2025年中考数学二轮复习讲与练专题07 图形的轴对称、平移与旋转（2份，原卷版+解析版）

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TOC \ "1-3" \n \h \z \u \l "_Tc160094594" 一、考情分析
二、知识建构
\l "_Tc161932548" 考点 图形的轴对称、平移与旋转
\l "_Tc161932549" \l "_Tc161309508" \l "_Tc160094596" \l "_Tc160094596" 【真题研析·规律探寻】
\l "_Tc161932550" 题型01 图形的识别
\l "_Tc161932551" 题型02 与图形变化有关的作图问题
\l "_Tc161932552" 题型03 几何图形的平移变化
\l "_Tc161932553" 题型04 与函数图象有关的平移变化
\l "_Tc161932554" 题型05 几何图形的折叠问题
\l "_Tc161932555" 题型06 与函数图象有关的轴对称变化
\l "_Tc161932556" 题型07 几何图形的旋转变化
\l "_Tc161932557" 题型08 与函数图象有关的旋转变化
\l "_Tc161932558" 题型09 利用平移、轴对称、旋转的性质解决多结论问题
\l "_Tc161932559" 题型10 与图形变化有关的最值问题
\l "_Tc161932560" \l "_Tc161309519" \l "_Tc160094604" 【核心提炼·查漏补缺】
\l "_Tc161932561" \l "_Tc161309520" \l "_Tc160094605" 【好题必刷·强化落实】
考点 图形的轴对称、平移与旋转
题型01 图形的识别
平移的概念：在平面内，一个图形由一个位置沿某个方向移动到另一个位置，这样的图形运动叫做平移．
轴对称图形定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形就叫做轴对称图形.
中心对称图形定义：如果一个图形绕某一点旋转180°后能与它自身重合，我们就把这个图形叫做中心对称图形.
在判断一个图形是否为轴对称图形、中心对称图形时，要明确以下两点:
1）如果能找到一条直线(对称轴)把一个图形分成两部分，且直线两旁的部分完全重合，那么这个图形就是轴对称图形;
2）把一个平面图形绕某一点旋转 180°，如果旋转后的图形能和原图形重合，那么这个图形就是中心对称图形.
1．（2023·湖南郴州·中考真题）下列图形中，能由图形a通过平移得到的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·黑龙江大庆·中考真题）搭载神舟十六号载人飞船的长征二号F遥十六运载火箭于2023年5月30日成功发射升空，景海鹏、朱杨柱、桂海潮3名航天员开启“太空出差”之旅，展现了中国航天科技的新高度．下列图标中，其文字上方的图案是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·湖北荆州·中考真题）观察如图所示的几何体，下列关于其三视图的说法正确的是（ ）
A．主视图既是中心对称图形，又是轴对称图形
B．左视图既是中心对称图形，又是轴对称图形
C．俯视图既是中心对称图形，又是轴对称图形
D．主视图、左视图、俯视图都是中心对称图形
4．（2022·宁夏·中考真题）如图，将三角尺直立举起靠近墙面，打开手机手电筒照射三角尺，在墙面上形成影子．则三角尺与影子之间属于以下哪种图形变换（ ）

A．平移B．轴对称C．旋转D．位似
题型02与图形变化有关的作图问题
解决图形变化有关的作图问题方法：
1）平移与旋转作图都应抓住两个要点:一是平移、旋转的方向；二是平移的距离及旋转的角度.
2）基本的作图方法是先选取已知图形的几个关键点，再根据平移或旋转的性质作它们的对应点，然后以“局部带动整体”的思想方法作变换后的图形.
3）无论是平移、轴对称与旋转，都不改变图形的大小和形状.
1．（2023·黑龙江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点坐标分别是A2,-1,B1,-2，C3,-3．

(1)将△ABC向上平移4个单位，再向右平移1个单位，得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1．
(2)请画出△ABC关于y轴对称的△A2B2C2．
(3)将△A2B2C2着原点O顺时针旋转90°，得到△A3B3C3，求线段A2C2在旋转过程中扫过的面积（结果保留π）．
2．（2023·四川达州·中考真题）如图，网格中每个小正方形的边长均为1，△ABC的顶点均在小正方形的格点上．

(1)将△ABC向下平移3个单位长度得到△A1B1C1，画出△A1B1C1；
(2)将△ABC绕点C顺时针旋转90度得到△A2B2C2，画出△A2B2C2；
(3)在（2）的运动过程中请计算出△ABC扫过的面积．
3．（2022·广西河池·中考真题）如图、在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（4，1），B（2，3），C（1，2）．

(1)画出与△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；
(2)以原点O为位似中心，在第三象限内画一个△A2B2C2，使它与△ABC的相似比为2:1，并写出点B2的坐标．
题型03 几何图形的平移变化
平移变换问题:分几何图形平移变换和函数图像平移变换. 平移是将一个图形沿某一方向移动一段距离，不会改变图形的大小和形状，只改变图形的位置.在图形的变化过程中，解决此类问题的方法很多，而关键在于解决问题的着眼点，从恰当的着眼点出发，再根据具体图形变换的特点确定其变化.
1．（2023·山东潍坊·中考真题）如图，在直角坐标系中，菱形OABC的顶点A的坐标为-2,0，∠AOC=60°．将菱形OABC沿x轴向右平移1个单位长度，再沿y轴向下平移1个单位长度，得到菱形OA'B'C'，其中点B'的坐标为（ ）

