专题07 对数与对数函数6题型分类-备战2025年高考数学一轮专题复习全套考点突破和专题检测

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1、对数式的运算
（1）对数的定义：一般地，如果且，那么数叫做以为底的对数，记作，读作以为底的对数，其中叫做对数的底数，叫做真数．
（2）常见对数：
①一般对数：以且为底，记为，读作以为底的对数；
②常用对数：以为底，记为；
③自然对数：以为底，记为；
（3） 对数的性质和运算法则：
①；；其中且；
②（其中且，）；
③对数换底公式：；
④；
⑤；
⑥，；
⑦和；
⑧；
2、对数函数的定义及图像
（1）对数函数的定义：函数 且叫做对数函数．
对数函数的图象
一、单选题
1．（2024高一上·内蒙古包头·期中）函数的图象恒过定点（ ）
A．B．C．D．
2．（2024·北京·模拟预测）已知函数，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
3．（2024高三·北京·学业考试）将函数的图象向上平移1个单位长度，得到函数的图象，则（ ）
A．B．
C．D．
4．（2024高三·河南·阶段练习）已知，分别是方程和的根，若，实数a，，则的最小值为（ ）
A．1B．C．D．2
5．（2024高三·全国·专题练习）若满足，满足，则等于（ ）
A．2B．3C．4D．5
6．（2024·陕西·模拟预测）已知 是方程的根， 是方程的根，则的值为（ ）
A．2B．3C．6D．10
7．（2024·天津）化简的值为（ ）
A．1B．2C．4D．6
8．（2024·浙江）已知，则（ ）
A．25B．5C．D．
9．（2024高三上·广西南宁·阶段练习）若，则（ ）
A．B．C．1D．
10．（2005·江西）函数的定义域为（ ）
A．B．C．D．
11．（2024·海南海口·二模）已知函数是上的单调函数，且，则在上的值域为（ ）
A．B．C．D．
12．（2024高三上·山东泰安·阶段练习）函数的定义域是（ ）
A．B．C．D．
13．（2024高三·全国·专题练习）已知函数且，若函数的值域是，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
14．（2024高二下·云南保山·期末）函数的图象可能是（ ）．
A． B．
C． D．
15．（2024·海南·模拟预测）已知函数，，的图象如图所示，则（ ）
A．B．
C．D．
16．（2024高三上·江苏无锡·期末）函数的部分图象大致为（ ）．
A．B．
C．D．
17．（2024高二下·北京东城·期末）若函数的图象过点，则（ ）
A．3B．1C．-1D．-3
18．（2024高三上·福建宁德·阶段练习）已知函数且的图象恒过定点，点在幂函数的图象上，则（ ）
A．B．2C．1D．
19．（2007·天津）设均为正数，且，，．则（ ）
A．B．C．D．
20．（2024·湖南）函数的图象和函数的图象的交点个数是
A．1B．2C．3D．4
21．（2024·北京）下列函数中，在区间上单调递增的是（ ）
A．B．
C．D．
22．（2024高二下·吉林长春·期末）函数的单调减区间为（ ）
A．B．C．D．
23．（2024高一上·黑龙江大庆·期末）若函数在区间内恒有，则的单调递增区间是
A．B．
C．D．
24．（2024·全国）若，则（ ）
A．B．C．D．
25．（2024·全国）已知，则（ ）
A．B．C．D．
26．（2024·全国）已知，，，则下列判断正确的是（ ）
A．B．C．D．
27．（2024高一上·北京海淀·期末）已知，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
28．（2024高三上·北京丰台·期末）已知函数，则不等式的解集是（ ）
A．B．
C．D．
29．（2024·海南）已知函数在上单调递增，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
30．（2024高三上·云南保山·阶段练习）已知是上的单调递减函数，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
31．（2007·山西）设函数在区间，上的最大值与最小值之差为，则_____
A． B．2C． D．4
32．（2008·全国）若函数的图象与函数的图象关于直线对称，则（ ）
A．B．C．D．
