安徽省亳州市利辛县江集镇宇航初级中学2023-2024学年八年级上学期期末数学试题(含解析)

这是一份安徽省亳州市利辛县江集镇宇航初级中学2023-2024学年八年级上学期期末数学试题(含解析)，共20页。试卷主要包含了选择题每小题都给出A，填空题等内容，欢迎下载使用。
试卷满分150分，考试时间为120分钟．
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A、B、C、D四个选项，其中只有一个是正确的．
1．函数中，自变量可取的值是（ ）
A．5B．3C．0D．
2．在平面直角坐标系中，点位于第四象限，下列结论一定正确的是（ ）
A．B．C．D．
3．在下列表示的运动项目标志的图案中，是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
4．在中，若，则该三角形是（ ）
A．直角三角形B．等边三角形C．钝角三角形D．等腰三角形
5．下列函数中，随的增大而减小的是（ ）
A．B．C．D．
6．如图，点和点分别在和上，与交于点，已知，若要使，应添加条件中错误的是（ ）
A．B．
C．D．
7．在平面直角坐标系中，若要使直线平移后得到直线，则应将直线（ ）
A．向上平移5个单位B．向下平移5个单位
C．向左平移5个单位D．向右平移5个单位
8．如图，在中，分别以点和为圆心，以大于的长为半径作弧，连接两弧的交点与分别交于点，点，连接，若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
9．在一辆小汽车行驶过程中，小汽车离出发地的距离和行驶时间之间的函数关系如图，根据图中的信息，下列说法错误的是（ ）
A．小汽车共行驶
B．小汽车中途停留
C．小汽车出发后前3小时的平均速度为40千米/时
D．小汽车自出发后3小时至5小时之间行驶的速度在逐渐减小
10．如图，在中，，点D和点E分别在和上，，则下列结论一定正确的是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11．把命题“全等三角形的对应中线相等”改写成“如果，那么”的形式： ．
12．三角形的三边长分别是，，，已知是奇数，则的值为 ．
13．如图，在中，和的平分线交于点，已知的周长为，则的面积为 （用含的代数式表示）．

14．如图，直线与直线交于点与轴、轴分别交于点和点．
（1） ；
（2）点是轴上一点，当的值最小时，点的坐标为 ．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15．如图，点，，，在同一条直线上，已知，，，求证：．
16．已知和成正比例，当时，．
(1)求关于的函数表达式；
(2)若点是该函数图象上的一点，求的值．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17．在平面直角坐标系中，的顶点坐标依次为，，．
(1)将向右平移5个长度单位，再向上平移1个长度单位，得到，画出；
(2)画出关于x轴对称的．
18．如图，在中，和都是的外角，

(1)如图1，若，证明：是等边三角形；
(2)如图2，求的度数．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19．如图，是的角平分线，点在是上，交于点．
(1)若，求的度数；
(2)若，求的度数．
20．如图，在平面直角坐标系中， ，，都是等边三角形，都是等腰直角三角形．
(1)直接写出下列点的坐标：
①：______；②：______；③：______；④：______．
(2)是正整数，用含的代数式表示下列坐标：
①的横坐标为：______；②的坐标为______．
(3)若，点从点出发，沿着点运动，到点时运动停止，则点运动的路程为______．
六、（本题满分12分）
21．太平猴魁是一种中国传统名茶，产于安徽黄山市黄山区一带，为尖茶之极品，久享盛名．某公司采购员到黄山市某茶叶市场购买该种茶叶作为公司员工的福利，该市场某商家推出了办会员卡打折销售的两种方案：（凭会员卡只打折一次）
若该公司此次采购茶叶千克，按方案一和方案二购买茶叶的总费用分别为元，元．
(1)直接写出与之间的函数表达式：______，______；
(2)如果两种方案所需要的费用相同，该公司采购茶叶多少千克？
(3)若该公司预计花费5000元购买此种茶叶，请你通过计算说明哪种方案能购买更多的茶叶．
七、（本题满分12分）
22．在平面直角坐标系中，如图，直线与轴、轴分别交于点、点，直线与轴、轴分别交于点点，直线和相交于点．
(1)求的值以及点的坐标；
(2)关于的不等式组的解集为______；
(3)判断的形状，并说明理由．
八、（本题满分14分）
23．在和中，．