A．(-2,3-1)B．-2,1C．(-3,1)D．(-3,3-1)
2．（2023·河南·中考真题）李老师善于通过合适的主题整合教学内容，帮助同学们用整体的、联系的、发展的眼光看问题，形成科学的思维习惯．下面是李老师在“图形的变化”主题下设计的问题，请你解答．

(1)观察发现：如图1，在平面直角坐标系中，过点M4,0的直线l∥y轴，作△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1，再分别作△A1B1C1关于x轴和直线l对称的图形△A2B2C2和△A3B3C3，则△A2B2C2可以看作是△ABC绕点O顺时针旋转得到的，旋转角的度数为______；△A3B3C3可以看作是△ABC向右平移得到的，平移距离为______个单位长度．
(2)探究迁移：如图2，▱ABCD中，∠BAD=α0°<α<90°，P为直线AB下方一点，作点P关于直线AB的对称点P1，再分别作点P1关于直线AD和直线CD的对称点P2和P3，连接AP，AP2，请仅就图2的情形解决以下问题：
①若∠PAP2=β，请判断β与α的数量关系，并说明理由；
②若AD=m，求P，P3两点间的距离．
(3)拓展应用：在（2）的条件下，若α=60°，AD=23，∠PAB=15°，连接P2P3．当P2P3与▱ABCD的边平行时，请直接写出AP的长．
3．（2023·吉林·中考真题）【操作发现】如图①，剪两张对边平行的纸条，随意交叉叠放在一起，使重合的部分构成一个四边形EFMN．转动其中一张纸条，发现四边形EFMN总是平行四边形其中判定的依据是__________．
【探究提升】取两张短边长度相等的平行四边形纸条ABCD和EFGH（AB【结论应用】保持图②中的平行四边形纸条ABCD不动，将平行四边形纸条EFGH沿BC或CB平移，且EF始终在边BC上．当MD=MG时，延长CD，HG交于点P，得到图③．若四边形ECPH的周长为40，sin∠EFG=45（∠EFG为锐角），则四边形ECPH的面积为_________．

4．（2023·天津·中考真题）在平面直角坐标系中，O为原点，菱形ABCD的顶点A(3,0),B(0,1),D(23,1)，矩形EFGH的顶点E0,12,F-3,12,H0,32．
(1)填空：如图①，点C的坐标为________，点G的坐标为________；
(2)将矩形EFGH沿水平方向向右平移，得到矩形E'F'G'H'，点E，F，G，H的对应点分别为E'，F'，G'，H'．设EE'=t，矩形E'F'G'H'与菱形ABCD重叠部分的面积为S．

①如图②，当边E'F'与AB相交于点M、边G'H'与BC相交于点N，且矩形E'F'G'H'与菱形ABCD重叠部分为五边形时，试用含有t的式子表示S，并直接写出t的取值范围：
②当233≤t≤1134时，求S的取值范围（直接写出结果即可）．
题型04 与函数图象有关的平移变化
1．（2023·湖南益阳·中考真题）我们在学习一次函数、二次函数图象的平移时知道：将一次函数y=2x的图象向上平移1个单位得到y=2x+1的图象；将二次函数y=x2+1的图象向左平移2个单位得到y=x+22+1的图象．若将反比例函数y=6x的图象向下平移3个单位，如图所示，则得到的图象对应的函数表达式是 ．

2．（2023·山东青岛·中考真题）许多数学问题源于生活．雨伞是生活中的常用物品，我们用数学的眼光观察撑开后的雨伞（如图①）、可以发现数学研究的对象——抛物线．在如图②所示的直角坐标系中，伞柄在y轴上，坐标原点O为伞骨OA，OB的交点．点C为抛物线的顶点，点A，B在抛物线上，OA，OB关于y轴对称．OC=1分米，点A到x轴的距离是0.6分米，A，B两点之间的距离是4分米．

(1)求抛物线的表达式；
(2)分别延长AO，BO交抛物线于点F，E，求E，F两点之间的距离；
(3)以抛物线与坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为S1，将抛物线向右平移mm>0个单位，得到一条新抛物线，以新抛物线与坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为S2．若S2=35S1，求m的值．
3．（2023·江苏·中考真题）如图，二次函数y=12x2+bx-4的图像与x轴相交于点A(-2,0)、B，其顶点是C．