33．（2024·河南·模拟预测）已知函数的图象与的图象关于直线对称，且满足，则（ ）
A．4B．2C．1D．
34．（2004·上海）若函数的图象与函数的图象关于直线对称，则（ ）
A．B．C．D．
35．（2024·陕西）设函数的反函数为，则函数的图像是（ ）
A．B．
C．D．
36．（2024高二下·陕西西安·阶段练习）已知函数，则（ ）
A．3B．2C．D．
37．（2024高一下·全国·单元测试）设函数，若，则的值为（ ）
A．B．1C．或1D．或1或
38．（2024高二上·山东济南·开学考试）若函数的值域为，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
39．（2024高一下·湖南·期末）已知函数（且，，为常数）的图象如图，则下列结论正确的是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
二、多选题
40．（2024高三下·江苏南京·开学考试）当时，，则的值可以为（ ）
A．B．C．D．
41．（2024·湖北·模拟预测）已知，，，，则以下结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
42．（2024·广东惠州·一模）若，则（ ）
A．B．
C．D．
43．（2024高一上·江苏南京·期末）若函数，且，则实数的值可能为（ ）
A．B．0C．2D．3
44．（2024高一下·贵州毕节·期末）已知函数，若，且，则（ ）
A．B．C．D．
45．（2024高二下·福建三明·期末）若函数为奇函数，为偶函数，且当时，，则（ ）
A．B．周期为4
C．为偶函数D．当时，
三、填空题
46．（2024·四川成都·模拟预测） ．
47．（2024·河南·二模）已知，，则 ．
48．（2024·上海徐汇·模拟预测）方程的解集为 ．
49．（2024·山东淄博·二模）设，满足，则 .
50．（2024·天津南开·二模）计算的值为 .
51．（2024高三·全国·专题练习）若，，用a，b表示
52．（2024高一上·江西景德镇·期末）解关于x的不等式解集为 ．
53．（2024高三下·上海浦东新·阶段练习）方程的解为 ．
54．（2024·北京海淀·模拟预测）不等式的解集为 ．
55．（2024·新疆阿勒泰·三模）正数满足，则a与大小关系为 ．
56．（2024高三·全国·专题练习）已知函数在上的最大值是2，则a等于
57．（2024高一上·山东临沂·期末）若函数（且）在上的最大值为2，最小值为m，函数在上是增函数，则的值是 ．
58．（2024高一上·河南南阳·期中）若函数有最小值，则的取值范围是 ．
59．（2024·河南·模拟预测）写出一个同时具有下列性质①②③的函数: .
① ;②当时，单调递减; ③为偶函数.
60．（2024高三上·江苏泰州·期中）已知函数同时满足（1）；（2），其中，则符合条件的一个函数解析式＝ ．
61．（2024高三·全国·专题练习）已知函数，若且，则的取值范围为 .
62．（2024高三·全国·专题练习）已知函数,若，则 ，函数的值域为 ．
63．（2024高一下·上海宝山·阶段练习）若函数f(x)＝lg（x2﹣mx+1）的定义域为R，则实数m的取值范围是 ．
64．（2024高一上·山西运城·阶段练习）若函数的值域为R，则实数m的取值范围是
四、解答题
65．（2024高三上·陕西安康·期末）已知函数.
(1)若，求a的值；
(2)若对任意的，恒成立，求的取值范围.
66．（2024·上海宝山·模拟预测）已知，.
（1）当时，求函数的值域；
（2）对任意，其中常数，不等式恒成立，求实数的取值范围.
67．（2024·全国）解不等式：．
68．（2024·北京）解不等式：．
69．（2024高三·全国·对口高考）（1）函数是定义域在上的奇函数，当时，，求函数的解析式；
（2）函数对一切均有，当时，，当时，求函数的解析式．
70．（2024高三上·湖北·阶段练习）已知函数是定义在上的奇函数，且它的图像关于直线对称.
(1)求证：是周期为4的周期函数；
(2)若，求时，函数的解析式.
图象

性质
定义域：
值域：
过定点，即时，
在上增函数
在上是减函数
当时，，当时，
当时，，当时，
（一）
对数运算及对数方程、对数不等式
对数的有关运算问题要注意公式的顺用、逆用、变形用等.对数方程或对数不等式问题是要将其化为同底，利用对数单调性去掉对数符号，转化为不含对数的问题，但这里必须注意对数的真数为正.
