2025高考数学二轮专题-向量、数列-专项训练【含答案】

这是一份2025高考数学二轮专题-向量、数列-专项训练【含答案】，共19页。试卷主要包含了已知向量，满足，已知向量＝，设，是向量，则“，数列{an}满足an+1＝等内容，欢迎下载使用。
1．已知向量，满足：，，且，则||＝（ ）
A．B．C．D．1
2．记Sn为等差数列{an}的前n项和．若S5＝S10，a5＝1，则a1＝（ ）
A．B．C．﹣D．﹣
3．已知向量＝（x+1，x），＝（x，2），则（ ）
A．“⊥”的必要条件是“x＝﹣3”
B．“∥”的必要条件是“x＝﹣3”
C．“⊥”的充分条件是“x＝0”
D．“∥”的充分条件是“x＝﹣1+”
4．已知a，b，c成等差数列，直线ax+by+c＝0与圆C：x2+（y+2）2＝5交于A，B两点，则|AB|的最小值为（ ）
A．1B．3C．4D．2
5．设，是向量，则“（+）•（﹣）＝0”是“＝﹣或＝”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
6．已知向量＝（1，1），＝（1，﹣1）．若（+λ）⊥（+μ），则（ ）
A．λ+μ＝1B．λ+μ＝﹣1C．λμ＝1D．λμ＝﹣1
7．记Sn为数列{an}的前n项和，设甲：{an}为等差数列；乙：{}为等差数列，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
8．记Sn为等比数列{an}的前n项和，若S4＝﹣5，S6＝21S2，则S8＝（ ）
A．120B．85C．﹣85D．﹣120
9．数列{an}满足an+1＝（an﹣6）3+6，下列说法正确的是（ ）
A．若a1＝3，则{an}是递减数列，∃M∈R，使得an＞M
B．若a1＝5，则{an}是递增数列，∃M≤6，使得an＜M
C．若a1＝7，则{an}是递减数列，∃M＞6，使得an＞M
D．若a1＝9，则{an}是递增数列，∃M∈R，使得an＜M
10．向量||＝||＝1，||＝，且+＝，则cs〈﹣，﹣〉＝（ ）
A．B．C．D．
11．已知正项等比数列{an}中，a1＝1，Sn为{an}前n项和，S5＝5S3﹣4，则S4＝（ ）
A．7B．9C．15D．30
12．已知⊙O的半径为1，直线PA与⊙O相切于点A，直线PB与⊙O交于B，C两点，D为BC的中点，若|PO|＝，则•的最大值为（ ）
A．B．C．1+D．2+
二．填空题（共6小题）
13．记Sn为等差数列{an}的前n项和，若a3+a4＝7，3a2+a5＝5，则S10＝ ．
14．在正方形ABCD中，边长为1．E为线段CD的三等分点，＝，＝λ+μ，则λ+μ＝ ；若F为线段BE上的动点，G为AF中点，则的最小值为 ．
15．设{an}与{bn}是两个不同的无穷数列，且都不是常数列．记集合M＝{k|ak＝bk，k∈N*}，给出下列四个结论：
①若{an}与{bn}均为等差数列，则M中最多有1个元素；
②若{an}与{bn}均为等比数列，则M中最多有2个元素；
③若{an}为等差数列，{bn}为等比数列，则M中最多有3个元素；
④若{an}为递增数列，{bn}为递减数列，则M中最多有1个元素．
其中正确结论的序号是 ．
16．已知向量，满足|﹣|＝，|+|＝|2﹣|，则||＝ ．
17．在△ABC中，BC＝1，∠A＝60°，，．记＝，＝，用和表示＝ ；若＝，则•的最大值为 ．
18．已知{an}为等比数列，a2a4a5＝a3a6，a9a10＝﹣8，则a7＝ ．
三．解答题（共5小题）
19．已知数列{an}的前n项和为Sn，且4Sn＝3an+4．
（1）求{an}的通项公式；
（2）设，求数列{bn}的前n项和为Tn．
20．已知数列{an}是公比大于0的等比数列，其前n项和为Sn，若a1＝1，S2＝a3﹣1．
（1）求数列{an}前n项和Sn；
（2）设bn＝，b1＝1，其中k是大于1的正整数．
（i）当n＝ak+1时，求证：bn﹣1≥ak•bn；
（ii）求．
