2023-2024学年安徽省亳州市利辛县重点中学八年级（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年安徽省亳州市利辛县重点中学八年级（上）期末数学试卷（含解析），共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.函数y=3− x−5中，自变量x可取的值是( )
A. 5B. 3C. 0D. −5
2.在平面直角坐标系中，点P(m,n)位于第四象限，下列结论一定正确的是( )
A. mn>0B. mn<0C. m+n>0D. m+n<0
3.在下列表示的运动项目标志的图案中，是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
4.在△ABC中，若∠A=∠B=2∠C，则该三角形是( )
A. 直角三角形B. 等边三角形C. 钝角三角形D. 等腰三角形
5.下列函数中，y随x的增大而减小的是( )
A. y=3+5xB. y=2x−4C. y=4−3xD. y=x+3
6.如图，点C和点E分别在AD和AB上，BC与DE交于点F，已知AB=AD，若要使△ABC≌△ADE，应添加条件中错误的是( )
A. BC=DE
B. AC=AE
C. ∠ACB=∠AED=90°
D. ∠BCD=∠DEB
7.在平面直角坐标系中，若要使直线y1=−4x+4平移后得到直线y2=−4x−1，则应将直线y1( )
A. 向上平移5个单位B. 向下平移5个单位C. 向左平移5个单位D. 向右平移5个单位
8.如图，在△ABC中，分别以点A和C为圆心，以大于12AC的长为半径作弧，连接两弧的交点与AB，AC分别交于点D、点E，连接CD，若BD=CD，则∠ACB的度数为( )
A. 110°
B. 100°
C. 90°
D. 80°
9.在一辆小汽车行驶过程中，小汽车离出发地的距离s(km)和行驶时间t(h)之间的函数关系如图，根据图中的信息，下列说法错误的是( )
A. 小汽车共行驶240km
B. 小汽车中途停留0.5h
C. 小汽车出发后前3小时的平均速度为40千米/时
D. 小汽车自出发后3小时至5小时之间行驶的速度在逐渐减小
10.如图，在△ABC中，AB=AC，点D和点E分别在BC和AC上，AD=AE，则下列结论一定正确的是( )
A. ∠1+2∠2=90°B. ∠1=2∠2C. 2∠1+∠2=90°D. ∠1+∠2=45°
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
11.将命题“全等三角形对应边上的中线相等”改写成“如果…那么…”的形式______．
12.已知三角形三条边长分别是2、a、3，且a为奇数，则a= ______．
13.如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点O，∠ABC=60°，已知OB=8，△ABC的周长为a，则△ABC的面积为______(用含a的代数式表示)．
14.如图，直线l1：y=−2x与直线l2：y=2x+m交于点P(−1,n)，l2与x轴、y轴分别交于点A和点B．
(1)m= ______；
(2)点C是y轴上一点，当AC+PC的值最小时，点C的坐标为______．
三、解答题：本题共9小题，共90分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题8分)
如图，点A，F，B，E在同一条直线上，已知∠A=∠D，DE/​/BC，AB=DE，求证：∠C=∠DFE．
16.(本小题8分)
已知y和x−3成正比例，当x=1时，y=−4．
(1)求y关于x的函数表达式；
(2)若点(a−3,4)是该函数图象上的一点，求a的值．
17.(本小题8分)
在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标依次为A(−3,4)，B(−4,0)，C(−1,2)．
