四川省成都市实验外国语学校2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题 含解析

这是一份四川省成都市实验外国语学校2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题 含解析，共15页。试卷主要包含了 已知，且，则的最小值为， 若函数的部分图象如图所示，则， 下列关于集合的说法不正确的有等内容，欢迎下载使用。
考试时间120分钟 满分150分
一､单选题
1. 已知集合A={1 ，2，3，4，5}，，则A∩B的元素个数为（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 5
【答案】B
【解析】
【分析】直接根据集合的交集运算求解即可.
【详解】因为集合A={1 ，2，3，4，5}，
所以，
即A∩B的元素个数为3个.
故选：
2. 函数在[2,+∞)单调递增，则实数的取值范围是（ ）
A. B. [2,+∞)C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
直接由抛物线对称轴和区间端点比较大小即可.
【详解】函数为开口向上的抛物线，对称轴为
函数在[2,+∞)单调递增，则，解得.
故选：A.
3. 若函数的定义域为，值域为，则函数的图像可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据函数的定义域与值域，结合函数的性质判断即可.
【详解】对A，该函数的定义域为，故A错误；
对B，该函数的定义域为，值域为，故B正确；
对C，当时，每一个x值都有两个y值与之对应，故该图像不是函数的图像，故C错误；
对D，该函数的值域不是为，故D错误.
故选：B.
4. 已知函数，则“”是“在上单调递增”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】由幂函数的单调性结合充分必要条件的定义判断.
【详解】当时，函数在上单调递增，
则时，一定有在上单调递增；在上单调递增，不一定满足，
故“”是“在上单调递增”的充分不必要条件.
故选：A.
5. 已知，且，则的最小值为（ ）
A. 2B. 4C. 6D. 8
【答案】D
【解析】
【分析】利用不等式的乘“1”法即可求解.
【详解】由于，故，
当且仅当即时，等号成立，故的最小值为8.
故选：D
6. 已知定义域为的函数不是偶函数，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据偶函数的概念得是假命题，再写其否定形式即可得答案.
【详解】定义域为R的函数是偶函数，
所以不是偶函数．
故选：D．
7. 若函数的部分图象如图所示，则（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用函数图象求得函数定义域，利用函数值可得出其解析式，代入计算即求得函数值.
【详解】根据函数图象可知和不在函数的定义域内，
因此和是方程的两根，因此可得，
又易知，所以可得；
即，所以.
故选：D
8. 奇函数在上单调递增，若，则不等式的解集是（ ）．
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由奇偶性，单调性结合题意可得答案.
【详解】因奇函数在上单调递增，
则在上单调递增，f1=0.
得；.
则或.
故选：C
二､多选题
9. 下列关于集合的说法不正确的有（ ）
A.
B. 任何集合都是它自身的真子集
C. 若（其中），则
D. 集合与是同一个集合
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据集合的定义，真子集的定义，集合相等的定义判断各选项．
【详解】中含有一个元素，不是空集，A错；
任何集合都是它自身的子集，不是真子集，B错；
由集合相等的定义得，，C正确；
集合中元素是实数，集合中元素是有序实数对，不是同一集合，D错，
故选：ABD．
10. 已知二次函数的图象与轴有两个交点，则下面说法正确的是（ ）
A. 该二次函数的图象一定过定点；
B. 若该函数图象开口向下，则的取值范围为：；
C. 当，且时，的最大值为；
D. 当，且该函数图象与x轴两交点的横坐标满足时，m的取值范围为：
【答案】ABD
【解析】
【分析】代入，解得，即可求解A，根据判别式即可求解B，利用二次函数的单调性即可求解C，利用二次函数的图象性质即可列不等式求解.
【详解】由可得，
当时，，故二次函数的图象一定过定点，A正确，
若该函数图象开口向下，且与轴有两个不同交点，则，
解得：，故B正确，
当，函数开口向上，对称轴为，故函数在时，单调递增，
当时，，故的最大值为；C错误，
当，则开口向上，又时，
则，且，且，
且，解得，m的取值范围为：，D正确，
故选：ABD
11. 已知幂函数的图象过点，则（ ）
A.
B. 为偶函数
C.
D. 不等式的解集为
【答案】AB
【解析】
【分析】利用幂函数的定义结合过点，可求判断AC；进而可得函数的奇偶性判断B；解不等式可求解集判断D.
【详解】因为函数为幂函数，所以，解得，
当时，幂函数的图象不可能过点，故，
当，幂函数的图象过点，
则，解得，故A正确，C错误；
的定义域为，且，故为偶函数，故B正确；
函数在上单调递减，
由，可得，
所以，解得且，故D错误.
故选：AB.
三､填空题
12. 满足关系的集合有____________个.
【答案】4
【解析】
【分析】由题意可得集合为的子集，且中必包含元素，写出满足条件的集合，即可得答案.
【详解】即集合为的子集，且中必包含元素，
又因为的含元素的子集为：,共4个.
故答案为：4.
13. 已知满足，且，则______.
【答案】4
【解析】
【分析】令得，再令， 即可求解.
【详解】令得，所以，
令，得.
故答案为：4.
14. 已知函数，若，，使得不等式成立，实数的取值范围是__________.
【答案】
【解析】
【分析】由题意将问题转化为，成立，利用二次函数的性质求解即可.
【详解】若对任意，存在，使得不等式成立，
即只需满足，
，对称轴在递减，在递增，
，对称轴，
①即时，在0,1递增，恒成立；
②即时，在递减，在递增，，所以，故；
③即时，在[0，1]递减，，
所以，解得，综上.
