2025年高考数学一轮复习讲义(知识梳理+真题自测+考点突破+分层检测)专题35数列求和(新高考专用)(原卷版+解析)

这是一份2025年高考数学一轮复习讲义(知识梳理+真题自测+考点突破+分层检测)专题35数列求和(新高考专用)(原卷版+解析)，共52页。
【知识梳理】2
【真题自测】3
【考点突破】4
【考点1】分组转化求和4
【考点2】裂项相消法求和5
【考点3】错位相减法求和6
【分层检测】7
【基础篇】7
【能力篇】9
【培优篇】10
考试要求：
1.熟练掌握等差、等比数列的前n项和公式.
2.掌握非等差数列，非等比数列求和的几种常见方法.
知识梳理
1.特殊数列的求和公式
(1)等差数列的前n项和公式：
Sn＝eq \f(n（a1＋an）,2)＝na1＋eq \f(n（n－1）,2)d.
(2)等比数列的前n项和公式：
Sn＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(na1，q＝1，,\f(a1－anq,1－q)＝\f(a1（1－qn）,1－q)，q≠1.))
2.数列求和的几种常用方法
(1)分组转化法
把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解.
(2)裂项相消法
把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和.
(3)错位相减法
如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，这个数列的前n项和可用错位相减法求解.
(4)倒序相加法
如果一个数列{an}的前n项中与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法求解.
1.1＋2＋3＋4＋…＋n＝eq \f(n（n＋1）,2).
2.12＋22＋…＋n2＝eq \f(n（n＋1）（2n＋1）,6).
3.裂项求和常用的三种变形
(1)eq \f(1,n（n＋1）)＝eq \f(1,n)－eq \f(1,n＋1).
(2)eq \f(1,（2n－1）（2n＋1）)＝eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2n－1)－\f(1,2n＋1))).
(3)eq \f(1,\r(n)＋\r(n＋1))＝eq \r(n＋1)－eq \r(n).
4.在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解.
真题自测
一、解答题
1．（2024·全国·高考真题）已知等比数列的前项和为，且.
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前n项和.
2．（2024·天津·高考真题）已知数列是公比大于0的等比数列．其前项和为．若．
(1)求数列前项和；
(2)设，．
（ⅰ）当时，求证：；
（ⅱ）求．
3．（2024·全国·高考真题）记为数列的前项和，已知．
(1)求的通项公式；
(2)设，求数列的前项和．
4．（2023·全国·高考真题）设为数列的前n项和，已知．
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前n项和．
5．（2023·全国·高考真题）已知为等差数列，，记，分别为数列，的前n项和，，．
(1)求的通项公式；
(2)证明：当时，．
6．（2022·全国·高考真题）记为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列．
(1)求的通项公式；
(2)证明：．
7．（2022·天津·高考真题）设是等差数列，是等比数列，且．
(1)求与的通项公式；
(2)设的前n项和为，求证：；
(3)求．
8．（2021·全国·高考真题）设是首项为1的等比数列，数列满足．已知，，成等差数列．
（1）求和的通项公式；
（2）记和分别为和的前n项和．证明：．
考点突破
【考点1】分组转化求和
一、解答题
1．（2024·辽宁沈阳·模拟预测）已知数列满足，，是数列的前项和，对任意，有
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求的前100项的和.
2．（23-24高二下·河南·期中）已知数列 的首项 且
(1)证明: 是等比数列；
(2)求数列 的前项和.
3．（2024·广西·模拟预测）记数列的前n项和为，对任意正整数n，有．
(1)求数列的通项公式；
(2)对所有正整数m，若，则在和两项中插入，由此得到一个新数列，求的前91项和．
4．（2024·陕西·三模）数列的前项的最大值记为，即；前项的最小值记为，即，令，并将数列称为的“生成数列”．
(1)设数列的“生成数列”为，求证：；
(2)若，求其生成数列的前项和．
反思提升：
1.若数列{cn}满足cn＝an±bn，且{an}，{bn}为等差或等比数列，可采用分组求和法求数列{cn}的前n项和.
2.若数列{cn}满足cn＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(an，n为奇数，,bn，n为偶数，))其中数列{an}，{bn}是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求{cn}的前n项和.
【考点2】裂项相消法求和
一、解答题
1．（2024·四川宜宾·模拟预测）已知数列满足.
(1)证明：数列是等比数列，并求出数列的通项公式；
(2)设，数列的前项和为，若对于任意恒成立，求实数的取值范围.
2．（2024·江苏盐城·一模）已知正项数列中，，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)，证明：.
3．（2024·湖北武汉·模拟预测）在等差数列（）中，，.
(1)求的通项公式；
(2)若，数列的前项和为，证明.
