江苏省泰州中学2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试卷（Word版附解析）

这是一份江苏省泰州中学2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试卷（Word版附解析），共25页。试卷主要包含了 直线的倾斜角为， “”是“直线和直线平行”的， 抛物线的焦点到准线的距离是， 已知圆，过点， 已知直线，则等内容，欢迎下载使用。
（考试时间：120分钟；总分：150分）
命题人：余静 审题人：杨华
一､选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将答案填涂到答题卡相应区域.）
1. 直线的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
2. “”是“直线和直线平行”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
3. 抛物线的焦点到准线的距离是（ ）
A B. C. 1D. 2
4. 与双曲线有公共焦点，且短轴长为2的椭圆方程为（ ）
A. B. C. D.
5. 已知圆，过点（1，2）的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为（ ）
A. 1B. 2
C. 3D. 4
6. 油纸伞是中国传统工艺品，至今已有1000多年的历史，为宣传和推广这一传统工艺，某市文化宫于春分时节开展油纸伞文化艺术节.活动中，某油纸伞撑开后摆放在户外展览场地上，如图所示，该伞的伞沿是一个半径为1的圆，圆心到伞柄底端的距离为1，阳光照射油纸丛在地面上形成了一个椭圆形的影子（春分时，该市的阳光照射方向与地面的夹角为），若伞柄底端正好位于该椭圆的左焦点位置，则（ ）
A. 该椭圆的离心率为B. 该椭圆的离心率为
C. 该椭圆的焦距为D. 该椭圆的焦距为
7. 如图，平面直角坐标系中，曲线(实线部分)的方程可以是．
A. B.
C. D.
8. 已知椭圆与双曲线具有相同的左、右焦点，，点为它们在第一象限的交点，动点在曲线上，若记曲线，的离心率分别为，，满足，且直线与轴的交点的坐标为，则的最大值为（ ）
A. B. C. D.
二､多选题：（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，请将答案填涂到答题卡相应区域.）
9. 已知直线，则（ ）
A. 直线过定点B. 当时，
C. 当时，D. 当时，两直线之间的距离为1
10. 已知是抛物线的焦点，，是抛物线上的两点，为坐标原点，则（ ）
A. 若，则的面积为
B. 若垂直的准线于点，且，则四边形的周长为
C. 若直线过点，则的最小值为1
D 若，则直线恒过定点
11. 已知双曲线的左、右焦点分别为，点是双曲线的右支上一点，过点的直线与双曲线的两条渐近线分别交于，则（ ）
A. 的最小值为8
B. 为定值
C. 若直线与双曲线相切，则点的纵坐标之积为；
D. 若直线经过，且与双曲线交于另一点，则的最小值为.
三､填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分.）
12. 经过点，且在轴上的截距是在轴上的截距的2倍的直线的方程是______.
13. 已知为椭圆上的一个动点，过作圆的两条切线，切点分别为，则的最小值为__________.
14. 已知双曲线与平行于轴的动直线交于两点，点在点左侧，双曲线的左焦点为，且当时，.则双曲线的离心率是__________；当直线运动时，延长至点使，连接交轴于点，则的值是__________.
四､解答题：（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.）
15. 已知的顶点，AB边上的中线所在直线的方程为，AC边上的高BH所在直线的方程为．
（1）求点B，C坐标；
（2）求的面积．
16. 已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于，两点.
（1）求最小值；
（2）判断点是否在以为直径的圆上，并说明理由.
17. 椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，离心率为点、、在椭圆上，且．
（1）求椭圆的方程及直线的斜率；
（2）当时，证明原点是的重心，并求直线的方程．
18. 已知，分别是双曲线的左，右顶点，直线（不与坐标轴垂直）过点，且与双曲线交于，两点.
（1）若，求直线方程；
（2）若直线与相交于点，求证：点在定直线上.
19. 已知曲线由和组成，点，点，点在上.
