黑龙江省大庆市大庆靓湖学校2024-2025学年九年级上学期11月月考数学试题

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11． 12．x≥ 13．﹣a（a+3）（a﹣3） 14．7
15．二． 16．﹣2． 17．120． 18．①
19.计算：；
＝1+3﹣1
＝3；
先化简，再求值：，其中a＝3．

＝•﹣
＝﹣
＝
＝，
当a＝3时，原式＝＝＝2．
21．已知关于x的不等式组有三个整数解，求实数a的取值范围．
【解答】解：
∵解不等式①，得x＞﹣，
解不等式②，得x≤4+a，
∴原不等式组的解集为﹣＜x≤4+a，
∵原不等式组有三个整数解：﹣2，﹣1，0，
∴0≤4+a＜1，
∴﹣4≤a＜﹣3．
22．习总书记在党的第二十次全国代表大会上，报告指出：“积极稳妥推进碳达峰碳中和”．某公司积极响应节能减排号召，决定采购新能源A型和B型两款汽车，已知每辆A型汽车进价是每辆B型汽车进价的1.5倍，若用1500万元购进A型汽车的数量比1200万元购进B型汽车的数量少20辆．求每辆B型汽车进价是多少万元？
【解答】解：设每辆B型汽车进价是x万元，则每辆A型汽车进价是1.5x万元，
根据题意得：﹣＝20，
解得：x＝10，
经检验，x＝10是所列方程的解，且符合题意．
答：每辆B型汽车进价是10万元．
23．一架无人机沿水平直线飞行进行测绘工作，在点M处测得正前方水平地面上某建筑物AB的顶端A的俯角为30°，面向AB方向继续飞行8米到达点N，测得该建筑物底端B的俯角为45°，已知建筑物AB的高为4米，求无人机飞行的高度（结果精确到1米，参考数据：，）
【解答】解：如图，延长MN，BA，相交于点E，
由题意可得：AB⊥MN，∠E＝90°，
又∵∠BNE＝45°，
∴BE＝NE，
设BE＝NE＝x，
∵MN＝8，AB＝4，
∴ME＝x+8，AE＝x﹣4，
∵∠E＝90°，
∴，
∵∠AME＝30°，
∴，
解得：，
答：无人机飞行的高度约为20米．
24．某校为了解学生的课外阅读情况，对部分学生进行了调查，并统计他们平均每天的课外阅读时间t（单位：min），然后利用所得数据绘制如下两幅不完整的统计图．
请你根据以上信息解答下列问题：
（1）本次调查活动采取了 抽样 调查方式，样本容量是 50 ．
（2）图2中C的圆心角度数为 144 度，补全图1的频数分布直方图．
（3）该校有900名学生，估计该校学生平均每天的课外阅读时间不少于50min的人数．
【解答】解：（1）本次调查活动采取了抽样调查方式，样本容量是4÷8%＝50，
故答案为：抽样，50；
（2）∵C时间段的人数为50﹣（4+8+16+2）＝20（人），
∴图2中C的圆心角度数为360°×＝144°，
补全条形图如图所示：
故答案为：144；
（3）（名）
答：估计该校有684名学生平均每天的课外阅读时间不小于50 min．
25．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，O为对角线AC的中点，过点O作直线分别与四边形ABCD的边AD，BC交于M，N两点，连接CM，AN，使得MN平分∠AMC．
（1）求证：四边形ANCM为菱形；
（2）当四边形ABCD是矩形时，若AD＝8，AC＝4，求DM的长．
【解答】（1）证明：∵AD∥BC，O为对角线AC的中点，，
∴AO＝CO，∠OAM＝∠OCN，
在△AOM和△CON中，
，
∴△AOM≌△CON（AAS），
∴AM＝CN，
∵AM∥CN，
∴四边形ANCM为平行四边形；
∵MN平分∠AMC，
∴∠AMN＝∠CMN，
∵AD∥BC，
∴∠AMN＝∠CNM，
∴∠CMN＝∠CNM，
∴CM＝CN，
∴平行四边形ANCM为菱形；
（2）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABN＝90°，BC＝AD＝8，
∴，
∵AM＝AN＝NC＝AD﹣DM，
在Rt△ABN中，根据勾股定理得：AN2＝AB2+BN2，
∴（8﹣DM）2＝42+DM2，
解得DM＝3．
故DM的长为3．
26．网络直播销售已经成为一种热门的销售方式，某生产商在一销售平台上进行直播销售板栗．已知板栗的成本价为6元/kg，每日销售量y（kg）与销售单价x（元/kg）满足一次函数关系，下表记录的是有关数据，经销售发现，销售单价不低于成本价且不高于30元/kg．设公司销售板栗的日获利为w（元）．
（1）直接写出日销售量y与销售单价x之间的函数关系式为 y＝﹣100x+5000 ；（不用写自变量的取值范围）