(1)将△ABC向右平移5个长度单位，再向上平移1个长度单位，得到△A1B1C1，画出△A1B1C1；
(2)画出△A1B1C1关于x轴对称的△A2B2C2．
18.(本小题8分)
如图，在△ABC中，∠A=60°，∠1和∠2都是△ABC的外角．
(1)如图1，若∠1=∠2，证明：△ABC是等边三角形；
(2)如图2，求∠1+∠2的度数．
19.(本小题10分)
如图，CD是△ABC的角平分线，点E在是AC上，BE交CD于点F，∠ACB=56°．
(1)若BE⊥AC，求∠DFB的度数；
(2)若BE⊥CD，∠A=50°，求∠ABE的度数．
20.(本小题10分)
如图，在平面直角坐标系中，OA2=A2A4=A4A6=A6A8=A8A10=A10A12=…=2，△OA1A2，△A4A5A6，△A8A9A10，…都是等边三角形，△A2A3A4，△A6A7A8，△A10A11A12，△A14A15A16，…都是等腰直角三角形．
(1)直接写出下列点的坐标：
①A19：______；②A20：______；③A2023：______；④A2024：______．
(2)n是正整数，用含n的代数式表示下列坐标：
①A4n+1的横坐标为：______；②A4n+3的坐标为______．
(3)若A2A3= 2，点P从点O出发，沿着点A1，A2，A3，…运动，到点A200时运动停止，则点P运动的路程为______．
21.(本小题12分)
太平猴魁是一种中国传统名茶，产于安徽黄山市黄山区一带，为尖茶之极品，久享盛名.某公司采购员到黄山市某茶叶市场购买该种茶叶作为公司员工的福利，该市场某商家推出了办会员卡打折销售的两种方案：(凭会员卡只打折一次)
若该公司此次采购茶叶x千克，按方案一和方案二购买茶叶的总费用分别为y1元，y2元.
(1)直接写出y1，y2与x之间的函数表达式：y1= ______，y2= ______；
(2)如果两种方案所需要的费用相同，该公司采购茶叶多少千克？
(3)若该公司预计花费5000元购买此种茶叶，请你通过计算说明哪种方案能购买更多的茶叶．
22.(本小题12分)
在平面直角坐标系中，如图，直线y1=12x+m与x轴、y轴分别交于点A(−4,0)、点B，直线y2=−12x+n与x轴、y轴分别交于点C、点D(0,1)，直线y1和y2相交于点E．
(1)求m，n的值以及点E的坐标；
(2)关于x的不等式组0≤−12x+n≤12x+m的解集为______；
(3)判断△ACE的形状，并说明理由．
23.(本小题14分)
在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE．
(1)如图1，求证：BD=CE；
(2)BD与CE交于点F，连接AF，其他条件不变，如图2，求证：AF平分∠BFE；
(3)如图3，若AB=AD，设∠CBD=α，∠CAD=β，探索α和β之间的数量关系并加以证明．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：由题意得：x−5≥0，
解得：x≥5，
则自变量x可取的值是5，
故选：A．
根据二次根式有意义的条件列出不等式，解不等式求出x的范围，判断即可．
本题考查的是函数自变量的取值范围的确定，熟记二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．
2.【答案】B
【解析】解：∵点P(m,n)位于第四象限，
∴m>0，n<0，
∴mn<0，
故选：B．
根据平面直角坐标系中第四象限点的坐标特征可得：m>0，n<0，从而可得mn<0，即可解答．
本题考查了点的坐标，熟练掌握平面直角坐标系中每一象限点的坐标特征是解题的关键．
3.【答案】C
【解析】解：A、该图不是轴对称图形，故不符合题意；
B、该图不是轴对称图形，故不符合题意；
C、该图是轴对称图形，故符合题意；
D、该图不是轴对称图形，故不符合题意；
故选：C．
根据轴对称图形的定义“如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形”逐项判断即可得．