21．设等差数列{an}的公差为d，且d＞1．令bn＝，记Sn，Tn分别为数列{an}，{bn}的前n项和．
（1）若3a2＝3a1+a3，S3+T3＝21，求{an}的通项公式；
（2）若{bn}为等差数列，且S99﹣T99＝99，求d．
22．已知{an}为等差数列，bn＝，记Sn，Tn为{an}，{bn}的前n项和，S4＝32，T3＝16．
（1）求{an}的通项公式；
（2）证明：当n＞5时，Tn＞Sn．
23．已知数列{an}中，a2＝1，设Sn为{an}前n项和，2Sn＝nan．
（1）求{an}的通项公式；
（2）求数列的前n项和Tn．
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题）
1．【解答】解：向量，满足，，且，
可得，，
可得，
所以||＝．
故选：B．
2．【解答】解：S5＝S10，
则S10﹣S5＝a6+a7+a8+a9+a10＝5a8＝0，解得a8＝0，
又因为a5＝1，所以公差，
故a1＝a8．
故选：B．
3．【解答】解：＝（x+1，x），＝（x，2），
若，
则x（x+1）+2x＝0，解得x＝0或﹣3，
故“⊥”的充分条件是“x＝0”，故A错误，C正确；
若，
则2（x+1）＝x2，解得x＝，故BD错误．
故选：C．
4．【解答】解：因为a，b，c成等差数列，所以a﹣2b+c＝0，
所以直线ax+by+c＝0恒过P（1，﹣2），
因为P（1，﹣2）在圆C：x2+（y+2）2＝5内，
当PC⊥AB时，|AB|取得最小值，此时|PC|＝1，．
故选：C．
5．【解答】解：（+）•（﹣）＝0，
则，即，
不能推出＝或＝﹣，充分性不成立，
＝或＝﹣能推出，必要性成立，
故“（+）•（﹣）＝0”是“＝或＝﹣”的必要不充分条件．
故选：B．
6．【解答】解：∵＝（1，1），＝（1，﹣1），
∴+λ＝（λ+1，1﹣λ），+μ＝（μ+1，1﹣μ），
由（+λ）⊥（+μ），得（λ+1）（μ+1）+（1﹣λ）（1﹣μ）＝0，
整理得：2λμ+2＝0，即λμ＝﹣1．
故选：D．
7．【解答】解：若{an}是等差数列，设数列{an}的首项为a1，公差为d，
则Sn＝na1+d，
即＝a1+d＝n+a1﹣，
故{}为等差数列，
即甲是乙的充分条件．
反之，若{}为等差数列，则可设﹣＝D，
则＝S1+（n﹣1）D，即Sn＝nS1+n（n﹣1）D，
当n≥2时，有Sn﹣1＝（n﹣1）S1+（n﹣1）（n﹣2）D，
上两式相减得：an＝Sn﹣Sn﹣1＝S1+2（n﹣1）D，
当n＝1时，上式成立，所以an＝a1+2（n﹣1）D，
则an+1﹣an＝a1+2nD﹣[a1+2（n﹣1）D]＝2D（常数），
所以数列{an}为等差数列．
即甲是乙的必要条件．
综上所述，甲是乙的充要条件．
故本题选：C．
8．【解答】解：等比数列{an}中，S4＝﹣5，S6＝21S2，显然公比q≠1，
设首项为a1，则＝﹣5①，＝②，
化简②得q4+q2﹣20＝0，解得q2＝4或q2＝﹣5（不合题意，舍去），
代入①得＝，
所以S8＝＝（1﹣q4）（1+q4）＝×（﹣15）×（1+16）＝﹣85．
故选：C．
9．【解答】解：法（i）对原式进行变形，得an+1﹣an＝[（an﹣6）2﹣1]（an﹣6），
当a1＝3，则a2﹣a1＜0，a2＜3，
设ak＜3（k∈Z，k≥2），则ak+1﹣ak＜﹣3，所以{an}是递减数列，
当n→+∞，an→﹣∞，A错误，同理可证明D错误，
当a1＝5，则a2﹣a1＞0，即a2＞5，又因为（a1﹣6）3＜0，所以5＜a2＜6，
假设5＜ak＜6（k∈Z，k≥2），则ak+1﹣ak＞0，即ak+1＞5，又因为（ak﹣6）3＜0，所以5＜ak+1＜6，
所以当n→+∞，an→6，B正确，
对于C，当a1＝7，可得a2＝+6，a3＝+6，可得{an}是递减数列，an＝6，
故不存在M＞6，an＞M恒成立，C错误．
法（ii）an+1＝（an﹣6）3+6，可得an+1﹣6＝（an﹣6）3，n∈N+，
所以a2﹣6＝（a1﹣6）3，a3﹣6＝（a2﹣6）3＝[（a1﹣6）3]3＝××（a1﹣6）32，