（2）当销售单价定为多少时，销售这种板栗日获利w最大？最大利润为多少元？
（3）当销售单价在什么范围内时，日获利w不低于42000元？
【解答】解：（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b（k≠0），
把x＝7，y＝4300和x＝8，y＝4200代入得：
，
解得：，
∴日销售量y与销售单价x之间的函数关系式为y＝﹣100x+5000；
（2）由题意得：
w＝（x﹣6）（﹣100x+5000）
＝﹣100x2+5600x﹣30000
＝﹣100（x﹣28）2+48400，
∵a＝﹣100＜0，对称轴为直线x＝28．
∴当x＝28时，w有最大值为48400元．
∴当销售单价定为28元时，销售这种板栗日获利w最大，最大利润为48400元；
（3）当w＝42000元时，有：42000＝﹣100（x﹣28）2+48400，
∴x1＝20，x2＝36，
∵a＝﹣100＜0，
∴当20≤x≤36时，w≥42000，
又∵6≤x≤30，
∴当20≤x≤30时，日获利w不低于42000元．
27．如图，一次函数y＝kx+b与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于A（1，2）B（2，1）两点，平行于x轴的直线交y轴于点C（0，﹣1）．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式．
（2）求△ABC的面积．
（3）直接写出关于x的不等式kx+b﹣＜0的解集；
【解答】解：（1）∵一次函数y＝kx+b的图象过A（1，2）B（2，1）两点，
∴，
解得，
∴一次函数的关系式为y＝﹣x+3，
又∵反比例函数y＝（x＞0）的图象过A（1，2），B（2，1），
∴m＝1×2＝2×1＝2，
∴反比例函数的关系式为y＝，
答：一次函数的关系式为y＝﹣x+3，反比例函数的关系式为y＝；
（2）如图，过点A、B分别作y轴的平行线交直线y＝﹣1于点M、N，
当y＝﹣1时，﹣1＝﹣x+3，即x＝4，
∴D（4，﹣1），
∴CD＝4，AM＝3，BN＝2，
∴S△AOB＝S△ACD﹣S△BCD
＝×4×3﹣×4×2
＝6﹣4
＝2，
答：△ABC的面积为2．
（3）不等式kx+b﹣＜0，即不等式kx+b＜，
也就是一次函数值小于反比例函数值时相应的x的取值范围，由图象可知，
0＜x＜1或x＞2，
即不等式kx+b﹣＜0的解集为0＜x＜1或x＞2；
28．已知抛物线y＝ax2+bx﹣3（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0），点B（3，0），与y轴交于点C．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图，若直线BC下方的抛物线上有一动点M，过点M作y轴平行线交BC于N，过点M作BC的垂线，垂足为H，求△HMN周长的最大值；
（3）若点P在抛物线的对称轴上，点Q在x轴上，是否存在以B，C，P，Q为顶点的四边形为平行四边形，若存在，求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由；
【解答】解：（1）∵A（﹣1，0），B（3，0）在抛物线y＝ax2+bx﹣3（a≠0）上，
∴，
解得：，
∴抛物线的表达式为：y＝x2﹣2x﹣3．
（2）∵抛物线的表达式为：y＝x2﹣2x﹣3，
∴当x＝0时，y＝﹣3，
∴C（0，﹣3），
设直线BC的解析式为y＝kx+n，
∵B（3，0），C（0，﹣3），
∴，
解得：，
∴直线BC的解析式为y＝x﹣3，
设M（m，m2﹣2m﹣3）其中0＜m＜3，则N（m，m﹣3），
∴MN＝m﹣3﹣（m2﹣2m﹣3）＝﹣m2+3m，
∵OB＝OC＝3，∠BOC＝90°，
∴∠OCB＝45°，
∵MN∥y轴，
∴∠MNH＝∠OCB＝45°，
∵MH⊥BC，
∴△HMN是等腰直角三角形，
∴，
∴△HMN的周长
＝
＝
＝，
∴当时，△HMN的周长有最大值，．
（3）由题意知，抛物线的对称轴为直线，B（3，0），C（0，﹣3），
设点P坐标为（1，s），点Q坐标为Q（t，0），
①当BC为对角线时，，
解得：，
∴Q（2，0），
②当BP为对角线时，，
解得：，
∴Q（4，0），
③当BQ为对角线时，，
解得：，
解得：Q（﹣2，0），
综上所述，存在点Q，以B，C，P，Q为顶点的四边形为平行四边形，Q点的坐标为（2，0），（4，0），（﹣2，0）．
x（元/kg）
7
8
9
y（kg）
4300
4200
4100