（1）求的取值范围（当与重合时，）；
（2）若，求面积的取值范围.江苏省泰州中学2024~2025学年度第一学期期中考试
高二数学试题
（考试时间：120分钟；总分：150分）
命题人：余静 审题人：杨华
一､选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将答案填涂到答题卡相应区域.）
1. 直线的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
分析】根据直线斜率和倾斜角关系可直接求得结果.
【详解】直线的斜率不存在，直线的倾斜角为.
故选：D.
2. “”是“直线和直线平行”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】根据直线平行的等价条件求出的值，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．
【详解】当，则直线分别为和直线满足平行，即充分性成立，
若直线和直线平行，
当时，直线分别为和，不满足条件，
当时，满足，即，解得或，
当时，两直线重合，故不满足条件，故，即必要性成立，
综上“”是“直线和直线平行”的充要条件，
故选：C．
3. 抛物线的焦点到准线的距离是（ ）
A. B. C. 1D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】根据抛物线方程确定焦准距p的值，即得答案.
【详解】因为抛物线方程为，故焦准距，
即焦点到准线的距离是，
故选：A.
4. 与双曲线有公共焦点，且短轴长为2的椭圆方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】设出椭圆方程，由短轴长求出，求出双曲线的焦点坐标，进而求出，得到椭圆方程.
【详解】设椭圆方程为，
双曲线的焦点坐标为，
又短轴长为2，故，解得：，
则，故椭圆方程为.
故选：C
5. 已知圆，过点（1，2）的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为（ ）
A. 1B. 2
C. 3D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】当直线和圆心与点的连线垂直时，所求的弦长最短，即可得出结论.
【详解】圆化为，所以圆心坐标为，半径为，
设，当过点的直线和直线垂直时，圆心到过点的直线的距离最大，所求的弦长最短，此时
根据弦长公式得最小值为.
故选：B.
【点睛】本题考查圆的简单几何性质，以及几何法求弦长，属于基础题.
6. 油纸伞是中国传统工艺品，至今已有1000多年的历史，为宣传和推广这一传统工艺，某市文化宫于春分时节开展油纸伞文化艺术节.活动中，某油纸伞撑开后摆放在户外展览场地上，如图所示，该伞的伞沿是一个半径为1的圆，圆心到伞柄底端的距离为1，阳光照射油纸丛在地面上形成了一个椭圆形的影子（春分时，该市的阳光照射方向与地面的夹角为），若伞柄底端正好位于该椭圆的左焦点位置，则（ ）
A. 该椭圆的离心率为B. 该椭圆的离心率为
C. 该椭圆的焦距为D. 该椭圆的焦距为
【答案】BC
【解析】
【分析】先求得，结合椭圆的知识以及正弦定理求得，进而求得椭圆的离心率和焦距.
【详解】，
如图，分别是椭圆的左､右顶点，是椭圆的左焦点，是圆的直径，为该圆的圆心.
因为，所以，
设椭圆的长轴长为，焦距为，则.
因为，
由正弦定理得，
解得，所以，
所以.
故选：BC
7. 如图，平面直角坐标系中，曲线(实线部分)的方程可以是．
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】结合图象，对选项一一验证，找到方程所表示的曲线的图形满足题意即可.
【详解】因为曲线表示折线段的一部分和双曲线，
A选项等价于或，表示折线的全部和双曲线，
故错误；
B选项，等价于或，又表示折线的全部，故错误；
C选项，等价于或，
∴表示折线在双曲线外部（包含有原点）的部分，
表示双曲线-，符合题中的图象，故C正确.
D选项，等价于或，
表示折线在双曲线外部（包含有原点）的部分，
和表示双曲线在x轴下方的部分，故错误.
故选C.