a4﹣6＝×××（a1﹣6）33，
归纳猜想：an﹣6＝×（a1﹣6＝•（a1﹣6，
当a1＝3时，an﹣6＝•（﹣3＝﹣2×（，即an＝•（﹣3＝﹣2×（+6，所以{an}是递减数列，无边界；
a1＝5时，an﹣6＝•（﹣1＝﹣2×（，即an＝﹣2×（+6＝2[3﹣（]，由复合函数的单调性，可得{an}是递增，有边界，所以B正确；
a1＝7时，an﹣6＝•＝2×（，所以{an}是递减数列，有边界；所以C不正确；
a1＝9时，an﹣6＝•＝2×（，所{以an}是递增数列，无边界；所以D不正确；
故选：B．
10．【解答】解：因为向量||＝||＝1，||＝，且+＝，所以﹣＝+，
所以＝++2•，
即2＝1+1+2×1×1×cs＜，＞，
解得cs＜，＞＝0，
所以⊥，
又﹣＝2+，﹣＝+2，
所以（﹣）•（﹣）＝（2+）•（+2）＝2+2+5•＝2+2+0＝4，
|﹣|＝|﹣|＝＝＝，
所以cs〈﹣，﹣〉＝＝＝．
故选：D．
11．【解答】解：等比数列{an}中，设公比为q，
a1＝1，Sn为{an}前n项和，S5＝5S3﹣4，显然q≠1，
（如果q＝1，可得5＝15﹣4矛盾），
可得＝5•﹣4，
解得q2＝4，即q＝2，
S4＝＝＝15．
故选：C．
12．【解答】解：如图，设∠OPC＝α，则，
根据题意可得：∠APO＝45°，
∴
＝
＝cs2α﹣sinαcsα
＝
＝，又，
∴当，α＝，cs（）＝1时，
取得最大值．
故选：A．
二．填空题（共6小题）
13．【解答】解：等差数列{an}中，a3+a4＝2a1+5d＝7，3a2+a5＝4a1+7d＝5，
解得，d＝3，a1＝﹣4，
则S10＝10×（﹣4）+＝95．
故答案为：95．
14．【解答】解：由题意可知，＝＝＝﹣＝﹣＝，
∴，μ＝1，
∴λ+μ＝，
如图：
设＝m（0≤m≤1），
则＝＝﹣＝﹣+m（）＝（﹣1），
∵G为AF中点，
∴＝＝﹣＝﹣[（﹣1）]＝（），
∵正方形ABCD的边长为1，
∴＝1，＝0，
∴＝[（﹣1）]•[（）]＝（m﹣1）（m﹣）+m（）＝，
对于函数y＝，对称轴为m＝，
∴函数y＝在[0，1]上单调递减，
∴当m＝1时，函数y＝取得最小值﹣，
即的最小为﹣．
故答案为：；﹣．
15．【解答】解：对于①，{an}，{bn}均为等差数列，M＝{k|ak＝bk}，{an}，{bn}不为常数列且各项均不相同，
故它们的散点图分布在直线上，而两条直线至多有一个公共点，
所以M中至多一个元素，故①正确；
对于②，令，，满足{an}，{bn}均为等比数列，
但当n为偶数时，，此时M中有无穷多个元素，故②错误；
对于③，设，an＝kn+b（k≠0），
若M中至少四个元素，则关于n的方程Aqn＝kn+b至少有4个不同的正数解，
若q＜0，q≠±1，考虑关于n的方程Aqn＝kn+b奇数解的个数和偶数解的个数，
当Aqn＝kn+b有偶数解，此方程即为A|q|n＝kn+b，
方程至多有两个偶数解，且有两个偶数解时Akln|q|＞0，
否则Akln|q|＜0，因为y＝A|q|n，y＝kn+b单调性相反，
方程A|q|n＝kn+b至多一个偶数解，
当Aqn＝kn+b有奇数解，此方程即为﹣A|q|n＝kn+b，
方程至多有两个奇数解，且有两个奇数解时﹣Akln|q|＞0，即Akln|q|＜0，
否则Akln|q|＞0，
因为y＝﹣A|q|n，y＝kn+b单调性相反，
方程A|q|n＝kn+b至多一个奇数解，
因为Akln|q|＞0，Akln|q|＜0不可能同时成立，
若q＞0，q≠1，
则由y＝Aqn和y＝kn+b的散点图可得关于n的方程Aqn＝kn+b至多有两个不同的解，矛盾；
故Aqn＝kn+b不可能有4个不同的正数解，故③正确．
对于④，因为{an}为单调递增，{bn}为递减数列，M＝{k|ak＝bk}，{an}，{bn}不为常数列且各项均不相同，
前者散点图呈上升趋势，后者的散点图呈下降趋势，
两者至多一个交点，故④正确．
故答案为：①③④．
16．【解答】解：∵|﹣|＝，|+|＝|2﹣|，
∴，，
