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2024-2025学年江苏省无锡市辅仁高级中学高三（上）月考数学试卷（10月份）（含答案）
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这是一份2024-2025学年江苏省无锡市辅仁高级中学高三（上）月考数学试卷（10月份）（含答案），共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.(1+i)(2+i)的虚部为( )
A. 1B. iC. 3D. 3i
2.若集合A={x|x<2}，B={x|(x−1)2<4}，则A∪B=( )
A. {x|x<2}B. {x|−13.已知函数f(x)的部分图象如图所示，则f(x)的解析式可能为( )
A. f(x)=2csxex+e−xB. f(x)=2sinxex+e−xC. f(x)=2sin2xex+e−xD. f(x)=4sinxex+e−x
4.若a=lg1213，b=(13)12，c=sin12，则a，b，c的大小关系为( )
A. a>b>cB. b>a>cC. a>c>bD. b>c>a
5.各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn，且−a1,34a2，a3成等差数列，若a1=1，则S4=( )
A. 58或15B. 58或一5C. 15D. 58
6.定义矩阵运算abcdxy=ax+bycx+dy，则lg214lg25lg5lg2568232−1=( )
A. lg204B. 14C. lg202lg50D. 12lg50
7.若函数f(x)=sinωx− 3csωx(ω>0)在(0,π)内恰好存在8个x0，使得|f(x0)|=1，则ω的取值范围为( )
A. [196,72)B. (196,72]C. [72,256)D. (72,256]
8.设函数f(x)=(x2+ax+b)lnx，若f(x)≥0，则a的最小值为( )
A. −2B. −1C. 2D. 1
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.在△ABC中，D是BC边的中点，E是边AC的三分之一分点(靠近点A的)，AD与BE交于点F，则下列说法正确的是( )
A. BE=23BA+13BCB. BF=12BA+12BD
C. S△AEF：S△BFD=1：4D. BF+2AF+CF=0
10.已知数列{an}是公比为q的等比数列，前n项和为Sn.数列{bn}是公差为d的等差数列，前n项和为Tn.(n∈N∗)下列说法错误的有( )
A. Tn一定是关于n的二次函数
B. 若bm+bn=bp+bq，则m+n=p+q
C. a1>0，q>1是{an}为单调递增数列的充分不必要条件
D. 数列{an+an+1}一定是等比数列
11.已知函数f(x)=exln(x+1)，则( )
A. 曲线y=f(x)在(0,f(0))处的切线方程为y=2x
B. f′(x)在(0,+∞)上单调递增
C. 对任意的x1，x2∈(0,+∞)，有f(x1+x2)>f(x1)+f(x2)
D. 对任意的x1，x2，x3∈(0,+∞)，x1三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若x，y为实数，则“xy>0”是“|x+y|=|x|+|y|”的______条件．(在“充分不必要，必要不充分，充要，既不充分又不必要”中选一个填写)
13.已知3a=2+3b，则2a−b的最小值为______．
14.已知对任意x，都有e3x−a−1≥1+lnxx，则实数a的取值范围是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题15分)
已知a>0且a≠1，函数f(x)=b−2ax+1在R上是单调递增函数，且满足下列三个条件中的两个：
①函数f(x)为奇函数；②f(1)=13；③f(−1)=13．
(1)从中选择的两个条件的序号为______，说出你的理由；依所选择的条件求出a和b．
(2)设函数g(x)=13x+m，(m∈R)，若对∀x1∈[0,1]，总∃x2∈[0,1]，使得g(x1)=2f(x2)成立，求实数m的取值范围．
16.(本小题15分)
已知函数f(x)=2 3sinωxcsωx−2cs2ωx+2(ω>0)，且f(x)相邻两个极值点的差的绝对值为π2．