4．（2024·福建泉州·二模）己知数列和的各项均为正，且，是公比3的等比数列．数列的前n项和满足．
(1)求数列，的通项公式；
(2)设，求数列的前n项和．
反思提升：
1.用裂项相消法求和时，要对通项进行变换，如：eq \f(1,\r(n)＋\r(n＋k))＝eq \f(1,k)(eq \r(n＋k)－eq \r(n))，eq \f(1,n（n＋k）)＝eq \f(1,k)(eq \f(1,n)－eq \f(1,n＋k))，裂项后可以产生连续相互抵消的项.
2.消项规律：消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项.
【考点3】错位相减法求和
一、解答题
1．（2024高三下·四川成都·专题练习）已知数列的前项和为，且满足．
(1)求证：数列为等比数列；
(2)已知，求数列的前项和．
2．（2024·陕西西安·模拟预测）记为等差数列的前项和，已知，.
(1)求的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
3．（2024·河南·三模）已知数列的各项都为正数，且其前项和.
(1)证明：是等差数列，并求；
(2)如果，求数列的前项和.
4．（2024·山西太原·三模）已知等比数列的前项和为，且也是等比数列.
(1)求的通项公式；
(2)若，求数列的前项和.
反思提升：
(1)如果数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列，求数列{an·bn}的前n项和时，常采用错位相减法.
(2)错位相减法求和时，应注意：
①要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形.
②在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便于下一步准确地写出“Sn－qSn”的表达式.
③应用等比数列求和公式必须注意公比q是否等于1，如果q＝1，应用公式Sn＝na1.
分层检测
【基础篇】
一、单选题
1．（2020·内蒙古包头·二模）已知函数满足，若数列满足，则数列的前20项和为（ ）
A．100B．105C．110D．115
2．（2024·内蒙古赤峰·模拟预测）如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》中，后人称为“三角垛”，“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，第四层有10个球，…，设从上往下各层的球数构成数列，则（ ）

A．B．C．D．
3．（2024·浙江杭州·二模）设数列满足．设为数列的前项的和，则（ ）
A．110B．120C．288D．306
4．（2022高三·全国·专题练习）已知数列{an}满足：an+1=an-an-1（n≥2，n∈N*），a1=1，a2=2，Sn为数列{an}的前n项和，则S2021=（ ）
A．3B．2C．1D．0
二、多选题
5．（21-22高二下·全国·单元测试）已知数列的前n项和为，数列的前项和为，则下列选项正确的为（ ）
A．数列是等差数列B．数列是等比数列
C．数列的通项公式为D．
6．（2023·辽宁·二模）南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中出现了如图所示的形状，后人称为“三角垛”“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，…，设各层球数构成一个数列，且，数列的前n项和为，则正确的选项是（ ）．
A．B．
C．D．
7．（2021·湖南衡阳·一模）设数列的前项和为，若为常数，则称数列为“吉祥数列”.则下列数列为“吉祥数列”的有（ ）
A．B．C．D．
三、填空题
8．（2024·山东济南·三模）数列满足，若，，则数列的前20项的和为 ．
9．（2023·上海黄浦·三模）南宋的数学家杨辉“善于把已知形状、大小的几何图形的求面积、体积的连续量问题转化为离散量的垛积问题”，在他的专著《详解九章算法·商功》中，杨辉将堆垛与相应立体图形作类比，推导出了三角垛、方垛、刍童垛等的公式，例如三角垛指的是如图顶层放1个，第二层放3个，第三层放6个，第四层放10个第n层放个物体堆成的堆垛，则 ．

10．（2022·上海·模拟预测）设是坐标平面上的一列圆，它们的圆心都在x轴的正半轴上，且都与直线相切，对每一个正整数n，圆都与圆相互外切，以表示圆的半径，已知为递增数列，若，则数列的前n项和为 ．
四、解答题
11．（2024·陕西渭南·三模）已知等比数列的各项均为正数，前n项和为，且满足，．
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列满足，求数列的前n项和．
12．（2024·黑龙江·三模）已知等差数列的公差，与的等差中项为5，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)设求数列的前20项和.
【能力篇】
一、单选题
1．（2022·安徽·模拟预测）已知数列，的通项公式分别为，，现从数列中剔除与的公共项后，将余下的项按照从小到大的顺序进行排列，得到新的数列，则数列的前150项之和为（ ）
A．23804B．23946C．24100D．24612
二、多选题
2．（2024·江西·三模）已知数列满足，则（ ）
A．数列是等比数列B．数列是等差数列
C．数列的前项和为D．能被3整除
三、填空题
3．（2024·云南昆明·一模）记为数列的前项和，已知则 ．
四、解答题
4．（2024·湖南长沙·模拟预测）已知数列满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)已知数列满足.
①求数列的前n项和；
②若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围.
【培优篇】
一、解答题
1．（2024·天津·二模）设是等差数列，其前项和，是等比数列，且，，.
