江苏省泰州中学2024-2025学年高三上学期开学考试数学试题（Word版附解析）

这是一份江苏省泰州中学2024-2025学年高三上学期开学考试数学试题（Word版附解析），共12页。试卷主要包含了已知集合，则等于，若，则，已知，则，下列四个命题为真命题的是，已知，下列结论正确的是，已知函数的最小正周期为，则等内容，欢迎下载使用。

（命题：汤晓燕 审题：陈生 时间：120分钟 满分：150分）
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，则等于（ ）
A. B. C. D.
2.若，则（ ）
A. B.
C. D.
3.已知，则（ ）
A. B. C. D.
4.下列四个命题为真命题的是（ ）
A.直线在轴上的截距为2
B.直线的倾斜角和斜率均存在
C.若两直线的斜率满足，则两直线互相平行
D.若两直线的倾斜角相等，则它们的斜率也一定相等
5.在中，是中点且，则向量在向量上的投影向量（ ）
A. B. C. D.
6.已知函数，则图象为如图的函数可能是（ ）
A. B.
C. D.
7.某社区需要连续六天有志愿者参加服务，每天只需要一名志愿者，现有甲､乙､丙､丁､戊､己6名志愿者，计划依次安排到该社区参加服务，要求甲不安排第一天，乙和丙在相邻两天参加服务，则不同的安排方案共有（ ）
A.72种 B.81种 C.144种 D.192种
8.若函数有两个不同的极值点，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.已知，下列结论正确的是（ ）
A.的最小值为9 B.的最小值为
C.的最小值为-3 D.的最小值为
10.已知函数的最小正周期为，则（ ）
A.
B.点是图象的一个对称中心
C.在上单调递减
D.将的图象上所有的点向左平移个单位长度，可得到的图象
11.设，正项数列满足，下列说法正确的有（ ）
A.为中的最小项
B.为中的最大项
C.存在，使得成等差数列
D.存在，使得成等差数列
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.的展开式中，所有项的系数和为__________.
13.在中，分别为内角的对边，若，且，则__________.
14.已知，若，则的最大值为__________.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15.（13分）袋中装有黑球和白球共7个，从中任取2个球都是白球的概率为，现在甲､乙两人从袋中轮流摸取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取……取后不放回，直到两人中有一人取到白球时即止，每个球在每一次被取出的机会是等可能的，用表示取球终止时所需要的取球次数.求：
（1）求袋中原有白球的个数；
（2）求随机变量的概率分布.
16.（15分）如图，在四棱锥中，为等边三角形，为的中点，，平面平面.
（1）证明：平面平面；
（2）若，求平面与平面夹角的余弦值.
17.（15分）已知函数.
（1）求函数的单调区间；
（2）若当时，恒成立，求实数的取值范围.
18.（17分）已知各项均为正数的数列的前项和为，
（1）求证：数列是等差数列，并求的通项公式；
（2）求证：：
（3）设，是否存在正整数，使得对任意正整数均有恒成立？若存在求出的最大值；若不存在，请说明理由.
19.（17分）已知椭圆的焦点和上顶点分别为，定义：为椭圆的“特征三角形”，如果两个椭圆的特征三角形是相似三角形，那么称这两个椭圆为“相似椭圆”，且特征三角形的相似比即为相似椭圆的相似比，已知点是椭圆的一个焦点，且上任意一点到它的两焦点的距离之和为4
（1）若椭圆与椭圆相似，且与的相似比为，求椭圆的方程.
（2）已知点是椭圆上的任意一点，若点是直线与抛物线异于原点的交点，证明：点一定在双曲线上.
（3）已知直线，与椭圆相似且短半轴长为的椭圆为，是否存在正方形
，（设其面积为S），使得在直线上，在曲线上？若存在，求出函数的解析式及定义域；若不存在，请说明理由.
2024-2025学年秋学期高三年级期初调研考试
数学学科试卷
（命题：汤晓燕 审题：陈生 时间：120分钟 满分：150分）
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.【答案】A 2.【答案】C 3.【答案】A 4.【答案】B 5.【答案】C
6.【答案】C 7.【答案】D
8.【答案】C
【解析】，
故原命题等价于关于的方程在上有两个不同的实数根，
即关于的方程在上有两个不同的实数根，
令，则，
所以关于的方程在上有两个不同的实数根，
令，
因为在上单调递增，故在上的值域为，
因为在上单调递减，故在上的值域为，
而，从而实数的取值范围是.
故选：C.
二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.【答案】AD 10.【答案】ABD
11.【答案】AB
【解析】由可得
令
当递增；当递减，
且
是最小的项；
所以A正确
令
，
在区间内递减，即即
即，
所以，综上所述，是最大的项，所以B正确，
由于是最小的项，是最大的项，则不可能使得成等差数列，故C错误；
由C知，不成等差数列，当时，
因为，所以，则，
，所以不存在，成等差数列，故D错误
故选：AB
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.【答案】32 13.【答案】2
14.【答案】
【解析】设，则的图象如图所示，
即的图象与的图象有3个交点，横坐标依次为，且
由余弦函数图象的性质可知，，
所以，
又因为，所以，
令，
则，令，解得或，
当时，在单调递增，
当时，在单调递减，
当时，在单调递增，
又因为，
所以，
所以，故答案为：.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15.【解析】（1）设袋中原有个白球，由题意知：，所以，解得（舍去），即袋中原有3个白球.
（2）由题意，的可能取值为.
所以，取球次数的分布列为：
16.【解析】（1）设的中点为，连接，
因为为等边三角形，所以，
又因为平面平面，
平面平面，且平面，
所以平面，
因为平面，所以，
又平面，
所以平面，又因为平面，
所以，
因为在等边三角形中，为的中点，
，
因为平面，
所以平面，
因为平面，
所以平面平面；
（2）连接，由（1）知，平面，
因为平面，所以，
因为，
所以四边形为矩形，
即，所以，
设，
以为原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，
所以，
，
所以，
，
设平面和平面的法向量分别为，
则，
即，
取，则，
所以，
所以平面与平面夹角的余弦值为.
17.【解析】（1）依题意，函数的定义域为，
求导得，当且仅当时取等号，
在上单调递减，即函数的递减区间为，无递增区间.
（2）当时，恒成立，
令，求导得，
当时，，当时，，
即函数在上递减，在上递增，则当时，，
令，依题意，恒成立，
令，求导得，则函数在上单调递增，
当时，，因此，
所以实数的取值范围.
18.【解析】（1）证明：因为，则当时，，
即，
而，有，即，
所以数列是以为首项为1，公差为1的等差数列，
于是得，即，
当时，，又满足上式，
所以的通项公式为.
（2）由（1）知，
当时，，
则，
当时，，
即对任意的，都有.
（3）由（1）知，，
则有，
因，则数列单调递增，，
因对任意正整数均有成立，
于是得，解得，
而，则，
所以存在正整数，使得对任意正整数均有总成立，的最大值为674.
19.【解析】（1）根据题意知，椭圆，椭圆
椭圆与椭圆相似，且与的相似比为，则
椭圆的方程为：
（2）点是椭圆上的一点，则，
设
故
所以点一定在双曲线上
（3）根据题意：只需上存在两点关于对称即可
设，设的中点为
由韦达定理知：
在直线上，则
故，
此时正方形的边长为
故1
2
3
4
5
.