故答案为：
【点睛】方法点睛：本题首先需要读懂题意，进行转化；其次需要分类讨论，结合二次函数的性质最后进行总结，即可求出结果.
四､解答题
15. 设全集，集合，
（1）若，求集合；
（2）若，求实数a的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先求出，再求即可；
（2）分和两种情况求解即可
【小问1详解】
解：当时，；
或，又因为，
所以
【小问2详解】
解：由题意知，需分为和两种情形进行讨论：
当时，即，解得，
此时符合，所以；
当时，因为，
所以或，解之得.
综上所述， a的取值范围为
16 已知二次函数满足，且
（1）求函数的解析式；
（2）解关于x的不等式.
【答案】（1）
（2）答案见解析.
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法计算即可求解析式；
（2）根据（1）的结论含参讨论解一元二次不等式即可.
【小问1详解】
因为，，
所以，
又因为，
所以，
所以，所以，
所以，即
【小问2详解】
由，
可得不等式，
即，所以，
当，即时，不等式的解集为，
当，即时，不等式的解集为，
当，即时，不等式的解集为，
综上所述，当时，不等式的解集为，
当时，不等式的解集为，
当时，不等式的解集为
17. 已知函数．
（1）用单调性的定义证明函数在上为增函数；
（2）是否存在实数，使得当的定义域为（，）时，函数的值域为．若存在．求出的取值范围；若不存在说明理由．
【答案】（1）证明见详解；
（2）存在，.
【解析】
分析】（1）设，且，然后作差、通分、因式分解即可判断，得证；
（2）根据单调性列不等式组，将问题转化为存在两个不相等的正根，利用判别式和韦达定理列不等式组求解可得.
【小问1详解】
，
设，且，
则，
因为，所以，
所以，即，
所以函数在0,+∞上为增函数.
【小问2详解】
由（1）可知，在上单调递增，
若存在使得的值域为，
则，即，
因为，，所以存在两个不相等的正根，
所以，解得，
所以存在使得的定义域为时，值域为.
18. 习总书记指出：“绿水青山就是金山银山”.淮安市一乡镇响应号召，因地制宜的将该镇打造成“生态水果特色小镇”.调研过程中发现：某珍稀水果树的单株产量W（单位：千克）与肥料费（单位：元）满足如下关系：
其它成本投入（如培育管理等人工费）为（单位：元）.
已知这种水果的市场售价大约为10元/千克，且供不应求．记该单株水果树获得的利润为（单位：元）.
（1）求函数关系式；
（2）当投入的肥料费用为多少时，该单株水果树获得的利润最大？最大利润是多少？
【答案】（1）；
（2）当投入肥料费用为30元时，获得的利润最大，最大利润是270元.
【解析】
【分析】（1）由单株产量乘以售价减去肥料费和其它成本投入可得出的函数关系式；
（2）利用二次函数的单调性求出当时，的最大值，由基本不等式求出当时，的最大值，即可得出答案.
【小问1详解】
（1）由题意可得.
故的函数关系式为.
【小问2详解】
（2）由（1）,
当时，在上单调递减，在上单调递增，
且，；
当时，，

当且仅当时，即时等号成立．
.
因为，所以当时，.
当投入的肥料费用为30元时，该单株水果树获得的利润最大，最大利润是270元.
19. 已知集合中的元素均为正整数，且满足：①对于任意，若，都有；②对于任意，若，都有.
（1）已知集合，求；
（2）已知集合，求；
（3）若中有4个元素，证明：中恰有5个元素.
【答案】（1）
（2）
（3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据①可得都是中的元素，进而证明中除外没有其他元素即可求解，
（2）根据条件①②，即可求解，
（3）根据题意可得，，是中的元素，进而根据和可得，进而，接下来假设中还有其他元素，且该元素为，利用与的关系得矛盾求解.
【小问1详解】
由①可得都是中的元素.
下面证明中除外没有其他元素：
假设中还有其他元素，分两种情况：
第一种情况，中最小的元素为1，显然不是中的元素，不符合题意；
第二种情况，中最小的元素为2，设中除外的元素为，
因为是中的元素，所以为4或8，而4，8也是中的元素，
所以中除外没有其他元素.
综上，.
【小问2详解】
由①可得，都是中的元素.
显然，由（2）可得，是中的元素，即是中的元素.
因为，所以，解得.
【小问3详解】
证明：设.
由①可得，都是中的元素.
显然，由②可得，是中的元素，即是中的元素.
同理可得，是中的元素.
若，则，所以不可能是中的元素，不符合题意.
若，则，所以，即.
又因为，所以，即，
所以，此时.
假设中还有其他元素，且该元素为，
若，由（2）可得，而，与矛盾.
若，因为，所以，则，
即，所以中除外，没有其他元素.
所以，即中恰有5个元素.
【点睛】方法点睛：对于以集合为背景的新定义问题的求解策略：
1、紧扣新定义，首先分析新定义的特点，把心定义所叙述的问题的本质弄清楚，应用到具体的解题过程中；
2、用好集合的性质，解题时要善于从试题中发现可以使用的集合的性质的一些因素.
3、涉及有交叉集合的元素个数问题往往可采用维恩图法，基于课标要求的，对于集合问题，要熟练基本的概念，数学阅读技能、推理能力，以及数学抽象和逻辑推理能力.