(1)如图1，证明：；
(2)与交于点，连接，其他条件不变，如图2，证明：平分；
(3)如图3，若，设，探索和之间的数量关系并加以证明．
参考答案与解析
1．A
【分析】本题考查了函数自变量取值范围，解题关键是掌握二次根式被开方数是非负数；
根据题意列出不等式求解即可．
【详解】解：函数中，
自变量的取值范围是：，即；
故选：A．
2．B
【分析】本题考查点的坐标，根据平面直角坐标系中的第四象限点的坐标特征，可得，，然后进行计算逐一判断即可解答．熟练掌握平面直角坐标系中每一象限点的坐标特征是解题的关键．
【详解】解：∵点在平面直角坐标系中的第四象限内，
∴，，
∴，
故选项A不符合题意，选项B符合题意；
若，，则，
若，，则，
故选项C和选项D都不符合题意．
故选：B．
3．C
【分析】本题考查了轴对称图形，熟记定义是解题关键．根据轴对称图形的定义“如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形”逐项判断即可得．
【详解】解：A、不是轴对称图形，则此项不符合题意；
B、不是轴对称图形，则此项不符合题意；
C、是轴对称图形，则此项符合题意；
D、不是轴对称图形，则此项不符合题意；
故选：C．
4．D
【分析】本题考查三角形内角和定理，三角形分类．
根据三角形内角和定理求出各角度数，再判定三角形的形状即可．
【详解】解：∵，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰三角形
故选：D．
5．C
【分析】本题考查一次函数图像与性质，涉及一次函数图像增减性与常数的关系，熟记一次函数图像与性质是解决问题的关键．
【详解】解：A、是一次函数，，得到随的增大而增大，选项不符合题意；
B、是一次函数，，得到随的增大而增大，选项不符合题意；
C、是一次函数，，得到随的增大而减小，选项符合题意；
D、是一次函数，，得到随的增大而增大，选项不符合题意；
故选：C．
6．A
【分析】本题考查了三角形全等的判定，三角形全等的判定方法有、、、、，由此逐项判断即可得出答案，熟练掌握三角形全等的判定方法是解此题的关键．
【详解】解：A、若添加，不能证明，故符合题意；
B、若添加，则可利用证明，故不符合题意；
C、若添加，则可利用证明，故不符合题意；
D、若添加，则可证明，可利用证明，故不符合题意；
故选：A．
7．B
【分析】本题考查一次函数图象平移，掌握平移规律“左加右减，上加下减”是解题的关键．
设向下平移b个单位，根据“左加右减，上加下减”得，求出b即可．
【详解】解：设向下平移b个单位，根据题意得
解得：
故选：B．
8．C
【分析】本题考查求角度，涉及尺规作图-中垂线、等腰三角形性质和三角形内角和等知识，由尺规作图得到，从而由等腰三角形性质得到、，进而由三角形内角和定理即可得到答案，熟练掌握中垂线尺规作图是解决问题的关键．
【详解】解：由题意可知是线段的中垂线，
，
，
，
，
由三角形内角和得，
，
故选：C．
9．D
【分析】本题考查从函数图像中获取信息，涉及行程问题公式：路程速度时间，数形结合逐项判断是解决问题的关键．
【详解】解：A、由图可知，小汽车共行驶，选项正确，不符合题意；
B、由图可知，小车在1小时到1.5小时之间，路程没有变化，中途停留，选项正确，不符合题意；
C、小车前3小时共行驶，故小汽车出发后前3小时的平均速度为40千米/时，选项正确，不符合题意；
D、由图可知，小汽车自出发后3小时至5小时是匀速行驶，速度不变，选项错误，符合题意；
故选：D．
10．B
【分析】本题考查了等边对等角，三角形外角的性质．熟练掌握等边对等角，三角形外角的性质是解题的关键．
由，，可得，．由三角形外角的性质可得，，则，整理求解即可．
【详解】解：∵，，
∴，．
∵，，
∴，
整理得．
故选：B．
11．如果两个三角形是全等三角形，那么它们的对应中线相等
【分析】本题考查命题，涉及命题的改写，熟记命题的概念，分清命题的条件与结论是解决问题的关键．
【详解】解：如果两个三角形是全等三角形，那么它们的对应中线相等，
故答案为：如果两个三角形是全等三角形，那么它们的对应中线相等．
12．
【分析】本题考查三角形的三边之间关系，首先根据三角形的三边之间的关系得：，由此解得，然后再根据为奇数即可求出的值．解题的关键是掌握：三角形的第三边大于两边之差且小于两边之和．
【详解】解：∵三角形的三边长分别是，，，
∴，
∴，
∵是奇数，
∴．
故答案为：．
13．
【分析】本题考查角平分线的性质，直角三角形的性质，三角形的面积．
连接，过点O分别作于D，于E，于F，先利用角平分线的定义求得，再根据直角三角形的性质求得，然后根据角平分线的性质得出，最后由求解即可．
【详解】解：连接，过点O分别作于D，于E，于F，如图，