(1)b=_______；
(2)D是第三象限抛物线上的一点，连接OD，tan∠AOD=52；将原抛物线向左平移，使得平移后的抛物线经过点D，过点(k,0)作x轴的垂线l．已知在l的左侧，平移前后的两条抛物线都下降，求k的取值范围；
(3)将原抛物线平移，平移后的抛物线与原抛物线的对称轴相交于点Q，且其顶点P落在原抛物线上，连接PC、QC、PQ．已知△PCQ是直角三角形，求点P的坐标．
4．（2023·黑龙江绥化·中考真题）如图，抛物线y1=ax2+bx+c的图象经过A(-6,0)，B(-2,0)，C(0,6)三点，且一次函数y=kx+6的图象经过点B．

(1)求抛物线和一次函数的解析式．
(2)点E，F为平面内两点，若以E、F、B、C为顶点的四边形是正方形，且点E在点F的左侧．这样的E，F两点是否存在？如果存在，请直接写出所有满足条件的点E的坐标：如果不存在，请说明理由．
(3)将抛物线y1=ax2+bx+c的图象向右平移8个单位长度得到抛物线y2，此抛物线的图象与x轴交于M，N两点（M点在N点左侧）．点P是抛物线y2上的一个动点且在直线NC下方．已知点P的横坐标为m．过点P作PD⊥NC于点D．求m为何值时，CD+12PD有最大值，最大值是多少？
题型05 几何图形的折叠问题
轴对称变换问题:分折叠变换和与函数图象有关的轴对称变化.轴对称变换通常有两种情况:一是题目的背景图形是轴对称图形，二是题目的背景不是轴对称图形时，要善于发现和运用其中的轴对称的性质，如把轴对称和等腰三角形结合起来，找出轴对称特征并探索出规律，达到解决问题的目的.
折叠的性质：折叠的实质是轴对称，折叠前后的两图形全等，对应边和对应角相等．
【解题思路】凡是在几何图形中出现“折叠”这个字眼时，第一反应即存在一组全等图形，其次找出与要求几何量相关的条件量．解决折叠问题时，首先清楚折叠和轴对称能够提供我们隐含的且可利用的条件，分析角之间、线段之间的关系，借助勾股定理建立关系式求出答案，所求问题具有不确定性时，常常采用分类讨论的数学思想方法．
1．（2023·江苏盐城·中考真题）综合与实践
【问题情境】
如图1，小华将矩形纸片ABCD先沿对角线BD折叠，展开后再折叠，使点B落在对角线BD上，点B的对应点记为B'，折痕与边AD，BC分别交于点E，F.
【活动猜想】
（1）如图2，当点B'与点D重合时，四边形BEDF是哪种特殊的四边形？答：_________.
【问题解决】
（2）如图3，当AB=4，AD=8，BF=3时，求证：点A'，B'，C在同一条直线上.
【深入探究】
（3）如图4，当AB与BC满足什么关系时，始终有A'B'与对角线AC平行？请说明理由.
（4）在（3）的情形下，设AC与BD，EF分别交于点O，P，试探究三条线段AP，B'D，EF之间满足的等量关系，并说明理由.
2．（2023·辽宁沈阳·中考真题）如图1，在▱ABCD纸片中，AB=10，AD=6，∠DAB=60°，点E为BC边上的一点（点E不与点C重合），连接AE，将▱ABCD纸片沿AE所在直线折叠，点C，D的对应点分别为C'、D'，射线C'E与射线AD交于点F．

(1)求证：AF=EF；
(2)如图2，当EF⊥AF时，DF的长为______ ；
(3)如图3，当CE=2时，过点F作FM⊥AE，垂足为点M，延长FM交C'D'于点N，连接AN、EN，求△ANE的面积．
3．（2023·辽宁大连·中考真题）综合与实践
问题情境：数学活动课上，王老师给同学们每人发了一张等腰三角形纸片探究折叠的性质．
已知AB=AC,∠A>90°，点E为AC上一动点，将△ABE以BE为对称轴翻折．同学们经过思考后进行如下探究：
独立思考：小明：“当点D落在BC上时，∠EDC=2∠ACB．”
小红：“若点E为AC中点，给出AC与DC的长，就可求出BE的长．”
实践探究：奋进小组的同学们经过探究后提出问题1，请你回答：

问题1：在等腰△ABC中，AB=AC,∠A>90°,△BDE由△ABE翻折得到．
（1）如图1，当点D落在BC上时，求证：∠EDC=2∠ACB；
（2）如图2，若点E为AC中点，AC=4,CD=3，求BE的长．
问题解决：小明经过探究发现：若将问题1中的等腰三角形换成∠A<90°的等腰三角形，可以将问题进一步拓展．
问题2：如图3，在等腰△ABC中，∠A<90°,AB=AC=BD=4,2∠D=∠ABD．若CD=1，则求BC的长．
4．（2022·河南·中考真题）综合与实践
综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．