本题考查了轴对称图形，熟记轴对称的定义是解答本题的关键．
4.【答案】D
【解析】解：∵∠A=∠B=2∠C，∠A+∠B+∠C=180°，
∴2∠C+2∠C+∠C=180°，
解得：∠C=36°，
∴∠A=∠B=72°．
故△ABC是等腰三角形．
故选：D．
结合三角形的内角和为180°即可解．
本题主要考查三角形的内角和定理，解答的关键是明确三角形的内角和为180°．
5.【答案】C
【解析】解：A、一次函数y=3+5x中，∵k=5>0，∴y随x的增大而增大，不符合题意；
B、一次函数y=2x−4中，∵k=2>0，∴y随x的增大而增大，不符合题意；
C、一次函数y=4−3x中，∵k=−3<0，∴y随x的增大而减小，符合题意；
D、一次函数y=x+3中，∵k=1>0，∴y随x的增大而增大，不符合题意．
故选：C．
根据一次函数的性质解答即可．
本题考查的是一次函数的性质，熟知一次函数的图象与系数的关系是解题的关键．
6.【答案】A
【解析】解：A、若添加BC=DE，SSA不能证明△ABC≌△ADE，故符合题意；
B、若添加AC=AE，则可利用SAS证明△ABC≌△ADE，故不符合题意；
C、若添加∠ACB=∠AED=90°，则可利用AAS证明△ABC≌△ADE，故不符合题意；
D、若添加∠BCD=∠DEB，则可证明∠ACB=∠AED，可利用AAS证明△ABC≌△ADE，故不符合题意；
故选：A．
三角形全等的判定方法有ASA、AAS、SAS、SSS、HL，由此逐项判断即可得出答案．
本题考查了三角形全等的判定，三角形全等的判定方法有ASA、AAS、SAS、SSS、HL，由此逐项判断即可得出答案，熟练掌握三角形全等的判定方法是解此题的关键．
7.【答案】B
【解析】解：设将直线y1=−4x+4向左平移a个单位后得到直线y2=−4(x+a)+4(a>0)，
∴−4(x+a)+4=−4x−1，
解得：a=54，
故将直线y1=−4x+4向左平移54个单位后得到直线y2=−4x−1，
同理可得，将直线y1=−4x+4向下平移5个单位后得到直线y2=−4x−1，
观察选项，只有选项B符合题意．
故选：B．
利用一次函数图象的平移规律，右加左减，上加下减，即可得出答案．
本题考查一次函数图象与平移变换，解题的关键是掌握一次函数图象的平移规律：右加左减，上加下减．
8.【答案】C
【解析】解：由作图可知DE垂直平分线段AC，
∴DA=DC，
∵DB=DC，
∴∠A=∠DCA，∠B=∠DCB，
∵∠A+∠B+∠ACB=180°，
∴∠A+∠B+∠ACD+∠DCB=180°，
∴2∠ACD+2∠DCB=180°，
∴∠ACD+∠DCB=90°，
∴∠ACB=90°．
故选：C．
证明∠A=∠DCA，∠B=∠DCB，利用三角形内角和定理求解．
本题考查作图−基本作图，线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是读懂图象信息．
9.【答案】D
【解析】解：根据题意和图象可知：
小汽车共行驶：2×120=240(km)，故选项A说法正确，不符合题意；
小汽车中途停留0.5h，故选项B说法正确，不符合题意；
小汽车出发后前3小时的平均速度为：120÷3=40(千米/时)，故选项C说法正确，不符合题意；
小汽车自出发后3小时至5小时之间行驶的速度在逐渐不变，故选项D说法错误，符合题意．
故选：D．
要能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论．
此题考查了函数的图象以及学生从图象中读取信息的数形结合能力．解决此类识图题，同学们要注意分析其中的“关键点”．
10.【答案】B
【解析】解：∵AB=AC，AD=AE，
∴∠B=∠C，∠ADE=∠AED．
∵∠ADC=∠ADE+∠2=∠B+∠1，∠AED=∠2+∠C，
∴∠2+∠C+∠2=∠B+∠1，
整理得∠1=2∠2．
故选：B．
