【解答题专项】第八单元 数学广角——数与形（知识梳理+典例精讲+专项训练）-2024-2025学年小学数学六年级上册（人教版，含答案）

这是一份【解答题专项】第八单元 数学广角——数与形（知识梳理+典例精讲+专项训练）-2024-2025学年小学数学六年级上册（人教版，含答案），共42页。试卷主要包含了数与形的基本概念，数与形的结合，数与形的规律与公式，数与形的应用等内容，欢迎下载使用。

一、数与形的基本概念
1．数：数学中用于计量、比较和表示大小的抽象概念，如自然数、小数、有理数等。
2．形：通过现实世界表现出来的形象，用于描述现实事物的形状、大小和位置等属性，如几何图形、坐标轴等。
二、数与形的结合
1．数形结合：将数与形相结合，通过直观的图形来展示数量之间的关系，或通过数量的计算来揭示图形的性质。
2．意义：数形结合有助于培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力，使抽象的数学概念变得直观易懂。
三、数与形的规律与公式
1．连续奇数相加的和：
规律：从1开始的n个连续奇数相加的和等于n的平方。公式：1+3+5+...+(2n-1)=n²
2．连续偶数相加的和：
规律：从2开始的n个连续偶数相加的和等于n乘以(n+1)。
公式：2+4+6+...+2n=n×(n+1)
四、数与形的应用
1．统计图：
折线统计图：直观显示数量的增减变化，还可清晰看出各个数量的多少。
扇形统计图：直观显示部分和总量的关系。
2．解决实际问题：
利用数形结合的方法解决植树问题、分数乘法问题等实际问题。
通过画图来帮助理解复杂的数量关系，如连续奇数相加、连续偶数相加等。
【典例1】把棱长为2cm的小正方体摆放在地面上。
（1）如果按图1方式摆放50个这样的小正方体，有几个面露在外面？露在外面的面积是多少平方厘米？
（2）如果按图2方式摆放49个这样的小正方体，有几个面露在外面？露在外面的面积是多少平方厘米？
【分析】（1）按照图1的方式摆放，就是2个正方体放在一起摆放，一层一层的往上叠加。一层是前后各有2个，就是4个，上面是2个，左右各1个，就是2个。二层是前后各2×4＝8个，上面是2个，左右各2个就是2×2＝4个。第三层是前后共3×4＝12个，上面是2个，左右共3×2＝6个。也就是每增加一层前后就多4个，左右就多2个，上面的不变。根据这样的规律，每2个为一组，50个正方体就有25层小正方体，就有25层4个的前后小正方形，25层2个的左右小正方形，再加上2个上面的小正方形。就有152个面露在外面，一个正方体的一个正方形面的面积＝棱长×棱长。即152个小正方形的面积＝152×每个正方形的面积。
（2）按照图2的方式摆放，一层只有1个正方体，是5个面露在外面。二层是每边放2个，一共4个，上面是2×2＝4个，前后左右4个面，每个面是2个。第三层每边是3个，一共9个，上面是3×3＝9个，前后左右4个面，每个面是3个。根据以上的规律，49个小正方体就是每边7个，上面是7×7＝49个，前后左右每一面是7个，一共有28个面，合在一起就是77个面。即77个小正方形的面积＝77×每个正方形的面积。
【详解】（1）50÷2＝25（组）
2＋25×4＋25×2
＝2＋100＋50
＝152（个）
152×2×2＝608（平方厘米）
答：有152个面露在外面，露在外面的面积是608cm2。
（2）49＝7×7
7×7＋4×7
＝49＋28
＝77（个）
2×2×77＝308（平方厘米）
答：有77个面露在外面，露在外面的面积是308平方厘米。
【典例2】找规律画一画，算一算。
1 1＋3 1＋3＋5 1＋3＋5＋（ ） 1＋3＋5＋（ ）＋（ ）
1×1 2×2 3×3 （ ）×（ ） （ ）×（ ）
根据规律计算：
1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＋15
【分析】看图并结合算式，第一个图有（1×1）个小圆，第二个图有（2×2）个小圆，第三个图有（3×3）个小圆。对应的加法算式是连续奇数的和，几乘几对应的算式就有几个连续奇数相加。“1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＋15”是8个连续奇数相加，那么它的和与“8×8”相等。
【详解】
1 1＋3 1＋3＋5 1＋3＋5＋7 1＋3＋5＋7＋9
1×1 2×2 3×3 4×4 5×5
1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＋15
＝8×8
＝64
【典例3】填数游戏：在4×4的方格中，按1，2，3，4，5，1，2，3，4，5，1，2，3，4，5，1的顺序依次填入左右或上下相邻的十六个格子内（不能斜向填入另一格），每个格子只能填一个数字。图（1）是按要求填写的（图中箭头表示填写顺序），请你完成另外四个图。
【分析】根据数字的排列顺序填数，和1相邻的数是2，和3相邻的数是2、4，和5相邻的数是4、6，据此进行填数即可。
【详解】图中的线表示填写顺序。（答案不唯一）
【典例4】观察下图，想一想。
（1）依次排下去，第7幅图有多少个棋子？第15幅图呢？
（2）第n幅图有多少个棋子？
【分析】观察棋子的数目与图的序数之间的关系，发现：第1幅图：1＝12个棋子；第2幅图：1＋3＝4＝22个棋子；第3幅图：1＋3＋5＝9＝32个棋子；第4幅图：1＋3＋5＋7＝16＝42个棋子，……，据此总结出一般规律，解答即可。
【详解】第1幅图：1＝12个棋子
第2幅图：1＋3＝4＝22个棋子
第3幅图：1＋3＋5＝9＝32个棋子
第4幅图：1＋3＋5＋7＝16＝42个棋子