(1)操作判断
操作一：对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平；
操作二：在AD上选一点P，沿BP折叠，使点A落在矩形内部点M处，把纸片展平，连接PM，BM．
根据以上操作，当点M在EF上时，写出图1中一个30°的角：______．
(2)迁移探究
小华将矩形纸片换成正方形纸片，继续探究，过程如下：
将正方形纸片ABCD按照（1）中的方式操作，并延长PM交CD于点Q，连接BQ．
①如图2，当点M在EF上时，∠MBQ＝______°，∠CBQ＝______°；
②改变点P在AD上的位置（点P不与点A，D重合），如图3，判断∠MBQ与∠CBQ的数量关系，并说明理由．
(3)拓展应用
在（2）的探究中，已知正方形纸片ABCD的边长为8cm，当FQ＝1cm时，直接写出AP的长．
题型06 与函数图象有关的轴对称变化
1．（2022·四川巴中·中考真题）函数y=ax2+bx+ca>0,b2-4ac>0的图象是由函数y=ax2+bx+ca>0,b2-4ac>0的图象x轴上方部分不变，下方部分沿x轴向上翻折而成，如图所示，则下列结论正确的是（ ）
①2a+b=0 ；②c=3； ③abc>0；④将图象向上平移1个单位后与直线y=5有3个交点．
A．①②B．①③C．②③④D．①③④
2．（2023·四川德阳·中考真题）已知：在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A(-4,0)，B(2,0)，与y轴交于点C(0,-4)．

(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，如果把抛物线x轴下方的部分沿x轴翻折180°，抛物线的其余部分保持不变，得到一个新图象．当平面内的直线y=kx+6与新图象有三个公共点时，求k的值；
(3)如图2，如果把直线AB沿y轴向上平移至经过点D，与抛物线的交点分别是E，F，直线BC交EF于点H，过点F作FG⊥CH于点G，若DFHG=25．求点F的坐标．
3．（2023·山东日照·中考真题）在平面直角坐标系xOy内，抛物线y=-ax2+5ax+2a>0交y轴于点C，过点C作x轴的平行线交该抛物线于点D．

(1)求点C，D的坐标；
(2)当a=13时，如图1，该抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），点P为直线AD上方抛物线上一点，将直线PD沿直线AD翻折，交x轴于点M(4,0)，求点P的坐标；
(3)坐标平面内有两点E1a,a+1,F5,a+1，以线段EF为边向上作正方形EFGH．
①若a=1，求正方形EFGH的边与抛物线的所有交点坐标；
②当正方形EFGH的边与该抛物线有且仅有两个交点，且这两个交点到x轴的距离之差为52时，求a的值．
4．（2022·辽宁沈阳·中考真题）如图，平面直角坐标系中，O是坐标原点，抛物线y=ax2+bx-3经过点B6,0和点D4,-3与x轴另一个交点A．抛物线与y轴交于点C，作直线AD．
(1)①求抛物线的函数表达式
②并直接写出直线AD的函数表达式．
(2)点E是直线AD下方抛物线上一点，连接BE交AD于点F，连接BD，DE，△BDF的面积记为S1，△DEF的面积记为S2，当S1=2S2时，求点E的坐标；
(3)点G为抛物线的顶点，将抛物线图象中x轴下方部分沿x轴向上翻折，与抛物线剩下部分组成新的曲线为C1，点C的对应点C'，点G的对应点G'，将曲线C1，沿y轴向下平移n个单位长度（0题型07几何图形的旋转变化
旋转变换问题:分为几何图形旋转变换和与函数图象有关的旋转变化.在实际解题中，若我们能恰当地运用图形的旋转变换，往往能起到集中条件、开阔思路、化难为易的效果，图形的旋转变换，既要借助于推理，但更要借助于直觉和观察，变换的意识与变换的视角，会使这种直觉更敏锐，使这种观察更具眼力.
1．（2023·内蒙古赤峰·中考真题）数学兴趣小组探究了以下几何图形．如图①，把一个含有45°角的三角尺放在正方形ABCD中，使45°角的顶点始终与正方形的顶点C重合，绕点C旋转三角尺时，45°角的两边CM，CN始终与正方形的边AD，AB所在直线分别相交于点M，N，连接MN，可得△CMN．

【探究一】如图②，把△CDM绕点C逆时针旋转90°得到△CBH，同时得到点H在直线AB上．求证：∠CNM=∠CNH；
【探究二】在图②中，连接BD，分别交CM，CN于点E，F．求证：△CEF∽△CNM；
【探究三】把三角尺旋转到如图③所示位置，直线BD与三角尺45°角两边CM，CN分别交于点E，F．连接AC交BD于点O，求EFNM的值．
2．（2023·湖南·中考真题）如图，在等边三角形ABC中，D为AB上的一点，过点D作BC的平行线DE交AC于点E，点P是线段DE上的动点（点P不与D、E重合）．将△ABP绕点A逆时针方向旋转60°，得到△ACQ，连接EQ、PQ,PQ交AC于F．