∴，∴＝3，
∴．
故答案为：．
17．【解答】解：在△ABC中，∠A＝60°，||＝1，点D为AB的中点，点E为CD的中点，＝，＝，
则＝＝；
设，，
由余弦定理可得：1＝x2+y2﹣xy，
又x2+y2≥2xy，
即xy≤1，当且仅当x＝y时取等号，
又＝，
则＝，
则
＝
＝
＝
＝，
即•的最大值为．
故答案为：；．
18．【解答】解：∵等比数列{an}，
∴a2a4a5＝a2a3a6＝a3a6，解得a2＝1，
而a9a10＝a2q7a2q8＝（a2）2q15＝﹣8，可得q15＝（q5）3＝﹣8，
即q5＝﹣2，
a7＝a2•q5＝1×（﹣2）＝﹣2．
故答案为：﹣2．
三．解答题（共5小题）
19．【解答】解：（1）因为4Sn＝3an+4，
所以4Sn+1＝3an+1+4，
两式相减可得4an+1＝3an+1﹣3an，
即an+1＝﹣3an，又因为4S1＝3a1+4，
所以a1＝4，故数列{an}是首项为4，公比为﹣3的等比数列，
所以；
（2），
所以，
3•33+⋯+n•3n），
两式相减可得：﹣4n）3n﹣2，
所以．
20．【解答】解：（1）a1＝1，S2＝a3﹣1＝a1+a2，
可得1+q＝q2﹣1，整理得q2﹣q﹣2＝0，
解得q＝2或q＝﹣1，
因为数列{an}的公比大于0，所以q＝2，
所以；
（2）（i）证明：由（1）可知，且k∈N*，k≥2，
当时，则，即ak＜n﹣1＜ak+1，
可知，bn＝k+1，
bn﹣1＝+（ak+1﹣ak﹣1）•2k＝k+2k（2k﹣1﹣1）＝k（2k﹣1），
可得bn﹣1﹣akbn＝k（2k﹣1）﹣（k+1）2k﹣1＝（k﹣1）2k﹣1﹣k≥2（k﹣1）﹣k＝k﹣2≥0，
当且仅当k＝2时，等号成立，
所以bn﹣1≥ak•bn；
（ii），
若n＝1，则S1＝1，b1＝1，
若n≥2，则，
当2k﹣1＜i≤2k﹣1时，bi﹣bi﹣1＝2k，可知{bi}为等差数列，
可得bi＝k•2k﹣1+2k＝k•4k﹣1＝，
＝1+[5×42﹣2×4+8×43﹣5×42+...+（3n﹣1）4n﹣（3n﹣4）4n﹣1]＝，
且n＝1，符合上式，综上所述：．
21．【解答】解：（1）∵3a2＝3a1+a3，S3+T3＝21，
∴根据题意可得，
∴，
∴2d2﹣7d+3＝0，又d＞1，
∴解得d＝3，∴a1＝d＝3，
∴an＝a1+（n﹣1）d＝3n，n∈N*；
（2）∵{an}为等差数列，{bn}为等差数列，且bn＝，
∴根据等差数列的通项公式的特点，可设an＝tn，则，且d＝t＞1；
或设an＝k（n+1），则，且d＝k＞1，
①当an＝tn，，d＝t＞1时，
则S99﹣T99＝﹣＝99，
∴，∴50t2﹣t﹣51＝0，又d＝t＞1，
∴解得d＝t＝；
②当an＝k（n+1），，d＝k＞1时，
则S99﹣T99＝＝99，
∴，∴51k2﹣k﹣50＝0，又d＝k＞1，
∴此时k无解，
∴综合可得d＝．
22．【解答】解：（1）设等差数列{an}的公差为d，
Sn，Tn为{an}{bn}的前n项和，S4＝32，T3＝16，
则，即，解得，
故an＝5+2（n﹣1）＝2n+3；
（2）证明：由（1）可知，，
，
当n为偶数时，n＞5，
Tn＝﹣1+3+…+2（n﹣1）﹣3+14+22+…+4n+6
＝+＝＝，
，
当n为奇数时，n＞5，Tn＝Tn﹣1+bn＝＝，
Tn﹣Sn＝，
故原式得证．
23．【解答】解：（1）当n＝1时，2S1＝a1，解得a1＝0，
当n≥2时，2Sn﹣1＝（n﹣1）an﹣1，
∴2an＝nan﹣（n﹣1）an﹣1，∴（n﹣1）an﹣1＝（n﹣2）an，
当n≥3时，可得＝，
∴an＝××⋯××a2＝×××⋯××1＝n﹣1，
当n＝2或n＝1时，a1＝0，a2＝1适合上式，
∴{an}的通项公式为an＝n﹣1；
（2）由（1）可得＝，
∴Tn＝+++⋯+，∴Tn＝+++⋯+，
∴Tn＝+++⋯+﹣＝﹣＝1﹣﹣，
∴Tn＝2﹣．明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同