(1)求与的通项公式；
(2)设，求数列的前项和；
(3)若对于任意的不等式恒成立，求实数的取值范围.
2．（2024·湖南衡阳·三模）已知正项数列的前项和为，首项.
(1)若，求数列的通项公式；
(2)若函数，正项数列满足：.
（i）证明：；
（ii）证明：.
3．（2024·河北秦皇岛·三模）将保护区分为面积大小相近的多个区域，用简单随机抽样的方法抽取其中15个区域进行编号，统计抽取到的每个区域的某种水源指标和区域内该植物分布的数量，得到数组.已知，，.
(1)求样本的样本相关系数；
(2)假设该植物的寿命为随机变量（可取任意正整数），研究人员统计大量数据后发现，对于任意的，寿命为的样本在寿命超过的样本里的数量占比与寿命为1的样本在全体样本中的数量占比相同，均为0.1，这种现象被称为“几何分布的无记忆性”.
（i）求的表达式；
（ii）推导该植物寿命期望的值（用表示，取遍），并求当足够大时，的值.
附：样本相关系数；当足够大时，.
专题35 数列求和（新高考专用）
目录
【知识梳理】2
【真题自测】3
【考点突破】13
【考点1】分组转化求和13
【考点2】裂项相消法求和17
【考点3】错位相减法求和21
【分层检测】25
【基础篇】25
【能力篇】33
【培优篇】35
考试要求：
1.熟练掌握等差、等比数列的前n项和公式.
2.掌握非等差数列，非等比数列求和的几种常见方法.
知识梳理
1.特殊数列的求和公式
(1)等差数列的前n项和公式：
Sn＝eq \f(n（a1＋an）,2)＝na1＋eq \f(n（n－1）,2)d.
(2)等比数列的前n项和公式：
Sn＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(na1，q＝1，,\f(a1－anq,1－q)＝\f(a1（1－qn）,1－q)，q≠1.))
2.数列求和的几种常用方法
(1)分组转化法
把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解.
(2)裂项相消法
把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和.
(3)错位相减法
如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，这个数列的前n项和可用错位相减法求解.
(4)倒序相加法
如果一个数列{an}的前n项中与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法求解.
1.1＋2＋3＋4＋…＋n＝eq \f(n（n＋1）,2).
2.12＋22＋…＋n2＝eq \f(n（n＋1）（2n＋1）,6).
3.裂项求和常用的三种变形
(1)eq \f(1,n（n＋1）)＝eq \f(1,n)－eq \f(1,n＋1).
(2)eq \f(1,（2n－1）（2n＋1）)＝eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2n－1)－\f(1,2n＋1))).
(3)eq \f(1,\r(n)＋\r(n＋1))＝eq \r(n＋1)－eq \r(n).
4.在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解.
真题自测
一、解答题
1．（2024·全国·高考真题）已知等比数列的前项和为，且.
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前n项和.
2．（2024·天津·高考真题）已知数列是公比大于0的等比数列．其前项和为．若．
(1)求数列前项和；
(2)设，．
（ⅰ）当时，求证：；
（ⅱ）求．
3．（2024·全国·高考真题）记为数列的前项和，已知．
(1)求的通项公式；
(2)设，求数列的前项和．
4．（2023·全国·高考真题）设为数列的前n项和，已知．
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前n项和．
5．（2023·全国·高考真题）已知为等差数列，，记，分别为数列，的前n项和，，．
(1)求的通项公式；
(2)证明：当时，．
6．（2022·全国·高考真题）记为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列．
(1)求的通项公式；
(2)证明：．
7．（2022·天津·高考真题）设是等差数列，是等比数列，且．
(1)求与的通项公式；
(2)设的前n项和为，求证：；
(3)求．
8．（2021·全国·高考真题）设是首项为1的等比数列，数列满足．已知，，成等差数列．
（1）求和的通项公式；
（2）记和分别为和的前n项和．证明：．
参考答案：
1．(1)
(2)
【分析】（1）利用退位法可求公比，再求出首项后可求通项；
（2）利用分组求和法即可求.
【详解】（1）因为,故，
所以即故等比数列的公比为，
故，故，故.
（2）由等比数列求和公式得，
所以数列的前n项和
.
2．(1)
(2)①证明见详解；②
【分析】（1）设等比数列的公比为，根据题意结合等比数列通项公式求，再结合等比数列求和公式分析求解；
（2）①根据题意分析可知，，利用作差法分析证明；②根据题意结合等差数列求和公式可得，再结合裂项相消法分析求解.
【详解】（1）设等比数列的公比为，
因为，即，
可得，整理得，解得或（舍去），
所以.