……
所以第7幅图有72＝49个棋子
第15幅图有152＝225个棋子
第n幅图：（n2）个棋子
【点睛】本题考查数与形，解答本题的关键是找到棋子的数目与图的序数之间的关系。
【典例5】摆一摆，找规律。
（1）依次摆下去，第6个图形是什么图形？
（2）摆第7个图形需要用多少根小棒？
（3）摆第n个图形需要用多少根小棒？
【分析】第1个图形是1个三角形，用3根小棒摆成的；
第2个图形是一个由2个三角形组成的平行四边形，用5根小棒摆成的；
第3个图形是一个由3个三角形组成的梯形，用7根小棒摆成的；
第4个图形是一个由4个三角形组成的平行四边形，用9根小棒摆成的；
依次摆下去：
第5个图形是一个由5个三角形组成的梯形，用11根小棒摆成的；
第6图形是一个由6个三角形组成的平行四边形，用13根小棒摆成的；
第7个图形是一个由7个三角形组成的梯形，用15根小棒摆成的；
…
通过观察可以发现，从第2个图开始，第偶数个图形是平行四边形，第奇数个图形是梯形；小棒的根数则是每次比前一次增加2根。
【详解】答：（1）第6个图形是平行四边形。
（2）1个三角形所需小棒的根数是3；
2个三角形所需小棒的根数是3＋2；
3个三角形所需小棒的根数是3＋2×2：
…
n个三角形所需小棒的根数是3＋2×（n－1）＝2n＋1，
当n＝7时，2n＋1＝2×7＋1＝15（根）
摆第7个图形需要 15根小棒。
（3）由（2）可知，摆成第n个图形需要用（2n＋1）根小棒。
【典例6】仔细观察，你有什么发现？把你的发现填在下表中。
【分析】观察可知，顶点个数＝正方形个数×3＋1，正方形个数＝（顶点个数－1）÷3，据此分析。
【详解】将正方形个数看作n，顶点个数＝3n＋1
3n＋1
＝3×4＋1
＝12＋1
＝13（个）
（601－1）÷3
＝600÷3
＝200（个）
【典例7】请你根据下面图形与数的规律完成下列各题：
（1）接着画一画，填一填。
（2）如果不画，这样排列下去，第10个图的数是（ ），第n个图的数是（ ）（用含n的式子表示）。
37．（1）15；21；28；（2）55；
【分析】（1）通过观察，第1个图中有1个点，第2个图中有（1＋2）个点，第3个图中有（1＋2＋3）个点，第4个图中有（1＋2＋3＋4）个点，第几个图形的点数和等于前一个图形的点数和加几。
（2）通过（1）类推，第n个图中有（1＋2＋3＋…＋n）个点，然后通过首尾相加进行化简即可。
【详解】（1）第5个图形：10＋5＝15（个）
第6个图形：15＋6＝21（个）
第7个图形：21＋7＝28（个）
（2）第n个图的数：
1＋2＋3＋…＋n
＝（1＋n）×n÷2
＝（n＋n2）÷2
＝
当n＝10时，
＝
＝
＝
＝55
第10个图的数是55；第n个图的数是。
【典例8】用小棒摆六边形，按照下图所示的规律摆。
（1）摆4个六边形，需要几根小棒？摆n个呢？请写出思考过程。
（2）按这个规律摆80个六边形，需要几根小棒？
【分析】（1）由图可得：摆1个六边形需要6根小棒，摆2个六边形需要11根小棒，摆3个六边形需要16根小棒，由此可得：每多摆一个六边形，就会增加5根小棒，由此根据规律解答即可；
（2）根据（1）中的规律，将数据代入求出答案即可。
【详解】（1）观察图形可知，摆1个六边形需要6根小棒，
摆2个六边形需要11根小棒，可以写作：11＝6＋5＝6＋5×1；
摆3个六边形需要16根小棒，可以写成：16＝6＋5＋5＝6＋5×2；
摆4个六边形需要小棒的根数，可以写成：6＋5＋5＋5＝6＋5×3；
6＋5×3
＝6＋15
＝21（根）
……
摆n个六边形需要小棒的根数，可以写成：6＋5＋5＋……＋5＝6＋5×（n－1）；
6＋5×（n－1）
＝6＋5n－5
＝5n＋1
答：摆4个六边形，需要21根小棒。摆n个六边形，需要（5n＋1）根小棒。
（2）当n＝80时，代入得：
5n＋1
＝5×80＋1
＝400＋1
＝401（根）
答：摆80个六边形，需要401根小棒。
一、解答题
1．探索与发现。
数形结合思想是数学中最重要的、最基本的思想方法之一。计算2＋4＋6＋8＋10＋12…这样的算式有简便方法吗？聪聪遇到这个问题时，他想到用“数形结合”的方法来探索，于是他用小圆片摆图研究（如图）。
(1)观察表格，请把下面等式补充完整。
2＝1×2
2＋4＝2×3
2＋4＋6＝3×4
2＋4＋6＋8＝( )×( )
(2)若按此规律继续摆，则序号为( )的图形共有132个小圆片，序号为n的图形，共有( )个小圆片。
2．“转化”是解决问题的常用策略之一，有时画图可以帮助我们找到转化的方法，例如借助如图，计算。
3．八百多年前，意大利数学家莱昂纳多•斐波那契提出了“斐波拉契数列”，生活中又称“兔子数列”。意思是：假设有一对刚出生的兔子，它们在第一个月长大成年，并在之后的每个月都生出一对幼崽，而这些幼崽在长大后，也都会以同样的周期继续繁殖（如图所示），按照这种规律依此类推，在之后的每个月中各有多少对兔子呢？其结果就会形成这样一组数1、1、2、3、5、8、13、21、34…此时我们便会看到从这组数的第三项开始，每一项都是前两项之和，这便是神奇的“斐波拉契数列”，又因为从第三项起，前一项除以后一项所得商都接近0.618，所以称“黄金分割数列”。
（1）根据这组数的规律填一填：1、1、2、3、5、8、13、21、34、（ ）、（ ）、…
（2）这组数的第100个数是奇数还是偶数？请说明理由。

4．有三堆围棋子，每堆有60枚，第一堆黑子与第二堆的白子同样多，第三堆有10枚白子。这三堆棋子中，白子比黑子少多少枚？
5．观察下面图形的规律，并画一画，填一填。
总结规律：由此可以得出第六个图形一共由（ ）个小三角形组成。