题型1：对数运算及对数方程、对数不等式
1-1．（2024·北京）已知函数，则 ．
1-2．（2024高三上·湖北·阶段练习）使成立的的取值范围是
1-3．（2024·全国）已知函数，若，则 ．
1-4．（2024高三上·江苏南京·期中）设函数，则 .
1-5．（2024高三下·上海·阶段练习）若，且，则 ．
1-6．（2024高三·全国·专题练习）= ；
（二）
对数函数的图像
研究和讨论题中所涉及的函数图像是解决有关函数问题最重要的思路和方法.图像问题是数和形结合的护体解释.它为研究函数问题提供了思维方向.
题型2：对数函数的图像
2-1．（2024·山东菏泽·三模）已知函数且过定点，且定点在直线上，则的最小值为 ．
2-2．（2024高二上·四川绵阳·单元测试）函数的图象恒过定点，若点在直线上，其中、，则的最小值为 .
2-3．（2024高二上·河北衡水·阶段练习）已知函数，，对任意的，，有恒成立，则实数的取值范围是 .
2-4．（2024高三·四川·对口高考）已知函数（a，b为常数，其中且）的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
2-5．（2024·陕西）函数的图像大致为（ ）
A．B．
C．D．
（三）
对数函数的性质（单调性、最值（值域））
研究和讨论题中所涉及的函数性质是解决有关函数问题最重要的思路和方法.性质问题是数和形结合的护体解释.它为研究函数问题提供了思维方向.
题型3：对数函数的定义域、值域问题
3-1．（2024高二下·福建莆田·期中）函数，则定义域是 ．
3-2．（2024·北京）函数的值域为 .
3-3．（2024高三·全国·对口高考）若函数的定义域为，则a的取值范围为 ；若函数的值域为，则a的取值范围为 .
3-4．（2024高三·全国·专题练习）已知函数的值域为，则的取值范围是 ．
题型4：对数函数的单调性和最值
4-1．（2024高三·重庆渝中·阶段练习）函数的单调递增区间为（ ）
A．B．C．D．
4-2．（2024高三下·宁夏银川·阶段练习）已知函数，若在上为减函数，则a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
4-3．（2024高一下·陕西宝鸡·期末）已知函数的最小值为0，则实数的取值范围是 ．
4-4．（2024高一下·湖北·阶段练习）若函数在上单调，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
4-5．（2024·云南·模拟预测）已知，设，则函数的最大值为 .
4-6．（2024·海南海口·模拟预测）已知正实数，满足：，则的最小值为 .
4-7．（2024·天津）已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
题型5：对数函数性质的综合
5-1．（2024高三·全国·专题练习）已知函数满足：，则；当时，，则 ．
5-2．（2024高一上·江苏徐州·期末）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则的解集是 .
5-3．（2024·陕西宝鸡·二模）已知函数，则（ ）
A．在单调递减，在单调递增B．在单调递减
C．的图像关于直线对称D．有最小值，但无最大值
5-4．（2024·全国）设函数，则f(x)（ ）
A．是偶函数，且在单调递增B．是奇函数，且在单调递减
C．是偶函数，且在单调递增D．是奇函数，且在单调递减
（四）
对数函数中的恒成立问题
1.不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：
一般地，已知函数，
（1）若，，总有成立，故；
（2）若，，有成立，故；
（3）若，，有成立，故；
（4）若，，有，则的值域是值域的子集 ．
2.（1）利用数形结合思想，结合对数函数的图像求解；
（2）分离自变量与参变量，利用等价转化思想，转化为函数的最值问题.
（3）涉及不等式恒成立问题，将给定不等式等价转化，借助同构思想构造函数，利用导数探求函数单调性、最值是解决问题的关键.
题型6：对数函数中的恒成立问题
6-1．（2024高二下·黑龙江大庆·阶段练习）已知函数，若对，使得，则实数的取值范围为 .
6-2．（2024·江西宜春·模拟预测）若，不等式恒成立，则实数的取值范围为 .
6-3．（2024高三下·浙江·阶段练习）已知函数，，若存在，任意，使得，则实数的取值范围是 .
6-4．（2024高一上·江苏镇江·期末）若不等式在上恒成立，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．