（2）（i）由（1）可知，且，
当时，则，即
可知，
，
可得，
当且仅当时，等号成立，
所以；
（ii）由（1）可知：，
若，则；
若，则，
当时，，可知为等差数列，
可得，
所以，
且，符合上式，综上所述：.
【点睛】关键点点睛：1.分析可知当时，，可知为等差数列；
2.根据等差数列求和分析可得.
3．(1)
(2)
【分析】（1）利用退位法可求的通项公式．
（2）利用错位相减法可求.
【详解】（1）当时，，解得．
当时，，所以即，
而，故，故，
∴数列是以4为首项，为公比的等比数列，
所以.
（2）,
所以
故
所以
，
.
4．(1)
(2)
【分析】（1）根据即可求出；
（2）根据错位相减法即可解出．
【详解】（1）因为，
当时，，即；
当时，，即，
当时，，所以，
化简得：，当时，，即，
当时都满足上式，所以．
（2）因为，所以，
，
两式相减得，
，
，即，．
5．(1)；
(2)证明见解析.
【分析】（1）设等差数列的公差为，用表示及，即可求解作答.
（2）方法1，利用（1）的结论求出，，再分奇偶结合分组求和法求出，并与作差比较作答；方法2，利用（1）的结论求出，，再分奇偶借助等差数列前n项和公式求出，并与作差比较作答.
【详解】（1）设等差数列的公差为，而，
则，
于是，解得，，
所以数列的通项公式是.
（2）方法1：由（1）知，，，
当为偶数时，，
，
当时，，因此，
当为奇数时，，
当时，，因此，
所以当时，.
方法2：由（1）知，，，
当为偶数时，，
当时，，因此，
当为奇数时，若，则
，显然满足上式，因此当为奇数时，，
当时，，因此，
所以当时，.
6．(1)
(2)见解析
【分析】（1）利用等差数列的通项公式求得，得到，利用和与项的关系得到当时，,进而得：，利用累乘法求得，检验对于也成立，得到的通项公式；
（2）由（1）的结论，利用裂项求和法得到，进而证得.
【详解】（1）∵，∴,∴,
又∵是公差为的等差数列，
∴,∴,
∴当时，，
∴,
整理得：,
即,
∴
，
显然对于也成立，
∴的通项公式；
（2）
∴
7．(1)
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）利用等差等比数列的通项公式进行基本量运算即可得解；
（2）由等比数列的性质及通项与前n项和的关系结合分析法即可得证；
（3）先求得，进而由并项求和可得，再结合错位相减法可得解.
【详解】（1）设公差为d，公比为，则，
由可得（舍去），
所以；
（2）证明：因为所以要证，
即证，即证，
即证，
而显然成立，所以；
（3）因为
，
所以
，
设
所以，
则，
作差得
，
所以，
所以.
8．（1），；（2）证明见解析.
【分析】（1）利用等差数列的性质及得到，解方程即可；
（2）利用公式法、错位相减法分别求出，再作差比较即可.
【详解】（1）因为是首项为1的等比数列且，，成等差数列，
所以，所以，
即，解得，所以，
所以.
（2）[方法一]：作差后利用错位相减法求和
，
，
．
设， ⑧
则． ⑨
由⑧-⑨得．
所以．
因此．
故．
[方法二]【最优解】：公式法和错位相减求和法
证明：由（1）可得，
，①
，②
①②得 ，
所以，
所以，
所以.
[方法三]：构造裂项法
由（Ⅰ）知，令，且，即，
通过等式左右两边系数比对易得，所以．
则，下同方法二．
[方法四]：导函数法
设，
由于，
则．
又，
所以
，下同方法二．
【整体点评】本题主要考查数列的求和，涉及到等差数列的性质，错位相减法求数列的和，考查学生的数学运算能力，是一道中档题，其中证明不等式时采用作差法，或者作商法要根据式子得结构类型灵活选择，关键是要看如何消项化简的更为简洁.
（2）的方法一直接作差后利用错位相减法求其部分和，进而证得结论；
方法二根据数列的不同特点，分别利用公式法和错位相减法求得,然后证得结论,为最优解；
方法三采用构造数列裂项求和的方法，关键是构造，使，求得的表达式，这是错位相减法的一种替代方法，
方法四利用导数方法求和，也是代替错位相减求和法的一种方法.
考点突破
【考点1】分组转化求和
一、解答题
1．（2024·辽宁沈阳·模拟预测）已知数列满足，，是数列的前项和，对任意，有
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求的前100项的和.
2．（23-24高二下·河南·期中）已知数列 的首项 且
(1)证明: 是等比数列；
(2)求数列 的前项和.