(1)当x∈[0,π2]时，求函数f(x)的值域；
(2)若2f(θ2+π12)+1=3f(θ2+π3)，求1−sin2θsin2θ−2cs2θ的值．
17.(本小题15分)
已知{an}为等差数列，{bn}为公比q≠1的等比数列，且a1=b1=1，a2=b2，a5=b3．
(1)求{an}与{bn}的通项公式；
(2)设cn=bn+1anan+1，求数列{cn}的前n项和Tn；
(3)在(2)的条件下，若对任意的n≥1，n∈N，2Tn>(4n−3)t−12n+1恒成立，求实数t的取值范围．
18.(本小题15分)
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，m=(b,a)，n=(csA+C2,cs(3π2+A))，且m//n．
(Ⅰ)若c=4,b= 7a，求△ABC的周长；
(Ⅱ)若BM=2MA，|CM|= 6，求a+c的取值范围．
19.(本小题17分)
已知函数f(x)=12ax2+(1+2a)x+2lnx,a∈R．
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)若方程f(x)=e−ax+12ax2有两个不相等的实根x1，x2，证明：2x1⋅x2参考答案
1.C
2.C
3.B
4.A
5.C
6.B
7.D
8.B
9.ABD
10.ABD
11.BCD
12.充分不必要
13.3lg32
14.(−∞,2]
15.①②
16.解：(1)因为f(x)=2 3sinωxcsωx−2cs2ωx+2= 3sin2ωx−cs2ωx+1=2sin(2ωx−π6)+1，
由题意f(x)相邻两个极值点的差的绝对值为π2，得f(x)的最小正周期为π，
而ω>0，所以2ω=2ππ=2，即ω=1，
所以f(x)=2sin(2x−π6)+1．
当x∈[0,π2]时，2x−π6∈[−π6,5π6]，所以sin(2x−π6)∈[−12,1]，
所以f(x)∈[0,3]，故函数f(x)的值域为[0,3]．
(2)由2f(θ2+π12)+1=3f(θ2+π3)，得2sinθ=3csθ，所以tanθ=32，
所以1−sin2θsin2θ−2cs2θ=sin2θ+cs2θ−2sinθcsθ2sinθcsθ−2cs2θ=tan2θ+1−2tanθ2tanθ−2
=(32)2+1−2×322×32−2=14．
17.解：(1)设等差数列{an}的公差为d，
由a2=b2a5=b3得：1+d=q1+4d=q2，又q≠1，
∴d=2q=3，
∴an=1+2(n−1)=2n−1，bn=3n−1．
(2)由(1)得：cn=3n−1+1(2n−1)(2n+1)=3n−1+12(12n−1−12n+1)，
∴Tn=(30+31+⋅⋅⋅+3n−1)+12(1−13+13−15+⋅⋅⋅+12n−1−12n+1)=1−3n1−3+12(1−12n+1)=12(3n−12n+1)．
(3)由(2)得：3n−12n+1>(4n−3)t−12n+1对任意的n≥1，n∈N恒成立，
∴t<3n4n−3对任意的n≥1，n∈N恒成立，
令bn=3n4n−3，则bn+1−bn=3n+14n+1−3n4n−3=(8n−10)⋅3n(4n−3)(4n+1)，
则当n=1时，b2bn；
∴(bn)min=b2=95，∴t<95，
即实数t的取值范围为(−∞,95)．
18.解：(Ⅰ)因为m//n，
所以bcs(3π2+A)=acsA+C2，
由正弦定理得，sinBsinA=sinAcsA+C2，
又sinA≠0，
则sinB=csA+C2=csπ−B2=sinB2，即2sinB2csB2=sinB2，
而sinB2≠0，
故csB2=12，则B=2π3，
由余弦定理得．b2=a2+c2−2accsB，即7a2=a2+16−2a×4×(−12)，
整理可得3a2−2a−8=0，
解得a=2或−43(含去)，b=2 7，
故△ABC的周长为6+2 7；
(Ⅱ)设∠BCM=α∈(0,π3)，∠BMC=π3−α，
由正弦定理得，BMsinα=BCsin∠BMC=CMsinB，
即2csinα=asin(π3−α)= 6 3=2 2，
故c=3 2sinα，a=− 2sinα+ 6csα，
所以a+c=2 2sinα+ 6csα= 14sin(α+φ)，其中sinφ= 217,csφ=2 77,tanφ= 32,φ∈(π6,π4)，
∵0<α<π3，
∴φ<α+φ<π3+φ，
又∵π6<φ<π4，
∴φ+π3>π2，即当α+φ=π2时，a+c取得最大值 14，
