备战2023数学新中考二轮复习重难突破（浙江专用）专题15 图形的轴对称、平移与旋转

目标点拨

1.了解轴对称与轴对称图形的概念，掌握轴对称图形的性质，能利用轴对称图形的性质解决图形的折叠问题；

2.了解平移的概念，掌握平移的规则，理解平移的性质；

3.了解旋转、中心对称及中心对称图形的概念，理解它们的性质；

4.理解轴对称变换、平移变换及旋转变换都不改变原图形的形状与大小，变换后的图形与原图形全等；

5.能利用轴对称、平移及旋转的性质进行有关的计算和证明；

知识总结

一、轴对称图形与轴对称

1．常见的轴对称图形: 等腰三角形、矩形、菱形、正方形、圆．

2．折叠的性质:折叠的实质是轴对称，折叠前后的两图形全等，对应边和对应角相等．

【注意】凡是在几何图形中出现“折叠”这个字眼时，第一反应即存在一组全等图形，其次找出与要求几何量相关的条件量．解决折叠问题时，首先清楚折叠和轴对称能够提供我们隐含的且可利用的条件，分析角之间、线段之间的关系，借助勾股定理建立关系式求出答案，所求问题具有不确定性时，常常采用分类讨论的数学思想方法．

3．作某点关于某直线的对称点的一般步骤

1）过已知点作已知直线（对称轴）的垂线，标出垂足；2）在这条直线另一侧从垂足除法截取与已知点到垂足的距离相等的线段，那么截点就是这点关于该直线的对称点．

4．作已知图形关于某直线的对称图形的一般步骤

1）作出图形的关键点关于这条直线的对称点；

2）把这些对称点顺次连接起来，就形成了一个符合条件的对称图形．

二、图形的平移

1．定义：在平面内，一个图形由一个位置沿某个方向移动到另一个位置，这样的图形运动叫做平移．平移不改变图形的形状和大小．

2．三大要素： 一是平移的起点，二是平移的方向，三是平移的距离．

3．性质：

1）平移前后，对应线段平行且相等、对应角相等；2）各对应点所连接的线段平行(或在同一条直线上)且相等；3）平移前后的图形全等．

4．作图步骤：

1）根据题意，确定平移的方向和平移的距离；2）找出原图形的关键点；3）按平移方向和平移距离平移各个关键点，得到各关键点的对应点；4）按原图形依次连接对应点，得到平移后的图形．

三、图形的旋转

1．定义：在平面内，一个图形绕一个定点沿某个方向(顺时针或逆时针)转过一个角度，这样的图形运动叫旋转．这个定点叫做旋转中心，转过的这个角叫做旋转角．

2．三大要素：旋转中心、旋转方向和旋转角度．

3．性质：

1）对应点到旋转中心的距离相等；2）每对对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；

3）旋转前后的图形全等．

4．作图步骤：1）根据题意，确定旋转中心、旋转方向及旋转角；2）找出原图形的关键点；3）连接关键点与旋转中心，按旋转方向与旋转角将它们旋转，得到各关键点的对应点；4）按原图形依次连接对应点，得到旋转后的图形．

【注意】旋转是一种全等变换，旋转改变的是图形的位置，图形的大小关系不发生改变，所以在解答有关旋转的问题时，要注意挖掘相等线段、角，因此特殊三角形性质的运用、锐角三角函数建立的边角关系起着关键的作用．

四、中心对称图形与中心对称

常见的中心对称图形

平行四边形、矩形、菱形、正方形、正六边形、圆等．

注意：图形的“对称”“平移”“旋转”这些变化,是图形运动及延伸的重要途径,研究这些变换中的图形的“不变性”或“变化规律”.

经典例题

1．（2020•台州）如图，把△ABC先向右平移3个单位，再向上平移2个单位得到△DEF，则顶点C（0，﹣1）对应点的坐标为（　　）

A．（0，0） B．（1，2） C．（1，3） D．（3，1）

2．（2020•绍兴）如图，等腰直角三角形ABC中，∠ABC＝90°，BA＝BC，将BC绕点B顺时针旋转θ（0°＜θ＜90°），得到BP，连结CP，过点A作AH⊥CP交CP的延长线于点H，连结AP，则∠PAH的度数（　　）

A．随着θ的增大而增大 

B．随着θ的增大而减小 

C．不变 

D．随着θ的增大，先增大后减小

3．（2020•温州）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以其三边为边向外作正方形，过点C作CR⊥FG于点R，再过点C作PQ⊥CR分别交边DE，BH于点P，Q．若QH＝2PE，PQ＝15，则CR的长为（　　）

A．14 B．15 C．8 D．6

4．（2020•绍兴）将如图的七巧板的其中几块，拼成一个多边形，为中心对称图形的是（　　）

A． B． 

C． D．

5．（2020•嘉兴）如图是由四个相同的小正方体组成的立体图形，它的主视图为（　　）

A． B． C． D．

6．（2020•衢州）下列几何体中，俯视图是圆的几何体是（　　）

A． B． 

C． D．

7．（2020•绍兴）如图，三角板在灯光照射下形成投影，三角板与其投影的相似比为2：5，且三角板的一边长为8cm．则投影三角板的对应边长为（　　）

A．20cm B．10cm C．8cm D．3.2cm

8．（2020•湖州）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体可能是（　　）

A． B． C． D．

9．（2020•温州）某物体如图所示，它的主视图是（　　）

A． B． C． D．

10．（2020•嘉兴）如图，在直角坐标系中，△OAB的顶点为O（0，0），A（4，3），B（3，0）．以点O为位似中心，在第三象限内作与△OAB的位似比为的位似图形△OCD，则点C坐标（　　）