6．如下图在一些大小相等的正方形内分别排列着一些同样大小的圆。
（1）请观察上图并填写下表。
（2）你能试着表示出第n个正方形中圆的个数吗？用你发现的规律计算出第18个图形中有多少个圆。
7．有一列数是2，9，8，2，6，2…从第3个数起，每一个数都是它前面的两个数乘积的个位数字。这一列数的第2023个数是多少？
8．学校一年一度的艺术节即将开幕，五（2）班的节目是一个团体操表演。在排练时，同学们排成了下面的队形。廖老师觉得阵容不够大，所以她决定再增加一些人参加团体操表演，但是要保持队伍形状不变，至少应该增加多少人？
9．元旦联欢晚会上，大家围坐在一起，一张桌子可以围坐6个人，两张桌子拼起来可以围坐10个人，如下图所示。
（1）每多一张桌子，可多坐（ ）人，按此规律，n张桌子可坐（ ）人。
（2）五（1）班有54人，至少需要多少张桌子？
10．古希腊著名的毕达哥拉斯学派经常把数与形联系在一起，下图是用形来表示数，请你认真观察：第1幅图的点数为1，第2幅图的点数为5，第3幅图的点数为9。
(1)按这个规律排下去，第5幅图的点数是( )。
(2)第20幅图的点数是( )。
(3)第幅图的点数是( )。
11．各代表一个数字，下面每个图案都是由中的两个图形（可以是相同的）构成的。观察各图形与它下面的数之间的关系，请你写出最后面图形下面的“？”表示什么。
12．观察下图，按要求完成下列各题。
(1)这4个图形中分别有多少个三角形？请依次写出。
(2)按照这种规律画下去，第6个图形中有多少个三角形呢？第9个图形中有多少个三角形呢？
(3)仔细观察图形，你能发现什么规律？请推测第n个图形中有多少个三角形。
(4)根据上面的规律，请计算下图中一共有多少个三角形。
13．一张长方形桌子可坐6人，按下列方式将桌子拼在一起。
（1）3张桌子拼在一起可坐（ ）人，5张桌子拼在一起可坐（ ）人。
（2）依据上面桌子的拼摆规律，如果是n张桌子拼在一起，那么可以坐多少人？
14．用相同的边长是1厘米的小正方形按照下图的方法拼大正方形，请完成填空。
(1)小正方形的个数分别是( )、( )、( )…
(2)大正方形的周长分别是( )厘米、( )厘米、( )厘米…
(3)根据图形排列规律，第5个图形中的小正方形有( )个，这个图形的周长是( )厘米；第9个图形中的小正方形有( )个，这个图形的周长是( )厘米。
15．为庆祝国庆，某学校举行用火柴棒摆“金鱼”比赛，如下图所示。
(1)按照上面的规律，摆6条“金鱼”需要( )根火柴棒，摆n条“金鱼”需要( )根火柴棒。
(2)如果要摆4组“金鱼”，每组摆8条，按照上面的摆法，需要准备( )根火柴棒。
(3)准备88根火柴棒最多能摆( )条这样的“金鱼”。
16．“黑洞”是宇宙空间中一种神秘的天体，能把接近它的物质吸引进去。在数学中也有神秘的黑洞现象。四位数的黑洞是6174，即：任意一个四位数，把各个数位上的数按从大到小排列，组成一个新数，再按从小到大排列组成另一个新数，这两个数相减，得到的差再按上面的步骤做，若干次后，得到的差始终是6174，6174就是四位数的黑洞。举例说明，例如3214：
4321－1234＝3087
8730－378＝8352
8532－2358＝6174
7641－1467＝6174
7641－1467＝6174
按此继续思考，你能找出三位数的黑洞吗？任选一个三位数试试吧。
17．阅读理解。
六（1）班50人，一次数学素养测评成绩按从高到低排列，前30名的平均分比后20名的平均分多12分。李敏把前30名的平均分加上后20名的平均分再除以2，这样得到的结果与全班实际的平均成绩相差多少分？
笑笑说：假设前30名的平均分为90分，后20名的平均分就是78分。
则全班实际的平均成绩为（90×30＋78×20）÷50＝85.2（分）；
（1）（填一填）李敏算的平均分为：（ ）。相差：（ ）。
奇思说：我来画图分析，看图就能直接求出相差多少分。先画一个长方形表示前30人的总分，长为平均分，宽为人数，再画第二个长方形表示后20人的总分，两部分的长差为12。
（2）想一想：从“移多补少”去想，李敏是（ ）（填“多算”或“少算”）了6×10＝60（分），所以李敏得到的结果与全班实际的平均成绩相差60÷（ ）＝（ ）（分）。
（3）答一答：什么情况下李敏的算法是对的？
18．观察思考并计算。
(1)观察下面每个图形中小正方形的排列规律，并填空。
( ) ( )
(2)根据上面的规律用简便方法计算。
( )×( )＝( )。
19．笑笑借助图（图1）计算2.8×1.7，你能看明白吗？请在图中填一填。

由上题的思路，图2研究的是（ ）×（ ）。
结合下边的图（图3），请你写出下面算式的结果。
（a＋b）×（a＋b）＝
20．有2000个数，按照下列的方法排列成五列。
请问2000应写在第几列？
21．每2人之间握一次手，用画图和列表的方法发现握手次数的规律。
（1）将表格中的示意图和握手次数填写完整。
（2）若有n人相互握手，握手的次数是（ ）次，当n＝10时，握手次数是（ ）次。
22．把一张纸剪成6块，从中取几块，将每一块又剪成6块，再任取几块，又将每一块剪成6块……如此剪下去，经过有限次后，能否恰好剪成2009块？说明理由。
23．如图，正方形被分成了7个小长方形，任选几个小长方形，将每个小长方形再分成7个小长方形。我们称这样的操作为一次操作，能否经过有限次操作。将正方形恰好分成2010个小长方形？如果能，请写出一种操作方法；如果不能，请说明理由。
24．把编号1~13的13张卡片按编号从小到大的顺序叠成一摞，然后按如下步骤进行操作：
第一步：把这摞卡片按从上到下的顺序分成上（A）、中（B）、下（C）三摞，其中A摞4张，B摞4张，C摞5张；
