山东省聊城市莘县四校联考2024-2025学年八年级上学期11月期中数学试题

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1. B 2. A 3. D 4. B 5. B 6. C 7. C
8. C 9. A 10. A 11. A 12. D
13. (6,10)
14. 3
15. 4
16. −1
17. 75
18. 125
19. 解：(1)原式=48ab336a2b
=12ab⋅4b212ab⋅3a=4b23a；
(2)原式=4xy5a⋅12x2y
=4xy10ax2y
=25ax；
(3)原式=3(a−b)10ab⋅5a2b3(a+b)(a−b)
=3ab22(a+b)
=3ab22a+2b；
(4)原式=−(a+9)(a−9)(a+3)2⋅2(a+3)a−9⋅a+3a+9
=−2．
20. 【小题1】
a2+2a+1−31+a+a2−2a+1a−1=a2+2a+1−3a+1+(a−1)2a−1=a2−1a+1+a−1=a−1+a−1=2a−2．
【小题2】
1−2ab−b2a2÷a−ba2b=a2−2ab+b2a2⋅a2ba−b=(a−b)2a2⋅a2ba−b=ba−b=ab−b2．

21. 如图，点P即为所求．

22. 如图，作A′F⊥BD，垂足为F．∵AC⊥BD，∴∠ACB=∠A′FB=90∘.在Rt△A′FB中，∠1+∠3=90∘.又∵A′B⊥AB，∴∠1+∠2=90∘，∴∠2=∠3.在△ACB和△BFA′中，∠ACB=∠A′FB,∠2=∠3,AB=A′B,∴△ACB≌△BFA′(AAS)，∴A′F=BC．∵AC//DE且CD⊥AC，AE⊥DE，∴CD=AE=1.5m，∴BC=BD−CD=2.5−1.5=1(m)，∴A′F=BC=1m，即点A′到BD的距离是1m．

23. 解：(1)证明：
∵点P为∠BAC的平分线上一点，PE⊥AB，PF⊥AC，
∴PE=PF；
(2)如图：
连接PB、PC，
∵PE⊥AB，PF⊥AC，
∴∠PEB=∠PFC=90°，
在△BEP和△CFP中，
{PE=PF∠PEB=∠PFCBE=CF,
∴△BEP≌△CFP(SAS)，
∴BP=CP，
∴点P在BC的垂直平分线上．
24. (1)解：BE即为所求作的角平分线，如图所示：
(2)解：∵AB=AC，∠ABC=70∘，
∴∠C=∠ABC=70∘，
∴∠A=180∘−∠C−∠ABC=40∘，
∵MN垂直平分AB，
∴MA=MB，
∴∠ABM=∠A=40∘，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE=12∠ABC=35∘，
∴∠EBM=∠ABM−∠ABE=5∘．
(3)解：存在；▵PBC的周长的最小值为14cm．
∵MN垂直平分AB，
∴MA=MB，
∴当点P与点M重合时，▵PBC的周长最小，
∵AC=AB=8cm，BC=6cm，
▵PBC的周长的最小值为：
MB+MC+BC=MA+MC+BC=AC+BC=8+6=14cm．

25. 【小题1】
SSS
【小题2】
①在AC上截取AE=AB.连接DE，
∵AD是▵ABC的角平分线，
∴∠BAD=∠EAD，
又∵AD=AD，
∴▵ABD≌▵AEDSAS．
∴∠B=∠AED>∠C；
②如图：过点E作EF⊥AD，垂足为点F，
∵∠BAD和∠CDA的平分线AE，DE交BC于点E，
∴BE=EF=EC，即BE=12BC=6，
∴EF=6，即点E到AD的距离是6cm；
【小题3】
PE=PF，理由如下：
∵∠A=60∘，
∴∠ABC+∠ACB=180∘−60∘=120∘，
∵BE，CF是▵ABC的两条角平分线，且BE，CF交于点P．
∴∠CBE+∠BCF=60∘，
∴∠BPC=180∘−∠CBE+∠BCF=120∘；
在BC上截取BD=BF，连接PD，则▵BFP≌▵BDPSAS，

∴PF=PD，∠BPF=∠BPD，
∵∠BPC=120∘，
∴∠BPE=60∘，
∴∠BPD=60∘，
∴∠CPD=60∘，
又∵∠CPE=∠BPF=60∘，
∴∠CPD=∠CPE，
∵CF是▵ABC的角平分线，
∴∠DCP=∠ECP，
∵CP=CP，
∴▵CDP≌▵CEPASA，
∴PD=PE，
∴PE=PF．