3．（2024·广西·模拟预测）记数列的前n项和为，对任意正整数n，有．
(1)求数列的通项公式；
(2)对所有正整数m，若，则在和两项中插入，由此得到一个新数列，求的前91项和．
4．（2024·陕西·三模）数列的前项的最大值记为，即；前项的最小值记为，即，令，并将数列称为的“生成数列”．
(1)设数列的“生成数列”为，求证：；
(2)若，求其生成数列的前项和．
参考答案：
1．(1)；
(2)
【分析】（1）根据作差得到，从而得到，结合等差数列的定义计算可得；
（2）由（1）可得，记，则，利用并项求和法计算可得.
【详解】（1）由，，
两式相减得，即，
因为，所以，即，
故是首项为，公差为的等差数列，
所以；
（2）由（1）知，
所以，
记，则，
2．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）利用等比数列的定义证明即可；
（2）结合（1）中结论求得的通项公式，再利用错位相减法及分组求和法即可得解.
【详解】（1）因为，，
所以，，
显然，则，
故是首项为，公比为的等比数列.
（2）由（1）知，，所以，
则，
令，
故，
上两式相减得，，
所以，
所以.
3．(1).
(2)11563.
【分析】（1）利用时，；时，求解即可.
（2）先确定前91项的最后一项，然后分别对其中的和插入的进行求和.
【详解】（1）当时，．
又时，得，也满足上式，
故．
（2）由，所以，
又，所以前91项中有87项来自，
所以
．
4．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由“生成数列”的定义证明即可；
（2）由分组求和求解即可.
【详解】（1）由题意可知，
所以，因此，
即是单调递增数列，且，
由“生成数列”的定义可得．
（2）当时，．
，又，
，
当时，．
设数列的前项和为．则．
当时，
又符合上式，所以．
反思提升：
1.若数列{cn}满足cn＝an±bn，且{an}，{bn}为等差或等比数列，可采用分组求和法求数列{cn}的前n项和.
2.若数列{cn}满足cn＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(an，n为奇数，,bn，n为偶数，))其中数列{an}，{bn}是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求{cn}的前n项和.
【考点2】裂项相消法求和
一、解答题
1．（2024·四川宜宾·模拟预测）已知数列满足.
(1)证明：数列是等比数列，并求出数列的通项公式；
(2)设，数列的前项和为，若对于任意恒成立，求实数的取值范围.
2．（2024·江苏盐城·一模）已知正项数列中，，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)，证明：.
3．（2024·湖北武汉·模拟预测）在等差数列（）中，，.
(1)求的通项公式；
(2)若，数列的前项和为，证明.
4．（2024·福建泉州·二模）己知数列和的各项均为正，且，是公比3的等比数列．数列的前n项和满足．
(1)求数列，的通项公式；
(2)设，求数列的前n项和．
参考答案：
1．(1)证明见解析，
(2).
【分析】（1）利用等比数列的定义证明，再根据等比数列的通项公式求解即可；
（2）由（1）可得，再裂项相消可知，进而求解二次不等式即可.
【详解】（1）由题可知：，又，
故是首项为2，公比为2的等比数列，，即.
（2），
，且当趋于时，趋近于1，
所以由恒成立，可知，解得.
2．(1)，；
(2)证明见解析
【分析】（1）由已知得，得到是以为公比的等比数列，求出通项公式；
（2）求出，利用裂项相消法即可求证.
【详解】（1）由，，
得，又，
则是以为首项，为公比的等比数列，
所以，.
（2）证明：因为
，
所以
.
3．(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）求出等差数列的首项与公差，即可得解；
（2）利用裂项相消法求出，进而可得出结论.
【详解】（1）设等差数列的公差为，
由，即，解得，
所以，
所以数列的通项公式为；
（2）∵，∴，
（方法一）
，
∴
化简得：，
∴.
（方法二）
，
∴
.
4．(1)，
(2)
【分析】（1）利用递推公式可证得数列是等差数列，可求出数列的通项；利用等比数列的性质，可求出通项；
（2）根据裂项相消和分组求和法求解即可；
【详解】（1）由题设，当时或（舍），
由，知，
两式相减得，
（舍）或，即，
∴数列是首项为2，公差为2的等差数列，．
又．
（2）
则
当n为偶数时，；
当n为奇数时，．
所以.
反思提升：
1.用裂项相消法求和时，要对通项进行变换，如：eq \f(1,\r(n)＋\r(n＋k))＝eq \f(1,k)(eq \r(n＋k)－eq \r(n))，eq \f(1,n（n＋k）)＝eq \f(1,k)(eq \f(1,n)－eq \f(1,n＋k))，裂项后可以产生连续相互抵消的项.
2.消项规律：消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项.
【考点3】错位相减法求和
一、解答题
1．（2024高三下·四川成都·专题练习）已知数列的前项和为，且满足．
(1)求证：数列为等比数列；
(2)已知，求数列的前项和．
2．（2024·陕西西安·模拟预测）记为等差数列的前项和，已知，.