第二步：把C摞最上面一张卡片拿出来，放在桌子上；然后把B摞最上面一张卡片拿出来，放在拿出来的第一张卡片上；接着把A摞最上面一张卡片拿出来，放在拿出来的第二张卡片上；……如此按C、B、A的顺序轮流拿卡片，直到将13张卡片重新叠成一摞。
完成以上两步是一次操作，第1次操作过程如下图：
（1）第1次操作后，从上往下数第6张卡片上的编号是__________。（直接写出答案）
（2）第2次操作后，从上往下数第6张卡片上的编号是__________。（直接写出答案）
（3）第365次操作后，从上往下数第6张卡片上的编号是多少？（写出详细过程）
25．现有a（a＞50）根长度相同的小棒，按图1摆放恰好可以摆成（2m＋1）个三角形，按图2摆放恰好可以摆成2n个小正方形。
（1）求a的最小值；
图1 图2
（2）若这a根小棒还可以按图3恰好摆成p个五边形，且a＜200，求a的最大值。
26．餐馆内有一种长方形桌子，每张桌子周围放4把椅子，如果客人多，就按如图所示的方式拼桌。
现有14位客人要坐在一起，一共需要拼几张桌子？（可以选择画一画或算一算等方法）
27．如图，在一个5×5的方格图中，按图中规律在每个格内都填有一个数：同一行中右格中的数与紧邻左格中的数的差是固定的数，同一列中上格中的数与紧邻下格中的数的差也是固定的数。根据图中已填好的数，则第3行第4列应该填入的数是多少？

28．将1~5填入第一行的五个○中，将相邻两个○中的数之和填入上一行的○中，如此下去直到第五行，如图1，要使第五行○中的数最大，那么第一行中的数应以怎样的顺序填写？最大值是多少？（在图2中填写，并说明填写的理由。）
29．现有a（a＞50）根长度相同的小棒，按图1摆放恰好可以摆成2m个三角形，按图2摆放恰好可以摆成2n个小正方形。
（1）求a的最小值；
（2）若这a根小棒还可以按图3恰好摆成p个五边形，且a＜200，求a的最大值。
30．用小棒搭房子。
（1）搭1间房子要（ ）根小棒，搭2间房子要（ ）根小棒，搭3间房子要（ ）根小棒。
（2）搭10间房子要（ ）根小棒，搭n间房子要（ ）根小棒。
（3）如果有65根小棒可以搭多少间房子？
参考答案
1．(1) 4 5
(2) 11 n（n＋1）
【分析】序号1：2，1个偶数；
序号2：2＋4，2个偶数；
序号3：2＋4＋6，3个偶数；
……
序号几就是几个连续偶数相加。
2＝1×2，
2＋4＝2×3
2＋4＋6＝3×4
……
结果＝序号几就用几×（几＋1）。
因此，此题是求连续偶数的和，其得数是偶数的个数（即序号）与偶数个数加1的积，据此解答。
【详解】（1）2＝1×2
2＋4＝2×3
2＋4＋6＝3×4
2＋4＋6＋8＝4×5
（2）132＝11×12
若按此规律继续摆，则序号为11的图形共有132个小圆片，序号为n的图形，共有n（n＋1）个小圆片。
2．
【分析】由图可知，把正方形看成一个边长是1的正方形，那么先平均分成两份，那么另外一份占，再把第一份平均分成两份，其中一份占，再把分为两份，其中一份是，依次类推，可分到份，所以最终可得到：，即1－＝。
【详解】
＝1－
＝
3．（1）55；89；
（2）100÷3＝33（组）……1（个）
这组数是按奇数、奇数、偶数……每3个数为一组，第100个数刚好是一组中的第一个数，所以是奇数。
【分析】（1）根据题意可知，从这组数据的第三项开始，每一项都是前两项之和，所以用前两项相加即可求出后一项；
（2）根据题意可知，这组数据是按照奇数、奇数、偶数、奇数、奇数、偶数……的规律排列的，找出几个数为一组，求第100个数是奇数还是偶数，用100除以几，如果没有余数，则第100个数是一组规律中的最后一个数，如果有余数，则看其排在一组规律中的第几个数，再看看相应位置是奇数还是偶数；据此解答。
【详解】（1）21＋34＝55
34＋55＝89
根据这组数的规律填一填：1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89…
（2）100÷3＝33（组）……1（个）
答：这组数是按奇数、奇数、偶数……每3个数为一组，第100个数刚好是一组中的第一个数，所以是奇数。
4．40枚
【分析】由题可得：第一堆黑子＋第一堆白子＝60枚，第二堆黑子＋第二堆白子＝60枚，因为第一堆黑子与第二堆的白子同样多，所以第二堆的白子＋第一堆白子＝60枚，第一堆黑子＋第二堆黑子＝60枚，因此可知第一二堆的黑子数量和等于第一二堆的的白子数量和。在第三堆中可求出白子比黑子少多少枚，就是这三堆棋子中白子比黑子少多少枚。第三堆有10枚白子，即黑子有：60－10＝50（枚），最后用黑子数减去白子数，即可求出白子比黑子少多少枚，据此解答。
【详解】60－10＝50（枚）
50－10＝40（枚）
答：这三堆棋子中，白子比黑子少40枚。
5．作图如下；21
【分析】观察可知，第一个图形小三角形个数是（1＋2＋3），第二个图形小三角形个数是（2＋3＋4），第三个图形小三角形个数是（3＋4＋5），由此可知，每个图形都有3行，第几个图形最上边1行就有几个小三角形，下边依次多1个小三角形，因此第六个图形应该是（6＋7＋8）个小三角形，据此画图并填空。
【详解】
6＋7＋8＝21（个）
由此可以得出第六个图形一共由21个小三角形组成。
6．（1）1；4；9；16；25；36
（2）n2；324个
【分析】（1）通过观察图，可以发现圆的个数依次增加。得出规律如下
图（1）中圆的个数：1＝1×1＝1²；
图（2）中圆的个数：4＝2×2＝2²；
图（3）中圆的个数：9＝3×3＝3²；
……
图（n）中圆的个数：n×n＝n²。
因此可得：