(1)证明：在点P的运动过程中，总有∠PEQ=120°．
(2)当APDP为何值时，△AQF是直角三角形？
3．（2022·山东济南·中考真题）如图1，△ABC是等边三角形，点D在△ABC的内部，连接AD，将线段AD绕点A按逆时针方向旋转60°，得到线段AE，连接BD，DE，CE．
(1)判断线段BD与CE的数量关系并给出证明；
(2)延长ED交直线BC于点F．
①如图2，当点F与点B重合时，直接用等式表示线段AE，BE和CE的数量关系为_______；
②如图3，当点F为线段BC中点，且ED＝EC时，猜想∠BAD的度数，并说明理由．
题型08 与函数图象有关的旋转变化
1．（2021·青海西宁·中考真题）如图，正比例函数y=12x与反比例函数y=kx(x>0)的图象交于点A，AB⊥x轴于点B，延长AB至点C，连接OC．若cs∠BOC=23，OC=3．
（1）求OB的长和反比例函数的解析式；
（2）将△AOB绕点О旋转90°，请直接写出旋转后点A的对应点A'的坐标．
2．（2022·四川资阳·中考真题）已知二次函数图象的顶点坐标为A(1,4)，且与x轴交于点B(-1,0)．
(1)求二次函数的表达式；
(2)如图，将二次函数图象绕x轴的正半轴上一点P(m,0)旋转180°，此时点A、B的对应点分别为点C、D．
①连结AB、BC、CD、DA，当四边形ABCD为矩形时，求m的值；
②在①的条件下，若点M是直线x=m上一点，原二次函数图象上是否存在一点Q，使得以点B、C、M、Q为顶点的四边形为平行四边形，若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
3．（2023·辽宁沈阳·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=13x2+bx+c的图象经过点A0,2，与x轴的交点为点B3,0和点C．

(1)求这个二次函数的表达式；
(2)点E，G在y轴正半轴上，OG=2OE，点D在线段OC上，OD=3OE．以线段OD，OE为邻边作矩形ODFE，连接GD，设OE=a．
①连接FC，当△GOD与△FDC相似时，求a的值；
②当点D与点C重合时，将线段GD绕点G按逆时针方向旋转60°后得到线段GH，连接FH，FG，将△GFH绕点F按顺时针方向旋转α(0°<α≤180°)后得到△G'FH'，点G，H的对应点分别为G'、H'，连接DE．当△G'FH'的边与线段DE垂直时，请直接写出点H'的横坐标．
4．（2023·江苏徐州·中考真题）如图，在平而直角坐标系中，二次函数y=-3x2+23x的图象与x轴分别交于点O,A，顶点为B．连接OB,AB，将线段AB绕点A按顺时针方向旋转60°得到线段AC，连接BC．点D,E分别在线段OB,BC上，连接AD,DE,EA,DE与AB交于点F,∠DEA=60°．

(1)求点A,B的坐标；
(2)随着点E在线段BC上运动．
①∠EDA的大小是否发生变化？请说明理由；
②线段BF的长度是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由；
(3)当线段DE的中点在该二次函数的因象的对称轴上时，△BDE的面积为 ．
题型09 利用平移、轴对称、旋转的性质解决多结论问题
1．（2023·内蒙古赤峰·中考真题）如图，把一个边长为5的菱形ABCD沿着直线DE折叠，使点C与AB延长线上的点Q重合．DE交BC于点F，交AB延长线于点E．DQ交BC于点P，DM⊥AB于点M，AM=4，则下列结论，①DQ=EQ，②BQ=3，③BP=158，④BD∥FQ．正确的是（ ）

A．①②③B．②④C．①③④D．①②③④
2．（2022·四川宜宾·中考真题）如图，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，点D是BC边上的动点（不与点B、C重合），DE与AC交于点F，连结CE．下列结论：①BD=CE；②∠DAC=∠CED；③若BD=2CD，则CFAF=45；④在△ABC内存在唯一一点P，使得PA+PB+PC的值最小，若点D在AP的延长线上，且AP的长为2，则CE=2+3．其中含所有正确结论的选项是（ ）
A．①②④B．①②③C．①③④D．①②③④
3．（2022·四川眉山·中考真题）如图，四边形ABCD为正方形，将△EDC绕点C逆时针旋转90°至△HBC，点D，B，H在同一直线上，HE与AB交于点G，延长HE与CD的延长线交于点F，HB=2，HG=3．以下结论：
①∠EDC=135°；②EC2=CD⋅CF；③HG=EF；④sin∠CED=23．其中正确结论的个数为（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
4．（2023·山东日照·中考真题）如图，矩形ABCD中，AB=6，AD=8，点P在对角线BD上，过点P作MN⊥BD，交边AD，BC于点M，N，过点M作ME⊥AD交BD于点E，连接EN，BM，DN．下列结论：①EM=EN；②四边形MBND的面积不变；③当AM:MD=1:2时，S△MPE=9625；④BM+MN+ND的最小值是20．其中所有正确结论的序号是 ．

题型10 与图形变化有关的最值问题
1．（2023·辽宁盘锦·中考真题）如图，四边形ABCD是矩形，AB=10，AD=42，点P是边AD上一点（不与点A，D重合），连接PB，PC．点M，N分别是PB，PC的中点，连接MN，AM，DN，点E在边AD上，ME∥DN，则AM+ME的最小值是（ ）