【点睛】本题考查曲线的方程和方程的曲线概念，关键在于考虑问题要周全，即在每个因式等于0时同时需保证另一个因式有意义，此题是中档题，也是易错题．
8. 已知椭圆与双曲线具有相同的左、右焦点，，点为它们在第一象限的交点，动点在曲线上，若记曲线，的离心率分别为，，满足，且直线与轴的交点的坐标为，则的最大值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据椭圆、双曲线的定义可得，结合离心率可得，在中，利用余弦定理可得，进而结合椭圆性质可知：当为椭圆短轴顶点时，取到最大值，分析求解即可.
【详解】由题意可知：，解得，
又因为，可得，
由直线与轴的交点的坐标为可得，
在中，由余弦定理可得
，
可得，整理得，解得或（舍去），
且，所以，
由椭圆性质可知：当为椭圆短轴顶点时，取到最大值，
此时，
且，则，所以，即.
故选：A.
.
【点睛】关键点睛：本题解决的关键在于找到的两种表达方式，构造了关于的方程，从而得解.
二､多选题：（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，请将答案填涂到答题卡相应区域.）
9. 已知直线，则（ ）
A. 直线过定点B. 当时，
C. 当时，D. 当时，两直线之间的距离为1
【答案】AC
【解析】
【分析】对于A，将直线化简整理为，令，解方程组即可求出所过定点；
对于B，将代入直线中，分别求出直线与的斜率，通过两条直线垂直的判定条件判断选项正误即可；
对于C，将代入直线中，分别求出直线与的斜率，通过两条直线平行的判定条件判断选项正误即可；
对于D，通过，求出参数，然后根据平行线间距离公式求解即可.
【详解】对于A，直线化为，
令，解得：，所以直线过定点，故A选项正确；
设直线的斜率为，设直线的斜率为，
对于B，当时，，，
，，
又与均存在且，与不垂直，故B选项错误；
对于C，当时，，，
，，
又，且与不重合，与平行，故C选项正确；
对于D，，，解得：，
得，，
故两条直线之间的距离为，故D选项错误.
故选：AC
10. 已知是抛物线的焦点，，是抛物线上的两点，为坐标原点，则（ ）
A. 若，则的面积为
B. 若垂直的准线于点，且，则四边形的周长为
C. 若直线过点，则的最小值为1
D. 若，则直线恒过定点
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用抛物线焦点弦的性质，可判定A，C正确；利用拋物线的定义，数形结合求解四边形的周长，可判定判断B不正确；设直线的方程为，联立方程组，结合根与系数的关系，求得的值，可判定D正确．
【详解】对于选项A中，设，由焦半径公式得，解得，所以，
所以，所以A正确；
对于选项B中，由题意知，根据抛物线的定义可知，
设与轴的交点为，易知，，故，
所以四边形的周长为，所以B错误；
对于选项C中，若直线过点，则当轴时，最小，且最小值为1，
所以C正确；
对于选项D，设直线，，，
联立直线与抛物线方程得，则，所以，
由可得，即，解得，
故直线的方程为，即直线恒过定点，选项D正确．
故选ACD．
【点睛】对于抛物线的焦点弦的性质的结论拓展：
若是一条过抛物线焦点的弦，当所在直线的倾斜角为，设，，可得，则，弦长；同时通径是指过抛物线的焦点且垂直于抛物线对称轴的弦，弦长等于，且通径是过焦点的最短的弦．
11. 已知双曲线的左、右焦点分别为，点是双曲线的右支上一点，过点的直线与双曲线的两条渐近线分别交于，则（ ）
A. 的最小值为8
B. 为定值
C. 若直线与双曲线相切，则点的纵坐标之积为；
D. 若直线经过，且与双曲线交于另一点，则的最小值为.
【答案】AB
【解析】
【分析】设，由，可判定A正确；化简，可判定B正确；设直线的方程为，联立方程组，结合，得到，在化简，可判定C不正确；根据通经长和实轴长，可判定D错误.