图（4）中圆的个数：4²＝16；
图（5）中圆的个数：5²＝25；
图（6）中圆的个数：6²＝36；
（2）由（1）可得，第n个正方形中圆的个数是n²，通过发现的规律计算出第18个图形中有18²个圆，据此解答。
【详解】（1）填表如下：
（2）n×n＝n²
18²＝18×18＝324（个）
答：第n个正方形中圆的个数是n²，第18个图形中有324个圆。
7．2
【分析】通过列举2，9，8，2，6，2，2，4，8，2，6，2，2，4…可以发现，从第三个数8开始每6个数一组重复出现，用2023先减去不参加重复出现的2个数字，然后除以6可得有多少组，如果整除了那么就是这一组的最后一个数，如果有余数，那么余数是几，就是下一组的第几个；据此可解此题。
【详解】（2023－2）÷6
＝2021÷6
＝336……5
说明第2023个就是第337组中的第5个，所以是2。
答：这一列数的第2023个数是2。
【点睛】本题关键是通过列举找出这一列数的规律，从而进行解答。
8．9人
【分析】观察队形可知，原来的队形第一排有1人，第二排有2人，……，总人数是1＋2＋3＋4＋3＋2＋1＝4×4＝16（人），要保持队形不变，人数增加最少，第五排应有5人，总人数可以变成1＋2＋3＋4＋5＋4＋3＋2＋1＝5×5＝25（人），增加人数就是25－16＝9（人）。
【详解】1＋2＋3＋4＋3＋2＋1
＝4×4
＝16（人）
1＋2＋3＋4＋5＋4＋3＋2＋1
＝5×5
＝25（人）
25－16＝9（人）
答：至少应该增加9人。
9．（1）4；4n＋2
（2）13张
【分析】（1）先观察图形，找出桌子数量和能坐人数之间的规律。通过对比一张桌子、两张桌子能坐的人数，来确定每多一张桌子多坐的人数。
一张桌子可以围坐：4×1＋2＝4＋2＝6（人）
两张桌子拼起来可以围坐：4×2＋2＝8＋2＝10（人）
三张桌子拼起来可以围坐：4×3＋2＝12＋2＝14（人）
四张桌子拼起来可以围坐：4×4＋2＝16＋2＝18（人）
……
n张桌子拼起来可以围坐：4×n＋2＝（4n＋2）人
一张桌子可以围坐6个人，两张桌子拼起来可以围坐10个人，10－6＝4（人），所以每多一张桌子，可多坐 4 人。
（2）五（1）班有54人，设至少需要x张桌子，由（1）可得4x＋2＝54，解出方程，即可求出五（1）班有54人，至少需要多少张桌子。
【详解】（1）由分析可得：每多一张桌子，可多坐4人，按此规律，n张桌子可坐（4n＋2）人。
（2）解：设至少需要x张桌子。
4x＋2＝54
4x＝54－2
4x＝52
x＝52÷4
x＝13
答：五（1）班有54人，至少需要13张桌子。
10．(1)17
(2)77
(3)4n－3
【分析】（1）（2）（3）通过观察图，发现规律：
第1幅图的点数为1＋0×4＝1＋0＝1
第2幅图的点数为1＋1×4＝1＋4＝5
第3幅图的点数为1＋2×4＝1＋8＝9
第4幅图的点数为1＋3×4＝1＋12＝13
……
第n幅图的点数为：1＋（n－1）×4＝1＋4n－4＝4n－3
通过发现的规律，算出第5幅图和第20幅图的点数是多少，据此解答。
【详解】（1）4×5－3＝20－3＝17（个）
按这个规律排下去，第5幅图的点数是17。
（2）4×20－3＝80－3＝77（个）
第20幅图的点数是77。
（3）由分析得：第幅图的点数是4n－3。
11．31
【分析】
由可知三角形表示2，圆表示3，正方形表示1。又由这些图案下面的数字可以发现图案里面的图形表示前面的数字，图案外面的图形表示后面的数字。根据发现的关系可知图案中，里面是圆，表示前面的数字是3，外面是正方形表示后面的数字是1；据此解答。
【详解】
通过分析可知，三角形表示2，圆表示3，正方形表示1， 图案里面的图形表示前面的数字，图案外面的图形表示后面的数字，所以表示31。
【点睛】解决此类问题可以先从组合图案中找到与图形相对应的数字，再根据图案的组合规律推算出对应的数字的排列顺序。
12．（1）1个；3个；6个；10个；
（2）21个；45个；
（3）见详解；（1＋2＋3＋4＋…＋n）个；
（4）55个
【分析】从图中可知：
（1）有1个三角形；
有2个小三角形和1个大三角形，一共是2＋1＝3（个）三角形；
有3个小三角形，相邻2个小三角形组成2个三角形，有1个大三角形，共有3＋2＋1＝6（个）三角形；
有4个小三角形，相邻2个小三角形组成3个三角形，相邻3个小三角形组成2个三角形，有1个大三角形，共有4＋3＋2＋1＝10（个）三角形；
（2）按照这种规律画下去，
第6个图形：6＋5＋4＋3＋2＋1＝21（个）
第9个图形：9＋8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝45（个）
（3）由此得出规律：若图形中的单个小三角形个数为n，则图形中三角形的总个数就是（1＋2＋3＋4＋…＋n）个。
（4）数出单个小三角形的个数，再按规律计算即可。
【详解】（1）1个
2＋1＝3（个）
3＋2＋1＝6（个）
4＋3＋2＋1＝10（个）
答：第1个图形有1个三角形；第2个图形有3个三角形；第3个图形有6个三角形；第4个图形有10个三角形。
（2）第6个图形：6＋5＋4＋3＋2＋1＝21（个）
第9个图形：9＋8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝45（个）
答：第6个图形有21个三角形；第9个图形有45个三角形；
（3）答：我发现图中有几个小三角形就从1开始依次加到n。若图形中的单个小三角形个数为n，则图形中三角形的总个数就是（1＋2＋3＋4＋…＋n）个。