A．23B．3C．32D．42
2．（2023·湖北十堰·中考真题）在某次数学探究活动中，小明将一张斜边为4的等腰直角三角形ABC∠A=90°硬纸片剪切成如图所示的四块（其中D，E，F分别为AB，AC，BC的中点，G，H分别为DE，BF的中点），小明将这四块纸片重新组合拼成四边形（相互不重叠，不留空隙），则所能拼成的四边形中周长的最小值为 ，最大值为 ．

3．（2023·黑龙江绥化·中考真题）如图，△ABC是边长为6的等边三角形，点E为高BD上的动点．连接CE，将CE绕点C顺时针旋转60°得到CF．连接AF，EF，DF，则△CDF周长的最小值是 ．

4．（2023·四川自贡·中考真题）如图1，一大一小两个等腰直角三角形叠放在一起，M，N分别是斜边DE，AB的中点，DE=2,AB=4．

(1)将△CDE绕顶点C旋转一周，请直接写出点M，N距离的最大值和最小值；
(2)将△CDE绕顶点C逆时针旋转120°（如图2），求MN的长．
5．（2023·湖北随州·中考真题）1643年，法国数学家费马曾提出一个著名的几何问题：给定不在同一条直线上的三个点A，B，C，求平面上到这三个点的距离之和最小的点的位置，意大利数学家和物理学家托里拆利给出了分析和证明，该点也被称为“费马点”或“托里拆利点”，该问题也被称为“将军巡营”问题．
(1)下面是该问题的一种常见的解决方法，请补充以下推理过程：（其中①处从“直角”和“等边”中选择填空，②处从“两点之间线段最短”和“三角形两边之和大于第三边”中选择填空，③处填写角度数，④处填写该三角形的某个顶点）
当△ABC的三个内角均小于120°时，
如图1，将△APC绕，点C顺时针旋转60°得到△A'P'C，连接PP'，

由PC=P'C，∠PCP'=60°，可知△PCP'为 ① 三角形，故PP'=PC，又P'A'=PA，故PA+PB+PC=PA'+PB+PP'≥A'B，
由 ② 可知，当B，P，P'，A在同一条直线上时，PA+PB+PC取最小值，如图2，最小值为A'B，此时的P点为该三角形的“费马点”，且有∠APC=∠BPC=∠APB= ③ ；
已知当△ABC有一个内角大于或等于120°时，“费马点”为该三角形的某个顶点．如图3，若∠BAC≥120°，则该三角形的“费马点”为 ④ 点．
(2)如图4，在△ABC中，三个内角均小于120°，且AC=3，BC=4，∠ACB=30°，已知点P为△ABC的“费马点”，求PA+PB+PC的值；

(3)如图5，设村庄A，B，C的连线构成一个三角形，且已知AC=4km，BC=23km，∠ACB=60°．现欲建一中转站P沿直线向A，B，C三个村庄铺设电缆，已知由中转站P到村庄A，B，C的铺设成本分别为a元/km，a元/km，2a元/km，选取合适的P的位置，可以使总的铺设成本最低为___________元．（结果用含a的式子表示）
轴对称与轴对称图形
常见的轴对称图形有：圆、正方形、长方形、菱形、等腰梯形、等腰三角形、等边三角形等.
1. 对称轴是一条直线，不是一条射线，也不是一条线段.
2. 轴对称图形的对称轴有的只有一条，有的存在多条对称轴（例：正方形有四条对称轴，圆有无数条对称轴等）.
3. 成轴对称的两个图形中的任何一个都可以看作由另一个图形经过轴对称变换得到的，一个轴对称图形也可以看作以它的一部分为基础,经轴对称变换得到的.
4. 轴对称的性质是证明线段相等、线段垂直及角相等的依据之一,例如:若已知两个图形关于某直线成轴对称,则它们的对应边相等,对应角相等.
中心对称与中心对称图形：
中心对称的性质：1）中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分；
中心对称的两个图形是全等图形.
找对称中心的方法和步骤：
方法1：连接两个对应点，取对应点连线的中点，则中点为对称中心.
方法2：连接两个对应点，在连接两个对应点，两组对应点连线的交点为对称中心.
平移的三大要素：1）平移的起点，2）平移的方向，3）平移的距离．
平移的性质：
1）平移不改变图形的大小、形状，只改变图形的位置，因此平移前后的两个图形全等.
2）平移前后对应线段平行且相等、对应角相等.
3）任意两组对应点的连线平行（或在同一条直线上）且相等，对应点之间的距离就是平移的距离.
旋转的三大要素：旋转中心、旋转方向和旋转角度．
旋转的性质：
1）对应点到旋转中心的距离相等；
2）每对对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；
3）旋转前后的图形全等．
1. 图形的旋转由旋转中心、旋转方向与旋转的角度所决定.
2. 旋转中心可以是图形外的一点，也可以是图形上的一点，还可以是图形内的一点.
3. 对应点之间的运动轨迹是一段圆弧，对应点到旋转中心的线段就是这段圆弧所在圆的半径.
4. 旋转是一种全等变换，旋转改变的是图形的位置，图形的大小关系不发生改变，所以在解答有关旋转的问题时，要注意挖掘相等线段、角，因此特殊三角形性质的运用、锐角三角函数建立的边角关系起着关键的作用．
一、单选题
1．（2023·山西吕梁·模拟预测）在我国“福禄寿喜”一般是指对人的祝福，代表健康长命幸福快活和吉祥如意的意思，既代表着物质生活的顺利又代表着精神生活的满足．下图是“福禄寿喜”变形设计图，其中是轴对称，但不是中心对称的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·广东肇庆·三模）如图，一个万花筒图案，其中平行四边形FJKG变成平行四边形FDAC，如果看成是经过以点F为旋转中心、旋转角为α的旋转移动得到的，那么α的度数为（ ）