【详解】由题意，双曲线，可得，则，
所以焦点，且，
设，则，且，即，
双曲线的两条渐近线的方程为，
对于A中，由，
所以A正确；
对于B中，
（定值），所以B正确；
对于C中，不妨设，直线的方程为，
联立方程组，整理得，
若直线与双曲线相切，则，
整理得，
联立方程组，解得，即点的纵坐标为，
联立方程组，解得，即点的纵坐标为，
则点的纵坐标之积为
所以C不正确；
对于D中，若点在双曲线的右支上，则通经最短，其中通经长为，
若点在双曲线的左支上，则实轴最短，实轴长为，所以D错误.
故选：AB.
三､填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分.）
12. 经过点，且在轴上的截距是在轴上的截距的2倍的直线的方程是______.
【答案】和；
【解析】
【分析】根据直线过原点和不经过原点两种情况，即可由待定系数的方法求解.
【详解】若直线经过原点，则设直线方程为，将代入可得，
若直线不经过原点，设直线方程为，
将代入可得，所以直线方程为，即，
故答案为：和；
13. 已知为椭圆上的一个动点，过作圆的两条切线，切点分别为，则的最小值为__________.
【答案】##
【解析】
【分析】设，解三角形可得，，利用两点距离公式求的最小值，结合平方关系可求AB的最小值.
【详解】设，
由已知，由对称性可得,
所以，
则，，
且，
因为，
因为，
所以，当且仅当时等号成立，
所以，又，
所以，
所以.
所以AB的最小值为.
故答案为：.
14. 已知双曲线与平行于轴的动直线交于两点，点在点左侧，双曲线的左焦点为，且当时，.则双曲线的离心率是__________；当直线运动时，延长至点使，连接交轴于点，则的值是__________.
【答案】 ①. ## ②. ##
【解析】
【分析】根据条件，设，代入双曲线方程得，再根据条件即可得，从而求出结果；利用，得到，设，则有，，，代入化简即可得出结果.
【详解】当时，设，
则有，解得，又，所以，
又，所以，两边同除，得到，
解得或（舍），
因为，有，
设，则，，，，
所以，
又，所以，
故答案为：；.
【点睛】关键点点晴：本题的关键在于第二空，利用，得到，设，，求出，化简并结合双曲线定义，即可求解.
四､解答题：（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.）
15. 已知的顶点，AB边上的中线所在直线的方程为，AC边上的高BH所在直线的方程为．
（1）求点B，C的坐标；
（2）求的面积．
【答案】（1）,
（2）7
【解析】
【分析】（1）设点，由题意可知点坐标满足BH的方程，再表示出的中点，代入AB边上的中线方程，解方程组可求出点的坐标，求出的斜率，可求出直线的方程，再与联立，可得点的坐标，
（2）利用两点间的距离公式求出的长，再利用点到直线的距离公式求出到直线的距离，从而可求出三角形的面积.
【小问1详解】
设点，因为在直线上，所以， ①
又，的中点为，且点在的中线上，
所以， ②
联立①②，得，即点．
由题意，得，所以，
所以所在直线的方程为，即， ③
因为点在AB边上的中线上，
所以点的坐标满足直线方程， ④
联立③④，得，即．
【小问2详解】
由（1）得，
到直线的距离为，
所以，
故的面积为7．
16. 已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于，两点.
（1）求的最小值；
（2）判断点是否在以为直径的圆上，并说明理由.
【答案】（1）11 （2）在，理由见解析
【解析】
【分析】（1）需对直线分斜率存在和不存在，分别将两种情况下的直线与抛物线联立，从而求解.
（2）由（1）知分情况对以为直径的圆对点进行验证，从而求解．
【小问1详解】
从而求（2）由（1）中当直线斜率，由题意知：抛物线焦点，准线：x=−1，
直线过定点，且定点在抛物线内，所以得：直线的斜率不为0，
设直线方程为，
当时，直线率不存在，即直线方程为：，
此时：，，
所以：；
当时，即直线斜率存在时，得直线方程为：，
将直线与抛物线联立得：，化简得：，
，
设：，，由根与系数关系得：，
，
所以：当直线斜率存在时，的最小值为：.