（4）10＋9＋8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝55（个）
答：图中一共有55个三角形。
13．（1）10；14
（2）（2n＋4）人
【分析】1张长方形桌子可坐6人，6＝2×1＋4；2张桌子拼在一起可坐8人，8＝2×2＋4；依此类推，每多一张桌子可多坐2人，所以n张桌子拼在一起可坐（2n＋4）人。据此解答即可。
【详解】（1）2×3＋4
＝6＋4
＝10（人）
2×5＋4
＝10＋4
＝14（人）
则3张桌子拼在一起可坐10人，5张桌子拼在一起可坐14人。
（2）n×2＋4＝（2n＋4）人
答：如果是n张桌子拼在一起，那么可以坐（2n＋4）人。
14．(1) 1 4 9
(2) 4 8 12
(3) 25 20 81 36
【分析】（1）根据题中图形排列规律：
第1个图形是1行1列，有小正方形：1×1＝1（个）；
第2个图形是2行2列，有小正方形：2×2＝4（个）；
第3个图形是3行3列，有小正方形：3×3＝9（个）；
则第n个图形是n行n列，有小正方形：n×n＝n²（个）。
（2）通过观察可知：
第1个图形边长为1厘米，周长：1×4＝4（厘米）；
第2个图形边长为2厘米，周长：2×4＝8（厘米）；
第3个图形边长为3厘米，周长：3×4＝12（厘米）；
则第n个图形边长为n厘米，周长：n×4＝4n（厘米）。
（3）通过（1）（2）发现的规律，代入数据计算，即可解答。
【详解】（1）由分析可得：小正方形的个数分别是1、4、9…
（2）由分析可得：大正方形的周长分别是4厘米、8厘米、12厘米…
（3）由分析（1）（2）可得：
5×5＝25（个）
4×5＝20（厘米）
9×9＝81（个）
4×9＝36（厘米）
即第5个图形中的小正方形有25个，这个图形的周长是20厘米；第9个图形中的小正方形有81个，这个图形的周长是36厘米。
15．(1) 38 6n＋2
(2)200
(3)14
【分析】（1）根据题意分析可得：摆1条金鱼需8根火柴棒，此后，每条金鱼都比前一条金鱼多用6根，故按照上面的规律，摆n条“金鱼”需用火柴棒的根数为8＋（n－1）×6根；据此解答。
（2）根据（1）求出8条金鱼需要多少根火柴棒，即一组需要多少根火柴棒，进而求出4组需要的火柴棒。
（3）我们需要用88根火柴棒减去2根火柴棒，因为第一条金鱼用的是8根火荣棒。其余都是用的6根。所以减去第一条多的2根，再除以6，就可以得到88根火柴最多可以摆多少这样的金鱼。当剩下不足6根火柴棒是不能组成一条“金鱼”。
【详解】（1）8＋（6－1）×6
＝8＋5×6
＝8＋30
＝38（根）
8＋（n－1）×6
＝8＋（6n－6）
＝8＋6n－6
＝（6n＋2）根
按照上面的规律，摆6条“金鱼”需要38根火柴棒，摆n条“金鱼”需要（6n＋2）根火柴棒。
（2）当n＝8时，
6n＋2
＝6×8＋2
＝48＋2
＝50（根）
50×4＝200（根）
如果要摆4组“金鱼”，每组摆8条，按照上面的摆法，需要准备200根火柴棒。
（3）（88－2）÷6
＝86÷6
≈14（条）
准备88根火柴棒最多能摆14条这样的“金鱼”。
16．495
【分析】任意写一个三位数，把各个数位上的数按从大到小排列，组成一个新数，再按从小到大排列组成另一个新数，这两个数相减，得到的差再按上面的步骤做，若干次后，得到的差是几，三位数的黑洞就是几。
【详解】例如：576
765－567＝198
981－189＝792
792－279＝513
531－153＝378
873－378＝495
954－459＝495
954－459＝495
答：三位数的黑洞是495。
17．（1）84分；1.2分
（2）少算；50；1.2
（3）只有当前30名和后20名的平均分相等时，李敏的算法才是正确的。
【分析】（1）平均数等于总数除以个数。对于这道题，要通过计算前30名和后20名的总分来求出全班的实际平均分，再与李敏的计算方法进行对比。然后根据笑笑的赋值法求出李敏计算的平均分以及差值；
（2）根据奇思的数形结合可知，李敏少算了60分用少算的分数除以全班人数，即是少算的平均分；
（3）只有当前30名和后20名的平均分相等时，李敏的算法才是正确的。
【详解】（1）（90＋78）÷2
＝168÷2
＝84（分）
85.2－84＝1.2（分）
所以李敏算的平均分为84分；与实际平均分相差1.2分。
（2）从“移多补少”去想，李敏是少算6×10＝60（分），所以李敏得到的结果与全班实际的平均成绩相差60÷50＝1.2（分）。
（3）只有当前30名和后20名的平均分相等时，李敏的算法才是正确的。
18．(1) 4 5
(2) 10 11 110
【分析】（1）通过观察图形中小正方形的排列规律，发现了连续偶数相加的求和规律。
4
5
发现了连续偶数相加的求和规律：从2开始的连续n个偶数相加，其和为n×（n＋1）
（2）在中，一共有10个偶数相加，然后运用发现的这个规律来计算即可。
【详解】（1）4，5
（2）
＝10×（10＋1）
＝10×11
＝110
19．见详解
【分析】从图1看出两个数相乘可以借助长方形面积的计算方法，把每个乘数拆成两个数的和相当于把长方形的长和宽分别拆成两段，然后把长方形分割成四个小长方形，分别求出每个长方形面积＝长×宽，再相加即可。
【详解】
1＋0.25＝1.25；1＋0.2＝1.2
（1＋0.25）×（1＋0.2）＝1×1＋1×0.2＋0.25×1＋0.25×0.2＝1＋0.2＋0.25＋0.05＝1.5
由上题的思路，图2研究的是1.25×1.2
（a＋b）×（a＋b）
＝a×a＋a×b＋ a×b＋b×b
＝a2＋2ab＋b2
20．第三列