又∵sin(φ+π3)=sinφcsπ3+csφsinπ3= 217×12+2 77× 32=3 2114，
∴sin(φ+π3)=3 2114>sinφ= 217，
故a+c的取值范围为( 6, 14]．
19.解：(1)已知f(x)=12ax2+(1+2a)x+2lnx,a∈R，函数定义域为(0,+∞)，
可得f′(x)=ax+(1+2a)+2x=ax2+(1+2a)x+2x=(ax+1)(x+2)x，
当a≥0时，f′(x)>0，f(x)单调递增；
当a<0时，
当x∈(0,−1a)时，f′(x)>0，f(x)单调递增；
当x∈(−1a,+∞)时，f′(x)<0，f(x)单调递减，
综上，当a≥0时，f(x)在(0,+∞)上单调递增；
当a<0时，f(x)在(0,−1a)上单调递增，在(−1a,+∞)上单调递减；
(2)证明：若f(x)=e−ax+12ax2有两个不相等的实根，
此时方程(1+2a)x+2lnx=e−ax有两个不相等的实根，
即方程elnx+2lnx=e−ax+2(−ax)有两个不相等的实根，
不妨设g(x)=ex+2x，函数定义域为R，
此时g(lnx)=g(−ax)，
可得g′(x)=ex+2>0，
所以函数g(x)在R上单调递增，
此时lnx=−ax，
所以a=−lnxx，
即a=1x⋅ln1x，
因为x1，x2是方程f(x)=e−ax+12ax2的两个实根，
所以x1，x2是方程a=1x⋅ln1x的两个实根，
此时a=1x1⋅ln1x1，a=1x2⋅ln1x2，
即1x1，1x2是方程a=xlnx的两个实根，
不妨设ℎ(x)=xlnx，函数定义域为(0,+∞)，
可得ℎ′(x)=lnx+1，
当x∈(0,1e)时，ℎ′(x)<0，ℎ(x)单调递减；
当x∈(1e,+∞)时，ℎ′(x)>0，ℎ(x)单调递增，
所以当x=1e时，函数ℎ(x)取得极小值，极小值ℎ(1e)=−1e，
又ℎ(1)=0，
当x→0时，f(x)→0，
不妨设m=1x1，n=1x2，m即0要证2x1⋅x2需证1x1+1x2>2e，
即证m+n>2e，
不妨设k(x)=ℎ(x)−ℎ(2e−x)，函数定义域为(0,+∞)，
可得k′(x)=lnx+ln(2e−x)+2，
易知k′(x)在(0,1e)上单调递增，
又k′(1e)=0，
所以k′(x)则函数k(x)在(0,1e)上单调递减，
又k(1e)=0，
所以k(m)>k(1e)=0，
即k(m)=k(n)>k(2e−m)，
因为函数ℎ(x)在(1e,+∞)上单调递增，
所以n>2e−m，
即m+n>2e．
故2x1⋅x2
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.(1+i)(2+i)的虚部为( )
A. 1B. iC. 3D. 3i
2.若集合A={x|x<2}，B={x|(x−1)2<4}，则A∪B=( )
A. {x|x<2}B. {x|−1
A. f(x)=2csxex+e−xB. f(x)=2sinxex+e−xC. f(x)=2sin2xex+e−xD. f(x)=4sinxex+e−x
4.若a=lg1213，b=(13)12，c=sin12，则a，b，c的大小关系为( )
A. a>b>cB. b>a>cC. a>c>bD. b>c>a
5.各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn，且−a1,34a2，a3成等差数列，若a1=1，则S4=( )
A. 58或15B. 58或一5C. 15D. 58
6.定义矩阵运算abcdxy=ax+bycx+dy，则lg214lg25lg5lg2568232−1=( )
A. lg204B. 14C. lg202lg50D. 12lg50
7.若函数f(x)=sinωx− 3csωx(ω>0)在(0,π)内恰好存在8个x0，使得|f(x0)|=1，则ω的取值范围为( )
A. [196,72)B. (196,72]C. [72,256)D. (72,256]
8.设函数f(x)=(x2+ax+b)lnx，若f(x)≥0，则a的最小值为( )
A. −2B. −1C. 2D. 1
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.在△ABC中，D是BC边的中点，E是边AC的三分之一分点(靠近点A的)，AD与BE交于点F，则下列说法正确的是( )
A. BE=23BA+13BCB. BF=12BA+12BD