∵平分，，
∴，
∵，
∴
∴
∵和的平分线交于点O，，，，
∴
∴
．
故答案为：．
14． 4
【分析】本题考查了两条直线相交的问题：
（1）把点P代入，求出，得，再代入可求出；
（2）如图，作点关于轴对称点，则，由两点之间线段最短可知的最小值为的长，求出直线的表达式，则可求出点的坐标．
【详解】解：（1）把点代入，得，
∴，
把点代入，得
，
∴；
故答案为：4；
（2）如图，作点关于轴对称点，则，由两点之间线段最短可知的最小值为的长，
由直线，当时，，
∴，
∴点，
点关于轴对称点的坐标为，
设直线的表达式为，
把，代入，得，
，
解得，，
∴直线的表达式为，
当时，，
故当取最小值时，点的坐标为．
故答案为：．
15．见解析
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定与性质．根据得到，证明，即可求解．
【详解】证明：，
,
又，，
，
．
16．(1)
(2)8
【分析】本题考查正比例函数综合，涉及待定系数法确定函数关系式、点在图像上求参数等知识，熟练掌握正比例函数的图象与性质是解决问题的关键．
（1）利用待定系数法确定函数关系式即可得到答案；
（2）由（1）中所求表达式，将代入解方程即可得到答案．
【详解】（1）解：和成正比例，
设，
代入得，解得，
；
（2）解：由（1）知，
点是该函数图象上的一点，
把点代入，得，解得．
17．(1)见解析
(2)见解析
【分析】此题主要考查了轴对称变换以及平移变换，正确掌握平移规律是解题关键．
（1）直接利用平移的性质得出对应点位置进而得出答案；
（2）直接利用关于x轴对称点的性质得出对应点位置进而得出答案．
【详解】（1）解：如图，即为所求；
（2）解：如图，即为所求；
18．(1)证明见解析
(2)
【分析】本题考查三角形综合，涉及等腰三角形的判定、等边三角形的判定、三角形内角和定理和邻补角等知识，熟练掌握三角形相关定理性质是解决问题的关键．
（1）首先由题中条件判断是等腰三角形，再由等边三角形的判定“有一个角是的等腰三角形是等边三角形”判定即可得证；
（2）先由三角形内角和定理得到，再由邻补角定义即可得到答案．
【详解】（1）证明：，
，
是等腰三角形，
又，
是等边三角形；
（2）解：，
，
．
19．(1)；
(2)．
【分析】本题考查与角平分线的关的角的计算，直角三角形两锐角互余．
（1）先根据角平分线的定义得，再根据直角三角形两锐角互余求解；
（2）根据角平分线的定义和直角三角形两锐角互余求解即可．
【详解】（1）解：是的平分线，
．
，则．
在中，，
；
（2）解：是的平分线，
，
．
20．(1)①；②；③；④
(2)①；②
(3)
【分析】本题考查图形与坐标，涉及点的坐标规律、等腰三角形性质、等边三角形性质及勾股定理，数形结合，准确找到点的坐标特征是解决问题的关键．
（1）由平面直角坐标系及所给的图形可找到规律，是正整数；，是自然数；，是自然数；代值求解即可得到答案；
（2）由（1）中所得规律，结合题中要求即可得到答案；
（3）由图形及题意，数形结合即可得到答案．
【详解】（1）解：在平面直角坐标系中， ，
，是正整数，
，；
，都是等边三角形，
中，以轴上的边为底的高长为，
，是自然数；
都是等腰直角三角形，
如图所示，，是自然数；
，
；
故答案为：①；②；③；④；
（2）解：由（1）中，是自然数；，是自然数；
当是正整数时，；；