(1)求的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
3．（2024·河南·三模）已知数列的各项都为正数，且其前项和.
(1)证明：是等差数列，并求；
(2)如果，求数列的前项和.
4．（2024·山西太原·三模）已知等比数列的前项和为，且也是等比数列.
(1)求的通项公式；
(2)若，求数列的前项和.
参考答案：
1．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由与的关系，结合等比数列的定义和通项公式，可得所求；
（2）由数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，可得所求和．
【详解】（1）当时，，解得，
当时，由，可得,
两式相减得，所以，即，
又因为，所以是首项为，公比为的等比数列，
所以，所以数列的通项公式为；
（2）由（1）知，，
所以数列 的前项和为，
可得，
两式相减得，
所以．
2．(1)
(2)
【分析】（1）根据等差数列前项公式得到方程组，解出即可；
（2）首先得到，再利用错位相减法求和即可得到答案.
【详解】（1）设的公差为，则，，
解得，.
故.
（2）由（1）可得，
所以，①
则，②
①②，得
，
所以.
3．(1)证明见解析，
(2).
【分析】（1）借助与的关系，结合等差数列定义计算即可得解；
（2）借助错位相减法计算即可得.
【详解】（1）当时，或，
因为，所以，
，
两式相减得，
因为，所以，
故是首项为1，公差为的等差数列，
；
（2）由（1）知，
，
，
则，
，
所以.
4．(1)
(2)
【分析】（1）根据是等比数列得，利用等比数列求和公式基本量运算求得，即可求出等比数列通项公式；
（2）利用对数运算得，然后利用错位相减法求和即可.
【详解】（1）设数列的公比为，
由是等比数列得，
或(舍去)，
.
（2）由（1）得，所以，
，
，
两式相减得，
.
反思提升：
(1)如果数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列，求数列{an·bn}的前n项和时，常采用错位相减法.
(2)错位相减法求和时，应注意：
①要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形.
②在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便于下一步准确地写出“Sn－qSn”的表达式.
③应用等比数列求和公式必须注意公比q是否等于1，如果q＝1，应用公式Sn＝na1.
分层检测
【基础篇】
一、单选题
1．（2020·内蒙古包头·二模）已知函数满足，若数列满足，则数列的前20项和为（ ）
A．100B．105C．110D．115
2．（2024·内蒙古赤峰·模拟预测）如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》中，后人称为“三角垛”，“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，第四层有10个球，…，设从上往下各层的球数构成数列，则（ ）

A．B．C．D．
3．（2024·浙江杭州·二模）设数列满足．设为数列的前项的和，则（ ）
A．110B．120C．288D．306
4．（2022高三·全国·专题练习）已知数列{an}满足：an+1=an-an-1（n≥2，n∈N*），a1=1，a2=2，Sn为数列{an}的前n项和，则S2021=（ ）
A．3B．2C．1D．0
二、多选题
5．（21-22高二下·全国·单元测试）已知数列的前n项和为，数列的前项和为，则下列选项正确的为（ ）
A．数列是等差数列B．数列是等比数列
C．数列的通项公式为D．
6．（2023·辽宁·二模）南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中出现了如图所示的形状，后人称为“三角垛”“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，…，设各层球数构成一个数列，且，数列的前n项和为，则正确的选项是（ ）．
A．B．
C．D．
7．（2021·湖南衡阳·一模）设数列的前项和为，若为常数，则称数列为“吉祥数列”.则下列数列为“吉祥数列”的有（ ）
A．B．C．D．
三、填空题
8．（2024·山东济南·三模）数列满足，若，，则数列的前20项的和为 ．
9．（2023·上海黄浦·三模）南宋的数学家杨辉“善于把已知形状、大小的几何图形的求面积、体积的连续量问题转化为离散量的垛积问题”，在他的专著《详解九章算法·商功》中，杨辉将堆垛与相应立体图形作类比，推导出了三角垛、方垛、刍童垛等的公式，例如三角垛指的是如图顶层放1个，第二层放3个，第三层放6个，第四层放10个第n层放个物体堆成的堆垛，则 ．

10．（2022·上海·模拟预测）设是坐标平面上的一列圆，它们的圆心都在x轴的正半轴上，且都与直线相切，对每一个正整数n，圆都与圆相互外切，以表示圆的半径，已知为递增数列，若，则数列的前n项和为 ．
四、解答题
11．（2024·陕西渭南·三模）已知等比数列的各项均为正数，前n项和为，且满足，．
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列满足，求数列的前n项和．
12．（2024·黑龙江·三模）已知等差数列的公差，与的等差中项为5，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)设求数列的前20项和.
参考答案：
1．D
【解析】根据函数满足，利用倒序相加法求出，再求前20项和.
【详解】因为函数满足，
①，
②，
由①②可得，，
所以数列是首项为1，公差为的等差数列，其前20项和为.