【分析】观察图形可知：除去第一行，其它各行的排列都是有规律的，也就是八个数字一组，每四个数字为一行，前四个数字分别占居一二三四列的位置，后四个数字分别占居二三四五列。所以本题需要用有余数除法来解决，先计算2000－5＝1995，再用1995除以8，看余数是多少即可判断出2000应写在哪一列。
【详解】
＝1995÷8
＝249……3
2000应写在第三列。
答：2000应写在第三列。
【点睛】先找出这个数阵周期性的规律，再根据规律求解。
21．（1）见详解
（2）n（n－1）÷2；45
【分析】本题考查了握手问题的实际应用，要注意去掉重复计算的情况，如果数量比较少我们可以用枚举法解答，比如5个人握手求相互握手的次数；如果数量比较多，我们可以用公式 n（n－1）÷2解答。
【详解】（1）如下表所示：
（2）若有n人相互握手，握手的次数是n（n－1）÷2次；
当n＝10时，握手次数是：
10×（10－1）÷2
＝10×9÷2
＝90÷2
＝45（次）
【点睛】每2人之间握一次手，相当于两两组合，根据握手问题的公式n（n－1）÷2解答。
22．不能经过有限次操作，将一张纸恰好剪成2009块，因为2009被5除余4，余数不是1
【分析】根据题意可知，每次增加操作后，纸张的数量都增加了5的整数倍，纸张的数量为被5除余1的整数。据此判断即可。
【详解】2009÷5＝401……4
2009被5除余4，所以不能经过有限次操作，将一张纸恰好剪成2009块。
答：不能经过有限次操作，将一张纸恰好剪成2009块，因为2009被5除余4，余数不是1。
【点睛】本题考查了带余除法的灵活应用，明确纸张增加的规律是解答本题的关键。
23．不能；理由见详解
【分析】根据题意可知，每次增加操作后，长方形的个数都增加了6的整数倍，长方形的个数为被6除余1的整数。据此判断即可。
【详解】2010÷6＝335
2010恰好是6的整数倍，所以不能经过有限次操作，将正方形恰好分成2010个小长方形。
答：不能经过有限次操作，将正方形恰好分成2010个小长方形，因为2010恰好是6的整数倍。
24．（1）7；（2）11；（3）9
【分析】（1）第一次操作：
A段的书的编号（从上往下）分别是：1、2、3、4；
B段的书的编号（从上往下）分别是：5、6、7、8；
C段的书的编号（从上往下）分别是：9、10、11、12、13；
按照第二步的顺序（从上往下）：13、4、8、12、3、7、11、2、6、10、1、5、9，第6张是7。
（2）第二次操作：
A段的书的编号（从上往下）分别是：13、4、8、12；
B段的书的编号（从上往下）分别是：3、7、11、2；
C段的书的编号（从上往下）分别是：6、10、1、5、9；
按照第二步的顺序（从上往下）：9、12、2、5、8、11、1、4、7、10、13、3、6，第6张是11。
（3）根据（1）和（2），继续往下，得出第三次操作的第6张是1，第四次操作的第6张是13，一直算到第7次后发现规律，列出如下的表格，得出是按照7、11、1、13、9、6这样的顺序循环排列的。
将6个数看成一组，365次里面有60组这样循环，余5个数，则循环里面的第五个数就是第365次操作后从上往下数第6张卡片上的编号。
【详解】（1）第1次操作后，从上往下数第6张卡片上的编号是7。
（2）第2次操作后，从上往下数第6张卡片上的编号是11。
（3）365÷6＝60（组）……5（个）
答：第365次操作后，从上往下数第6张卡片上的编号是9。
25．（1）67；
（2）147
【分析】（1）对图1分析：
m＝0时，就是有1个三角形时，需要3根小棒；
m＝1时，就是有3个三角形时，需要7＝3＋4根小棒；
m＝2时，就是有5个三角形时，需要11＝3＋4×2根小棒；
……
需要小棒的数量＝3＋4m。
对图2分析：
n＝1时，就是2个正方形时，需要7根小棒；
n＝2时，就是4个正方形时，需要12＝7＋5根小棒；
n＝3时，就是6个正方形时，需要17＝7＋5×2根小棒；
……
需要小棒的数量＝7＋5（n－1）＝5n＋2。
摆成两种图形小棒的数量是一样的，则
a＝3＋4m＝5n＋2，a的值大于50，则m最小12，n最小是10，且m、n、a都是整数。当m＝12时，n＝9.8不符合；m＝13时，n＝10.6不符合；m＝14时，n＝11.4不符合；m＝15时，n＝12.2不符合；m＝16时，n＝13符合。
（2）分析图3：
p＝2时，就是有2个五边形，需要小棒9根小棒；
p＝4时，就是有4个五边形，需要小棒15＝3×4＋3根小棒；
p＝6时，就是有6个五边形，需要小棒21＝3×6＋3根小棒；
……
需要小棒的根数＝3p＋3＝3（p＋1），即a的值是3的倍数，在满足（1）的情况下，a的取值是：67、87、107、127、147、167、187。
其中187和167不是3的倍数，147是3的倍数，
【详解】（1）摆成三角形需要小棒的数量：3＋4m。
摆成正方形需要小棒的数量：5n＋2。
3＋4m＝5n＋2
当m＝16，n＝13时
3＋4×16
＝3＋64
＝67（根）
答：a的最小值67根。
（2）a＝3（p＋1）
a的取值是：67、87、107、127、147、167、187，
其中147符合条件。
答：a的最大值147根。
【点睛】认真观察图形，找出图形的变化规律是解题关键。
26．6张
【分析】根据题意可知1张桌子4个人，2张桌子6个人，3张桌子8个人，可得到规律：每多1张桌子，会多2人，先用14－4求出第一张桌子坐满后多的人数，再除以2即可求出需要多加多少张桌子，再加上1即为一共需要拼几张桌子。据此解答即可。
【详解】14－4＝10（人）
10÷2＝5（张）
5＋1＝6（张）
答：一共需要拼6张桌子。
27．154