由AB=AC，AD=AE，可得∠B=∠C，∠ADE=∠AED.由三角形外角的性质可得∠ADC=∠ADE+∠2=∠B+∠1，∠AED=∠2+∠C，则∠2+∠C+∠2=∠B+∠1，整理求解即可．
本题考查了等腰三角形的性质，三角形外角的性质．熟练掌握等边对等角，三角形外角的性质是解题的关键．
11.【答案】如果两个三角形全等，那么对应边上的中线相等
【解析】解：“全等三角形对应边上的中线相等”的条件是：两个三角形全等，结论是：对应边上的中线相等．
则改写成“如果…那么…”的形式是：如果两个三角形全等，那么对应边上的中线相等．
故答案是：如果两个三角形全等，那么对应边上的中线相等．
本题考查了命题的叙述，正确分清命题的条件和结论是把命题写成“如果…那么…”的形式的关键．
12.【答案】3
【解析】解：根据三角形的三边之间的关系得：3−2∴1∵a为奇数，
∴a=3．
故答案为：3．
首先根据三角形的三边之间的关系得：3−2此题主要考查了三角形的三边之间关系，解答此题的关键是熟练掌握三角形的三边之间关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．
13.【答案】2a
【解析】解：过点O分别作OD⊥BC于点D，OE⊥AB于点E，OF⊥AC于点F，
∵∠ABC和∠ACB的平分线交于点O，
∴OD=OE=OF，
∵∠ABC=60°，
∴∠OBD=30°，
∴OD=OE=OF=12OB=4，
∵△ABC的周长为a，
∴S△ABC=12AB⋅OE+12AC⋅OF+12BC⋅OD
=12(AB+AC+BC)⋅OD
=12a×4
=2a，
故答案为：2a．
过点O分别作OD⊥BC于点D，OE⊥AB于点E，OF⊥AC于点F，根据角平分线的性质得出OD=OE=OF，再根据三角形的面积公式结合△ABC的周长为a即可推出结果．
本题考查了角平分线的性质，三角形的面积公式，正确作出辅助线，由角平分线的性质得出OD=OE=OF是解题的关键．
14.【答案】4 (0,43)
【解析】解：(1)∵直线y=−2x与直线y=2x+m交于点P(−1,n)，
∴n=−2×(−1)=2，
∴P(−1,2)，
∴把点P(−1,2)代入y=2x+m，得2=2×(−1)+m，
解得m=4．
故答案为：4；
(2)如图，作点A关于y轴对称点A′，连接A′P交y轴于点C′，则AC′=A′C′，
∵两点之间线段最短，
∴当点C与点C′重合时AC+PC最小，最小值为A′P的长，
由(1)知m=4，
∴直线l2的解析式为y=2x+4，
∴当x=−2时y=0，
∴A(−2,0)，
∴A′(2,0)，
设直线A′P的表达式为y=kx+b，
y=−23x+43，当x=0时，y=43，
故当AC+PC取最小值时，点C的坐标为(0,43)..
故答案为：(0,43).
(1)把点P(−1,n)代入y=−2x求出n的值，故可得出P点坐标，再把P点坐标代入直线y=2x+m，求出m的值即可；
(2)作点A关于y轴对称点A′，连接A′P，根据两点之间线段最短可知AC+PC的最小，最小值为A′P的长，利用待定系数法求出直线A′P的解析表达式，求出C点坐标即可．
本题考查的是两条直线相交或平行问题，轴对称−最短路线问题，根据题意得出直线A′P的表达式是解题的关键．
15.【答案】证明：∵DE/​/BC，
∴∠ABC=∠DEF，
又∵∠A=∠D，AB=DE，
∴△ABE≌△DEF(ASA)，
∴∠C=∠DFE．
【解析】根据DE/​/BC得到∠ABC=∠DEF，证明△ABE≌△DEF(ASA)，即可求解．
本题主要考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定与性质．
16.【答案】解：(1)设y=k(x−3)，
∵当x=1时，y=−4，
∴k(1−3)=−4，
解得k=2，
∴y=2(x−3)=2x−6；
(2)由(1)知，一次函数的解析式为y=2x−6，
∵点(a−3,4)是函数图象上的一点，
∴2(a−3)−6=4，
解得a=8．
【解析】(1)设y=k(x−3)，把当x=1时，y=−4代入求出k的值即可得出结论；