A．60°B．120°
C．180°D．以上答案都不对
3．（2023·江苏宿迁·二模）点Am,n在直线L1:y=2x-2上，将直线L1绕点A旋转45°得到直线L2：y=kx-2k+2，则m+n+k=( )
A．1B．133C．1或0D．1或133
4．（2023·福建厦门·模拟预测）如图，一套三角板沿着它们的斜边叠放在一起，记其中一个三角板为△ABC，∠ACB=30°．记AB=6，将△ABC绕点A顺时针旋转α°0<α<180°，使三角板的两个直角边贴合，则AB边扫过的面积为( )

A．332πB．212πC．554πD．836π
5．（2023·广东佛山·三模）如图，在Rt△BDF中，∠BDF=90°，∠F=30°，DC是BF边上的中线，把线段CD沿着CB方向平移到点B，使得点C与点B重合，连接AD，AC，AC与BD相交与点O，则下列结论：①四边形ABCD为菱形；②OC=12DF；③BF=4OD；④△DCF的面积为四边形ABCD面积的一半．其中正确结论的个数为（ ）

A．4B．3C．2D．1
6．（2023·广东深圳·模拟预测）如图，在菱形ABCD中，AD=5，tanB=2，E是AB上一点，将菱形ABCD沿DE折叠，使B、C的对应点分别是B'、C'，当∠BEB'=90°时，则点C'到BC的距离是（ ）

A．5+5B．25+2C．6D．35
7．（2023·湖南怀化·模拟预测）如图，已知反比例函数y=2x与一次函数y=-x+3的图象交于A、B两点，P为y轴上一动点，连接PA、PB，当PA+PB取得最小值时，△ABP的面积为（ ）

A．1B．32C．43D．23
8．（2023·河北石家庄·模拟预测）如图，在△ABC中，∠A=45°，∠B>∠C．P为BC边上一动点（包含端点），分别作点P关于AB，AC所在直线的对称点D，E，连接DE交AB，AC于点F，G．
甲说：DE最大值为2AC：
乙说：DF2+GE2=FG2；
丙说：当BP=DF时，四边形PCEG为菱形．
下列判断正确的是（ ）
A．甲乙丙都对B．甲丙对，乙错C．甲乙对，丙错D．乙丙对，甲错
二、填空题
9．（2023·江苏南京·三模）以下对一次函数y=-x+2的图像进行变化的方案中正确的是 （只填序号）．
①向下平移4个单位长度得到一次函数y=-x-2的图像；
②向左平移4个单位长度得到一次函数y=-x-2的图像；
③绕原点旋转90°得到一次函数y=x-2的图像；
④先沿x轴对称，再沿y轴对称得到一次函数y=-x-2的图像．
10．（2023·河南洛阳·一模）小明同学将一大一小两个三角板按照如图所示的方式摆放，其中∠ACB=∠AED=90°，∠BAC=∠DAE=30°，AE=63，AB=43，连接BE，取BE的中点F，将三角板ABC绕点A按顺时针方向旋转一周，则在旋转过程中，点F到直线AD的距离的最大值是 ．
11．（2023·河南驻马店·三模）如图，在等边三角形ABC中，AC=4，E为AB的中点，在CB延长线上截取BD=BE，将△DEB沿BC向右平移，点B的对应点为G，当平移后的△DEG和△ABC重叠部分的面积是△DEG面积的14时，△DEB平移的距离为 ．