故答案为：①；②；
（3）解：由题意及前问解析可知，点在轴上，
点从点出发，沿着点运动，到点时运动停止，点运动的路程为100段与100段的和，
，
点运动的路程为，
故答案为：．
21．(1)；
(2)该公司采购茶叶2千克；
(3)按方案一购买的茶叶更多．
【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程的应用，读懂题目信息，理解两种方式的费用表达式是解题的关键．
（1）根据方案一、方案二的总费用等于卖茶叶费用加办卡费用，列式即可；
（2）根据方案一、方案二的总费用相等列出方程，解方程即可；
（3）根据方案一、方案二的总费用，解方程求出x进行比较即可．
【详解】（1）解：根据题意得：，
；
（2）解：根据题意得：，
解得，
答：如果两种方案所需要的费用相同，该公司采购茶叶2千克；
（3）解：按照第一种方式购买茶叶：，
解得；
按照第二种方式购买茶叶：，
解得．
∵，
∴按照第一种方案购买可以获得更多的茶叶．
22．(1)，
(2)
(3)等腰三角形，理由见解析
【分析】（1）将代入，求得，则；将代入，求得，则；联立，求解可得点的坐标；
（2）当时，，解得，，即，由题意知，的解集为在轴上方，下方，所对应的的图象所对应的的取值范围，结合图象求解作答即可；
（3）如图，过点作于点，则点的坐标为，，则是的垂直平分线，进而可得是等腰三角形．
【详解】（1）解：将代入，得，解得，
∴；
将代入，得，解得，
∴；
联立，
解得，，
点的坐标为；
（2）解：当时，，
解得，，
∴，
由题意知，的解集为在轴上方，下方，所对应的的图象所对应的的取值范围，
由图象可知，解集为，
故答案为：；
（3）解：等腰三角形，理由如下：
如图，过点作于点，则点的坐标为，
∴，，即，
∴是的垂直平分线，
∴，即是等腰三角形．
【点睛】本题考查了两直线的交点与二元一次方程组的解，一次函数解析式，根据两条直线的交点求不等式的解集，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定等知识．熟练掌握两直线的交点与二元一次方程组的解，一次函数解析式，根据两条直线的交点求不等式的解集，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定是解题的关键．
23．(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)，证明见解析
【分析】（1）由题意，利用三角形全等判定得到，进而由性质即可得证；
（2）过点分别作，垂足分别为点和点，如图所示，利用等面积法得到，再由角平分线的判定即可得证；
（3）由等腰三角形性质及三角形内角和定理表示出和，代入化简即可得到答案．
【详解】（1）证明：，
，即，
又，
；
；
（2）证明：过点分别作，垂足分别为点和点，如图所示：

由（1）可知，
，即，
，
又，
平分；
（3）证明：，
证明如下：与交于点，如图所示：

在中，，则，
①
在中，，则，②
在和中，由三角形内角和定理得，
将①和②代入得，
整理得，
．
【点睛】本题考查三角形综合，设计等腰三角形性质、全等三角形的判定与性质、等面积法、角平分线的判定、三角形内角和定理等知识，熟练掌握三角形相关判定与性质是解决问题的关键．
办卡费（元/张）
茶叶价格（元/）
方案一：黑卡
600
1000
方案二：金卡
200
1200