综上所述：的最小值为：.
【小问2详解】
在，理由如下：
由（1）知：当直线斜率不存在时：直线为：，，
以为直径的圆方程为：，
将代入得：，所以点在以为直径圆上；
当直线斜率存在时：由（1）知：，，
，
所以得：，，
所以得：点在以为直径的圆上.
综上所述：点在以为直径的圆上.
17. 椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，离心率为点、、在椭圆上，且．
（1）求椭圆的方程及直线的斜率；
（2）当时，证明原点是的重心，并求直线的方程．
【答案】（1），；
（2）证明见解析，.
【解析】
【分析】（1）设出椭圆方程，利用给定条件列出方程组求解；再设出点的坐标，利用点差法求解作答；
（2）证明的重心坐标为，确定中点坐标，点差法求出的斜率，即可求解的方程．
【小问1详解】
设椭圆的方程为，则，且，
解得，所以椭圆的方程为；
设，而，则，
由，得，即，
又由，得，
则直线斜率.
【小问2详解】
当时，由（1）知，点坐标满足，
而，因此的重心坐标为，所以原点是的重心；
显然线段的中点坐标为，此点在椭圆内，即直线与椭圆必相交，
由（1）知直线的斜率，
所以直线的方程为，即.
18. 已知，分别是双曲线的左，右顶点，直线（不与坐标轴垂直）过点，且与双曲线交于，两点.
（1）若，求直线的方程；
（2）若直线与相交于点，求证：点在定直线上.
【答案】（1）或；（2）证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）设直线的方程为并联立双曲线根据韦达定理可得与关系，结合可得，从而求得值得直线方程；
（2）列出直线与方程，并求点坐标得，故得证.
【详解】解：设直线的方程为，设，，把直线与双曲线
联立方程组，，可得，
则，
（1），，由，可得，
即①，②，
把①式代入②式，可得，解得，，
即直线的方程为或．
（2）直线的方程为，直线的方程为，
直线与的交点为，故，即，
进而得到，又，
故，解得
故点在定直线上．
【点晴】方法点晴：直线与圆锥曲线综合问题，通常采用设而不求，结合韦达定理求解.
19. 已知曲线由和组成，点，点，点在上.
（1）求的取值范围（当与重合时，）；
（2）若，求面积的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）注意到是椭圆的左右焦点，且是圆与轴的交点，分点是否在轴的右侧两种情况讨论即可得解；
（2）当两点在半椭圆上时（不含轴），设，求出OP，同理求出OQ，进而可求出面积的表达式，再讨论两点都在半圆上，一点在半圆上一点在半椭圆上（不含轴）和一点在轴上一点在半椭圆上三种情况讨论，进而可得出答案.
【小问1详解】
注意到是椭圆的左右焦点，且是圆与轴的交点，
当点在轴的右侧时，由椭圆的定义可得；
当点不在轴右侧时，设，
则，
因为，所以，
所以，
综上所述，；
【小问2详解】
记的面积为，
当两点在半椭圆上时（不含轴），设，
联立，则有，
故，
同理可得，
故，
令，则，
则，
由，得，所以，
所以；
当两点都在半圆上时，，
则；
当一点在半圆上一点在半椭圆上时（不含轴），
由对称性，可设点在半椭圆上，则，
故，
由，可得，
所以，所以；
当一点在轴上一点在半椭圆上时，
由对称性，可设点是曲线与轴的交点，则点为椭圆的右顶点，
则，
，
综上所述，面积的取值范围为.
【点睛】方法点睛：圆锥曲线中取值范围问题的五种求解策略：
（1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；
（2）利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；
（3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；
（4）利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；
（5）利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围.