第一章　§1.2　常用逻辑用语-【北师大版】2025年高考数学大一轮复习（课件+讲义+练习）

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1.理解充分条件、必要条件、充要条件的意义；理解判定定理与充分条件、性质定理与必要条件、数学定义与充要条件的关系.2.理解全称量词和存在量词的意义，能正确对两种命题进行否定.
第一部分 落实主干知识
第二部分 探究核心题型
1.充分条件、必要条件与充要条件的概念
2.全称量词与存在量词(1)全称量词：诸如“所有”“每一个”“任意”“任何”“一切”这样的词叫作全称量词，用符号“ ”表示，读作“对任意的”．(2)存在量词：诸如“有些”“有一个”“存在”这样的词叫作存在量词，用符号“___”表示，读作“存在”．
3.全称量词命题和存在量词命题
1.充分、必要条件与对应集合之间的关系设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}.(1)若p是q的充分条件，则A⊆B；(2)若p是q的充分不必要条件，则AB；(3)若p是q的必要不充分条件，则BA；(4)若p是q的充要条件，则A＝B.2.含有一个量词命题的否定规律是“改变量词，否定结论”.3.命题p与p的否定的真假性相反.
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)(1)当p是q的充分条件时，q是p的必要条件.(　　)(2)“三角形的内角和为180°”是全称量词命题.(　　)(3)“x>1”是“x>0”的充分不必要条件.(　　)(4)命题“∃x∈R， ”是真命题.(　　)
2.(多选)已知命题p：∀x∈R，x＋2≤0，则下列说法正确的是A.p是真命题B.p的否定：∀x∈R，x＋2>0C.p的否定是真命题D.p的否定：∃x∈R，x＋2>0
当x＝0时，x＋2≤0不成立，故p是假命题，故A错误；由含量词命题的否定可知，p：∀x∈R，x＋2≤0的否定：∃x∈R，x＋2>0，故D正确，B错误；p的否定是真命题，故C正确．
3.设x>0，y>0，则“x2>y2”是“x>y”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件
4.已知A＝(－∞，a]，B＝(－∞，3)，且x∈A是x∈B的充分不必要条件，则a的取值范围为__________.
由题意知，x∈A⇒x∈B，x∈B⇏x∈A，即AB，所以a0，且公比q>1”是“{an}为递增数列”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件
当a1>0，且q>1时，有an＋1－an＝a1qn－a1qn－1＝a1qn－1(q－1)>0，所以an＋1>an(n∈N＋)，即{an}为递增数列；当{an}为递增数列时，即对一切n∈N＋，有an＋1>an恒成立，所以an＋1－an＝a1qn－1(q－1)>0，但a10，且公比q>1”是“{an}为递增数列”的充分不必要条件.
充分、必要条件的三种判定方法(1)定义法：根据p⇒q，q⇒p是否成立进行判断.(2)集合法：根据p，q成立对应的集合之间的包含关系进行判断.(3)等价转化法：对所给题目的条件进行一系列的等价转化，直到转化成容易判断充分、必要条件是否成立为止.
跟踪训练1　(1)(2024·贵阳模拟)已知函数f(x)＝cs(2x＋φ)，则“φ＝ ”是“f(x)是奇函数”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件
f(x)是奇函数等价于cs(－2x＋φ)＝－cs(2x＋φ)，即cs(－2x＋φ)＝cs(π－2x－φ)，故－2x＋φ＝π－2x－φ＋2kπ，k∈Z，
(2)当命题“若p，则q”为真命题，则“由p可以推出q”，即一旦p成立，q就成立，p是q成立的充分条件.也可以这样说，若q不成立，那么p一定不成立，q对p成立也是很必要的.王安石在《游褒禅山记》中也说过一段话：“世之奇伟、瑰怪，非常之观，常在于险远，而人之所罕至焉，故非有志者不能至也”.从数学逻辑角度分析，“有志”是“能至”的A.充分条件B.必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件
因为“非有志者不能至也”即“有志”不成立时“能至”一定不成立，所以“能至”是“有志”的充分条件，“有志”是“能至”的必要条件.
例2　在①“x∈A”是“x∈B”的充分条件；②“x∈∁RA”是“x∈∁RB”的必要条件这两个条件中任选一个，补充到本题第(2)问的横线处，并求解下列问题.问题：已知集合A＝{x|a≤x≤a＋2}，B＝{x|(x＋1)(x－3)1或x1，故p不是q的充分条件；
3.设λ∈R，则“λ＝1”是“直线3x＋(λ－1)y＝1与直线λx＋(1－λ)y＝2平行”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件
若直线3x＋(λ－1)y＝1与直线λx＋(1－λ)y＝2平行，则3(1－λ)－λ(λ－1)＝0，解得λ＝1或λ＝－3，经检验，当λ＝1或λ＝－3时，两直线平行.即“λ＝1”是“直线3x＋(λ－1)y＝1与直线λx＋(1－λ)y＝2平行”的充分不必要条件.
4.已知p： >1，q：x>m，若p是q的充分条件，则实数m的取值范围是A.[0，＋∞) B.[1，＋∞)C.(－∞，0] D.(－∞，1]
记A＝{x|00”是“x＋y>0”的充要条件C.命题“∃x∈R，使得x2＋1>0”的否定是“∀x∈R，x2＋1