山东省聊城市莘县2024-2025学年八年级上学期期中考试数学试卷

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（时间：120分钟；满分：120分）
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。）
1.“致中和，天地位焉，万物育焉.”中国古人把和谐平衡的精神之美，演变成了一种对称美.从古至今，人们将对称元素赋予建筑、器物、绘画、饰品等事物上，使对称之美惊艳了千年的时光.在下列我国建筑简图中，不是轴对称图形的是（ ）
A.B.C.D.
2.下列分式中，是最简分式的是（ ）
A.B.C.D.
3.若和两点关于轴对称，则的值是（ ）
A.2B.-2C.3D.4
4.对于分式，下列说法不正确的是（ ）
A.当时分式的值为0B.当时分式有意义
C.当时分式的值为0D.当时分式的值为1
5.下列式子从左到右变形一定正确的是（ ）
A.B.C.D.
6.如图，用尺规作出，所画痕迹是（ ）
A.以点为圆心，的长为半径的弧B.以点为圆心，的长为半径的弧
C.以点为圆心，的长为半径的弧D.以点为圆心，的长为半径的弧
7.如图，在中，，，分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，分别交于点和点，作直线，则下列说法中不正确的是（ ）
A.是的平分线B.
C.点在的垂直平分线上D.
8.如图，在中，和的平分线交于点，过点作交于点，交于点，若，则线段的长为（ ）
A.6B.7C.8D.9
9.如图，是和的公共边，下列条件中不能判定的是（ ）
A.，B.，
C.，D.，
10.如图，是的中线，点E，F分别是和延长线上的点，且，连接、，下列说法：①和面积相等；②；③；④；⑤.其中正确的是（ ）
A.①②B.③⑤C.①③④D.①④⑤
二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分。）
11.计算：_______.
12.等腰三角形的边长分别为和，则周长为______.
13.如图，在中，，以点为圆心，任意长为半径作弧，分别交边、于点、，分别以点、为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点，射线交于点，若，，则的面积为_____.
14.如图所示，要测量池塘宽度，在池塘外选取一点，连接、并分别延长，使，，连接.测得长为，则池塘的宽为_____.
15.如图，，于点，于点，且，点从点向点运动，每分钟走，点从点向点运动，每分钟走，若、两点同时开始出发，运动_____分钟后.
16.观察下面一列分式：，，，，，…根据规律，它的第项是_____.
三、解答题（本大题共8小题，共计72分。解答题要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。）
17.（8分）
计算：（1）（2）
18.（12分）
（1）化简求值：，其中.
（2）先化简，再求值：，其中满足.
19.（8分）如图，在平面直角坐标系中，的顶点，，均在正方形网格的格点上；每小格长度为1.
（1）画出关于轴的对称图形；
（2）直接写出各个顶点的坐标；
（3）计算的面积.
20.（8分）如图，，，，三点在同一条直线上，，，且.求证：.
21.（8分）如图，在中，，为的角平分线.以点圆心，的长为半径画弧，与，分别交于点E，F，连接，.
（1）求证：；
（2）若，求的度数.
22.（8分）同学们在做题时，经常用到“在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半”这个定理，下面是两种添加辅助线的证明方法，请你选择一种进行证明.
你选择方法是______
证明：
23.（8分）观察以下等式：
第1个等式；
第2个等式；
第3个等式；
第4个等式；
……
按照以上规律，解决下列问题：
（1）写出第5个等式：_____；
（2）写出你猜想的第个等式（用含的式子表示），并证明.
24.（12分）
（1）如图1，在中，，，直线经过点，且，两点在直线的同侧，，，垂足分别为点，，请直接写出，和的数量关系；
（2）模型的迁移1：位置的改变
如图2，在（1）的条件下，若，两点在直线的异侧，请说明，和的数量关系，并证明；
（3）模型的迁移2：角度的改变
如图3，在（1）的条件下，若三个直角都变为了相等的钝角，即，其中，（1）的结论还成立吗?若成立，请你给出证明；若不成立，请说明，和的关系，并证明.
定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半
已知：如图，中，，.
求证：.
方法一
证明：延长至点，使，连接.
方法二
证明：在上截取.