轴交于点C，点D是抛物线上的一个动点．
（1）求抛物线的表达式；
（2）当点D在直线BC下方的抛物线上时，过点D作y轴的平行线交BC于点E，设点D的横坐标为t，DE的长为l，请写出l关于t的函数表达式，并写出自变量t的取值范围；
（3）连接AD，交BC于点F，求的最大值．