【分析】根据题意可知，设第2行第1列为a，第3行第1列为2a，如下图：
据此可知，①＝（a＋97），③＝（2a＋194），②＝（2a＋③），②＝（91＋①），把①＝（a＋97）和③＝（2a＋194）代入（91＋①）＝（2a＋③）中，然后求出a的值，据此再把a的值代入（2a＋194），求出③，然后根据④＝（194＋③），求出④。
【详解】解：设第2行第1列为a，第3行第1列为2a。
[91＋（a＋97）]＝[2a＋（2a＋194）]
[91＋0.5a＋48.5]＝[2a＋a＋97]
[91＋0.5a＋48.5]×2＝[2a＋a＋97] ×2
91＋0.5a＋48.5＝2a＋a＋97
91＋0.5a＋48.5＝3a＋97
139.5＋0.5a＝3a＋97
139.5＋0.5a－0.5a＝3a＋97－0.5a
139.5＝2.5a＋97
139.5－97＝2.5a＋97－97
42.5＝2.5a
2.5a＝42.5
2.5a÷2.5＝42.5÷2.5
a＝17
当a＝17时，
第3行第3列为：
×（2×17＋194）
＝×2×17＋×194
＝17＋97
＝114
第3行第4列为：
×（194＋114）
＝×308
＝154
答：第3行第4列应该填入的数是154。
【点睛】本题考查了数表中的规律，先找到规律，再根据规律求解，注意方程思想的运用。
28．第一行中的数排列可以是1、3、5、4、2，理由：尽可能使第一行中最大的数加的次数最多，才能使第五行的数最大；最大值是61
【分析】通过观察可知，48＝20＋28＝8＋12＋12＋16＝3＋5＋5＋7＋5＋7＋7＋9＝1＋2＋2＋3＋2＋3＋3＋4＋2＋3＋3＋4＋3＋4＋4＋5，从第一行数到第五行的数，第一行的数从左往右，依次加了1次、4次、6次、4次、1次。为使第五行的数最大，加6次的数应当是5，加4次的数是3和4，加1次的数是1和2，据此用5×6＋3×4＋4×4＋1＋2即可求出最大值。
【详解】根据分析可知，
最大值：5×6＋3×4＋4×4＋1＋2
＝30＋12＋16＋1＋2
＝61
第一行中的数排列可以为：，符合第五行结果为61的排列即可。
答：第一行中的数排列可以是1、3、5、4、2，理由是要尽可能使第一行中最大的数加的次数最多，才能使第五行的数最大，最大值是61。
29．（1）57；（2）177
【分析】（1）对图1分析：
m＝1时，就是有2个三角形时，需要5＝1＋4根小棒；
m＝2时，就是有4个三角形时，需要9＝1＋4×2根小棒；
m＝3时，就是有6个三角形时，需要13＝1＋4×3根小棒；
……
需要小棒的数量＝1＋4m。
对图2分析：
n＝1时，就是2个正方形时，需要7＝2＋5根小棒；
n＝2时，就是4个正方形时，需要12＝2＋5×2根小棒；
n＝3时，就是6个正方形时，需要17＝2＋5×3根小棒；
……
需要小棒的数量＝2＋5n。
摆成两种图形小棒的数量是一样的，则
a＝1＋4m＝2＋5n，a的值大于50，则m最小13，n最小是10，且m、n、a都是整数。当m＝13时，n＝10.2不符合；m＝14时，n＝11符合。
（2）分析图3：
p＝2时，就是有2个五边形，需要小棒9根小棒；
p＝4时，就是有4个五边形，需要小棒15＝3×4＋3根小棒；
p＝6时，就是有6个五边形，需要小棒21＝3×6＋3根小棒；
……
需要小棒的根数＝3p＋3＝3（p＋1），即a的值是3的倍数，在满足（1）的情况下，a的取值是：57、77、97、117、137、157、177，
其中77、97、137、157不是3的倍数，57、117、177是3的倍数。
【详解】（1）摆成三角形需要小棒的数量：1＋4m。
摆成正方形需要小棒的数量：2＋5n。
1＋4m＝5n＋2
4m＝5n＋1
m＝
当m＝14，n＝11时，
1＋4×14
＝1＋56
＝57（根）
答：a的最小值57根。
（2）a＝3（p＋1）
a的取值是：57、77、97、117、137、157、177，
57、117、177是3的倍数，177最大。
答：a的最大值177根。
【点睛】认真观察图形，找出图形的变化规律是解题关键。
30．（1）5；9；13
（2）41；（4n＋1）
（3）16间
【分析】（1）看图数一数，即可确定搭1间、2间、三间房子需要的小棒根数；
（2）搭1间房子要5根小棒，5＝1×4＋1；搭2间房子要9根小棒，9＝2×4＋1；搭3间房子要13根小棒，13＝3×4＋1，即小棒根数＝房子数量×4＋1，据此分析；
（3）房子数量＝（小棒数量－1）÷4，据此列式解答。
【详解】（1）搭1间房子要5根小棒，搭2间房子要9根小棒，搭3间房子要13根小棒。
（2）10×4＋1
＝40＋1
＝41（根）
n×4＋1＝（4n＋1）根
搭10间房子要41根小棒，搭n间房子要（4n＋1）根小棒。
（3）（65－1）÷4
＝64÷4
＝16（间）
答：如果有65根小棒可以搭16间房子。
正方形的个数
1
2
3
4
…
（ ）
顶点个数
4
7
10
（ ）
…
601
正方形的个数
1
2
3
4
…
200
顶点个数
4
7
10
13
…
601
序号
1
2
3
4
…
图形
……
图片个数
2
2＋4
2＋4＋6
2＋4＋6＋8
…
图形编号
图（1）
图（2）
图（3）
图（4）
图（5）
图（6）
圆的个数
示意图
人数
2
3
4
5
6
相互握手次数
1
3
6
图形编号
图（1）
图（2）
图（3）
图（4）
图（5）
图（6）
圆的个数
1
4
9
16
25
36
示意图
人数
2
3
4
5
6
相互握手次数
1
3
6
10
15
1次
2次
3次
4次
5次
6次
7次
…
7
11
1
13
9
6
7
…