C. S△AEF：S△BFD=1：4D. BF+2AF+CF=0
10.已知数列{an}是公比为q的等比数列，前n项和为Sn.数列{bn}是公差为d的等差数列，前n项和为Tn.(n∈N∗)下列说法错误的有( )
A. Tn一定是关于n的二次函数
B. 若bm+bn=bp+bq，则m+n=p+q
C. a1>0，q>1是{an}为单调递增数列的充分不必要条件
D. 数列{an+an+1}一定是等比数列
11.已知函数f(x)=exln(x+1)，则( )
A. 曲线y=f(x)在(0,f(0))处的切线方程为y=2x
B. f′(x)在(0,+∞)上单调递增
C. 对任意的x1，x2∈(0,+∞)，有f(x1+x2)>f(x1)+f(x2)
D. 对任意的x1，x2，x3∈(0,+∞)，x1
12.若x，y为实数，则“xy>0”是“|x+y|=|x|+|y|”的______条件．(在“充分不必要，必要不充分，充要，既不充分又不必要”中选一个填写)
13.已知3a=2+3b，则2a−b的最小值为______．
14.已知对任意x，都有e3x−a−1≥1+lnxx，则实数a的取值范围是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题15分)
已知a>0且a≠1，函数f(x)=b−2ax+1在R上是单调递增函数，且满足下列三个条件中的两个：
①函数f(x)为奇函数；②f(1)=13；③f(−1)=13．
(1)从中选择的两个条件的序号为______，说出你的理由；依所选择的条件求出a和b．
(2)设函数g(x)=13x+m，(m∈R)，若对∀x1∈[0,1]，总∃x2∈[0,1]，使得g(x1)=2f(x2)成立，求实数m的取值范围．
16.(本小题15分)
已知函数f(x)=2 3sinωxcsωx−2cs2ωx+2(ω>0)，且f(x)相邻两个极值点的差的绝对值为π2．
(1)当x∈[0,π2]时，求函数f(x)的值域；
(2)若2f(θ2+π12)+1=3f(θ2+π3)，求1−sin2θsin2θ−2cs2θ的值．
17.(本小题15分)
已知{an}为等差数列，{bn}为公比q≠1的等比数列，且a1=b1=1，a2=b2，a5=b3．
(1)求{an}与{bn}的通项公式；
(2)设cn=bn+1anan+1，求数列{cn}的前n项和Tn；
(3)在(2)的条件下，若对任意的n≥1，n∈N，2Tn>(4n−3)t−12n+1恒成立，求实数t的取值范围．
18.(本小题15分)
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，m=(b,a)，n=(csA+C2,cs(3π2+A))，且m//n．
(Ⅰ)若c=4,b= 7a，求△ABC的周长；
(Ⅱ)若BM=2MA，|CM|= 6，求a+c的取值范围．
19.(本小题17分)
已知函数f(x)=12ax2+(1+2a)x+2lnx,a∈R．
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)若方程f(x)=e−ax+12ax2有两个不相等的实根x1，x2，证明：2x1⋅x2
1.C
2.C
3.B
4.A
5.C
6.B
7.D
8.B
9.ABD
10.ABD
11.BCD
12.充分不必要
13.3lg32
14.(−∞,2]
15.①②
16.解：(1)因为f(x)=2 3sinωxcsωx−2cs2ωx+2= 3sin2ωx−cs2ωx+1=2sin(2ωx−π6)+1，
由题意f(x)相邻两个极值点的差的绝对值为π2，得f(x)的最小正周期为π，
而ω>0，所以2ω=2ππ=2，即ω=1，
所以f(x)=2sin(2x−π6)+1．
当x∈[0,π2]时，2x−π6∈[−π6,5π6]，所以sin(2x−π6)∈[−12,1]，
所以f(x)∈[0,3]，故函数f(x)的值域为[0,3]．
(2)由2f(θ2+π12)+1=3f(θ2+π3)，得2sinθ=3csθ，所以tanθ=32，
所以1−sin2θsin2θ−2cs2θ=sin2θ+cs2θ−2sinθcsθ2sinθcsθ−2cs2θ=tan2θ+1−2tanθ2tanθ−2
=(32)2+1−2×322×32−2=14．
17.解：(1)设等差数列{an}的公差为d，
由a2=b2a5=b3得：1+d=q1+4d=q2，又q≠1，
∴d=2q=3，
∴an=1+2(n−1)=2n−1，bn=3n−1．