A．（﹣1，﹣1） B．（，﹣1） C．（﹣1，） D．（﹣2，﹣1）

11．（2020•杭州）如图，在△ABC中，∠C＝90°，设∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，则（　　）

A．c＝bsinB B．b＝csinB C．a＝btanB D．b＝ctanB

12．（2020•绍兴）如图，点O为矩形ABCD的对称中心，点E从点A出发沿AB向点B运动，移动到点B停止，延长EO交CD于点F，则四边形AECF形状的变化依次为（　　）

A．平行四边形→正方形→平行四边形→矩形 

B．平行四边形→菱形→平行四边形→矩形 

C．平行四边形→正方形→菱形→矩形 

D．平行四边形→菱形→正方形→矩形

13．（2020•金华）图1是一个闭合时的夹子，图2是该夹子的主视示意图，夹子两边为AC，BD（点A与点B重合），点O是夹子转轴位置，OE⊥AC于点E，OF⊥BD于点F，OE＝OF＝1cm，AC＝BD＝6cm，CE＝DF，CE：AE＝2：3．按图示方式用手指按夹子，夹子两边绕点O转动．

（1）当E，F两点的距离最大时，以点A，B，C，D为顶点的四边形的周长是　　cm．

（2）当夹子的开口最大（即点C与点D重合）时，A，B两点的距离为　　cm．

14．（2020•金华）如图为一个长方体，则该几何体主视图的面积为　　cm2．

15．（2020•湖州）在每个小正方形的边长为1的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点，顶点都是格点的三角形称为格点三角形．如图，已知Rt△ABC是6×6网格图形中的格点三角形，则该图中所有与Rt△ABC相似的格点三角形中．面积最大的三角形的斜边长是　　．

16．（2020•黔东南州）cos60°＝　　．

17．（2020•温州模拟）如图1是一款创意型壁灯，示意图如图2所示，∠BAF＝150°，灯臂BC＝0.2米，不使用时BC∥AF，人在床上阅读时，将BC绕点B旋转至BC′，BC′⊥AB，书本到地面距离DE＝1米，C，C′，D点恰好在同一直线上，且C′D＝AB+CC′，则此时固定点A到地面的距离AF＝　　米．

18．（2020•湖州模拟）在平面直角坐标系中，抛物线yx+2与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点D在该抛物线上，且位于直线AC的上方，过点D作DF⊥AC于点F，连结CD，若△CFD与△AOC相似，则点D的坐标是　　．

19．（2020•温州三模）如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△A1B1C1是位似图形，坐标原点O为位似中心．A与A1，B与B1是对应顶点．已知A（﹣6，2），A1（3，﹣1），BC＝5，则B1C1的长为　　．

20．（2020•长兴县三模）如图，小丽的房间内有一张长200cm，高50cm的床靠墙摆放，在上方安装空调，空调下沿EF与墙垂直，出风口F离墙20cm，空调开启后，挡风板FG与EF夹角成136°，风沿FG方向吹出，为了让空调风不直接吹到床上，空调安装的高度（EC的长）至少为　　cm．（精确到个位）（参考数据：sin46°≈0.72，cos46°≈0.69，tan46°≈1.04）

21．（2020•义乌市模拟）如图，菱形ABCD的对角线相交于点O，AC＝24，BD＝10．点P在对角线AC上．

（1）在AB上取点Q，则BP+PQ的最小值是　　．

（2）若过点P作边AB，BC的垂线（垂足在边上），垂足分别为E，F，记m＝PD+PE+PF，则m的范围是　　．

22．（2020•越城区模拟）如图，在平面直角坐标系中，将边长为1的正方形OABC绕点O顺时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1，依此方式，绕点O连续旋转2020次得到正方形OA2020B2020C2020，那么点A2020的坐标是　　．

23．（2020•鹿城区校级二模）图1是我校闻澜阁前楼梯原设计稿的侧面图，AD∥BC，∠C＝90°，楼梯AB的坡比为1：，为了增加楼梯的舒适度，将其改造成如图2，测量得BD＝2AB＝18m，M为BD的中点，过点M分别作MN∥BC交∠ABD的角平分线于点N，MP∥BN交AD于点P，其中BN和MP为楼梯，MN为平地，则平地MN的长度为　　．

24．（2020•宁波模拟）如图，在△ABC中，∠ABC＞90°，∠ABC＝2∠C，BD是∠ABC的平分线，AB，BD＝2，则AD为　　．

25．（2020•西湖区一模）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，点E在AB上，连结CE交AD于点F，且AE＝AF，以下命题：①4∠BCE＝∠BAC；②AE•DF＝CF•EF；③；④AD（AE+AC）．正确的序号为　　．