(2)把点(a−3,4)代入一次函数的解析式，求出a的值即可．
本题考查的是待定系数法求一次函数的解析式及一次函数的性质，熟知一次函数图象上各点一定适合此函数的解析式是解题的关键．
17.【答案】解：(1)如图，△A1B1C1即为所求；

(2)如图，△A2B2C2即为所求；
【解析】(1)直接利用平移的性质得出对应点位置进而得出答案；
(2)直接利用关于x轴对称点的性质得出对应点位置进而得出答案．
此题主要考查了轴对称变换以及平移变换，正确掌握平移规律是解题关键．
18.【答案】(1)证明：∵∠1+∠ABC=180°，∠2+∠ACB=180°，
又∵∠1=∠2，
∴∠ABC=∠ACB，
∴△ABC为等腰三角形，
∵∠A=60°，
∴等腰△ABC为等边三角形；
(2)解：∵∠A=60°，
∴∠ABC+∠ACB=180°−∠A=120°，
∵∠1+∠ABC=180°，∠2+∠ACB=180°，
∴∠1=180°−∠ABC，∠2=180°−∠ACB，
∴∠1+∠2=360°−(∠ABC+∠ACB)=360°−120°=240°．
【解析】(1)先由平角的定义得∠1+∠ABC=180°，∠2+∠ACB=180°，再根据等角的不角相等得∠ABC=∠ACB，由此得△ABC为等腰三角形，然后根据∠A=60°可得出结论；
(2)先由∠A=60°得∠ABC+∠ACB=120°，再根据平角的定义得∠1=180°−∠ABC，∠2=180°−∠ACB，据此可得出∠1+∠2的度数．
此题主要考查了等边三角形的判定，三角形的内角和定理，平角的定义，理解有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形是解决问题的关键．
19.【答案】解：(1)∵CD是∠ACB的平分线，
∴∠ACD=12∠ACB=28°，
∵BE⊥AC，
∴∠CEF=90°．
∴∠EFC=90°−∠ACD=62°，
∴∠DFB=∠EFC=62°；
(2)∵BE⊥CD，CD是∠ACB的平分线，
∴∠CFE=90°，∠ACD=28°，
∴∠CEB=180°−∠CFE−∠ACD=62°，
∴∠AEB=180°−∠CEB=118°，
∴∠ABE=180°−∠AEB−∠A=180°−118°−50°=12°．
【解析】(1)由角平分线的定义可得∠ACD=28°，再由垂直可得∠AEF=90°，从而可求∠AFE的度数，结合对顶角相等即可求∠DFB的度数；
(2)由角平分线的定义可得∠ACD=28°，再由垂直可得∠AEF=90°，从而可求∠CEF的度数，由平角的定义可得∠AEB的度数，利用三角形的内角和即可求∠ABE的度数．
本题主要考查三角形的内角和定理，解答的关键是结合图形分析清楚各角的关系．
20.【答案】(19,−1) (20,0) (2023,−1) (2024,0) 4n+1 (4n+3,−1) 100 2+200
【解析】解：(1)观察图形可知，
点A4坐标为(4,0)，点A8坐标为(8,0)，点A12坐标为(12,0)，…，
所以点A4n的坐标为(4n,0)(n为正整数)；
又因为20÷4=5，
所以点A20的坐标为(20,0)，
则点A19的坐标为(19,−1)；
因为2024÷4=506，
所以点A2024的坐标为(2024,0)，
则点A2023的坐标为(2023,−1)．
故答案为：①(19,−1)，②(20,0)，③(2023,−1)，④(2024,0)．
(2)由(1)知，
点A4n的横坐标为：4n，
所以点A4n+1的横坐标为：4n+1．
点A4n+4的坐标为(4n+4,0)，
所以点A4n+3的坐标为(4n+3,−1)．
故答案为：①4n+1，②(4n+3,−1)．
(3)因为OA1+A1A2+A2A3+A3A4=2+2+ 2+ 2=2 2+4，且200÷4=50，
所以50×(2 2+4)=100 2+200．
即点P运动的路程为：100 2+200．
故答案为：100 2+200．
(1)根据图中点Ai(i为正整数)坐标的规律即可解决问题．
(2)根据(1)发现的规律即可解决问题．