12．（2023·河北石家庄·模拟预测）将等腰直角三角形ABC按图的方式放在平面直角坐标系中，其中点C1，0，点A0，2，点B在双曲线y=kxx>0的图像L上．
（1）k= ；
（2）将△ABC沿着x轴正方向平移mm>0个单位得到△A1B1C1．
①当双曲线L过线段B1C1的中点时，点C1的坐标是 ；
②当线段A1B1和双曲线L有公共点时，m的取值范围是 ．
三、解答题
13．（2023·河南新乡·二模）某数学兴趣小组在数学实践课上开展了“四边形折叠”研究活动．
问题情景：在平行四边形ABCD中，AB=nAD，∠DAB=α，点E为AD边上一动点（不与A、D重合）连接BE，将△ABE沿BE折叠，点A的对应点落在对角线BD上．
(1)初步探究：如图1，若n=3，α=90°，∠DEF= °，AEED的值是 ；
(2)类比探究：如图2，n=1，α=30°，∠DEF= °，AEED的值是 ；
(3)拓展应用：若n=1，AB=2，请直接写出△DEF为直角三角形时DF的长．
14．（2023·西藏日喀则·一模）将两个大小相等的圆部分重合，其中重叠的部分（如图中的阴影部分）我们称之为一个“花瓣”，由一个“花瓣”及圆组成的图形称之为花瓣图形，下面是一些由“花瓣”和圆组成的图形．
(1)在A、B、C、D、E这5个图形中，是轴对称图形的有__________，是中心对称图形有________
(2)设“花瓣”在圆中是均匀分布的，当花瓣数大于1时，若花瓣的个数是_______，则花瓣图形既是轴对称图形又是中心对称图形；若花瓣的个数是_________，则花瓣图形仅是轴对称图形
(3)根据上面的结论，试判断下列花瓣图形是什么对称图形：
①九瓣图形是_______________ ②十二瓣图形是_______________
15．（2023·浙江金华·三模）小聪同学在解决抛物线y=x2+bx+c平移问题时，发现了一些几何结论：如图1，抛物线y=x2+bx+c的顶点为A，沿右上方平移后，所得抛物线的顶点B落在原抛物线上，且与原抛物线的对称轴交于点C，连结BA，BC，延长BC交原抛物线于点D，则BA=BC．
(1)如图2，当b=c=0时，请说明该结论成立．
(2)当b=0，c=-3，∠ABC=120°时，求点D的坐标．
(3)过点D作DE∥x轴，交原抛物线的对称轴于点E，若S△ABC=2，直接写出△CDE的面积．
16．（2023·广东潮州·二模）如图，在抛物线y=17x2-637x+c交x轴正半轴于点B，交y轴负半轴于点C，直线AB交抛物线于A、B两点，抛物线的对称轴交x轴于点E，其中A的坐标为-3-7,83+7．
(1)求c的值和直线AB的解析式；
(2)如图1，P是抛物线上在直线AB下方的一点，直线AB交抛物线的对称轴于点D，连接OD，OP直线OP交抛物线对称轴于点H，当∠POD=2∠ODB时，求点H的坐标；
(3)在直线CE上有一点F，F的横坐标为12 3，将△BEF绕点B逆时针旋转过有一定的角度α(0°<α<180°)，得到△BE'F'，直线AB交E'F'于M，当直线AB将△BE'F'分割为面积比为1：2的两部分时，直接写出α的值及M的坐标．考点要求
命题预测
图形的轴对称、平移与旋转
图形变换问题主要包括图形的轴对称、图形的平移及图形的旋转，其中对称常常以折叠的形式考察，个别压轴题中还会与特殊图形结合;平移则一般是直接考察;旋转也是直接考，但是其结合性也比较广,特别是特殊三角形和特殊四边形,经常和旋转一起出压轴题.在涉及图形变化的考题中，解决问题的方法较多，关键在于解决问题的着眼点，从恰当的着眼点出发，再根据图形变换的特点发现变化的规律很重要.近几年来各地中考试题中,有较多问题需要利用图形变换进行思考和求解.这类问题考查学生的思维灵活性及深刻性，具有很好的选拔与区分功能，成为近年来各地中考试题的热点问题.
轴对称
轴对称图形
图形

定义
把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴.
如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形就叫做轴对称图形.这条直线就是它的对称轴.
区别
1）轴对称是指两个图形折叠重合.
2）轴对称对称点在两个图形上.
3）轴对称只有一条对称轴.
1）轴对称图形是指本身折叠重合.
2）轴对称图形对称点在一个图形上.
3）轴对称图形至少有一条对称轴.
联系
1) 定义中都有一条直线,都要沿着这条直线折叠重合.
2) 如果把轴对称的两个图形看成一个整体,那么它就是一个轴对称图形；反过来, 如果把轴对称图形沿对称轴分成两部分(即看成两个图形),那么这两个图形就关于这条直线成轴对称.
性质
1）关于某条直线对称的两个图形是全等形.
2）两个图形关于某直线对称那么对称轴是对应点连线的垂直平分线.
判定
1）两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分,那么这两个图形关于这条直线对称.
2）两个图形关于某条直线成轴对称,那么对称轴是对折重合的折痕线.
中心对称
中心对称图形
图形
定义
如果一个图形绕某点旋转180°后与另一个图形重合，我们就把这两个图形叫做成中心对称.
如果一个图形绕某一点旋转180°后能与它自身重合，我们就把这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心.
区别
中心对称是指两个图形的关系
中心对称图形是指具有某种特性的一个图形
联系
两者可以相互转化，如果把中心对称的两个图形看成一个整体（一个图形），那么这“一个图形”就是中心对称图形；反过来，如果把一个中心对称图形相互对称的两部分看成两个图形，那么这“两个图形”中心对称.