故选：D.
【点睛】本题主要考查函数的性质及倒序相加法求和，属于基础题.
2．B
【分析】由题可得，后由裂项求和法可得答案.
【详解】注意到，则.
则
.
故选：B
3．A
【分析】利用分组求和法，结合已知，可得答案.
【详解】
.
故选：A.
4．C
【分析】根据递推关系式得出数列是周期为6的周期数列，利用周期性即可求解.
【详解】∵an+1=an-an-1，a1=1，a2=2，∴a3=1，a4=-1，a5=-2，a6=-1，a7=1，a8=2，…，
故数列{an}是周期为6的周期数列，且每连续6项的和为0，
故S2021=336×0+a2017+a2018+…+a2021=a1+a2+a3+a4+a5=1+2+1+（-1）+（-2）=1.
故选：C.
5．BCD
【分析】由数列的递推式可得，两边加1后，运用等比数列的定义和通项公式可得，由数列的裂项相消求和可得.
【详解】解：由即为，可化为，由，可得数列是首项为2，公比为2的等比数列，则，即，
又，可得
故选：BCD
6．BC
【分析】运用累和法、裂项相消法，结合等差数列的前n项和公式逐一判断即可.
【详解】由题意可知：，于是有，
显然可得：， ，因此选项A不正确，选项B正确；
当 时，，
显然适合上式，，因此选项D不正确；
，
，因此选项C正确，
故选：BC
7．BC
【分析】按照求和方法对各个选项逐一求和验证即可得出结论.
【详解】对于A，，，，
所以不为常数，故A不正确；
对于B，由并项求和法知：，，，故B正确；
对于C，，，，
所以，故C正确；
对于D，，，，
所以不为常数，故D错误；
故选：BC.
8．210
【分析】数列的奇数项、偶数项都是等差数列，结合等差数列求和公式、分组求和法即可得解.
【详解】数列满足，若，，则，
所以数列的奇数项、偶数项分别构成以1，2为首项，公差均为2的等差数列
所以数列的前20项的和为
.
故答案为：210.
9．/
【分析】根据给定条件，求出数列的递推关系，利用累加法求出通项，再利用裂项相消法求和作答.
【详解】依题意，在数列中，，
当时，，满足上式，
因此，，数列的前项和为，
则，
所以.
故答案为：
10．
【分析】根据图像结合几何知识可证，利用错位相减法求数列的前n项和．
【详解】的倾斜角，设圆、与直线的切点分别为，连接，过作，垂足为，
则
∵，整理得
数列是以首项，公比的等比数列，即
∴，设数列的前n项和为，则有：
两式相减得：
即
故答案为：．
11．(1)
(2)．
【分析】（1）设等比数列的公比为，由已知条件和等比数列基本量的计算，求出数列首项和公比，得通项公式；
（2）利用错位相减法可得数列的前n项和．
【详解】（1）设数列的公比为，
∵，，
∴，
即，∴（舍去），
∴，即，
∴．
（2）∵，∴．
∴，
，
两式相减得，
∴．
12．(1)数列的通项公式为；
(2)数列的前20项和为.
【分析】（1）根据等差中项求出，再根据求出公差，最后根据等差数列的通项公式，求出的通项公式；
（2）先写出，对为偶数的情况进行裂项，再用分组求和法求出.
【详解】（1）因为为等差数列，且与的等差中项为5，
所以，解得，
因为，
所以，解得，
因为，所以，
所以，
故数列的通项公式为；
（2）由题知，
即
所以
，
故数列的前20项和为.
【能力篇】
一、单选题
1．（2022·安徽·模拟预测）已知数列，的通项公式分别为，，现从数列中剔除与的公共项后，将余下的项按照从小到大的顺序进行排列，得到新的数列，则数列的前150项之和为（ ）
A．23804B．23946C．24100D．24612
二、多选题
2．（2024·江西·三模）已知数列满足，则（ ）
A．数列是等比数列B．数列是等差数列
C．数列的前项和为D．能被3整除
三、填空题
3．（2024·云南昆明·一模）记为数列的前项和，已知则 ．
四、解答题
4．（2024·湖南长沙·模拟预测）已知数列满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)已知数列满足.
①求数列的前n项和；
②若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围.
参考答案：
1．D
【分析】易得数列为偶数列，为数列，故只需分析偶数列中的项即可
【详解】因为，，，故数列的前项中包含的前项，故数列的前150项包含的前项排除与公共的8项.
记数列，的前项和分别为，，
故选：D.
2．BCD
【分析】利用构造法得到数列是等比数列，从而求得通项，就可以判断选项，对于数列求和，可以用分组求和法，等比数列公式求和完成，对于幂的整除性问题可以转化为用二项式定理展开后，再加以证明.