(3)求出图中等边三角形及等腰直角三角形的边长即可解决问题．
本题考查点的坐标变化规律，能根据所给图形发现点Ai(i为正整数)坐标变化的规律是解题的关键．
21.【答案】1000x+600 1200x+200
【解析】解：(1)根据题意，得y1=1000x+600，y2=1200x+200，
故答案为：1000x+600，1200x+200．
(2)当1000x+600=1200x+200时，解得x=2，
∴如果两种方案所需要的费用相同，该公司采购茶叶2千克．
(3)当1000x+600=5000时，解得x=4.4；
当1200x+200=5000时，解得x=4；
∵4.4>4，
∴按方案一购买的茶叶更多．
(1)根据“总费用=办卡费+茶叶价格×茶叶数量”解答即可；
(2)令y1=y2，解方程求出x的值即可；
(3)分别令y1=5000和y2=5000，解方程求出对应x的值并比较大小，从而得出结论即可．
本题考查一次函数的应用，根据题意写出函数表达式是解题的关键．
22.【答案】−1≤x≤2
【解析】解：(1)把点A(−4,0)代入y1=12x+m，得0=12×(−4)+m，
解得m=2，
把点D(0,1)代入y2=−12x+n，得1=−12×0+n，
解得n=1，
联立直线y1和y2的表达式，得12x+2=−12x+1，
解得x=−1，则12x+2=32，
∴点E的坐标为(−1,32)；
(2)∵E(−1,32)，
当y2=0时，则−12x+1=0，
解得x=2，
∴C(2,0)，
∴关于x的不等式组0≤−12x+n≤12x+m的解集为−1≤x≤2．
故答案为：−1≤x≤2；
(3)等腰三角形，理由如下：
如图，过点E作EF⊥AC于点F，则点F的坐标为(−1,0)，
∵C(2,0)，
∴AF=−1−(−4)=3，CF=2−(−1)=3，
则AF=CF，
∴EF是AC的垂直平分线，
∴AE=CE，即△ACE是等腰三角形．
(1)把点A代入两个一次函数解析式，求出m和n，然后联立解析式即可；
(2)求出点C，结合函数图象即可解答；
(3)过点E作EF⊥AC于点F，则点F的坐标为(−1,0)，证得EF是AC的垂直平分线即可解答．
本题考查了一次函数，解题的关键是熟练掌握用待定系数法求一次函数解析式．
23.【答案】(1)证明：∵∠BAD=∠CAE，
∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD，
即∠BAD=∠CAE，
在△ABD和△ACE中，
AB=AC∠BAD=∠CAEAD=AE，
∴△ABD≌△ACE(SAS)，
∴BD=CE；
(2)解：如图，过点A分别作AG⊥BD，AH⊥CE，垂足分别为点G和点H．

由(1)可知△ABD≌△ACE，
∴BD=CE，S△ABD=S△ACE，
∴AG=AH，
又AG⊥BD，AH⊥CE，
∴AF平分∠BFE；
(3)解：2α=β，
证明如下：如图，AC与BD交于点O．

在△ABC中，∵AB=AC，则∠ABC=∠1，
∴∠1=12(180°−∠BAC)①，
在△ABD中，∵AB=AD，则∠ABD=∠2，
∴∠2=12(180°−∠BAD)=12(180°−∠BAC−β)②，
在△BOC和△AOD中，由三角形内角和定理，得α+∠1=β+∠2，代入①和②，得：
α+12(180°−∠BAC)=β+12(180°−∠BAC−β)，
整理得α=12β，
即2α=β．
【解析】(1)证明△ABD≌△ACE(SAS)，由全等三角形的性质得出BD=CE；
(2)过点A分别作AG⊥BD，AH⊥CE，垂足分别为点G和点H.证出AG=AH，由角平分线的判定可得出结论；
(3)由等腰三角形的性质及三角形内角和定理可得出结论．
本题考查的是全等三角形的判定和性质、角平分线的性质、三角形内角和定理，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．办卡费(元/张)
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