(2)由(1)得：cn=3n−1+1(2n−1)(2n+1)=3n−1+12(12n−1−12n+1)，
∴Tn=(30+31+⋅⋅⋅+3n−1)+12(1−13+13−15+⋅⋅⋅+12n−1−12n+1)=1−3n1−3+12(1−12n+1)=12(3n−12n+1)．
(3)由(2)得：3n−12n+1>(4n−3)t−12n+1对任意的n≥1，n∈N恒成立，
∴t<3n4n−3对任意的n≥1，n∈N恒成立，
令bn=3n4n−3，则bn+1−bn=3n+14n+1−3n4n−3=(8n−10)⋅3n(4n−3)(4n+1)，
则当n=1时，b2
∴(bn)min=b2=95，∴t<95，
即实数t的取值范围为(−∞,95)．
18.解：(Ⅰ)因为m//n，
所以bcs(3π2+A)=acsA+C2，
由正弦定理得，sinBsinA=sinAcsA+C2，
又sinA≠0，
则sinB=csA+C2=csπ−B2=sinB2，即2sinB2csB2=sinB2，
而sinB2≠0，
故csB2=12，则B=2π3，
由余弦定理得．b2=a2+c2−2accsB，即7a2=a2+16−2a×4×(−12)，
整理可得3a2−2a−8=0，
解得a=2或−43(含去)，b=2 7，
故△ABC的周长为6+2 7；
(Ⅱ)设∠BCM=α∈(0,π3)，∠BMC=π3−α，
由正弦定理得，BMsinα=BCsin∠BMC=CMsinB，
即2csinα=asin(π3−α)= 6 3=2 2，
故c=3 2sinα，a=− 2sinα+ 6csα，
所以a+c=2 2sinα+ 6csα= 14sin(α+φ)，其中sinφ= 217,csφ=2 77,tanφ= 32,φ∈(π6,π4)，
∵0<α<π3，
∴φ<α+φ<π3+φ，
又∵π6<φ<π4，
∴φ+π3>π2，即当α+φ=π2时，a+c取得最大值 14，
又∵sin(φ+π3)=sinφcsπ3+csφsinπ3= 217×12+2 77× 32=3 2114，
∴sin(φ+π3)=3 2114>sinφ= 217，
故a+c的取值范围为( 6, 14]．
19.解：(1)已知f(x)=12ax2+(1+2a)x+2lnx,a∈R，函数定义域为(0,+∞)，
可得f′(x)=ax+(1+2a)+2x=ax2+(1+2a)x+2x=(ax+1)(x+2)x，
当a≥0时，f′(x)>0，f(x)单调递增；
当a<0时，
当x∈(0,−1a)时，f′(x)>0，f(x)单调递增；
当x∈(−1a,+∞)时，f′(x)<0，f(x)单调递减，
综上，当a≥0时，f(x)在(0,+∞)上单调递增；
当a<0时，f(x)在(0,−1a)上单调递增，在(−1a,+∞)上单调递减；
(2)证明：若f(x)=e−ax+12ax2有两个不相等的实根，
此时方程(1+2a)x+2lnx=e−ax有两个不相等的实根，
即方程elnx+2lnx=e−ax+2(−ax)有两个不相等的实根，
不妨设g(x)=ex+2x，函数定义域为R，
此时g(lnx)=g(−ax)，
可得g′(x)=ex+2>0，
所以函数g(x)在R上单调递增，
此时lnx=−ax，
所以a=−lnxx，
即a=1x⋅ln1x，
因为x1，x2是方程f(x)=e−ax+12ax2的两个实根，
所以x1，x2是方程a=1x⋅ln1x的两个实根，
此时a=1x1⋅ln1x1，a=1x2⋅ln1x2，
即1x1，1x2是方程a=xlnx的两个实根，
不妨设ℎ(x)=xlnx，函数定义域为(0,+∞)，
可得ℎ′(x)=lnx+1，
当x∈(0,1e)时，ℎ′(x)<0，ℎ(x)单调递减；
当x∈(1e,+∞)时，ℎ′(x)>0，ℎ(x)单调递增，
所以当x=1e时，函数ℎ(x)取得极小值，极小值ℎ(1e)=−1e，
又ℎ(1)=0，
当x→0时，f(x)→0，
不妨设m=1x1，n=1x2，m
即证m+n>2e，
不妨设k(x)=ℎ(x)−ℎ(2e−x)，函数定义域为(0,+∞)，
可得k′(x)=lnx+ln(2e−x)+2，
易知k′(x)在(0,1e)上单调递增，
又k′(1e)=0，
所以k′(x)
又k(1e)=0，
所以k(m)>k(1e)=0，
即k(m)=k(n)>k(2e−m)，
因为函数ℎ(x)在(1e,+∞)上单调递增，
所以n>2e−m，
即m+n>2e．
故2x1⋅x2
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