【详解】由可得：，所以数列是等比数列，即，
则显然有，所以不成等比数列，故选项A是错误的；
由数列是等比数列可得：，即，故选项B是正确的；
由可得：前项和，故选项C是正确的；
由
，故选项D是正确的；
方法二：由，1024除以3余数是1，所以除以3的余数还是1，从而可得能补3整除，故选项D是正确的；
故选：BCD．
3．
【分析】注意到，进一步由裂项相消法即可求解.
【详解】由题意，
所以
.
故答案为：.
4．(1)
(2)①；②
【分析】（1）利用数列的递推关系求的通项公式；
（2）①利用错位相减求和即可；②设，根据数列的单调性，分n为偶数、为奇数讨论可得答案.
【详解】（1）因为①，
当时，，当时，②，
得，即；因为符合，所以；
（2）①，由（1）知，所以，，
所以，两式相减得，
，
所以；
②，由①得，
设，则数列是递增数列.
当n为偶数时，恒成立，所以；
当n为奇数时，恒成立，所以即.
综上，的取值范围是.
【培优篇】
一、解答题
1．（2024·天津·二模）设是等差数列，其前项和，是等比数列，且，，.
(1)求与的通项公式；
(2)设，求数列的前项和；
(3)若对于任意的不等式恒成立，求实数的取值范围.
2．（2024·湖南衡阳·三模）已知正项数列的前项和为，首项.
(1)若，求数列的通项公式；
(2)若函数，正项数列满足：.
（i）证明：；
（ii）证明：.
3．（2024·河北秦皇岛·三模）将保护区分为面积大小相近的多个区域，用简单随机抽样的方法抽取其中15个区域进行编号，统计抽取到的每个区域的某种水源指标和区域内该植物分布的数量，得到数组.已知，，.
(1)求样本的样本相关系数；
(2)假设该植物的寿命为随机变量（可取任意正整数），研究人员统计大量数据后发现，对于任意的，寿命为的样本在寿命超过的样本里的数量占比与寿命为1的样本在全体样本中的数量占比相同，均为0.1，这种现象被称为“几何分布的无记忆性”.
（i）求的表达式；
（ii）推导该植物寿命期望的值（用表示，取遍），并求当足够大时，的值.
附：样本相关系数；当足够大时，.
参考答案：
1．(1)，
(2)
(3).
【分析】（1）结合等差数列的通项公式，求和公式以及等比数列的通项公式进行求解；
（2）可以采取分组求和的方式，即将奇数项与偶数项的和分开求解，再利用错位相减法以及裂项相消法分别求和；
（3）对于求参数的范围，一般可以采用分离参数的方法，对于求后面式子的最值，结合函数的单调性进行分析求解．
【详解】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，
由，，又，，，
由，，又，，，
，，
即，．
（2）当为奇数时，，
记，则有
，
，
得：
，
，
，
当为偶数时，，
记，
，
．
（3）由与恒成立，
可得恒成立，
恒成立，即求的最大值，
设，
，
单调递增，
又，
，
．
2．(1)
(2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析.
【分析】（1）根据给定条件，结合变形，再利用等差数列求出通项.
（2）（i）利用导数证明不等式，由此放缩各，再利用分组求和法求解即得；（ii）由（i）推理证得及，再利用裂项相消法求和推理即得.
【详解】（1）正项数列中，，，，当时，，
两式相减得，即，
而，则，因此数列是首项为1，公差为2的等差数列，
所以数列的通项公式为.
（2）（i）令，求导得，当时，，当时，，
即函数在上单调递减，在上单调递增，则，即，
于是，
即，即，
当时，，
当时，因此，
所以
（ii）由已知，所以，得，
当时，，于是，
当时，，
又，所以，恒有，当时，，
由，得当时，，
则当时，，
从而
，
于是，
所以.
【点睛】思路点睛：给出与的递推关系，求，常用思路是：一是利用转化为的递推关系，再求其通项公式；二是转化为的递推关系，先求出与n之间的关系，再求.
3．(1)0.8
(2)（i）；（ii），10
【分析】（1）利用相关系公式计算即可；
（2）（i）由题意可得，进而可得，可得；
（ii）由定义知，，由错位相减法可得，可求足够大时，的值.
【详解】（1）由，，.
得样本相关系数，.
（2）（i）依题意，，
又，
则，
当时，把换成，
则，
两式相减得，
即，
又，
所以对任意都成立，
从而是首项为0.1，公比为0.9的等比数列，
所以.
（ii）由定义知，，
而，，
显然，
于是，
两式相减得，
因此，
当足够大时，，
则，可认为，
所以该植物寿命期望的值是10.
【点睛】方法点睛：如果数列是等差数列，是等比数列，求数列的前项和时，可采用错位相减法求和，一般是和式两边同乘以等比数列的公比，然后作差求解
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