四川省成都市温江区东辰外国语学校2024-2025学年高一上学期第二学程测试（期中）数学试题

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命题人：赵中伟 审题人：李峣 满分：150分 考试时间：120分钟
一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1.已知命题，则为（ ）
A. B.
C. D.
2.已知函数，且，则（ ）
A.1 B.2 C.3 D.6
3.若函数是指数函数，则的值为（ ）
A.2 B.3 C. D.4
4.下列函数中是增函数的为（ ）
A. B. C. D.
5.函数的定义域为（ ）
A. B. C. D.
6.设，则的大小顺序为（ ）
A. B. C. D.
7.函数的大致图象为（ ）
8.设函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，当时，，若，则（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。）
9.对任意实数，下列命题为真命题的是（ ）
A.“”是“”的充要条件 B.“”是“”的充分不必要条件
C.“”是“”的必要不充分条件 D.“”是“”的充分不必要条件
10.函数的图象如图，则
A.
B.函数的定义域为
C.函数的值域为
D.对于任意的，都有唯一的自变量与之对应
11.若正整数只有1为公约数，则称互质，对于正整数，是小于或等于的正整数中与互
质的数的个数，函数以其首位研究者欧拉命名，称为欧拉函数，例如:，则下列说法正确的有（ ）
A. B.
C. D.，是正整数
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分。）
12.已知集合，且，则实数的值为 .
13.已知，则的最小值为 .
14.若对任意实数，总存在，使得不等式成立，则实数的取值范围
是 .
四、解答题（本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
15.(13分)已知集合.
(1)若，求；
(2)设命题；命题，若命题是命题的必要不充分条件，求实数的取值范围.
16.(15分)化简求值:
(1)；
(2)；
(3)若，求的值.
17.(15分)已知函数.
(1)先判断函数单调性并用定义法证明；
(2)是否存在实数使函数为奇函数，并说明理由.
18.(17)分)汽车智能辅助驾驶已开始得到应用，其自动刹车的工作原理是用雷达测出车辆与前方障碍物之间
的距离(并结合车转化为所需时间)，当此距离等于报警距离时就开始报警提醒，等于危险距离时就自动刹车，某种算法(如下图所示)将报警时间划分为4段，分别为准备时间、人的反应时间、系统反应时间、制动时间，相应的距离分别为，当车速为(米/秒)，且时，通过大数据统计分析得到下表（其中系数随地面湿滑程度等路面情况而变化，）.
(1)请写出报警距离(米)与车速”(米/秒)之间的函数关系式，并求时若汽车达到报警距离时人和系统均不采取任何制动措施，仍以此速度行驶，则汽车撞上固定碍物的最短时间；(精确到0.1秒)
(2)若要求汽车不论在何种路面情况下行驶，报警距离均小于80米，则汽车的行驶速度应限制在多少米/秒以下?
19.(17分)已知函数的定义域为，对任意的，都有.当时，.
(1)求的值，并证明：当时，.
(2)判断的单调性，并证明你的结论；
(3)若，求不等式的解集.